Đề kiểm tra Toán 9 Kết nối tri thức Chương 4 có đáp án - Đề 1
11 câu hỏi
Phần 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho góc nhọn \[\alpha .\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\[0 < \sin \alpha < 1\,;\,\,0 < \cos \alpha < 1.\]
\[ - 1 < \sin \alpha < 1\,;\,\, - 1 < \cos \alpha < 1.\]
\[ - 1 < \sin \alpha < 0\,;\,\, - 1 < \cos \alpha < 0.\]
\[ - 1 \le \sin \alpha < 0\,;\,\, - 1 \le \cos \alpha < 0.\]
Chọn A
Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, ta có các tỉ số lượng giác của góc nhọn \[\alpha \] luôn dương và \[\sin \alpha < 1\,;\,\,\cos \alpha < 1.\]
Do đó \[0 < \sin \alpha < 1\,;\,\,0 < \cos \alpha < 1.\]
Một khúc sông rộng khoảng \[250\] m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng \[320\] m mới sang được bờ bên kia. Giả sử dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc \[\alpha \] (hình vẽ). 
sin.
côsin.
tang.
côtang.
Chọn B
Theo đề bài, ta có độ dài cạnh góc vuông \[AB = 250\] (m) và độ dài cạnh huyền \[BC = 320\] (m).
Mà cạnh góc vuông \[AB\] là cạnh kề của góc nhọn \[\alpha \].
Do đó để tính giá trị của \[\alpha \], cách đơn giản nhất là ta nên sử dụng tỉ số giữa cạnh kề \[AB\] và cạnh huyền \[BC\] của góc nhọn \[\alpha \]. Tức là sử dụng côsin của góc nhọn \[\alpha \].
Cho tam giác \[DEF\] vuông tại \[D\] có \[DE = \sqrt 2 {\rm{\;cm}},\,\,EF = \sqrt {10} {\rm{\;cm}}.\] Tỉ số lượng giác \[\cot E\] là
\[\cot E = \frac{1}{2}.\]
\[\cot E = 2.\]
\[\cot E = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
\[\cot E = \sqrt 5 .\]
Chọn A
![Cho tam giác \[DEF\] vuông tại \[D\] có \[DE = \sqrt 2 {\rm{\;cm}},\,\,EF = \sqrt {10} {\rm{\;cm}}.\] Tỉ số lượng giác \[\cot E\] là A. \[\cot E = \frac{1}{2}.\] B. \[\cot E = 2.\] C. \[\cot E = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\] D. \[\cot E = \sqrt 5 .\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/60-1761200606.png)
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[DEF\] vuông tại \[D\], ta được:
\[D{F^2} = E{F^2} - D{E^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 8.\] Suy ra \[DF = 2\sqrt 2 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vì tam giác \[DEF\] vuông tại \[D\] nên \[\cot E = \frac{{DE}}{{DF}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}.\]
Một cái compa bằng nhôm của giáo viên dùng để vẽ đường tròn có hình dạng tam giác ABC cân tại A như hình vẽ và được mô phỏng lại ở hình bên. Biết chiều dài thanh compa là \(AB = 40\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Để vẽ đường tròn có đường kính là \[25{\rm{ cm}}\] thì độ mở của hai thanh compa là \[BC = 25\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Hỏi số đo góc \[ABC\] tạo bởi thanh compa là bao nhiêu? (kết quả số đo góc làm tròn đến phút)
\(34^\circ 12'.\)
\[26^\circ 32'.\]
\(36^\circ 24'.\)
\(24^\circ 26'.\)
Chọn C
Ta có: \(HB = \frac{{BC}}{2} = \frac{{25}}{2} = 12,5\;\,({\rm{cm)}}{\rm{.}}\)
Xét vuông tại \(H\), ta có:
\(\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{12,5}}{{40}}\) hay \(\widehat {BAH} = 18^\circ 12'\) nên \(\widehat {BAC} = 2 \cdot 18^\circ 12' = 36^\circ 24'\).
Vậy góc tạo bởi hai thanh compa là \(36^\circ 24'.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 7\,\,{\rm{cm}},\,\,AB = 5\,\,{\rm{cm}}.\) Tính \(BC,\,\,\widehat C.\)
\(BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 35^\circ 32'.\)
\(BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 36^\circ 32'.\)
\(BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 35^\circ 33'.\)
\(BC = \sqrt {75} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 35^\circ 32'.\)
Chọn A
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:
• \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74\) nên \(BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\).
• \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7}\) nên \(\widehat C \approx 35^\circ 32'\).
Vậy \(BC = \sqrt {74} \,\,{\rm{cm}}\,;\,\,\widehat C \approx 35^\circ 32'.\)
Trên một cái thang dài \[3,5\,\,{\rm{m}}\] người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \[6{\rm{0}}^\circ \] đến \[7{\rm{0}}^\circ \]”. Gọi \[x\,\,({\rm{m}})\] (với \[x > 0\]) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường để đảm bảo an toàn khi sử dụng chiếc thang này, tìm điều kiện của \[x\]. Trong các kết quả sau, kết quả nào đúng? (làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân).
\[1,20\, < x < 1,75\].
\[1,20\, \le x \le 1,75\].
\[x = 1,20\] hoặc \[x = 1,75\].
\[1,20 \le x < 1,75\].
Chọn B
Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ.
Khi thang tạo với mặt đất một góc có độ lớn \[6{\rm{0}}^\circ \] và \[7{\rm{0}}^\circ \] thì khoảng cách từ chân thang đến chân tường lần lượt là \[AH\] và \[A'H'\].
• Tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có \[AH = AB \cdot \cos A = 3,5\cos 60^\circ = 1,75\,\,({\rm{m}})\].
• Tam giác \[A'B'H\] vuông tại \[H\] có \[A'H = A'B' \cdot \cos A' = 3,5\cos 70^\circ \approx 1,20\,\,({\rm{m}})\].
Do đó \[1,20\, \le x \le 1,75\].
Phần 2. Trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình vẽ, biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3AC.\) Trên \(AB\) lấy các điểm \(D,\,\,E\) sao cho \(AD = DE = EB.\)
a) \[\widehat {ACD} = 30^\circ .\]
b) \(CD = AC\sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}.\)
c) \(\widehat {AEC} > 30^\circ .\)
d) \(\tan \widehat {AEC} + \tan \widehat {ABC} = \frac{5}{6}.\)
a) Sai. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \[\widehat {ACD} = 45^\circ .\]
b) Đúng. Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta có: \(CD = \frac{{AC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{AC}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = AC\sqrt 2 \,\,{\rm{(cm)}}.\)
c) Sai. Ta có: \(\tan \widehat {AEC} = \frac{1}{2}\) nên \(\widehat {AEC} \approx 27^\circ < 30^\circ .\)
d) Đúng. Ta có: \(\tan \widehat {AEC} + \tan \widehat {ABC} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.\)
Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn Việt có độ dài \[100\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạo với phương ngang một góc \[{\rm{42}}^\circ \] còn sợi dây diều của bạn Nam có độ dài \[96\,\,{\rm{m}}\] và dây diều tạo với phương ngang một góc \[{\rm{45}}^\circ \]. Cho biết tầm mắt của cả hai bạn đều là \[1,55\,\,{\rm{m}}\] và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng (tham khảo hình vẽ).
a) Diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng \[68,46\,\,{\rm{m}}.\]
b) So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng \[75,25\,\,{\rm{m}}.\]
c) Diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
d) So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[6,79\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Theo bài ra ta có \[MC = NB = 1,55\,\,{\rm{m}}\] và \[M'C' = N'B' = 1,55\,\,{\rm{m}}\].
a) Đúng. Tam giác \[ANM\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AM.\sin M\].
So với mặt đất thì diều của bạn Việt có độ cao là \[AB = AN + NB\].
Do đó \[AB = 100\sin 42^\circ + 1,55 \approx 68,46\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy diều của bạn Việt có độ cao so với mặt đất khoảng \[68,46\,\,{\rm{m}}.\]
b) Sai. Tam giác \[A'N'M'\] vuông tại \[N'\] nên \[A'N' = A'M'.\sin M'\].
So với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao là \[A'B' = A'N' + N'B'\].
Do đó \[A'B' = 96\sin 45^\circ + 1,55 \approx 69,43\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]
Vậy so với mặt đất thì diều của bạn Nam có độ cao khoảng \[69,43\,\,{\rm{m}}.\]
c) Đúng. Vì\[A'B' > AB\], hay diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt.
d) Sai. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn: \[69,43\, - 68,46\,\, = 0,97\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong mỗi câu hỏi, thí sinh viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Một người thợ thiết kế một tầng lửng cho căn phòng của anh ấy. Anh ấy đã hoàn thành bản vẽ và tính toán được chiếc thang phải dài \(4,8\,\;{\rm{m}}\) đặt nghiêng sao cho tạo với mặt sàn một góc \(58^\circ .\) Hỏi độ cao của tầng lửng mà anh thiết kế là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Lời giải
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có:
\(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\sin 58^\circ = \frac{{AB}}{{4,8}}\) nên \(AB = 4,8 \cdot \sin 58^\circ \approx 4\;\,({\rm{m)}}\).
Vậy độ cao của tầng lửng mà anh thiết kế là \[4{\rm{ m}}.\]
Đáp án: 4.
Một cột đèn cao \[7\,\,{\rm{m}}\] có bóng trên mặt đất dài \[4\,\,{\rm{m}},\] gần đó có một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất dài \[80\,\,{\rm{m}}\] (hình vẽ).
![Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/57-1761200288.png)
Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\]
![Hỏi tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao \[2\,\,{\rm{m}}?\] (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/58-1761200319.png)
Giả sử bóng trên mặt đất của cột đèn và tia nắng mặt trời tạo nên một góc nghiêng \[\alpha .\]
Suy ra cùng lúc đó, bóng trên mặt đất của tòa nhà và tia nắng mặt trời cũng tạo nên một góc nghiêng \[\alpha .\]
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\tan \alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{7}{4}\]. (1)
Vì tam giác \[DEF\] vuông tại \[E\] nên \[\tan \alpha = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{80}}\]. (2)
Từ (1), (2), ta thu được \[\frac{{DE}}{{80}} = \frac{7}{4}.\]
Do đó \[DE = \frac{7}{4} \cdot 80 = 140\] (m).
Như vậy, chiều cao của tòa nhà là \[140\,\,{\rm{m}}.\]
Vậy tòa nhà đó cao \[140:2 = 70\] (tầng).
Đáp án: 70.
Để xác định chiều cao \[AH\] của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí \[B\] và \[C\] cách nhau \[475\,\,{\rm{m}}\] trên mặt đất. Tại vị trí \[B\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[34^\circ \]; tại vị trí \[C\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \] (hình vẽ). Biết rằng tầm mắt của người quan sát là \[{\rm{1,6}}\,\,{\rm{m}}\] và giả thiết ba điểm \[H,\,\,B,\,\,C\] thẳng hàng. Tính chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
![núi là \[1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\] Đáp án: 1906. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/62-1761201093.png)
Lời giải
![núi là \[1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\] Đáp án: 1906. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/63-1761201081.png)
Gọi \[D\] và \[E\] lần lượt là điểm đặt mắt khi người quan sát đỉnh núi đứng ở vị trí \[B\] và \[C.\]
Gọi \[I\] là hình chiếu của điểm \[D\] trên \[AH\].
So với mặt đất thì \[BD\] và \[CE\] là phương thẳng đứng; \[HC\] và \[IE\] là phương ngang nên các tứ giác \[IHBD,\,\,IHCE,\,\,DBCE\] là hình chữ nhật.
Do đó \[DE = BC = \,475\,\,{\rm{m}}\]; \[IH = DB = EC = 1,6\,\,{\rm{m}}\].
• Xét \[\Delta AID\] vuông tại \[I\] nên:
\[ID = AI \cdot \,\cot \widehat {ADI} = AI \cdot \,\cot 34^\circ = AI \cdot \tan 56^\circ \] (do \[\cot 34^\circ = \tan 56^\circ \]). \[\left( 1 \right)\]
• Xét \[\Delta AIE\] vuông tại \[I\] nên:
\[IE = AI \cdot \,\cot \widehat {AEI} = AI \cdot \,\cot 30^\circ = AI \cdot \tan 60^\circ \] (do \[\cot 30^\circ = \tan 60^\circ \]). \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[IE - ID = AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right)\]
\[AI\left( {\tan 60^\circ - \tan 56^\circ } \right) = 475\]
\[AI = \frac{{475}}{{\tan 60^\circ - \tan 56^\circ }} \approx 1\,\,903,9\,\,({\rm{m}}).\]
Chiều cao \[AH\] của ngọn núi là:
\[AH = AI + IH \approx 1903,9\, + 1,6\, \approx 1906\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}\]
Vậy chiều cao \[AH\] của ngọn núi là \[1\,\,906\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Đáp án: 1906.
