53 câu hỏi
\[{u_3} = \frac{8}{3}.\]
\[{u_3} = 2.\]
\[{u_3} = - 2.\]
\[{u_3} = - \frac{8}{3}.\]
Lời giải
Chọn D.
Ta có \({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}\).
Thứ 3.
Thứ 4.
Thứ 5.
Thứ 6.
Lời giải
Chọn C.
Ta có \({u_n} = \frac{2}{{13}} \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{2}{{13}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Leftrightarrow 13n - 13 = 2{n^2} + 2 \Leftrightarrow 2{n^2} - 13n + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\,\left( n \right)\\n = \frac{3}{2}\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\).
\[{u_n} = 3n - 2.\]
\[{u_n} = n + 3.\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
\[{u_n} = 2{n^2} - 1.\]
Lời giải
Chọn C.
Thử từng đáp án với \(n = 1,2,3,4,5\) ta thấy đáp án C đúng.
\({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\({u_n} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Lời giải
Chọn C.
Viết lại dãy số: \[\frac{2}{4},\,\frac{3}{5},\,\frac{4}{6},\,\frac{5}{7},\,...\]
\[ \Rightarrow {u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 3}}\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\].
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Có số hạng \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} + 1\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{n + 2}} = 1 + \frac{3}{{n + 2}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + \frac{3}{{n + 3}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{3}{{n + 3}} - \frac{3}{{n + 2}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy \(({u_n})\)là dãy số giảm
Giải nhanh: Dãy này có dạng \({u_n} = \frac{{an + b}}{{cn + d}}\)
Mẫu \(n + 2 > 0\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(ad - bc = 2 - 5 = - 3 < 0\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
\[{u_n} = \frac{n}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}.\]
\[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}.\]
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\sqrt {{n^2} - 1} .\]
Lời giải
Chọn C.
Ta xét đáp án A \[{u_n} = \frac{n}{{{2^n}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_2} = \frac{2}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = {u_2} \Rightarrow \]Loại A
Ta xét đáp án B \[{u_n} = \frac{n}{{2{n^2} + 1}}. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{3}\\{u_2} = \frac{2}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} > {u_2} \Rightarrow \] Loại B
Ta xét đáp án C \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{3n + 2}}.. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{2}{5} = \frac{{16}}{{40}}\\{u_2} = \frac{5}{8} = \frac{{25}}{{40}}\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} < {u_2} \Rightarrow \]Xét tiếp
Ta xét đáp án D \[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\sqrt {{n^2} - 1} . \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_2} = 4\sqrt 3 \\{u_3} = - 8\sqrt 8 \end{array} \right. \Rightarrow {u_1} < {u_2} > {u_3} \Rightarrow \] Loại D
Có thể dùng Table trong casio để nhập hàm rồi loại trừ với Start 1; End 20; Step 1
Chú ý: Nếu bài này mà giải theo tự luận thì rất dài ta phải xét \({u_{n + 1}} - {u_n}\) của 4 dãy số.
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số là dãy hữu hạn.
Lời giải
Chọn C.
Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 53 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{{3n - 1}}{{n + 1}}\].
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = \sqrt {n + 2} \].
Lời giải
Ta có \[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\]\( < \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} = {u_{n + 1}}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số bị chặn.
Dãy số bị chặn trên.
Dãy số bị chặn dưới.
Không bị chặn
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
\({u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 1}} = \frac{{4(n + 1) + 1}}{{n + 1}} = 4 + \frac{1}{{n + 1}} \le 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Suy ra \(0 < {u_n} \le \frac{9}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Giải nhanh: dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n}\)có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn.
Dãy số tăng, bị chặn.
Dãy số giảm, bị chặn.
Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{34}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng \( \Rightarrow \) dãy bị chặn dưới bởi \({u_1} = - \frac{9}{4}\).
Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}} \Rightarrow - \frac{9}{4} \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1\).
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
2.
4.
1.
Không có.
Lời giải
Chọn C.
Ta có \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Để \({u_n}\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{{n + 1}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) là số nguyên hay \[n = 4\]
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)chỉ có một số hạng nhận giá trị nguyên.
\({u_4} = \frac{5}{9}.\)
\({u_4} = 1.\)
\({u_4} = \frac{2}{3}.\)
\({u_4} = \frac{{14}}{{27}}.\)
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_2} = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1,\,\,{u_3} = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3},\,\,{u_4} = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\).
Tăng, bị chặn.
Giảm, bị chặn.
Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên.
Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn B.
Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: \(1 < {u_n} \le 2,{\rm{ }}\forall n{\rm{ }}\)
Điều này đúng với \(n = 1\), giả sử \(1 < {u_n} < 2\) ta có:
\(1 < {u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2} < 2\) nên ta có đpcm.
Mà \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{1 - {u_n}}}{2} < 0,{\rm{ }}\forall n\).
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm và bị chặn.
\[\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}\].
\[1;1;1;1;1\].
\[ - 8; - 6; - 4; - 2;0\].
\[3;1; - 1; - 2; - 4\].
Lời giải
Chọn D.
Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi.
Đáp án A: Là cấp số cộng với \[{u_1} = \frac{1}{2};d = 1\].
Đáp án B: Là cấp số cộng với \[{u_1} = 1;d = 0\].
Đáp án C: Là cấp số cộng với \[{u_1} = - 8;d = 2\].
Đáp án D: Không là cấp số cộng vì \({u_2} = {u_1} + \left( { - 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { - 1} \right)\).
\[{u_n} = 3{n^2} + 2017\].
\[{u_n} = 3n + 2018\].
\[{u_n} = \,\,{3^n}\].
\[{u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3(n + 1) + 2018 - (3n + 2018) = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3\].
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai \(d = 3\).
\(11\)
\(\frac{9}{2}\).
\(18\).
\(7\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({u_2} = {u_1} + d = 9 + 2 = 11\).
\[9\].
\[11\].
\[12\].
\[10\].
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right)}}{2} = 253\)
\( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = - \frac{{23}}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\).
\[d = 3\].
\[d = 2\].
\[d = - 2\].
\[d = - 3\].
Lời giải
Chọn A.
Ta có \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 2 - 3n + 2 = 3\]
Suy ra \[d = 3\] là công sai của cấp số cộng.
\({u_n} = 1 + 4n\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = 3 + 2n\).
\({u_n} = 2 + 3n\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có: \({S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {2{u_1} + 49d} \right) = 5150\)\( \Rightarrow d = 4\).
Số hạng tổng quát của cấp số cộng bằng \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 4n\).
\({S_{10}} = - 125\).
\({S_{10}} = - 250\).
\({S_{10}} = 200\).
\({S_{10}} = - 200\).
Lời giải
Chọn A.
Gọi \({u_1}\), \(d\) lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.\).
Vậy \({S_{10}} = \frac{{10}}{2}.\left( {2{u_1} + 9d} \right)\)\( = 5.\left[ {2.\left( { - 35} \right) + 9.5} \right]\)\( = - 125\).
\(2008\).
\(2006\).
\(2018\).
\(2007\).
Lời giải
Chọn D.
Ba số \({5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}\); \(\frac{a}{2}\); \({25^x} + {25^{ - x}}\), theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
\(a = \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} \right) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} \right)\)\( \ge 2\sqrt {{5^{x + 1}} \cdot {5^{1 - x}}} + 2\sqrt {{{25}^x} \cdot {{25}^{ - x}}} \)\( = 12\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{5^{x + 1}} = {5^{1 - x}}\\{25^x} = {25^{ - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).
Như vậy nếu xét \(a \in \left[ {0;2018} \right]\) thì ta nhận \(a \in \left[ {12;2018} \right]\). Có \(2007\) số \(a\) thoả đề.
\[3\].
\[4\].
\[5\].
\[6\].
Lời giải
Chọn B.
Giả sử đã giác đã cho có \[n\] cạnh thì chu vi của đa giác là:\[{S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right)n}}{2}\]với \[{u_1}\] là cạnh nhỏ nhất. Suy ra: \[158 = \frac{{\left( {{u_1} + 44} \right)n}}{2}\]\[ \Leftrightarrow 316 = \left( {{u_1} + 44} \right)n\]\[ \Leftrightarrow {2^2}.79 = \left( {{u_1} + 44} \right)n\]
Do đó \[{u_1} + 44\]là ước nguyên dương của \[316 = {2^2}.79\]và đa giác có ít nhất ba cạnh nên
\[\frac{{316}}{3} > {u_1} + 44 > 44\]. Suyra:\[{u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\].
Số cạnh của đa giác đã cho là: \[\frac{{44 - 35}}{3} + 1 = 4\] (cạnh).
\(4095000\) đồng.
\(89000\) đồng.
\(4005000\) đồng.
\(3960000\) đồng.
Lời giải
Chọn C.
* Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\).
* Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
* Tính đến ngày \(30\) tháng \(4\) năm \(2018\) (tính đến ngày thứ \(89\)) tổng số tiền bỏ heo là:
\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right).1000} \right]}}{2} = 45.89.1000 = 4005000\) đồng.
\[77\].
\[79\].
\[76\].
\[78\].
Lời giải
Chọn A.
Gọi số cây ở hàng thứ \[n\] là \[{u_n}\].
Ta có: \[{u_1} = 1\], \[{u_2} = 2\], \[{u_3} = 3\], … và \[S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3003\].
Nhận xét dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = 1\], công sai \[d = 1\].
Khi đó \[S = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\]\[ = 3003\].
Suy ra \[\frac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)1} \right]}}{2} = 3003\]\[ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6006\]\[ \Leftrightarrow {n^2} + n - 6006 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 77\\n = - 78\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow n = 77\] (vì \[n \in \mathbb{N}\]).
Vậy số hàng cây được trồng là \[77\].
Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau: 
Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có \(10\) tầng?
\(69.\)
\(39.\)
\(420.\)
\(210.\)
Lời giải
Chọn D.
Ta có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với \({u_1} = 3;d = 4\).
Suy ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp \(10\) tầng là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 39\).
Từ đó số que diêm để xếp được hình tháp \(10\) tầng là
\({S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{10\left( {3 + 39} \right)}}{2} = 210\).
\[2250\].
\[1740\].
\[4380\].
\[2190\].
Lời giải
Chọn D.
Gọi \[{u_1},{u_2},...{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4\,\,\left( {n = 2,3,...,30} \right)\].
Ký hiệu:\[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: \[{S_{30}} = \frac{{30}}{2}\left( {2{u_1} + \left( {30 - 1} \right)4} \right) = 15\left( {2.15 + 29.4} \right) = 2190\].
\(81\).
\(82\).
\(80\).
\(79\).
Lời giải
Chọn C.
Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n \ge 1,\,n \in \mathbb{N}} \right)\).
Số cây ở mỗi hàng lập thành cấp số cộng có \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).
Theo giả thiết:
\({S_n} = 3240\)\( \Leftrightarrow \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = 3240\)\( \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 6480\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 6480 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 80\\n = - 81\end{array} \right.\).
So với điều kiện, suy ra: \(n = 80\).
Vậy có tất cả \(80\) hàng cây.
\(128;{\rm{ }} - 64;{\rm{ }}32;{\rm{ }} - 16;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\(\sqrt 2 ;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}4\sqrt 2 ;{\rm{ }}....\)
\(5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7;{\rm{ }}8;{\rm{ }}...\)
\(15;{\rm{ }}5;{\rm{ }}1;{\rm{ }}\frac{1}{5};{\rm{ }}...\)
Lời giải
Chọn A.
Xét đáp án: .
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }}50;{\rm{ }} - 250.\)
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }} - 50;{\rm{ }}250.\)
\( - 2;{\rm{ }} - 10;{\rm{ }} - 50;{\rm{ }} - 250.\)
\( - 2;{\rm{ }}10;{\rm{ }}50;{\rm{ }}250.\)a
Lời giải
Chọn B.
\({u_n} = 7 - 3n.\)
\({u_n} = 7 - {3^n}.\)
\({u_n} = \frac{7}{{3n}}.\)
\({u_n} = {7.3^n}.\)
Lời giải
Chọn D.
Dãy \({u_n} = {7.3^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\q = 3\end{array} \right.\).
\[{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n\].
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = {2^n}\].
\[{u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\].
Lời giải
Chọn C.
\[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n}\]\[ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\] là cấp số nhân có công bội bằng \[2\].
\(x = 1.\)
\(x = 3.\)
\(x = 7.\)
\(x = 3;{\rm{ }}x = 7.\)
Lời giải
Chọn B.
Cấp số nhân
\[{u_5} = - \frac{{27}}{{16}}.\]
\[{u_5} = - \frac{{16}}{{27}}.\]
\[{u_5} = \frac{{16}}{{27}}.\]
\[{u_5} = \frac{{27}}{{16}}.\]
Lời giải
Chọn B.
\({S_{10}} = - 511.\)
\({S_{10}} = - 1025.\)
\({S_{10}} = 1025.\)
\({S_{10}} = 1023.\)
Lời giải
Chọn D.
\(S = 2047,75.\)
\(S = 2049,75.\)
\(S = 4095,75.\)
\(S = 4096,75.\)
Lời giải
Chọn C.
Cấp số nhân đã cho có
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 14 số hạng. Vậy
\({S_{14}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{4}.\frac{{1 - {2^{14}}}}{{1 - 2}} = 4095,75\).
\[{u_1} = 3\] và \[q = 2\].
\[{u_1} = 9\] và \[q = 2\].
\[{u_1} = 9\] và \[q = --2\].
\[{u_1} = 3\] và \[q = --2\].
Lời giải
Chọn B.
Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\).
Theo giả thiết, ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \frac{{54}}{{108}} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow q = 2\).
Với \(q = 2\), ta có \(8{u_1} - 2{u_1} = 54\)\( \Leftrightarrow 6{u_1} = 54\)\( \Leftrightarrow {u_1} = 9\).
\(11\).
\(9\).
\(8\).
\(10\).
Lời giải
Chọn A.
Ta có \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n - 1}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11\).
\(q = 2.\)
\(q = - 2.\)
\(q = - \frac{3}{2}.\)
\(q = \frac{3}{2}.\)
Lời giải
Chọn B.
Giả sử ba số hạng \(a;\,\,b;\,\,c\) lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó \(b;\,\,a;\,\,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân công bội \(q.\) Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = 2b\\a = bq;\,c = b{q^2}\end{array} \right. \Rightarrow bq + b{q^2} = 2b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\{q^2} + q - 2 = 0\end{array} \right..\)
Nếu \(b = 0 \Rightarrow a = b = c = 0\) nên \(a;\,\,b;\,\,c\) là cấp số cộng công sai \(d = 0\) (vô lí).
Nếu \({q^2} + q - 2 = 0 \Leftrightarrow q = 1\) hoặc \(q = - 2.\) Nếu \(q = 1 \Rightarrow a = b = c\) (vô lí), do đó \(q = - 2.\)
\(56^\circ .\)
\(102^\circ \).
\(252^\circ .\)
\(168^\circ .\)
Lời giải
Chọn C.
Giả sử 4 góc A, B, C, D (với \(A < B < C < D\)) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thỏa yêu cầu với công bội \(q.\) Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}A + B + C + D = 360\\D = 27A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 360\\A{q^3} = 27A\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\A = 9\\D = A{q^3} = 243\end{array} \right. \Rightarrow A + D = 252.\)
Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\) và có diện tích \({S_1}\). Nối \(4\) trung điểm \({A_1}\), \({B_1}\), \({C_1}\), \({D_1}\) theo thứ tự của \(4\) cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là\({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\), …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích \({S_4}\), \({S_5}\),…,\({S_{100}}\) (tham khảo hình vẽ). Tính tổng \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}}}{{{2^{100}}}}\).
\(S = \frac{{{a^2}\left( {{2^{99}} - 1} \right)}}{{{2^{98}}}}\).
Lời giải
Chọn B.
Ta có \({S_1} = {a^2}\); \({S_2} = \frac{1}{2}{a^2}\); \({S_3} = \frac{1}{4}{a^2}\),…
Do đó \({S_1}\), \({S_2}\), \({S_3}\),…, \({S_{100}}\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)\( = {S_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).
2.
3.
4.
5.
Lời giải
Chọn B.
Lượng chất độc tồn trong lọ lúc đầu là: (100 g: 1000) = \(\frac{1}{{10}}\) (gam).
Lượng chất độc tồn trong lọ theo yêu cầu là: 0,001 m gam = \(\frac{1}{{1000}}\) (gam).
Mỗi lần xúc rửa với 1 000 ml nước cất, vẫn còn dính lọ 1 ml (0,1 %) nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 1 000 (103) lần. Lập bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa, ta có:
Vậy sau 3 lần xúc rửa với 1 000 ml/ lần thì chất độc còn \(\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{{{{10}^9}}} \le \frac{1}{{{{10}^9}}}\).
18 360.
18 727.
19 102.
19 101.
Lời giải
Chọn C.
Thông thường bài toán trên được giải như sau:
Sau một năm đàn bò ở huyên này tăng được: 18 000 x 2% = 360 (con).
Nên tổng số đàn bò sau năm thứ nhất (cuối năm 2006) là:
18 000 + 360 = 18 360 (con).
Sau 2 năm đàn bò lại tăng thêm: 18 360 x 2% = 367 (con).
Nên tổng số bò sau năm thứ 2 (cuối năm 2007) là:
18 360 + 367 = 18 727 (con).
Sau 3 năm đàn bò lại tăng thêm: 18 727 x 2% = 375 (con).
Như vậy tổng đàn bò cuối năm thứ 3 (cuối 2008) là:
18 727 + 375 = 19 102 (con).
Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 2;{u_2} = 7;{u_3} = 12;{u_4} = 17;{u_5} = 22\).
Số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 5n - 3\).
Số hạng \({u_{50}}\) bằng \(247\).
512 là số hạng thứ 102 của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai
Năm số hạng đầu của dãy số là: \({u_1} = 2;{u_2} = 7;{u_3} = 12;{u_4} = 17;{u_5} = 22\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_2} = {u_1} + 5}\\{{u_3} = {u_2} + 5}\\{{u_4} = {u_3} + 5}\\{ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ...}\\{{u_n} = {u_{n - 1}} + 5}\end{array}} \right.\).
Cộng theo vế toàn bộ đẳng thức trên rồi triệt tiêu các số hạng giống nhau ở hai vế, ta được:
\({u_n} = 2 + (n - 1)5 = 5n - 3\).
Số hạng thứ 50 của dãy số là: \({u_{50}} = 5 \cdot 50 - 3 = 247\).
Xét \(5n - 3 = 512 \Rightarrow n = 103\). Vậy số 512 là số hạng thứ 103 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{(n + 3)(n + 2)}}\).
\({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - \left( {{n^2} + 4n + 3} \right)}}{{(n + 3)(n + 2)}} = \frac{1}{{(n + 3)(n + 2)}} > 0\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Mặt khác: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{(n + 2) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Do đó: \(0 < {u_n} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2\).
Công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(3\).
Số hạng \({u_{15}} = 58\).
Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \(350\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng, ta có: \({u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\).
\(\begin{array}{l}4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + (2n - 1)d} \right]\\ \Leftrightarrow 4{u_1} + (2n - 2)d = 2{u_1} + (2n - 1)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0.\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \({u_1} = 2,d = 4\).
Số hạng tổng quát \({u_n} = 2 + (n - 1)4 = 4n - 2\) suy ra \({u_{15}} = 58\)
Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}(2 \cdot 2 + 14 \cdot 4) = 450.{\rm{ }}\)
\({u_{11}} = - 65\).
\({u_5} + {u_7} = - 50\).
Số \( - 849\) là số hạng thứ 123 của cấp số cộng..
Số \( - 114\) là số hạng thứ 18 của cấp số cộng
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 5 + (n - 1) \cdot ( - 7) = - 7n + 12\)
a) Ta có: \({u_{11}} = - 7.11 + 12 = - 65\).
b) \({u_5} + {u_7} = - 60\)
c) Ta có: \( - 849 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 123\).
d) Ta có \( - 114 = - 7n + 12 \Rightarrow n = 18\).
Số hạng \({u_1} = 21\).
Công sai của cấp số cộng bằng \( - 2\).
Số hạng \({u_{11}} = - 9\).
Số \( - 6048\) là số hạng thứ \(2024\).
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - {u_3} + {u_5} = 15}\\{{u_1} + {u_6} = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 15}\\{{u_1} + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 2d = 15}\\{2{u_1} + 5d = 27}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 21}\\{d = - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Suy ra \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 21 + (n - 1).( - 3) = - 3n + 24\)
Vậy \({u_{11}} = - 9\)
Ta có \( - 6048 = - 3n + 24 \Rightarrow n = 2024\)
Số hạng \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3}\).
\({u_5} - {u_3} = - \frac{{16}}{{81}}\).
Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân.
Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là số lớn hơn 3.
Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).
Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)
\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)
Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).
Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).
Số hạng đầu của cấp số nhân bằng \(9\)
Công bội của cấp số nhân \(q = 3\).
Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.
Số 576 là số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_4} - {u_2} = 54}\\{{u_5} - {u_3} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54}\\{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54}\\{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{q({q^2} - 1)}}}\\{\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{54}}{{2({2^2} - 1)}}}\\{q = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 9}\\{q = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Ta có: \({S_n} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{{u_1} \cdot \left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599 \Leftrightarrow \frac{{9 \cdot \left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\)
\( \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599 \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511 \Leftrightarrow {2^n} = 512 \Leftrightarrow n = 9\)
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.
Ta có: \({u_k} = 576 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576 \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Leftrightarrow k - 1 = 6 \Leftrightarrow k = 7\).
Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
Lời giải
Trả lời: \(7700\).
Gọi \({u_n}\) là giá của mét khoan thứ \(n\), trong đó \(1 \le n \le 20\).
Khi đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\) và công sai \(d = 30\).
Số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là:
\({S_{20}} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{20}} = \frac{{20\left( {2{u_1} + 19d} \right)}}{2} = \frac{{20(2.100 + 19.30)}}{2} = 7700{\rm{ }}\)(nghìn đồng).
Lời giải
Trả lời: 300.
Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giờ) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1\), công sai \(d = 1\).
Do đó tổng số tiếng chuông đánh trong 1 ngày là: \(S = {S_{24}} = \frac{{24 \cdot \left( {{u_1} + {u_{24}}} \right)}}{2} = \frac{{24 \cdot (1 + 24)}}{2} = 300.{\rm{ }}\)
Vậy một ngày đồng hồ đó đánh 300 tiếng chuông.
Lời giải
Trả lời: \(105,23\).
Theo tỉ lệ tăng trưởng \(1,33\% \) thì:
- Tháng 12 năm 2019, dân số nước ta là:
\({u_1} = 95,93 + 95,93 \cdot \frac{{1,33}}{{100}} = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)\) (triệu người).
- Tháng 12 năm 2020, dân số nước ta là:
\({u_2}\)\( = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) + 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) \cdot \frac{{1,33}}{{100}}\)
\( = 95,93\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right) = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^2}\) (triệu người).
- Theo quy luật đó, ta biết dân số nước ta vào tháng 12 năm thứ \(n\) kể từ năm 2019 được tính theo công thức \({u_n} = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^n}\) (triệu người).
- Vậy vào tháng 12 năm 2025 (tức \(n = 2025 - 2018 = 7\)), dân số nước ta là:
\({u_7} = 95,93{\left( {1 + \frac{{1,33}}{{100}}} \right)^7} \approx 105,23{\rm{ }}\)(triệu người).
Lời giải
Trả lời: \(196\,715\,000\).
Gọi \(r\) là lãi suất tiền gửi theo năm: \(r = 0,07/\)năm; tiền gửi là \({10^8}\) (đồng).
Sau năm thứ nhất, số tiền người gởi nhận được là: \({10^8} + {10^8}r = {10^8}(1 + r){\rm{. }}\)
Sau năm thứ hai, số tiền người gởi nhận được là:
\({10^8}(1 + r) + {10^8}(1 + r)r = {10^8}(1 + r)(1 + r) = {10^8}{(1 + r)^2}.\)
Theo quy luật đó, ta thấy số tiền mà ông Minh nhận được sau \(n\) năm là số hạng thứ \(n\) của một câp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = {10^8}(1 + r)\), công bội \(q = 1 + r\).
Sau năm thứ \(n\), ông Minh nhận được số tiền: \({u_n} = {10^8}{(1 + r)^n}{\rm{. }}\)
Sau 10 năm, số tiền ông Minh nhận được: \({u_{10}} = {10^8}{(1 + 0,07)^{10}} \approx 196715000{\rm{ }}\)(đồng).
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
