Đáp án đúng là: A

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k \).

Đáp án đúng là: B

Vì \(G\) là trọng tâm của tứ diện nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\).

Lại có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + 0.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 4\).

Đáp án đúng là: D

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 175 – 160 = 15.

Đáp án đúng là: A

Công thức trên để tính phương sai.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3;7} \right)\).

b) \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = - 18\) khi \(x = 7\).

c) \( - 17 = f\left( 1 \right) < f\left( 3 \right) = - 13\).

d) Hàm số không có giá trị lớn nhất.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a)  Có \(y' = 3{x^2} - 3\).

\[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y\left( { - 1} \right) = 3\\y\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right.\].

Ta có bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên ta có trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) hàm số có giá trị lớn nhất là 3 khi \(x = - 1\).

c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) như hình

d) Ta có \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {B,AC} \right).AC = \frac{1}{2}.2.1 = 1\).

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 3 + \left( { - 5} \right)}}{2} = - 4\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{4 + 6}}{2} = 5\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;5;2} \right)\].

b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right)\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 10 - {x_D};17 - {y_D}; - 7 - {z_D}} \right)\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10 - {x_D} = - 2\\17 - {y_D} = 2\\ - 7 - {z_D} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = - 8\\{y_D} = 15\\{z_D} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 8;15; - 7} \right)\).

\(\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;11; - 9} \right)\). Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = - 2.\left( { - 5} \right) + 2.11 + 0.\left( { - 9} \right) = 32\).

d) Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABD.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {DH} = k\overrightarrow {DB} \end{array} \right.\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b - 4;c - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 3;9; - 9} \right)\); \(\overrightarrow {DH} = \left( {a + 8;b - 15;c + 7} \right)\), \(\overrightarrow {DB} = \left( {3; - 9;9} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {DH} = k\overrightarrow {DB} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {a + 3} \right) + 9\left( {b - 4} \right) - 9\left( {c - 2} \right) = 0\\a + 8 = 3k\\b - 15 = - 9k\\c + 7 = 9k\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 9b - 9c = 27\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3\left( {3k - 8} \right) + 9\left( { - 9k + 15} \right) - 9\left( {9k - 7} \right) = 27\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 171k = - 195\\a = 3k - 8\\b = - 9k + 15\\c = 9k - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{65}}{{57}}\\a = - \frac{{87}}{{19}}\\b = \frac{{90}}{{19}}\\c = \frac{{62}}{{19}}\end{array} \right.\). Vậy \(H\left( { - \frac{{87}}{{19}};\frac{{90}}{{19}};\frac{{62}}{{19}}} \right)\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu nhà đầu tư vào lĩnh vực A là 30 – 5 = 25.

b) Cỡ mẫu là \({n_1} = 2 + 4 + 7 + 5 + 3 = 21\).

Số trung bình \(\overline {{x_1}} = \frac{{7,5.2 + 12,5.4 + 17,5.7 + 22,5.5 + 27,5.3}}{{21}} = \frac{{255}}{{14}}\).

Phương sai \(s_1^2 = \frac{{{{7,5}^2}.2 + {{12,5}^2}.4 + {{17,5}^2}.7 + {{22,5}^2}.5 + {{27,5}^2}.3}}{{21}} - {\left( {\frac{{255}}{{14}}} \right)^2} = \frac{{5000}}{{147}}\).

Suy ra \({s_1} = \sqrt {\frac{{5000}}{{147}}} \approx 5,83\).

c) Cỡ mẫu là \({n_2} = 5 + 4 + 6 + 2 + 4 = 21\)

Số trung bình \(\overline {{x_2}} = \frac{{7,5.5 + 12,5.4 + 17,5.6 + 22,5.2 + 27,5.4}}{{21}} = \frac{{695}}{{42}}\).

\(s_2^2 = \frac{{{{7,5}^2}.5 + {{12,5}^2}.4 + {{17,5}^2}.6 + {{22,5}^2}.2 + {{27,5}^2}.4}}{{21}} - {\left( {\frac{{695}}{{42}}} \right)^2} = \frac{{21650}}{{441}}\).

Suy ra \({s_2} = \sqrt {\frac{{21650}}{{441}}} \approx 7,01\).

d) Ta có \({s_1} < {s_2}\).

Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực B có xu hướng phân tán rộng hơn so với tiền lãi của các nhà đầu tư trong lĩnh vực A.

Trả lời: 36

Ta có \(v = s' = - {t^2} + 12t\); \(a = v' = - 2t + 12\); \(v' = 0 \Leftrightarrow t = 6\).

Ta có \(v(0) = 0;v\left( 6 \right) = 36;v\left( 9 \right) = 27\).

Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 36 m/s.

Trả lời: 6

Xét \({f^2}\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\;\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 1\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Phương trình (1) có nghiệm đơn \(x = - 2\) và nghiệm kép \(x = 1\).

Phương trình (2) có 3 nghiệm a, b, c khác các nghiệm phương trình thứ nhất.

Như vậy \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{k{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 1}}{{k\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right)}}\).

Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \frac{{{x^2} - 1}}{{{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)}} = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy có tất cả 6 đường tiệm cận.

Trả lời: 59

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là \[x\,\left( m \right)\] suy ra chiều dài của hình chữ nhật là \[2x\]. Gọi \[h\] là chiều cao của bể ta có \[V = Sh = 2{x^2}.h = 200 \Rightarrow h = \frac{{100}}{{{x^2}}}.\]

Diện tích của bể là \[S = 2h.x + 2.2hx + 2{x^2} = 2{x^2} + 6hx = 2{x^2} + 6.\frac{{100}}{{{x^2}}}.x = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}\]

\[S' = 4x - \frac{{600}}{{{x^2}}}\]

\[S' = 0 \Leftrightarrow 4x = \frac{{600}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}\].

Suy ra chi phí thấp nhất để xây bể là \[S\left( {\sqrt[3]{{150}}} \right).350000 \approx 59\] triệu đồng.

Trả lời: −2

Ta có \(f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)\) và \(f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)\).

Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm Û \(f'\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow 2 + m{e^{ - t}} \ge 0,\forall t \in \left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow m{e^{ - t}} \ge - 2,\forall t \in \left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^t},\forall t \in \left[ {0;10} \right]\)\( \Leftrightarrow m \ge - 2{e^0} = - 2,\forall t \in \left[ {0;10} \right]\) (do hàm số \(y = - 2{e^t}\) nghịch biến trên \(\left[ {0;10} \right]\)).

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là −2.

Trả lời: 30

Gọi O là tâm của hình vuông \(ABCD\).

Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} \)\( \Rightarrow \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right|\).

Trọng lượng của vật nặng là \(P = mg = 3.10 = 30\)(N). Suy ra \(4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30 \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}\).

Lại có tam giác \(ASC\) vuông cân tại \(S\) nên \(SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30.\)

Trả lời: −8

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - x - 2;2} \right)\); \(\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3;y + 1} \right)\).

Để \(A,B,C\) thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = k.4\\ - x - 2 = k.\left( { - 3} \right)\\2 = k\left( {y + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 5\\y = - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(x + y = - 5 - 3 = - 8\).