Lời giải

Chọn C.

Ta có: \({\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}\)\( \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{3}{5}\). Do \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha  > 0\).

Suy ra, \(\sin \alpha  = \frac{3}{5}\).

Lời giải

Chọn C.

\(A = \frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha  + 1}}{{\tan \alpha  - 1}} = 7\).

Lời giải

Chọn B.

\[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\] \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\alpha  = \frac{4}{5}\\{\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Vì \({\rm{90}}^\circ  < \alpha  < 180^\circ \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}\). Vậy \(\tan \alpha  =  - \frac{3}{4}\) và \(\cot \alpha  =  - \frac{4}{3}\).

\(E = \frac{{\cot \alpha  - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha  + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} =  - \frac{2}{{57}}\).

Lời giải

Chọn B.

Ta có \[A = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\]

\[\begin{array}{l} = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1.\end{array}\]

Lời giải

Chọn B.

6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo \(\pi \) nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là \(\frac{1}{{12}}\pi \), suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là \(l = R\alpha  = 10,57 \times \frac{{3,14}}{{12}} \approx 2,77\).

Lời giải

Chọn D.

3 phút xe đi được \(\frac{{3 \times 60}}{{20}} \times 60 = 540\) vòng.

Độ dài 1 vòng bằng chu vi bánh xe là \(2\pi R = 2 \times 3,1416 \times 6,5 = 40,8408\).

Vậy quãng đường xe đi được là \(540 \times 40,8408 = 22054,032\,{\rm{cm}}\).

Lời giải

Chọn D.

Ta có \(\cos a--\cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}.\)

Lời giải

Chọn C.

\[\cos \left( {120^\circ --{\rm{ }}x} \right) + \cos \left( {120^\circ  + {\rm{ }}x} \right)--\cos x\]\[ =  - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \cos x\]\[ =  - 2\cos x\].

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \[\cos 54^\circ .\cos 4^\circ -\cos 36^\circ .\cos 86^\circ  = \cos 54^\circ .\cos 4^\circ -sin54^\circ .sin4^\circ  = \cos 58^\circ .\]

Lời giải

Chọn B.

Công thức đúng là \[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\].

Lời giải

Chọn C.

\[\cot a = 15\]\[ \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = 226\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}a = \frac{1}{{226}}\\{\cos ^2}a = \frac{{225}}{{226}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \sin 2a =  \pm \frac{{15}}{{113}}\].

Lời giải

Chọn D.

Ta có

\(A + B + C = \pi \)\( \Rightarrow \frac{{A + B + 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} + C\)\( \Rightarrow \sin \frac{{A + B + 3C}}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + C} \right) = \cos C.\) A đúng.

\(A + B - C = \pi  - 2C\)\[ \Rightarrow \cos \left( {A + B--C} \right) = \cos \left( {\pi  - 2C} \right) =  - \cos 2C.\] B đúng.

\(\frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}\)\[ \Rightarrow \tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}} \right) = cot\frac{{3C}}{2}.\] C đúng.

\(\frac{{A + B + 2C}}{2} = \frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}\)\[ \Rightarrow \cot \frac{{A + B + 2C}}{2} = \cot \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{C}{2}} \right) =  - tan\frac{C}{2}.\] D sai.

Lời giải

Chọn A.

\(\left\{ \begin{array}{l}\cos a = \frac{3}{4}\\\sin a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin b = \frac{3}{5}\\\cos b < 0\end{array} \right. \Rightarrow \cos b =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}b}  =  - \frac{4}{5}.\)

\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{3}{4}.\left( { - \frac{4}{5}} \right) - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{3}{5} =  - \frac{3}{5}\left( {1 + \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right).\)

Lời giải

Chọn D.

\[\cos \left( {a + b} \right).\cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = {\cos ^2}a + {\cos ^2}b - 1 = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{119}}{{144}}.\]

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\sin a + 1\)\( = 2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} + {\sin ^2}\frac{a}{2} + {\cos ^2}\frac{a}{2}\)\( = {\left( {\sin \frac{a}{2} + \cos \frac{a}{2}} \right)^2}\)\( = 2{\sin ^2}\left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{a}{2}} \right)\)\( = 2\sin \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right).\)

Lời giải

Chọn C.

Ta có 

\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C\]\( = \frac{{1 + \cos 2A}}{2} + \frac{{1 + \cos 2B}}{2} + {\cos ^2}C\)

\( = 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C\)\( = 1 - \cos C\cos \left( {A - B} \right) - \cos C\cos \left( {A + B} \right)\)

\( = 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)} \right]\)\( = 1 + 2\cos A\cos B\cos C.\)

Lời giải

Chọn B.

Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

Lời giải

Chọn D.

Xét hàm \(y = \cos x\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Khi đó \[\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\].

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos ( - x) = \cos x = f\left( x \right)\).

Vậy \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Lời giải

Chọn C.

Lời giải

Chọn A.

Trên khoảng \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến.

Lời giải

Chọn B.

Lời giải

Chọn A.

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x\]. Tập xác định \[D = \mathbb{R}\].

Với mọi \[x \in D\], ta có \[ - x \in D\].

Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left| { - 2016x} \right| + \cos \left( { - 2017x} \right) = \sin \left| {2016x} \right| + \cos 2017x = f\left( x \right)\].

Lời giải

Chọn C.

TXĐ \(D = \mathbb{R}.\) Suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D.\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}\left( { - x} \right) + \sin 2\left( { - x} \right) = 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x.\)

Để hàm số đã cho là hàm lẻ thì

\[\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right),\,\forall x \in D \Leftrightarrow 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x =  - 3m\,\cos {\rm{4}}x - \sin 2x,\,\forall x \in D\\ \Leftrightarrow 6m\sin 4x = 0,\,\forall x \in D \Leftrightarrow m = 0.\end{array}\]

Lời giải

Chọn B.

Ta có \[ - 1 \le \sin 2x \le 1\]\[ \Rightarrow  - 8 \le 3\sin 2x - 5 \le  - 2\]\[ \Rightarrow  - 8 \le y \le  - 2\].

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là \[ - 2;\, - 8\].

Lời giải

Chọn B.

Hàm số \[y = \frac{{\tan x - 1}}{{\sin x}} + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] xác định khi:

\[\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\], \[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Chọn A.

ĐKXĐ: \(m - 2\sin x \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge 2\sin x,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{x \in \mathbb{R}} \left( {2\sin x} \right) = 2\).

Lời giải

Chọn D.

Ta có \(y = \sin 3x - \cos 3x + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2  + m\). Để hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 2 \) thì \(\sqrt 2  + m = \sqrt 2  \Leftrightarrow m = 0\).

Lời giải

Chọn A.

Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số \(y = 3\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) + 13\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(\sin \left( {\frac{\pi }{{180}}\left( {x + 60} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \[1 \le x \le 365\] nên ta có \(1 \le 30 + k360 \le 365 \Leftrightarrow  - 0,08 \le k \le 0,93 \Rightarrow k = 0\).

Do đó \(x = 30\) (tháng đầu tiên của năm).

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 9 \le h \le 15\). Do đó mực nước cao nhất của kênh là \(15m\) đạt được khi \(\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3} = k2\pi \)\( \Leftrightarrow t =  - 2 + 12k\).

Vì \(t > 0\)\( \Leftrightarrow  - 2 + 12k > 0\)\( \Leftrightarrow k > \frac{1}{6}\).

Chọn số \(k\) nguyên dương nhỏ nhất thoả \(k > \frac{1}{6}\) là \(k = 1 \Rightarrow t = 10\).

Lời giải

Chọn C.

\(\cos x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {x =  \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Lời giải

Chọn D.

\(\sqrt 3 \,\tan \,x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \(3\cot x - \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải

Chọn B.

\[{\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos x}}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Chọn A.

Do \[\left| {\cos x} \right| \le 1\], \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên phương trình: \[\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m\]

có nghiệm khi \[\left| m \right| \le 1\] và vô nghiệm khi \[\left| m \right| > 1\].

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\3x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] nên \[x = \frac{\pi }{3}\], \[x = \frac{{4\pi }}{9}\].

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \(4{\sin ^2}2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {1 - \cos 4x} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(x =  \pm \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2} \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{\pi }{{12}}\\{x_2} =  - \frac{\pi }{{12}}\\{x_3} =  - \frac{{5\pi }}{{12}}\\{x_4} = \frac{{5\pi }}{{12}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 0\).

Lời giải

Chọn A.

A. \[\tan 2x = 1 \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\]

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{8}\).

B. \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3  \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \)

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{7\pi }}{{12}}\).

C. \(\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{2}\).

D. \(\cot x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \)

Từ đó suy ra nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Lời giải

Chọn A.

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 4{\sin ^2}x - 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\\sin 2x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\\\sin x = 0\\\cos x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = k\pi \\x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Vì \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \pi ; - \frac{\pi }{3};0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right\} \Leftrightarrow S = \pi \).

Lời giải

Chọn A.

\(\begin{array}{l}\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x =  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2};\frac{{2\pi }}{3};\frac{{4\pi }}{3}} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 4\).

Lời giải

Chọn A.

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\).

\(\begin{array}{l}\tan x + \cot x = 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = \sin 2x\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{3\pi }}{8}; - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4}} \right\} \Rightarrow {x_1} =  - \frac{{3\pi }}{8},\,\,{x_2} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow S =  - \frac{\pi }{2}\).

Lời giải

Chọn A.

\(\begin{array}{l}{\sin ^3}x + \sin x\cos x = 1 - {\cos ^3}x \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \sin x\cos x\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sin x\cos x = 0\\\sin x + \cos x = 1\end{array} \right.\\ &  &  &  &  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 2\,\,\left( {{\rm{VN}}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{2}} \right\}\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin (\pi  + \alpha ) = \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} =  - \frac{7}{5}\).

\(B = \cos (\pi  - \alpha ) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  + \tan \alpha \)\( =  - \cos \alpha  + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{4}{5} + \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = \frac{1}{{20}}{\rm{.}}\)

Khi đó, \(A + B =  - \frac{{27}}{{20}}\) và \(A - B =  - \frac{{29}}{{20}}\).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Đúng                           d) Đúng

Do \(\pi  < x < \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos x < 0\).

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

\( \Rightarrow \cos x =  - \frac{4}{5};\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{3}{4};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{4}{3}\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Vì \(0 < x < 90^\circ \) nên \(\cos x > 0\).

Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + 2 = 3 \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{3} \Rightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Măt khác: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Rightarrow \sin x = \tan x\cos x = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

\(\cos \left( {x - 30^\circ } \right) = \cos x\cos 30^\circ  + \sin x\sin 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                              d) Sai

\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan (a + b)(1 - \tan a\tan b)\)

Mà \(a + b = \frac{\pi }{4}\) và \(\tan a\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \tan a + \tan b = \tan \frac{\pi }{4}[1 - (3 - 2\sqrt 2 )] =  - 2 + 2\sqrt 2 {\rm{. }}\)

Đặt \(S = \tan a + \tan b;P = \tan a\tan b\).

Khi đó \(\tan a,\tan b\) là nghiệm của phương trình

\({X^2} - SX + P = 0 \Leftrightarrow {X^2} - (2\sqrt 2  - 2)X + 3 - 2\sqrt 2  = 0\)

\( \Leftrightarrow X =  - 1 + \sqrt 2 {\rm{. }}\)Suy ra \(\tan a = \tan b =  - 1 + \sqrt 2 \).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                               d) Sai

\(\begin{array}{l}\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi  \Rightarrow \pi  < 2x < 2\pi  \Rightarrow \sin 2x < 0.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \cos x < 0\\\sin x = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos x =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x}  =  - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\\\sin 2x = 2\sin x \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{5}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}.\\\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \frac{{2\pi }}{2} < 2x < 2\pi  \Rightarrow \pi  < 2x < 2\pi  \Rightarrow \cos 2x > 0.\\\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2 \cdot \frac{1}{{25}} = \frac{{23}}{{25}}.\\\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{{23}}{{25}}}} =  - \frac{{20\sqrt 6 }}{3}.\cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{\frac{{23}}{{25}}}}{{ - \frac{{4\sqrt 6 }}{5}}} =  - \frac{{23\sqrt 6 }}{{120}}.\end{array}\)

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                              d) Sai

Tập xác định hàm số \(f(x) = 2\cos x + 1\): \(D = \mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi  \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = 2\cos (x + 2\pi ) + 1 = 2\cos x + 1 = f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Tập xác định hàm số \(g(x) = \sin x + \tan x\): \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi  \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi ) + \tan (x + 2\pi ) = \sin x + \tan x = f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Lời giải

a) Đúng                             b) Sai                              c) Đúng                           d) Sai

Xét \(y = f(x) = 3{\sin ^3}x\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có: \(f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) =  - 3{\sin ^3}x =  - f(x)\).

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Xét \(y = f(x) =  - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) =  - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) =  - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne  - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Đúng

Hàm số \(y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\( - 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge  - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2\)

Vậy giá trị của hàm số là \(T = [2;4]\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Sai                              d) Sai

Khi \(t = 5\), ta có: \(h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3\,\,{\rm{(cm)}}\).

Khi \(t = 20\), ta có: \(h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi  \cdot 20}}{8}} \right) = 75\,\,{\rm{(cm)}}\).

Ta có: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\) hay \(h(t) \le 75\).

Giá trị lớn nhất của \(h(t)\) là 75, khi đó \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\) \( \Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})\). Vì \(t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\} \) (ứng với \(k\) bằng 0 và 1).

Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là \(75\;\,{\rm{cm}}\)).

Lời giải

a) Sai                                b) Đúng                           c) Sai                              d) Đúng

Ta có: \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi  + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Lời giải

a) Đúng                             b) Đúng                           c) Đúng                           d) Sai

Ta có: \(\sqrt 2  - 2\sin \left( {45^\circ  - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {45^\circ  - 2x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {45^\circ  - 2x} \right) = \sin 45^\circ \)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{45^\circ  - 2x = 45^\circ  + k360^\circ }\\{45^\circ  - 2x = 180^\circ  - 45^\circ  + k360^\circ }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - k180^\circ }\\{x =  - 45^\circ  - k180^\circ }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x =  - k180^\circ ;x =  - 45^\circ  - k180^\circ \,(k \in \mathbb{Z})\).

Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình đã cho có hai nghiệm.

Lời giải

Trả lời: \(8\).

Tốc độ xe là: \(50{\rm{\;km/h}} = \frac{{50.100000}}{{3600}}{\rm{\;cm/s}} = \frac{{12500}}{9}\;{\rm{cm/s}}\).

Mỗi vòng bánh \(x\) e có chiều dài: \(2\pi R = 2\pi  \cdot \frac{{55}}{2} = 55\pi \,\,{\rm{(cm)}}\).

Vậy mỗi giây thì bánh xe lăn được số vòng là \(\frac{{12500}}{9}:(55\pi ) \approx 8\) (vòng).

Lời giải

Trả lời: \(50\).

Ta có 01 bánh răng tương ứng với \(\frac{{360^\circ }}{{72}} = 5^\circ  \Rightarrow 10\) bánh răng là \(50^\circ \).

Lời giải

Trả lời: \(127,5\).

Do tính đối xứng, dù đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ, ta đều thấy rằng độ cao của người đó là như nhau sau cùng một khoảng thời gian. Ở đây ta xét đu quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Gắn đu quay có bán kính \(75{\rm{\;m}}\), tâm của vòng quay ở độ cao \(90\;{\rm{m}}\) vào hệ trục tọa độ \(Oxy\) ta được hình bên:

Sau 20 phút quay cabin đi được một góc là \(\frac{{20}}{{30}} \cdot 360^\circ  = 240^\circ \) tức là đến vị trí điểm \(H\).

Khi đó \(\widehat {HOJ} = 30^\circ \) và \(HJ = \sin 30^\circ .OH = 37,5\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy sau 20 phút quay, người đó ở độ cao \(37,5 + 90 = 127,5\,{\rm{(m)}}\).

Lời giải

Trả lời: \(14,5\).

Ta có \(\tan \alpha  = \tan (\widehat {BAD} - \widehat {CAD}) = \frac{{\tan \widehat {BAD} - \tan \widehat {CAD}}}{{1 + \tan \widehat {BAD}\tan \widehat {CAD}}} = \frac{{\frac{{15}}{{12}} - \frac{9}{{12}}}}{{1 + \frac{{15}}{{12}} \cdot \frac{9}{{12}}}} = \frac{8}{{31}}.\)

Vì vậy \(\alpha  \approx 14,5^\circ \).

Lời giải

Trả lời: 353.

Do \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge  - 1 \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge  - 3\)

\( \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 \ge 9 \Rightarrow d(t) \ge 9\).

Vậy thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] =  - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \Leftrightarrow t = 364k - 11,k \in \mathbb{Z}\).

Mặt khác: \(0 \le 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} \le k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1(\)do \(k \in \mathbb{Z})\)\( \Rightarrow t = 364 - 11 = 353\)

Vậy thành phố \(T\) có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là 9 giờ khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ 353 trong năm.

Lời giải

Trả lời: \(36,61\).

Ta có phương trình: \(550 + 450 \cdot \cos \frac{\pi }{{50}}t = 250 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t =  - \frac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{\pi }{{50}}t \approx 2,3 + k2\pi }\\{\frac{\pi }{{50}}t \approx  - 2,3 + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \approx 36,61 + k100}\\{t \approx  - 36,61 + k100}\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.} \right.\)

Vậy trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, tại thời điểm \(t \approx 36,61\) (phút) thì ta có thể thực hiện thí nghiệm đó.