Đề kiểm tra Toán 11 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án - Đề 2
11 câu hỏi
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}\). Tìm số hạng \({u_5}\).
\({u_5} = \frac{{17}}{{12}}\).
\({u_5} = \frac{7}{4}\).
\({u_5} = \frac{1}{4}\).
\({u_5} = \frac{{71}}{{39}}\).
Ta có \({u_5} = \frac{{2 \cdot {5^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}\). Chọn B.
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
\({u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\sin n,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{1}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right) = {5^n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = {5^{n + 1}} + 1 - \left( {{5^n} + 1} \right) = 4 \cdot {5^n} > 0\).
Do đó \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng. Chọn C.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_2} = 3\) và \({u_4} = 7\). Giá trị của \({u_{15}}\) bằng
31.
35.
29.
27.
Có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3\\{u_4} = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 3\\{u_1} + 3d = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
Khi đó \({u_{15}} = {u_1} + 14d = 1 + 14 \cdot 2 = 29\). Chọn C.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 2\) và \({u_5} = - 162\). Công bội q của cấp số nhân bằng
\(q = 3;q = - 3\).
\(q = - 3\).
\(q = - 2\).
\(q = 3\).
Ta có \({u_5} = {u_1}{q^4}\)\( \Leftrightarrow - 162 = - 2{q^4}\)\( \Leftrightarrow {q^4} = 81\)\( \Leftrightarrow q = \pm 3\). Chọn A.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_4} + {u_5} = - 3\\3{u_5} - 2{u_7} = 5\end{array} \right.\). Tìm \({u_3}\).
\({u_3} = - 2\).
\({u_3} = 5\).
\({u_3} = 3\).
\({u_3} = 1\).
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_4} + {u_5} = - 3\\3{u_5} - 2{u_7} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_3} + 3d = - 3\\{u_3} - 2d = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 1\\d = - 2\end{array} \right.\). Chọn D.
Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 5\) và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 1 + 4n\).
\({u_n} = 3 + 2n\).
\({u_n} = 2 + 3n\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{S_{50}} = 5150\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{50}}{2}\left[ {2{u_1} + 49d} \right] = 5150\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{50}}{2}\left[ {10 + 49d} \right] = 5150\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right.\).
Công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n + 1\). Chọn B.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) \({u_4} < 100\).
b) \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\).
c) Dãy số tăng và bị chặn.
d) \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = \frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}\).
a) Ta có \({u_4} = {3^4} = 81 < 100\).
b) \({u_1} = 3;{u_5} = 243;{u_9} = 19683\).
Có \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = \frac{{3 + 19683}}{2} = 9843 \ne {u_5}\).
c) Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3 > 1\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Ta có \({3^n} \ge 3,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
d) \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{2024}} = 1 + 3 + {3^2} + ... + {3^{2024}} = \frac{{{3^{2025}} - 1}}{2} \ne \frac{{{u_{2024}} - 1}}{2}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là số dương và các số hạng thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_3} = 36\end{array} \right.\).
Công bội của cấp số nhân \(q = 3\).
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = 9 \cdot {2^{n - 1}}\).
Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_3} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\{u_1}{q^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\9{q^2} = 36\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\) (vì \(q > 0\)).
b) \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 9 \cdot {2^{n - 1}}\).
c) Ta có \({u_6} = 9 \cdot {2^5} = 288\).
d) \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{9\left( {1 - {2^9}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Người ta thiết kế một tòa tháp có 9 tầng, tầng thứ nhất có diện tích 1000 m2, mỗi tầng tiếp theo có diện tích bằng \(\frac{2}{3}\) tầng trước đó. Tính tổng diện tích các tầng của tháp (làm tròn đến hàng đơn vị của m2).
Diện tích các tầng của tháp lập thành cấp số nhân với \({u_1} = 1000\) và \(q = \frac{2}{3}\).
Khi đó tổng diện tích các tầng của tháp là \({S_9} = \frac{{1000\left[ {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^9}} \right]}}{{1 - \frac{2}{3}}} \approx 2922\)m2.
Trả lời: 2922.
Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau nhiều hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?
Gọi \({u_n}\) là số ghế ở dãy thứ n.
Số ghế ở mỗi dãy lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 25;d = 3\).
Số ghế trong rạp hát là \({S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + 29d} \right)\) \( = 15\left( {2 \cdot 25 + 29 \cdot 3} \right) = 2055\) ghế.
Trả lời: 2055.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 2;{u_3} = 6\). Hỏi 2022 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Ta có \({u_3} = {u_1} + 2d \Rightarrow 6 = - 2 + 2d \Rightarrow d = 4\).
Số hạng tổng quát là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 6\).
Ta có \(4n - 6 = 2022 \Leftrightarrow 4n = 2028 \Leftrightarrow n = 507\).
Vậy 2022 là số hạng thứ 507 của cấp số cộng.
Trả lời: 507.
