Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) \( \Rightarrow A\left( {2; - 3;4} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {BA} = \left( {0; - 4;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC} \).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}\).

Mà tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;5} \right)\) lên \(Oy\). Suy ra \(H\left( {0; - 3;0} \right)\).

Vì \(A'\) đối xứng với \(A\) qua trục \(Oy\) nên \(H\)là trung điểm đoạn \(AA'\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 3; - 5} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 45 – 20 = 25.

Đáp án đúng là: C

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + ... + {n_k}c_k^2} \right) - {\overline x ^2}\).

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\) với \( - 2 < {x_0} < - 1\).

b) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\).

c) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tọa độ \(\left( {0;1} \right)\).

d) Đồ thị đi qua ba điểm \(\left( { - 2;1} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;1} \right)\) và đạt cực trị tại \(x = 1\) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 8a + 4b - 2c + d = 1\\ - a + b - c + d = 2\\d = 1\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 0\\d = 1\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b + c = 8\).

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(y' = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\) và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(y\left( {\frac{3}{2}} \right) = - 7;y\left( 2 \right) = - 6;y\left( {\frac{5}{2}} \right) = - \frac{{19}}{3}\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right]\) bằng \( - 7\) đạt tại \(x = \frac{3}{2}\).

c) Ta có \(2x + y = 0\)\( \Rightarrow y = - 2x\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} - \left( { - 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{ - x + 1}} = 0\) nên đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng \(2x + y = 0\) hay \(y = - 2x\).

d) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 2x + 2}}{{ - x + 1}} = - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \({d_1}:x - 1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0} \right)\); \({d_2}:2x + y = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 26^\circ 33'\).

a) Ta có \(\overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k \).

b) Ta có \(3\overrightarrow b = \left( {30;6;3} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {24;10;4} \right)\).

c) Điểm đối xứng của \(A\) qua Oy là \(A'\left( { - 8; - 1;0} \right)\).

d) Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{ - 6.10 + 4.2 + 1.1}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {4^2} + 1} .\sqrt {{{10}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - 51}}{{\sqrt {53} .\sqrt {105} }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \approx 133^\circ \).

Từ biểu đồ ta có bảng mẫu số liệu của công ty A, B là

a) Có 14 nhân viên của công ty A thu nhập từ 17 triệu đồng đến 21 triệu đồng trong một tháng.

b) Ta có \(\overline {{x_A}} = \frac{{12 \cdot 7 + 45 \cdot 11 + 16 \cdot 15 + 14 \cdot 19 + 7 \cdot 23}}{{94}} \approx 13,26\).

\(\overline {{x_B}} = \frac{{16 \cdot 7 + 40 \cdot 11 + 29 \cdot 15 + 15 \cdot 19 + 12 \cdot 23}}{{112}} \approx 13,82\).

Vì \(\overline {{x_B}} > \overline {{x_A}} \) nên thu nhập trung bình mỗi tháng của nhân viên công ty B cao hơn nhân viên công ty A.

c) \(s_A^2 = \frac{{12 \cdot {7^2} + 45 \cdot {{11}^2} + 16 \cdot {{15}^2} + 14 \cdot {{19}^2} + 7 \cdot {{23}^2}}}{{94}} - {13,26^2} \approx 19,81\).

\(s_B^2 = \frac{{16 \cdot {7^2} + 40 \cdot {{11}^2} + 29 \cdot {{15}^2} + 15 \cdot {{19}^2} + 12 \cdot {{23}^2}}}{{112}} - {13,82^2} = 22,5076\).

Vì \(s_A^2 < s_B^2\) nên nếu so sánh về phương sai thì thu nhập mỗi tháng của nhân viên công ty A ít phân tán hơn nhân viên công ty B.

d) Xét mẫu số liệu công ty A.

Có \({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{94}}{4} - 12}}{{45}} \cdot \left( {13 - 9} \right) = \frac{{451}}{{45}}\); \({Q_3} = 13 + \frac{{\frac{{90 \cdot 3}}{4} - 57}}{{16}} \cdot \left( {17 - 13} \right) = \frac{{125}}{8}\).

Suy ra \({\Delta _{{Q_A}}} = \frac{{125}}{8} - \frac{{451}}{{45}} \approx 5,603\).

Xét mẫu số liệu công ty B

Có \({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{112}}{4} - 12}}{{45}} \cdot \left( {13 - 9} \right) = \frac{{469}}{{45}}\); \({Q_3} = 13 + \frac{{\frac{{112 \cdot 3}}{4} - 56}}{{29}} \cdot \left( {17 - 13} \right) = \frac{{713}}{{29}}\).

Suy ra \({\Delta _{{Q_B}}} = \frac{{713}}{{29}} - \frac{{469}}{{45}} \approx 14,164\).

Vì \({\Delta _{{Q_A}}} < {\Delta _{{Q_B}}}\) nên so sánh về khoảng tứ phân vị thì thu nhập trung bình mỗi tháng của công ty B đồng đều hơn công ty A.

Trả lời: 1

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6mx;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = - 4{m^3} + 10\) khi \(x = 2m\).

Theo giả thiết ta có \( - 4{m^3} + 10 = 6 \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 3\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x} - x} \right) = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có \(2\) đường tiệm cận ngang \(y = 2\) và \(y = 3\). Suy ra \(a = 2,\,b = 3\).

Suy ra \(S = a - 100b = - 298\).

Trả lời: 1,5

Gọi \(x\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng hình chữ nhật đáy bể, suy ra chiều dài hình chữ nhật đáy bể là \(3x.\)

\(V = h.x.3x = h.3{x^2} = 18\) \( \Rightarrow h = \frac{{18}}{{3{x^2}}} = \frac{6}{{{x^2}}}\).

Gọi \(P\) là diện tích xung quanh cộng với diện tích một đáy bể của hình hộp chữ nhật.

Nguyên vật liệu ít nhất khi \(P\) nhỏ nhất.

\(P = 2hx + 2.h.3x + 3{x^2} = 2.\frac{6}{{{x^2}}}.x + 2.\frac{6}{{{x^2}}}.3x + 3{x^2} = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}.\)

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{48}}{x} + 3{x^2}\), \(\left( {x > 0} \right)\).

Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

và \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x\),\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 48}}{{{x^2}}} + 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2\).

Suy ra vật liệu ít nhất khi \(h = \frac{6}{{{x^2}}} = \frac{6}{4} = 1,5\left( {\rm{m}} \right)\).

Trả lời: 2024

Phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 3mx\)\( \Leftrightarrow 3m = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x}\) (1) (Do \(x = 0\)không là nghiệm của phương trình).

Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{x} = {x^2} - 3 + \frac{2}{x}\); \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Khi đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m < 0\).

Mà \(m\) nguyên và \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) nên có \(2024\) giá trị thỏa mãn.

Ta có: \(DN = \frac{1}{3}DC' \Leftrightarrow NC' = 2ND \Rightarrow \overrightarrow {NC'} = - 2\overrightarrow {ND} \).

Suy ra điểm N chia đoạn thẳng \[{\rm{D}}C'\] theo tỉ số \(k = - 2\). Do đó \(\overrightarrow {BN} = \frac{{\overrightarrow {BC'} + 2\overrightarrow {BD} }}{3}\) .

hay \(\overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC'} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BB'} \).

Vậy \(x + y + z = 2\).

Trả lời: 1595

Vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \(C(x;y;z)\).

Vì hướng của máy bay không đổi nên \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ \(A\) đến \(B\) gấp đôi thời gian bay từ \(B\) đến \(C\) nên \(AB = 2BC\).

Do đó \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{{940 - 800}}{2};\frac{{550 - 500}}{2};\frac{{9 - 7}}{2}} \right) = \left( {70;25;1} \right)\).

Mặt khác, \(\overrightarrow {BC} = (x - 940;y - 550;z - 9)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 940 = 70}\\{y - 550 = 25}\\{z - 9 = 1}\end{array}} \right.\)

Từ đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1010}\\{y = 575}\\{z = 10}\end{array}} \right. \Rightarrow x + y + z = 1595\).