Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

Xác định giá trị đại diện \({c_i}\) của từng nhóm:

• Nhóm \(\left[ {20;25} \right)\): \({c_1} = \frac{{20 + 25}}{2} = 22,5\).
• Nhóm \(\left[ {25;30} \right)\): \({c_2} = \frac{{25 + 30}}{2} = 27,5\).
• Nhóm \(\left[ {30;35} \right)\): \({c_3} = \frac{{30 + 35}}{2} = 32,5\).
• Nhóm \(\left[ {35;40} \right)\): \({c_4} = \frac{{35 + 40}}{2} = 37,5\).
• Nhóm \(\left[ {40;45} \right)\): \({c_5} = \frac{{40 + 45}}{2} = 42,5\).

Tính số trung bình cộng \(\bar x\):

\(\bar x = \frac{{6 \cdot 22,5 + 6 \cdot 27,5 + 4 \cdot 32,5 + 1 \cdot 37,5 + 1 \cdot 42,5}}{{18}} = \frac{{135 + 165 + 130 + 37,5 + 42,5}}{{18}} = \frac{{510}}{{18}} = \frac{{85}}{3}\).

Tính phương sai \({s^2}\):

\({s^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {6 \cdot {{\left( {22,5} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {27,5} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {32,5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {37,5} \right)}^2} + 1 \cdot {{\left( {42,5} \right)}^2}} \right] - {\left( {\frac{{85}}{3}} \right)^2}\)\( = 31,25\).

Chọn đáp án: B.

Ta có \({n_A} = 6 + 10 + 14 + 12 + 8 = 50\). Do đó phát biểu B đúng.

Đối với nhóm A, các nhóm điểm có người đánh giá là từ \(\left[ {50;60} \right)\) đến \(\left[ {90;100} \right)\). Khoảng biến thiên của nhóm A tính theo công thức ghép nhóm là: \({R_A} = 100 - 50 = 50\). Do đó phát biểu D đúng.

Đối với nhóm B, các nhóm điểm có người đánh giá là từ \(\left[ {60;70} \right)\) đến \(\left[ {80;90} \right)\) (do nhóm \(\left[ {50;60} \right)\) và nhóm \(\left[ {90;100} \right)\) đều có số người bằng \(0\)). Khoảng biến thiên của nhóm B là: \({R_B} = 90 - 60 = 30\). Phát biểu A nói rằng "Khoảng biến thiên của điểm đánh giá từ số người nhóm B là 40" là Sai.

Vì \({R_A} = 50 > {R_B} = 30\), ý kiến nhóm A phân tán hơn nhóm B là đúng (Phát biểu C đúng).

Chọn đáp án: A.

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), tọa độ của điểm \(M\) chính là tọa độ của vectơ vị trí \(\overrightarrow {OM} \). Vì \(\overrightarrow {OM} = \vec a = \left( {2; - 1;3} \right)\), nên tọa độ của điểm \(M\) là \(M\left( {2; - 1;3} \right)\).

Chọn đáp án: B.

Xác định giá trị đại diện của từng nhóm: \(5,5\); \(6,5\); \(7,5\); \(8,5\); \(9,5\).

Tổng số học sinh (cỡ mẫu): \(n = 1 + 0 + 11 + 22 + 6 = 40\).

Số trung bình cộng \(\bar x\):

\(\bar x = \frac{{1 \cdot 5,5 + 0 \cdot 6,5 + 11 \cdot 7,5 + 22 \cdot 8,5 + 6 \cdot 9,5}}{{40}} = \frac{{5,5 + 0 + 82,5 + 187 + 57}}{{40}} = \frac{{332}}{{40}} = 8,3\).

Chọn đáp án: A.

Ta giải phương trình đạo hàm bằng 0:

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Trong đó:

• \(x = 0\) là nghiệm đơn (đạo hàm đổi dấu qua nghiệm này).
• \(x = 1\) là nghiệm kép (đạo hàm không đổi dấu khi qua \(x = 1\)).

Do đó, hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị tại \(x = 0\).

Chọn đáp án: D.

Xét giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm \infty \):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{ - {x^2} + 4}} = - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 1}}{{ - {x^2} + 4}} = - 1\)

Do đó đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - 1\).

Chọn đáp án: C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - 2\). Khi \(x \to \pm \infty \), nhánh hàm số tiến ra vô cực theo dạng tiệm cận xiên \(y = - x\).

Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x + 1}}{{x + 2}}\):

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Đạo hàm: \[y' = \frac{{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\forall x \in D\].

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), hoàn toàn phù hợp với bảng biến thiên đã cho.

Chọn đáp án: A.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\).

Do đó hàm số đã cho luôn nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Mà \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là khoảng con của khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Chọn đáp án: D.

Quan sát đồ thị hàm số trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right)\): giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( { - 3;4} \right)\) bằng \(2\).

Chọn đáp án: C.

Ta có \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \). Do đó: \(\overrightarrow {A'B} \cdot \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {A'B} \cdot \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {A'B} \cdot \overrightarrow {AB} \).

Ta lại có \(\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} \). Thế vào ta được: \(\overrightarrow {A'B} \cdot \overrightarrow {CD} = - \left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {A'A} \cdot \overrightarrow {AB} - {\overrightarrow {AB} ^2}\).

Vì \(A'A \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {A'A} \cdot \overrightarrow {AB} = 0\).

Cạnh hình lập phương bằng \(1 \Rightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = 1\).

Vậy \(\overrightarrow {A'B} \cdot \overrightarrow {CD} = 0 - 1 = - 1\).

Chọn đáp án: C.

Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ 3 đỉnh:

\({x_G} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 8}}{3} = 3\)

\({y_G} = \frac{{0 + 3 + 6}}{3} = 3\)

\({z_G} = \frac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\)

Suy ra \(G\left( {3;3;1} \right)\), do đó \(\overrightarrow {OG} = \left( {3;3;1} \right)\).

Độ dài vectơ \(\overrightarrow {OG} \) là: \(\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2} + {1^2}} = \sqrt {9 + 9 + 1} = \sqrt {19} \).

Chọn đáp án: A.

Từ \(\overrightarrow {OA} = \vec i - \vec j - 2\vec k\), ta suy ra tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Điểm \(A'\) đối xứng với \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sẽ giữ nguyên tọa độ \(x,y\) và đổi dấu tọa độ \(z\).

Suy ra \(A'\left( {1; - 1;2} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {OA'} = \left( {1; - 1;2} \right) = \vec i - \vec j + 2\vec k\).

Chọn đáp án: D.

Mệnh đề a): ĐÚNG. Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = x \cdot y = 384\).

Mệnh đề b): SAI. Vì lề trái và lề phải đều rộng \(2{\rm{\;cm}}\), nên chiều rộng phần in chữ phải trừ đi cả 2 lề: \(x - 2 - 2 = x - 4\). Tương tự, lề trên và dưới đều là \(3{\rm{\;cm}}\) nên chiều dài phần in chữ là \(y - 3 - 3 = y - 6\).

Mệnh đề d): SAI. Công thức diện tích đúng phải là \(S = \left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right)\).

Mệnh đề c): ĐÚNG. Ta tính diện tích lớn nhất của phần in chữ:

\(S = \left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = xy - 6x - 4y + 24 = 384 + 24 - \left( {6x + 4y} \right) = 408 - \left( {6x + 4y} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(6x\) và \(4y\):

\(6x + 4y \ge 2\sqrt {6x \cdot 4y} = 2\sqrt {24xy} = 2\sqrt {24 \cdot 384} = 2\sqrt {9216} = 2 \cdot 96 = 192\).

Do đó: \(S \le 408 - 192 = 216{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(6x = 4y \Rightarrow 6{x^2} = 4xy = 4 \cdot 384 \Rightarrow x = 16 \Rightarrow y = 24\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Cỡ mẫu \(n = 3 + 7 + 10 + 15 + 2 = 37\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\). Ta có \(\frac{{37}}{2} = 18,5\). Tần số tích lũy đến nhóm \(\left[ {2;3} \right)\) là \(3 + 7 = 10\), đến nhóm \(\left[ {3;4} \right)\) là \(10 + 10 = 20\). Vì \(10 < 18,5 \le 20\) nên trung vị thuộc nhóm \(\left[ {3;4} \right)\).

Mệnh đề c): ĐÚNG. Khoảng biến thiên ghép nhóm: \(R = 6 - 1 = 5\) (giờ).

Mệnh đề d): SAI. Ta có \({M_e} = 3 + \frac{{18,5 - 10}}{{10}} \cdot 1 = 3,85\). Dựa vào trung vị, ta kết luận có trên \(50\% \) học sinh đọc sách hơn \(3,85\) giờ trong một tuần.

Từ hình vẽ, đồ thị đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), tức khi \(x = 0\) thì \(y = 0 \Rightarrow c = 0\).

Khi đó \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + bx}}{{x - 1}}\).

Lại có đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;4} \right)\) nên \(\frac{{{2^2} + 2b}}{{2 - 1}} = 4 \Leftrightarrow b = 0\).

Khi đó hàm số là \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Tâm đối xứng của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = 1\) và tiệm cận xiên \(y = x + 1\). Ta xác định được tâm đối xứng chính xác là \(I\left( {1;2} \right)\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. Từ đồ thị, ta thấy trên khoảng \(\left( { - 100;0} \right)\), đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 100;0} \right]\) đạt được tại \(x = - 100 \Rightarrow y = \frac{{{{\left( { - 100} \right)}^2}}}{{ - 100 - 1}} = - \frac{{10000}}{{101}}\).

Mệnh đề c): ĐÚNG. Điều kiện xác định là \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Mệnh đề d): SAI. Do ta giải ra \(b = 0,c = 0 \Rightarrow b + c = 0 \ne 1\).

Từ dữ kiện bài toán, các đỉnh có tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {7;0;0} \right)\), \(D\left( {0;10;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;7} \right)\). Vì đây là hình hộp chữ nhật đặt vào hệ trục nên \(C\left( {7;10;0} \right)\) và \(C'\left( {7;10;7} \right)\), \(D'\left( {0;10;7} \right)\).

Mệnh đề a): ĐÚNG. Hình chiếu \(M'\) của \(M\) xuống đáy \(\left( {ABCD} \right)\), chính là mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ là \(\left( {\frac{7}{2};5;0} \right)\), ta thấy điểm \(M'\) có tọa độ chính là tọa độ tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), tức là \(M'\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\). Từ đó suy ra khoảng cách từ \(M\) tới 4 đỉnh đáy bằng nhau hay \(M\) cách đều \(A,B,C\) và \(D\).

Mệnh đề b): ĐÚNG. \(\overrightarrow {AC'} = C' - A = \left( {7;10;7} \right) - \left( {0;0;0} \right) = \left( {7;10;7} \right)\).

Mệnh đề c): SAI. Ta có \(\overrightarrow {DD'} = D' - D = \left( {0;10;7} \right) - \left( {0;10;0} \right) = \left( {0;0;7} \right)\).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {AC'} \cdot \overrightarrow {DD'} = 7 \cdot 0 + 10 \cdot 0 + 7 \cdot 7 = 49 \ne 7\).

Mệnh đề d): ĐÚNG. Tâm hình hộp chữ nhật là trung điểm của đường chéo \(AC'\), tọa độ là:

\(I = \left( {\frac{{0 + 7}}{2};\frac{{0 + 10}}{2};\frac{{0 + 7}}{2}} \right) = \left( {\frac{7}{2};5;\frac{7}{2}} \right)\).

Từ hệ thức ta suy ra biểu thức tính \(q\) theo \(p\): \(p = 15 - \frac{1}{2}q \Leftrightarrow \frac{1}{2}q = 15 - p \Leftrightarrow q = 30 - 2p\).

Thay vào biểu thức doanh thu \(R\): \(R\left( p \right) = p \cdot q = p\left( {30 - 2p} \right) = - 2{p^2} + 30p\).

Đây là một hàm số bậc hai đối với biến \(p\) có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới. Doanh thu đạt cực đại tại đỉnh của parabol: \(p = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{30}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{{30}}{4} = 7,5\).

Vậy giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là \(7,5\) nghìn đồng thì đạt được doanh thu cao nhất.

Đáp số: \(7,5\).

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = 6{x^2} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 1} \right) - 1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 6{x^2} + \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Với mọi \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\), ta dễ thấy \(6{x^2} \ge 0\) và \(\frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow y' > 0\).

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại điểm đầu mút \(x = 0\):

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right) = 2 \cdot {0^3} + \frac{{0 - 2}}{{0 + 1}} = - 2\).

Đáp số: \( - 2\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Viết lại hàm số: \(y = 4x + \frac{1}{x}\).

Tính đạo hàm: \(y' = 4 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}\).

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{1}{2}\) (vì qua \(x = \frac{1}{2}\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương).

Giá trị cực tiểu của hàm số là: \({y_{{\rm{CT}}}} = y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{4 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{1 + 1}}{{\frac{1}{2}}} = 4\).

Đáp số: \(4\).

Xác định giá trị đại diện \({c_i}\) của các nhóm: \({c_1} = 4,5;\quad {c_2} = 7,5;\quad {c_3} = 10,5;\quad {c_4} = 13,5;\quad {c_5} = 16,5\).

Tính cỡ mẫu \(n\): \(n = 3 + 7 + 15 + 14 + 8 = 47\).

Tính số trung bình cộng \(\bar x\): \(\bar x = \frac{{3 \cdot 4,5 + 7 \cdot 7,5 + 15 \cdot 10,5 + 14 \cdot 13,5 + 8 \cdot 16,5}}{{47}} = \frac{{1089}}{{94}}\).

Tính phương sai \({s^2}\): \({s^2} = \frac{1}{{47}}\left[ {3 \cdot {{\left( {4,5} \right)}^2} + 7 \cdot {{\left( {7,5} \right)}^2} + 15 \cdot {{\left( {10,5} \right)}^2} + 14 \cdot {{\left( {13,5} \right)}^2} + 8 \cdot {{\left( {16,5} \right)}^2}} \right] - {\left( {\bar x} \right)^2}\).

Tính độ lệch chuẩn \(s\): \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 3,36\).

Đáp số: \(3,36\).

Tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1; - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 2;3} \right)\).

Tích có hướng: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 4}\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 2}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5; - 10;0} \right)\).

Diện tích \(S\): \(S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {125} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).

Độ dài cạnh đáy \(BC\): \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {16 + 4 + 9} = \sqrt {29} \).

Độ dài đường cao \(AH\): \(AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2 \cdot \frac{{5\sqrt 5 }}{2}}}{{\sqrt {29} }} = \frac{{5\sqrt 5 }}{{\sqrt {29} }} = \sqrt {\frac{{125}}{{29}}} \approx 2,08\).

Đáp số: \(2,08\).

Vì \(G\) là trọng tâm và \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AG} = \left( {{x_G} - 1;{y_G};{z_G} - 3} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} - 1 = \frac{2}{3} \cdot 5\\{y_G} = \frac{2}{3} \cdot 1\\{z_G} - 3 = \frac{2}{3} \cdot 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{13}}{3}}\\\begin{array}{l}{y_G} = \frac{2}{3}\\{z_G} = 3\end{array}\end{array}} \right.\).

Do đề bài chỉ yêu cầu tính cao độ của điểm \(G\), ta nhận được giá trị \({z_G} = 3\).

Đáp số: \(3\).