Ta có : \(I\) là trung điểm của  \(AC'\) suy ra tọa độ điểm \(I\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}; - 2} \right)\).

Đáp án đúng là: A                 

Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}\).

Xét \(\Delta SBA\) vuông tại \(B\) ta có: \[\tan \left( {\widehat {SAB}} \right) = \frac{{SB}}{{AB}}\]\[ = \sqrt 3 \] . Suy ra: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ \).

Đáp án đúng là: C                

Gọi \(C\left( {0;0;c} \right) \in Oz\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;c} \right)\).

Để \(AB \bot BC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow - 1 + 2c = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B                

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:\(R = 250 - 0 = 250\) ( ngày).

Đáp án đúng là: D                

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của phương sai.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Ta có \(g'\left( x \right) = 2 - 3f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\), suy ra hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

Mà \(0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow 0 \le {\sin ^2}x < \frac{3}{2},\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) > f\left( {\frac{3}{2}} \right)\).

d) Ta có \(y' = {\left( {2 - 3x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {2 - 3x} \right) = - 3f'\left( {2 - 3x} \right)\).

Hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến \(y' = - 3f'\left( {2 - 3x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {2 - 3x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3x < 0\\2 - 3x > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < 0\end{array} \right.\). Suy ra hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m\).

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;m} \right)\) và \(\left( {m; + \infty } \right)\).

Vậy khi \(m = 1\) hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Bảng biến thiên

Với \(m = 1\)  thì giá trị lớn nhất của hàm số  \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\).

Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m = 2,m = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = - 3\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;3;0} \right)\).

b) Vì \(N\) là trung điểm của \(ME\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{2 + {x_E}}}{2}\\1 = \frac{{3 + {y_E}}}{2}\\1 = \frac{{ - 1 + {z_E}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 1\\{z_E} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( { - 4; - 1;3} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right);\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right)\).

\(\Delta MNP\) vuông tại \(N\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = 0\)\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

d) Gọi \(J\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {JN} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) - \left( {1 - y} \right) = 0\\3\left( { - 1 - z} \right) - \left( {1 - z} \right) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(J\left( {\frac{7}{2};4; - 2} \right)\).

Khi đó \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IJ} + 3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {IJ} - \overrightarrow {JN} } \right| = \left| {2\overrightarrow {IJ} } \right| = 2IJ\).

\(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(I\) là hình chiếu của \(J\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Leftrightarrow I\left( {\frac{7}{2};4;0} \right)\).

Vậy \(a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0\). Suy ra \(2a + b + c = 11\).

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Khoảng biến thiên về số tháng đầu từ vào lĩnh vực A và B ở mẫu số liệu trên bằng nhau và bằng \(40 - 15 = 25\).

b)Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là

\[\overline {{x_A}} = \frac{{5 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 8 \cdot 27,5 + 8 \cdot 32,5 + 9 \cdot 37,5}}{{40}} = 28,25\].

Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào lĩnh vực B là

\[\overline {{x_B}} = \frac{{6 \cdot 17,5 + 8 \cdot 22,5 + 9 \cdot 27,5 + 8 \cdot 32,5 + 9 \cdot 37,5}}{{40}} = 28,25\].

c) Phương sai của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là

\[s_A^2 = \frac{1}{{40}}\left( {5 \cdot {{17,5}^2} + 10 \cdot {{22,5}^2} + 8 \cdot {{27,5}^2} + 8 \cdot {{32,5}^2} + 9 \cdot {{37,5}^2}} \right) - {28,25^2} = 45,6875\].

d) Độ lệch chuẩn của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A là

\[{s_A} = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {5 \cdot {{17,5}^2} + 10 \cdot {{22,5}^2} + 8 \cdot {{27,5}^2} + 8 \cdot {{32,5}^2} + 9 \cdot {{37,5}^2}} \right) - {{28,25}^2}} = \frac{{\sqrt {731} }}{4}\].

Độ lệch chuẩn của số tiền thu được khi đầu tư vào lĩnh vực B là

\[{s_B} = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left( {6 \cdot {{17,5}^2} + 8 \cdot {{22,5}^2} + 9 \cdot {{27,5}^2} + 8 \cdot {{32,5}^2} + 9 \cdot {{37,5}^2}} \right) - {{28,25}^2}} = \frac{{\sqrt {751} }}{4}\].

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Do đó, anh Bình đầu tư vào lĩnh vực B “rủi ro” hơn lĩnh vực A.

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x - \sqrt {x + 1} \)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{{2\sqrt {x + 1} }}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1;f\left( 3 \right) = - \frac{1}{2}\) và hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Vậy \(M = - \frac{1}{2};m = - 1\) \( \Rightarrow S = 2M - m = 2\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) + 1 = 0\).

Trả lời: 12

Khi \(x = 50\) thì \(C\left( {50} \right) = \frac{{12 \cdot 50}}{{100 - 50}} = 12\) (nghìn đô).

Vậy chi phí để loại bỏ 50% chất gây ô nhiên là 12 nghìn đô.

Trả lời: 2,5

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là \(v - 5\) (km/h).

Thời gian để cá vượt khoảng cách 100 km là \(t = \frac{{100}}{{v - 5}}\left( {v > 5} \right)\).

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 100 km là \(E\left( v \right) = c \cdot {v^3} \cdot \frac{{100}}{{v - 5}} = 100c \cdot \frac{{{v^3}}}{{v - 5}}\).

Xét hàm số \(y = E\left( v \right)\) ta có \(E'\left( v \right) = 100c \cdot \frac{{3{v^2}\left( {v - 5} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}} = 100c \cdot \frac{{{v^2}\left( {2v - 15} \right)}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}}\).

Có \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 7,5\) (do \(v > 5\)). Ta có bảng biến thiên

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {5;7,5} \right)\) thì năng lượng tiêu hoa của cá giảm. Khi đó giá trị lớn nhất của \(b - a = 2,5\).

Trả lời: 9

Ta có \(M \in \left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)\) với \({x_0} > - 1\).

Ta có \(I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2\).

Đặt \(t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0\) thì khi đó \(I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}\).

Xét hàm số \(y = 2t + 2 + \frac{1}{t}\) có \(y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Để thuyền thu được sóng tốt nhất \( \Leftrightarrow IM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1\).

Vậy \(n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9\).

Ta có \(\vec F = m\vec a\), suy ra \(\left| {\vec F\left| { = m} \right|\vec a} \right| = 0,5 \cdot 50 = 25\left( {{\rm{\;N}}} \right)\).

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng \(0,5{\rm{\;kg}}\) một gia tốc \(50{\rm{\;m}}/{{\rm{s}}^2}\) thì cần một lực đá có độ lớn là \(25{\rm{\;N}}\).

Trả lời: 12

Ta có \(C'(6;10;4)\), \(A'(0;0;4)\).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là trung điểm của \(A'C'\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{6 + 0}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{10 + 0}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ của điểm treo quạt \(I(3;5;4)\)suy ra \(a + b + c = 12\).