Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), các vectơ đơn vị của các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt là: \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\), \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\), \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\).

Do đó, vectơ đơn vị của trục \(Oy\) là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\).

Chọn đáp án: A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Đối chiếu với các phương án lựa chọn, khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) là khoảng đồng biến của hàm số.

Chọn đáp án: B.

Giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) với trục hoành \(Ox\) là điểm có tung độ bằng \(0\) (\(y = 0\)). Quan sát đồ thị, ta thấy nhánh bên phải của đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = 2\). Do đó, tọa độ giao điểm cần tìm là \(I\left( {2;0} \right)\).

Chọn đáp án: B.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là \(R\), được tính bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Nhóm đầu tiên là \(\left[ {3;6} \right)\), có đầu mút trái là \({x_{{\rm{min}}}} = 3\).

Nhóm cuối cùng là \(\left[ {18;21} \right)\), có đầu mút phải là \({x_{{\rm{max}}}} = 21\).

Vậy \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 21 - 3 = 18{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Chọn đáp án: A.

Ta tính tọa độ của các vectơ:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 0; - 4 - 1;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {3; - 5;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 5 - 0;2 - 1;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 5;1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {CD} = \left( {6 - \left( { - 5} \right); - 3 - 2;7 - 0} \right) = \left( {11; - 5;7} \right)\)

Tính độ dài bình phương của \(\overrightarrow {AB} \): \({\overrightarrow {AB} ^2} = {3^2} + {\left( { - 5} \right)^2} + {2^2} = 9 + 25 + 4 = 38\).

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} \): \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( { - 5} \right) \cdot 11 + 1 \cdot \left( { - 5} \right) + 2 \cdot 7 = - 55 - 5 + 14 = - 46\).

Giá trị biểu thức \(P\): \(P = 38 - \left( { - 46} \right) = 38 + 46 = 84\).

Chọn đáp án: A.

Dựa vào tọa độ các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1\), tức là khi \(x = 0\) thì \(y = 1 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1\).

Điểm cực đại là \(\left( {0;1} \right)\) và cực tiểu là \(\left( {2; - 3} \right)\). Do đó \(f\left( 2 \right) = - 3\).

Tại \(x = 1\), ta dóng xuống đồ thị thu được \(y = - 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - 1\).

Tại \(x = 3\), đồ thị cắt trục hoành nên \(f\left( 3 \right) = 0\).

Như vậy, phát biểu đúng là \(f\left( 0 \right) = 1\).

Chọn đáp án: D.

Theo quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó, khẳng định trên là luôn đúng.

Chọn đáp án: B.

Ta lập bảng giá trị đại diện \({x_i}\) của từng nhóm \(\left[ {{u_i};{u_{i + 1}}} \right)\) với \({x_i} = \frac{{{u_i} + {u_{i + 1}}}}{2}\):

Nhóm \(\left[ {2,7;3,0} \right)\) có \({n_1} = 3\), \({x_1} = 2,85\).

Nhóm \(\left[ {3,0;3,3} \right)\) có \({n_2} = 6\), \({x_2} = 3,15\).

Nhóm \(\left[ {3,3;3,6} \right)\) có \({n_3} = 5\), \({x_3} = 3,45\).

Nhóm \(\left[ {3,6;3,9} \right)\) có \({n_4} = 4\), \({x_4} = 3,75\).

Tổng số ngày: \(N = 3 + 6 + 5 + 4 = 18\).

Số trung bình: \(\overline x = \frac{{3 \cdot 2,85 + 6 \cdot 3,15 + 5 \cdot 3,45 + 4 \cdot 3,75}}{{18}} = \frac{{59,7}}{{18}} = \frac{{199}}{{60}}{\rm{\;(km)}}\).

Phương sai: \({s^2} = \frac{{3 \cdot {{\left( {2,85} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {3,15} \right)}^2} + 5 \cdot {{\left( {3,45} \right)}^2} + 4 \cdot {{\left( {3,75} \right)}^2}}}{{18}} - {\left( {\frac{{199}}{{60}}} \right)^2} \approx 0,09\).

Chọn đáp án: D.

Theo công thức tọa độ trung điểm trong không gian \(Oxyz\), trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là:

\(I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).

Chọn đáp án: C.

Trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\), ta thấy đạo hàm \(y' > 0\). Do hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;3} \right]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại đầu mút trái \(x = 0\). Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right).\)

Chọn đáp án: C.

Đường tiệm cận đứng là đường thẳng song song với trục tung và đồ thị tiến sát đến vô cực khi \(x\) dần tới giá trị đó. Trên đồ thị, đường thẳng đứng đi qua điểm có hoành độ \(x = - 1\) trên trục hoành. Do đó phương trình tiệm cận đứng là \(x = - 1\).

Chọn đáp án: D.

Đường tiệm cận ngang là đường thẳng song song với trục hoành. Trên đồ thị, đường nét đứt nằm ngang cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = 1\). Do đó phương trình tiệm cận ngang là \(y = 1\).

Chọn đáp án: A.

a) \(g\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{x + 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = 2\). Tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Chọn: ĐÚNG

b) Nghiệm của mẫu thức là \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\). Tiệm cận đứng phải là \(x = - 1\).

Chọn: SAI

c) Tâm đối xứng \(I\left( { - 1;1} \right)\). Ta viết lại \(f\left( x \right) = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\). Để tọa độ nguyên thì \({x_0} + 1\) là ước của \(3\). Do hoành độ dương nên \({x_0} > 0 \Rightarrow {x_0} + 1 = 3 \Rightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow B\left( {2;0} \right)\).

Khoảng cách \(IB = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

Chọn: ĐÚNG

d) Cho \(x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 2f\left( 0 \right) = 2 \cdot \left( {\frac{{ - 2}}{1}} \right) = - 4 \Rightarrow A\left( {0; - 4} \right)\).

Chọn: ĐÚNG

a) Tổng số cuộc gọi \(N = 80\). Vị trí \({Q_1}\) là \(20\) (thuộc nhóm \(\left[ {1;2} \right)\)) \( \Rightarrow {Q_1} = 1 + \frac{{20 - 8}}{{17}} = \frac{{29}}{{17}}\). Vị trí \({Q_3}\) là \(60\) (thuộc nhóm \(\left[ {3;4} \right)\)) \( \Rightarrow {Q_3} = 3 + \frac{{60 - 50}}{{20}} = 3,5\). Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3,5 - \frac{{29}}{{17}} = \frac{{61}}{{34}} \ne \frac{{61}}{{31}}\).

Chọn: SAI

b) Số trung bình \(\overline x = \frac{{8 \cdot 0,5 + 17 \cdot 1,5 + 25 \cdot 2,5 + 20 \cdot 3,5 + 10 \cdot 4,5}}{{80}} = 2,5875\).

Phương sai \({s^2} = \frac{{8 \cdot 0,{5^2} + 17 \cdot 1,{5^2} + 25 \cdot 2,{5^2} + 20 \cdot 3,{5^2} + 10 \cdot 4,{5^2}}}{{80}} - {\left( {2,5875} \right)^2} \approx 1,35\).

Chọn: ĐÚNG

c) Khoảng biến thiên của mẫu là \(R = 5 - 0 = 5\).

Chọn: ĐÚNG

d) Khi bỏ nhóm cuối thì cỡ mẫu \(N' = 70\).

Số trung bình mới \({\overline x ^\prime } = \frac{{8 \cdot 0,5 + 17 \cdot 1,5 + 25 \cdot 2,5 + 20 \cdot 3,5}}{{70}} = \frac{{81}}{{35}}\).

Phương sai mới \({s'^2} = \frac{{8 \cdot 0,{5^2} + 17 \cdot 1,{5^2} + 25 \cdot 2,{5^2} + 20 \cdot 3,{5^2}}}{{70}} - {\left( {\frac{{81}}{{35}}} \right)^2} = \frac{{4661}}{{4900}}\).

Độ lệch chuẩn \(s' = \sqrt {{{s'}^2}} \approx 0,98\).

Chọn: SAI

a) Ta có \(g'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\). Qua \(x = 2\), \(g'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 2\) là điểm cực đại. Cực tiểu phải là \(x = 0\).

Chọn: SAI

b) Tổng \(S = f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) \cdot f\left( 3 \right) + f\left( 3 \right) \cdot f\left( 4 \right) + ... + f\left( {2025} \right) \cdot f\left( {2026} \right)\)

\( = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2025}} \cdot \frac{1}{{2026}}\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right) = \frac{{2025}}{{2026}}\).

Do đó \(k\left( x \right) = 2025{x^3} - 6075x \Rightarrow k'\left( x \right) = 6075\left( {{x^2} - 1} \right)\). Ta có \(k'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), không phải trên toàn bộ khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).

Chọn: SAI

c) Ta có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 0\).

Chọn: ĐÚNG

d) Ta có \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Như vậy \(h\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {3;6} \right]\) nên giá trị lớn nhất đạt được tại \(x = 3 \Rightarrow {\rm{max}} = h\left( 3 \right) = \frac{7}{3} \ne \frac{{13}}{6}\).

Chọn: SAI

a) Ta có \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = 2a\sqrt 3 \).

Chọn: ĐÚNG

b) Vì \(C'C \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {Oxy} \right)\) nên hình chiếu của \(C'\) là \(C\).

Chọn: ĐÚNG

c) Độ dài cạnh hình lập phương bằng \(2a\). Thiết lập tọa độ ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {2a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;2a;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2a} \right)\), \(C\left( {2a;2a;0} \right)\), \(C'\left( {2a;2a;2a} \right)\).

Vì \(I\) là điểm cách đều 8 đỉnh của hình lập phương đã cho nên \(I\) là tâm của hình lập phương, tức \(I\) là trung điểm của đường chéo \(AC'\), suy ra \(I\left( {a;a;a} \right)\).

Vì \(J\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(A'ABB'\) nên \(J\left( {a;0;a} \right)\).

Vì \(K\) lần lượt là tâm của các hình vuông \(A'ADD'\) nên \(K\left( {0;a;a} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {IJ} = \left( {0; - a;0} \right)\) và \(\overrightarrow {KD} = \left( {0;a; - a} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {IJ} \cdot \overrightarrow {KD} = - {a^2}\).

Chọn: SAI

d) Tổng vectơ bằng \(4\overrightarrow {MG} \) với \(G\left( {a;a;0} \right)\) là tâm hình vuông đáy \(ABCD\). Độ dài ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên đáy trên \( \Rightarrow M\left( {a;a;2a} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} - \vec k = \left( {a;a;2a - 1} \right)\).

Chọn: ĐÚNG

Dựng hệ trục tọa độ tại điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) nằm trên mặt đất, cột điện nằm trên trục \(Oz \Rightarrow A\left( {0;0;h} \right)\).

Ta có \(OB = OC = 6{\rm{m}}\). Vì góc nhị diện \(\left[ {B,OA,C} \right] = 135^\circ \) nên \(\widehat {BOC} = 135^\circ \).

Góc giữa \(AB\) và mặt phẳng đáy là \(\widehat {ABO} = 45^\circ \Rightarrow h = OA = OB{\rm{tan}}45^\circ = 6\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Chọn tia \(OB\) làm trục \(Ox \Rightarrow B\left( {6;0;0} \right)\).

Điểm \(C\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có tọa độ: \(C\left( {6{\rm{cos}}135^\circ ;6{\rm{sin}}135^\circ ;0} \right) = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ;0} \right)\).

Tọa độ các vectơ: \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;0; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 6\sqrt 2 \); \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 ; - 6} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {18 + 18 + 36} = 6\sqrt 2 \).

Tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 18\sqrt 2 + 36\).

Côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{ - 18\sqrt 2 + 36}}{{72}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4} \approx 0,146 \approx 0,1\).

Đáp án: 0,1.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + n}}\) (với \(m = 1\)).

Tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow n = - 1\).

Cắt \(Oy\) tại \(A\left( {0;1} \right) \Rightarrow \frac{c}{{ - 1}} = 1 \Rightarrow c = - 1\).

Đi qua \(B\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{a - b - 1}}{{ - 2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = b\).

Đi qua cực trị \(C\left( {2;5} \right) \Rightarrow \frac{{4a + 2b - 1}}{1} = 5 \Rightarrow 6a = 6 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = 1\).

Giá trị cần tìm: \(a + b - n = 1 + 1 - \left( { - 1} \right) = 3\).

Đáp án: 3.

Vì điểm \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxz} \right)\) nên tọa độ tung độ của \(M\) bằng \(0\), tức là \(b = 0\). Do đó, ta có \(M\left( {a;0;c} \right)\).

Ta chọn điểm \(I\) sao cho: \(5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} = \vec 0\).

Khi đó, tọa độ điểm \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) được tính bằng công thức:

\({x_I} = \frac{{5{x_A} + 3{x_B} + 4{x_C}}}{{5 + 3 + 4}} = \frac{{5 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 \cdot 3}}{{12}} = \frac{{5 - 3 + 12}}{{12}} = \frac{{14}}{{12}} = \frac{7}{6}\)

\({y_I} = \frac{{5{y_A} + 3{y_B} + 4{y_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{6 + 4}}{{12}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\)

\({z_I} = \frac{{5{z_A} + 3{z_B} + 4{z_C}}}{{12}} = \frac{{5 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1}}{{12}} = \frac{{10 + 6 + 4}}{{12}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3}\)

Vậy \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\).

Khi đó,

\(2\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} \)

\(\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} \)

\(3\overrightarrow {MC} \cdot \overrightarrow {MA} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3M{I^2} + 3\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \)

Cộng ba biểu thức trên lại, ta được:

\(S = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right)} \right] + {C_0}\)

\( = 6M{I^2} + \overrightarrow {MI} \cdot \left[ {5\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} + 4\overrightarrow {IC} } \right] + {C_0} = 6M{I^2} + {C_0}\).

(Trong đó \({C_0} = 2\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} + 3\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} \) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của \(M\)).

Tìm điểm \(M\) để \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do \({C_0}\) là hằng số, \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng \(MI\) nhỏ nhất.

Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\), \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(I\left( {\frac{7}{6};\frac{5}{6};\frac{5}{3}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) thu được bằng cách giữ nguyên hoành độ, cao độ và cho tung độ bằng \(0\): \(M\left( {\frac{7}{6};0;\frac{5}{3}} \right)\).

Từ đó ta có hệ số tọa độ của \(M\left( {a;b;c} \right)\) là: \(a = \frac{7}{6},\quad b = 0,\quad c = \frac{5}{3}\).

Vậy \(T = 6 \cdot \left( {\frac{7}{6}} \right) - 5 \cdot 0 + 3 \cdot \left( {\frac{5}{3}} \right) = 7 - 0 + 5 = 12\).

Đáp án: 12.

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \).

Điểm cực tiểu của hàm số là \({x_{{\rm{CT}}}} = \sqrt 3 \).

Điểm cực đại của hàm số là .

Hiệu giữa hai điểm cực trị: .

Đáp án: 3,5.

Thể tích chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp là: \(V\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right)\left( {80 - 2x} \right) = 4{x^3} - 220{x^2} + 2400x\).

Xét với \(x \in \left[ {5;10} \right]\).

Đạo hàm: \(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 440x + 2400 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{20}}{3}\) hoặc \(x = 30\) (loại).

Lập bảng biến thiên chỉ ra \(V\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = \frac{{20}}{3} \approx 6,67{\rm{\;cm}}\).

Đáp án: 6,67.

Cỡ mẫu \(N = 100\).

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là \(19,25;19,75;20,25;20,75;21,25\).

Số trung bình: \[\overline x = \frac{{13 \cdot 19,25 + 45 \cdot 19,75 + 24 \cdot 20,25 + 12 \cdot 20,75 + 6 \cdot 21,25}}{{100}} = 20,015{\rm{\;m}}\].

Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{{100}}\left[ {13 \cdot {{\left( {19,25} \right)}^2} + ... + 6 \cdot {{\left( {21,25} \right)}^2}} \right] - {\left( {20,015} \right)^2} = 0,277275\).

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {0,277275} \approx 0,53{\rm{\;m}}\).

Đáp án: 0,53.