Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

f) Vì \(24\,\, \vdots \,\,x,\,\,36\,\, \vdots \,\,x,\,\,160\,\, \vdots \,\,x\) và \[x\] là lớn nhất nên \(x = \) ƯCLN\(\left( {24,\,\,36,\,\,160} \right)\).

Ta có \(24 = {2^3} \cdot 3,\,\,\,\,\,36 = {2^2} \cdot {3^2};\,\,\,\,\,160 = {2^5} \cdot 5.\)

Do đó ƯCLN\(\left( {24,\,\,36,\,\,160} \right) = {2^2} = 4.\)

Vậy \(x = 4.\)

g) Vì \(x\,\, \vdots \,\,4,\,\,x\,\, \vdots \,\,6\) nên \(x \in {\rm{BC}}\left( {4,\,\,6} \right)\).

Ta có: \(4 = {2^2};\,\,\,\,\,6 = 2 \cdot 3\).

Do đó \({\rm{BCNN}}\left( {4,\,\,6} \right) = {2^2} \cdot 3 = 12\) nên \({\rm{BC}}\left( {4,\,\,6} \right) = \left\{ {0;\,\,12;\,\,24;\,\,36;\,\,48;\,\,60;\,\,72;\,\,\,...} \right\}\)

Mà \[0 < x < 50\] nên \(x \in \left\{ {12;\,\,24;\,\,36;\,\,48} \right\}\).

h) Vì \(x\,\, \vdots \,\,{\rm{12,}}\,\,x\,\, \vdots \,\,{\rm{21,}}\,\,x\,\, \vdots \,\,{\rm{28}}\) nên \(x \in {\rm{BC}}\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right)\).

Ta có: \(12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,21 = 3 \cdot 7;\,\,\,\,\,28 = {2^2} \cdot 7.\)

Do đó \(BCNN\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 7 = 84\).

Suy ra \({\rm{BC}}\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right) = {\rm{B}}\left( {84} \right) = \left\{ {0;\,\,84;\,\,168;\,\,252;\,\,336;\,\,...} \right\}\).

Mà \(150 < x < 200\) nên \(x = \,168\).

 Vậy \(x = \,168\).

a) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(n\,\, \vdots \,\,n\) nên để \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,n\) thì \(3\,\, \vdots \,\,n\) hay \(n \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\)

Từ đó suy ra \(n \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\)

b) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(7n\,\, \vdots \,\,n\) nên để \(\left( {7n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,n\) thì \(8\,\, \vdots \,\,n\) hay \(n \in \)Ư\(\left( 8 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

Từ đó suy ra \(n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.\)

c) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(12n\,\, \vdots \,\,n\) nên để \(\left( {35 - 12n} \right)\,\, \vdots \,\,n\) thì \(35\,\, \vdots \,\,n\) hay \(n \in \)Ư\(\left( {35} \right) = \left\{ {1;\,\,5;\,\,7;\,\,35} \right\}\)

Từ đó suy ra: \[n \in \left\{ {1;\,\,5;\,\,7;\,\,35} \right\}\].

Mà \(n < 3\) nên \(n = 1\). Vậy \(n = 1\).

d) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right)\) nên để \(\left( {n + 8} \right) \vdots \left( {n + 3} \right)\) hay \(\left( {n + 3 + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right)\) thì \(5\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right),\) tức là \(\left( {n + 3} \right) \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\,5} \right\}\).

Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(n + 3 \ge 3\), do đó \(n + 3 = 5,\) suy ra \(n = 2.\)

Vậy \(n = 2\).

e) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) suy ra \(5\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Nên để \(\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) thì \(2\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Suy ra \(\left[ {5\left( {9 - 2n} \right) + 2\left( {5n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) hay \(49\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Tức là \(\left( {9 - 2n} \right) \in \)Ư\(\left( {49} \right) = \left\{ {1;\,\,7;\,\,49} \right\}\).

Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(9 - 2n \le 9\), do đó \(9 - 2n \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}\).

⦁ Nếu \(9 - 2n = 1,\) ta có \(2n = 8,\) suy ra \(n = 4.\)

Thử lại: với \(n = 4\) ta có \(5n + 2 = 5 \cdot 4 + 2 = 22;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 1\) và \(22\,\, \vdots \,\,1\) nên \(n = 4\) thỏa mãn.

⦁ Nếu \(9 - 2n = 7,\) ta có \(2n = 2,\) suy ra \(n = 1.\)

Thử lại: với \(n = 1\) ta có \(5n + 2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 1 = 7\) và \(7\,\, \vdots \,\,7\) nên \(n = 1\) thỏa mãn.

Vậy \(n \in \left\{ {1;\,\,4} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(a\) là số chia cho 15 được dư là 9. Khi đó \(a = 15k + 9\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).

⦁ Ta thấy \(15\,\, \vdots \,\,3\) nên \(15k\,\, \vdots \,\,3\), lại có \(9\,\, \vdots \,\,3\) suy ra \(\left( {15k + 9} \right)\,\, \vdots \,\,3,\) tức là \(a\,\, \vdots \,\,3.\)

⦁ Ta thấy \[15k\,\, \vdots \,\,5\] và $9\cancel{⋮}5$ nên $\left(15k+9\right)\cancel{⋮}5$.

Hướng dẫn giải

Số phần quà được chia có số bánh, lồng đèn và hộp sữa bằng nhau nên phải là ước của cả \(40,\,\,60\) và \(80\).

Số phần quà được chia phải là nhiều nhất có thể.

Vì vậy, số phần quà nhiều nhất chia được là ước chung lớn nhất của \(40,\,\,60\) và \(80\).

Ta có: \(40 = {2^3} \cdot 5;\,\,\,\,\,60 = {2^2} \cdot 3 \cdot 5;\,\,\,\,\,80 = {2^4} \cdot 5.\)

Do đó ƯCLN\(\left( {40,\,\,60,\,\,80} \right) = {2^2} \cdot 5 = 20\).

Vậy có thể chia được nhiều nhất là \(20\) phần quà.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là tổng số học sinh khối \(6\) và \(7\) của trường đó \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,250 < x < 300} \right)\).

Vì khi xếp hàng \(8\), hàng \(10\), hàng \(12\) thì không thừa bạn nào nên \(x \in {\rm{BC}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right).\)

Ta có: \(8 = {2^3};\,\,\,\,\,10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3.\)

Do đó \({\rm{BCNN}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\)

Suy ra \({\rm{BC}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right) = {\rm{B}}\left( {120} \right) = \left\{ {0;\,\,120;\,\,240;\,\,360;\,\,...} \right\}\).

Vì số học sinh Khối \(6\) và \(7\) của một trường khoảng từ \(250\) đến \(300\) em nên tổng số học sinh hai khối 6 và 7 của trường đó là \(240\) học sinh.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông lớn nhất là \(x\) (cm) \(\left( {0 < x < 90} \right)\).

Để cắt tờ bìa hình chữ nhật thành những hình vuông bằng nhau thì \(120\,\, \vdots \,\,x\) và \(90\,\, \vdots \,\,x\).

Do đó \(x = \)ƯCLN\(\left( {120,\,\,90} \right)\)

Ta có: \(120 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5\) và \[90 = 2 \cdot {3^2} \cdot 5\].

Suy ra \(x = \)ƯCLN\(\left( {120,90} \right) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là \(30\,\,{\rm{cm}}\).

Diện tích của tờ bìa hình chữ nhật ban đầu là: \(120 \cdot 90 = 10\,\,800\) (cm²).

Diện tích tờ bìa mỗi hình vuông cắt được là: \[30 \cdot 30 = 900\] (cm²).

Số tờ bìa hình vuông cắt được là: \(10\,\,800:900 = 12\) (tờ).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số đội viên của đội \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,\,100 < x < 150} \right)\).

Khi xếp hàng 2 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 2 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\).

Khi xếp hàng 3 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 3 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\).

Khi xếp hàng 4 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 4 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\).

Khi xếp hàng 5 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 5 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,5\).

Do đó \[x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right)\].

Ta có: \[2 = 2;{\rm{ }}3 = 3;{\rm{ }}4 = {2^2};{\rm{ }}5 = 5\].

Do đó \({\rm{BCNN}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\) .

Suy ra \(x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,...} \right\}\).

Vì \[100 < x < 150\] nên \[99 < x-1 < 149\].

Do đó \[x-1 = 120\] nên \[x = 121\].

Vậy đội có 121 đội viên.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của trường THCS đó \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,100 \le x < 250} \right)\).

Khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em nên \(x\) chia 10 dư 8, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,10\).

Khi xếp hàng 12 em thì thừa 10 em nên \(x\) chia 12 dư 10, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,12\).

Khi xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nên \(x\) chia 15 dư 13, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,15\).

Từ đó suy ra \(x \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)\).

Ta có: \(10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.\)

Do đó \[{\rm{BCNN}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\].

Khi đó \[x + 2 \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {\rm{B}}\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,360;\,\,...} \right\}\].

Mà \[100 \le x < 250\] nên \(102 \le x + 2 \le 252\), suy ra \(x + 2 \in \left\{ {120;\,\,180;\,\,240} \right\}\).

Do đó \(x \in \left\{ {118;\,\,178;\,\,238} \right\}\).

Mặt khác khi số học sinh của trường xếp hàng 17 thì vừa đủ nên \(x\,\, \vdots \,\,17\).

Xét 3 trường hợp ở trên ta có \(x = 238\) thỏa mãn \(x\,\, \vdots \,\,17\).

Vậy trường THCS đó có 238 học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(x\) (khay) là số khay nhiều nhất có thể chia được \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Theo đề bài, ta có: \(294 \vdots x,{\rm{ }}189 \vdots x\) với \(x\) là số lớn nhất nên \(x = \)ƯCLN\(\left( {{\rm{294, 189}}} \right)\).

Ta có: \(294 = 2 \cdot 3 \cdot {7^2}\); \(189 = {3^3} \cdot 7\).

Do đó, \(x = \)ƯCLN\(\left( {294,{\rm{ }}189} \right) = 3 \cdot 7 = 21\).

Vậy bạn Khánh có thể chia được nhiều nhất 21 khay.

b) Số quả táo trong mỗi khay là: \(294:21 = 7\) (quả táo)

Số quả quýt trong mỗi khay là: \(\left( {189:21 - 1} \right):2 = 4\) (quả).