Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Trong các phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2x - 3y = 5.\]
\[0x + 2y = 4.\]
\[2x - 0y = 3.\]
\[0x - 0y = 6.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0.
Phương trình \[0x - 0y = 6\] có hệ số \(a = b = 0\) nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số nào dưới đây là thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình \[2x-5y = 19?\]
\[\left( {2\,;\,\, - 3} \right).\]
\[\left( {1\,;\,\,1} \right).\]
\[\left( {1\,;\,\, - 2} \right).\]
\[\left( {12\,;\,\, - 1} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
• Thay \[x = 2,{\rm{ }}y = - 3\] vào phương trình \[2x-5y = 19\] ta được: \[2 \cdot 2--5 \cdot \left( { - 3} \right) = 19.\]
Do đó cặp số \[\left( {2\,;\,\, - 3} \right)\] thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.
• Thay x = 1, y = 1 vào phương trình \[2x--5y = 19\] ta được: \[2 \cdot 1-5 \cdot 1 = 7 \ne 19.\]
Do đó, cặp số \[\left( {1\,;\,\,1} \right)\] không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.
• Thay \[x = 1,{\rm{ }}y = - 2\] vào phương trình \[2x-5y = 19\] ta được: \[2 \cdot 1-5 \cdot \left( { - 2} \right) = 12 \ne 19.\]
Do đó, cặp số \[\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\] không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.
• Thay \[x = 12,{\rm{ }}y = - 1\] vào phương trình \[2x-5y = 19\] ta được \[2 \cdot 12 - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 27 \ne 19.\]
Do đó, cặp số \[\left( {12\,;\,\, - 1} \right)\] không thuộc đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho.
Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = - 1}\\{ - 3x + 3y = 5}\end{array}} \right..\) Cho các khẳng định sau:
(i)Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, rồi cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \[6y = -1.\]
(ii) Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, rồi cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \[0x = -1.\]
(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Nhân phương trình thứ nhất của hệ với 6, ta được phương trình mới \(3x - 3y = - 6,\) cộng với phương trình thứ hai ta được phương trình: \(0x = - 1\) (hoặc phương trình \(0y = - 1\)).
Phương trình trên vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Như vậy, có 2 khẳng định đúng là (ii), (iii). Ta chọn phương án C.
Hình nào dưới đây biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình \[2x-3y = 5?\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[2x-3y = 5\] suy ra \(y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}.\)
Do đó, tất cả các nghiệm của phương trình \[2x-3y = 5\] được biểu diễn trên đường thẳng \(y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}.\)
• Cho \[x = 1\] thì \[y = - 1,\] do đó đường thẳng đi qua điểm có tọa độ \[\left( {1\,;\,\, - 1} \right).\]
• Cho \[x = 4\] thì \[y = 1,\] do đó đường thẳng đi qua điểm có tọa độ \[\left( {4\,;\,\,1} \right).\]
Điều kiện xác định của phương trình \[2 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{x + 3}}\] là
\(x \ne 3.\)
\(x \ne - 3.\)
\(x \ne 0\)và \(x \ne 3.\)
\(x \ne - 3\)và \(x \ne 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(x - 3 \ne 0\) khi \(x \ne 3\) và \(x + 3 \ne 0\) khi \(x \ne - 3\) nên ĐKXĐ của phương trình \[2 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{x + 3}}\] là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) là
\(5\).
\(1\).
\( - 5\).
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Giải phương trình:
\(\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\)
\[\frac{1}{3}x - 3 = 0\] hoặc \[x + 8 = 0\]
\[\frac{1}{3}x = 3\] hoặc \(x = - 8\)
\(x = 9\) hoặc \(x = - 8\).
Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 9\) và \(x = - 8\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: \(9 + \left( { - 8} \right) = 1.\)
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[x + y > 8\].
\[0x + 5 \ge 0\].
\[2x-3 > 4\;\].
\[{x^2} - 6x + 1 \le 0.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình có dạng \[ax + b < 0\] (hoặc \[ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)\] trong đó \[a\,,\,\,b\] là hai số đã cho, \(a \ne 0\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x.\)
Bất phương trình \[x + y > 8\] có hai ẩn \(x\,,\,\,y\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[0x + 5 \ge 0\] có dạng \[ax + b \ge 0\] và \(a = 0\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ta có \[2x-3 > 4\;\] hay \[2x-7 > 0\;\]. Bất phương trình \[2x-7 > 0\;\] có dạng \[ax + b > 0\] và \(a = 2\) nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[{x^2} - 6x + 1 \le 0\] có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Vậy chọn đán án C.
Biển báo giao thông trong hình bên báo đường cấm các xe cơ giới và thô sơ (kể cả các xe được ưu tiên theo quy định) có độ dài toàn bộ kể cả xe và hàng lớn hơn trị số ghi trên biển đi qua. Nếu xe có chiều rộng lớn hơn \[3,2\,\,{\rm{m}}\] thì không được phép lưu thông để đảm bảo an toàn cho cả xe và các phương tiện khác, cũng như tránh gây cản trở giao thông. Nếu một xe tải đi trên đường đó có chiều rộng \(a\,\,(m)\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây là đúng nhất?
\[a \le 3,2.\]
\[a > 3,2.\]
\[a \ge 3,2.\]
\[a = 3,2.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo đề bài, nếu xe có chiều rộng lớn hơn \[3,2\,\,{\rm{m}}\]thì không được phép lưu thông nghĩa là xe đó (không phải xe cơ giới và thô sơ) có chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng \[3,2\,\,{\rm{m}}\] được phép lưu thông.
Do đó, nếu một xe tải đi trên đường đó thì \[a \le 3,2.\]
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MH\) và \(\widehat P = \alpha \). Tỉ số \(\frac{{PH}}{{MP}}\) bằng
\(\cot \alpha \).
\[\cos \alpha \].
\(\sin \alpha \).
\(\tan \alpha .\)
Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: B Xét \(\Delta MPH\) vuông tại \[H,\] ta có: \(\cos P = \frac{{PH}}{{MP}}\) hay \(\cos \alpha = \frac{{PH}}{{MP}}.\) |
|
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Hệ thức nào sau đây không đúng?
\(AB = BC \cdot \sin C.\)
\(AC = AB \cdot \cot C.\)
\(AB = AC \cdot \tan B.\)
\(AB = BC \cdot \cos B.\)
Hướng dẫn giải Đáp án đúng là: B Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có \(AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B = AC \cdot \tan C\,;\) \(AC = BC \cdot \cos C = AB \cdot \cot C.\) |
|
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Biết \(\tan \alpha = \frac{4}{3}\). Giá trị của \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right)\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{4}{3}\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha = \frac{4}{3}.\)
Cho hình bình hành \[ABCD\]có \[AC \bot AD\] và \(AD = 3,5\,;\,\,\widehat D = 50^\circ \). Hỏi diện tích của hình bình hành là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
14.
\[14,6.\]
\[14,5.\]
\[14,9.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét \[\Delta ADC\] vuông tại \[A,\] ta có: \(AC = AD \cdot \tan \widehat {ADC} = {\rm{ }}3,5 \cdot \tan \,50^\circ .\)
Khi đó gọi \[S\] là diện tích hình bình hành, ta có:
\[S = AD \cdot AC = 3,5 \cdot 3,5\tan 50^\circ \approx 14,6\] (đvdt)
Vậy diện tích của hình bình hành là \[14,6.\]
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Cho phương trình \[4x - 7y = - 1{\rm{ }}\left( * \right)\].
a) Hệ số \[a;\,\,b;\,\,c\] của phương trình \[\left( * \right)\] lần lượt là \[4\,;\,\, - 7\,;\,\, - 1.\]
b) Phương trình \[\left( * \right)\] là không phải phương trình bậc nhất hai ẩn vì hệ số \(b < 0\).
c) Cặp số \[\left( {0\,;\,\,5} \right)\] là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
d) Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\]là đường thẳng \[y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Phương trình \[\left( * \right)\] có các hệ số là \[a = 2\,;\,\,b = - 5\,;\,\,c = 1.\]
b) Sai.Để phương trình có dạng \[ax + by = c\] là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)
Do đó, phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] vì \(a = 2 \ne 0\); \(b = - 5 \ne 0.\)
c) Sai. Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y = 5\] vào phương trình \[\left( * \right)\], ta được: \[4 \cdot 0 - 7 \cdot 5 = -\,35 \ne - 1.\]
Do đó cặp số \[\left( {0\,;\,\,5} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
d) Đúng. Ta có \[4x - 7y = - 1\] suy ra \[7y = 4x + 1\] nên \[y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}\].
Do đó, biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.\]
Cho hai số \(a,\,\,b\) và \[a > 1 > b.\]
a) \(a - 1 > 0.\) b) \(a - b < 0.\)
c) \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.\) d)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a)Đúng. Do \(a > 1\) nên \(a - 1 > 0\). Do đó ý a) là đúng.
b) Sai.Do \(a > b\) nên \(a - b > 0\). Do đó ý b) là sai.
c)Đúng. Do \(1 > b\) hay \(b < 1\) nên \(b - 1 < 0\), mà \(a - 1 > 0\) suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) < 0.\) Do đó ý c) là đúng.
d) Sai.Ta có \(a - 2b = \left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1\)
Do \(b - 1 < 0\) nên \( - 2\left( {b - 1} \right) > 0\).
Lại có \(a - 1 > 0\) nên \(\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) > 0,\) suy ra \(\left( {a - 1} \right) - 2\left( {b - 1} \right) - 1 > - 1\).
Như vậy \(2a - b > - 1.\) Do đó ý d) là sai.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\) có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính tổng \[x + y\].
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3.
Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\).
Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(x = 2,\) ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả \(y = 1.\)
Do đó \[x + y = 2 + 1 = 3.\]
Cách 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(4x = 8\), suy ra \(x = 2.\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x - y = 1,\) ta được: \(2 - y = 1,\) suy ra \(y = 1.\)
Do đó \[x + y = 2 + 1 = 3.\]
Phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\) có bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0.
Điều kiện xác định: \(x \ne 1;\,\,x \ne 2.\)
\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)
\(\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1\)
\(x - 2 - 7x + 7 = - 1\)
\( - 6x = - 6\)
\(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án: \[ - {\bf{3}}\].
Ta có \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\]
\[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\]
\[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\]
\[3x < - 7\]
\[x < - \frac{7}{3}\]
Do đó, nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\]
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(x = - 3.\)
Biết \(0^\circ < \alpha < 90^\circ ,\) tính giá trị biểu thức \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: \[ - {\bf{4}}\].
Theo tính chất tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ nhau, ta có \[\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).\]
Khi đó, ta có \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 2\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \,4.\]
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo. Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và thực hiện nhảy Jumping jacks 20 phút, lượng calo tiêu hao được là 470 calo. Hỏi có bao nhiêu calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga? Có bao nhiêu calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Jumping jacks?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks\(\left( {x > y > 0} \right).\)
Theo đề bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo nên ta có phương trình
\[40x + 10y = 510\] hay \[4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks 20 phút thì tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình
\[30x + 20y = 470\] hay \[3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(5x = 55\), suy ra \(x = 11\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:
\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\) (thỏa mãn).
Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.
(1,5 điểm)
1)Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat B = 70^\circ ,\,\,\widehat C = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\)(làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Một người quan sát ở đài hải đăng cao \(149\,\,{\rm{m}}\) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống đất là \(27^\circ .\) Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
1) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\) Suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) Suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) |
|
Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có
\(BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
\(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Do đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) là \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)
2) Giả sử trong hình vẽ \(BC\) là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì \(AB\) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống \[\widehat {ACx} = 27^\circ \] nên \[\widehat {CAB} = 27^\circ .\] Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}\). Suy ra \[AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]. |
|
Vậy tàu đang đứng cách chân hải đăng khoảng 292 mét.
(0,5 điểm) Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là \[5{\rm{ m}}\] và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là \[12{\rm{ m}}.\]
Hướng dẫn giải
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt \(CJ = x\,\,\left( {x > 0} \right).\)
Vì \[AJ\,\,{\rm{//}}\,\,KB\] (cùng vuông góc với \(CI\)) nên hai tam giác \(AJC\) và \(BKA\) là hai tam giác đồng dạng nên \(\frac{{JC}}{{KA}} = \frac{{JA}}{{KB}}\) nên \(\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\), suy ra \(KB = \frac{{60}}{x}\).
Diện tích khu nuôi cá là:
\(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[S\left( x \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60 \ge 2\sqrt {\frac{{150}}{x} \cdot 6x} + 60 = 2\sqrt {900} + 60 = 120.\]
Dấu xảy ra khi \[\frac{{150}}{x} = 6x\] nên \({x^2} = 25\), suy ra \(x = 5\,\,{\rm{m}}\).
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)
