Độ dài cung là \(l = r\alpha = \frac{{5\pi }}{8}\). Chọn C.

\(A = \frac{{{{\tan }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\cot }^2}a - {{\cos }^2}a}}\)\( = \frac{{{{\sin }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}a\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}a}} - 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}a}}{{{{\cot }^2}a}}\)\( = {\tan ^6}a\). Chọn B.

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha > 0\).

b) \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4} > 0\).

c) \({\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2}\)\( = {\sin ^2}\alpha + 4\sin \alpha .\cos \alpha + 4{\cos ^2}\alpha \).

Có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + \frac{{15}}{{16}} = 1\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{4}\) vì \(\sin \alpha > 0\).

Suy ra \({\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{{16}} + 4.\frac{1}{4}.\left( {\frac{{ - \sqrt {15} }}{4}} \right) + 4.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{61 - 4\sqrt {15} }}{{16}}\).

Suy ra \(a = 61;b = - 4\). Do đó \(a + b = 57\).

d) \(B = 2\cos \alpha - 3\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + 5\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)

\( = 2\cos \alpha + 3\cos \alpha - 5\cos \alpha + \tan \alpha \)\( = \tan \alpha \)\( = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng; d) Sai.

a) $\frac{3\mathrm{\pi }}{4} rad = \frac{3\mathrm{\pi }}{4}.{\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)}^{\circ } = {135}^{\circ }$

b) Điểm biểu diễn góc lượng giác α là điểm M trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho góc \(\widehat {AOM} = 135^\circ \).

c) Ta có \( - \frac{{5\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} - 2\pi \). Do đó \[ - \frac{{5\pi }}{4}\] cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc α.

d) Ta có 855° = 135° + 2.360°. Do đó 855° có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc α.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng; d) Đúng.

a) Số đo của góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OM bằng \[\frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

b) Ta có \(\frac{{16\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3} + 2.2\pi \). Suy ra góc lượng giác có số đo \(\frac{{16\pi }}{3}\) có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo là \(\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

c) Ta có \(\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}\) nên khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.

d) Tập hợp các điểm biểu diễn của α là tam giác đều có cạnh bằng \(MN = 2\sin \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \).

Diện tích của đa giác biểu diễn là \(S = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai; d) Sai.

\(A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) + \tan \left( {\pi + \alpha } \right)\)

\( = \sin \alpha - \sin \alpha + \tan \alpha \) \( = \tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - 0,5\).

Trả lời: −0,5.

Trong một giây bánh xe quay được \(\frac{{12}}{5}\) vòng.

Suy ra trong một giây bánh xe quay được góc \(\alpha = \frac{{12}}{5}.2\pi \) (rad) $=\frac{24\mathrm{\pi }}{5}.{\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)}^{°} = 864°$

Do khi bánh xe quay thì tia OV chuyển động cùng chiều với kim đồng hồ nên trong một giây tia OV quét một góc lượng giác −864°.

Trả lời: −864.

1 hải lí có độ dài là: \(\alpha .R = \frac{{1.\pi }}{{60.180}}.6371 \approx 1,85\) km.

Trả lời: 1,85.