Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2{x^2} + 2 = 0.\)
\(3y - 1 = 5\left( {y - 2} \right).\)
\(2x + \frac{y}{2} = 1.\)
\(3\sqrt x + {y^2} = 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Viết phương trình \(2x + \frac{y}{2} = 1\) thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1\) ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 2 \ne 0,\)\(b = \frac{1}{2} \ne 0.\)
Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + y = 7\\{x^2} - y = - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\ - 2x + y = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + y = 5\\x - 2{y^2} = - 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\x + \frac{1}{{{y^2}}} = 3\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\ - 2x + y = 3\end{array} \right.\) là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} = 2\) là
\(x \ne 1,{\rm{ }}x \ne 0.\)
\(x \ne 1,\,\,x > 0\).
\(x \ne - 1,{\rm{ }}x \ne 0.\)
\(x \ne - 1,{\rm{ }}x > 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(x - 1 \ne 0\) khi \(x \ne 1\) và \({x^2} \ne 0\) khi \(x \ne 0\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}} + \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} = 2\) là \(x \ne 1,{\rm{ }}x \ne 0.\)
Phát biểu “\(x\) không nhỏ hơn \( - \frac{5}{2}\)” được viết là
\(x > - \frac{5}{2}.\)
\(x \ge - \frac{5}{2}.\)
\(x < - \frac{5}{2}.\)
\(x \le - \frac{5}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phát biểu “\(x\) không nhỏ hơn \( - \frac{5}{2}\)” được viết là \(x \ge - \frac{5}{2}.\)
Rút gọn \[\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\] ta được
\(\left| {x - 1} \right|.\)
\(1 - x.\)
\(x - 1.\)
Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} = x - 1\].
Điều kiện xác định của căn thức \(\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}} \) là
\(x \ge 1.\)
\(x > 1.\)
\(x < 1.\)
\(x \le 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của căn thức \(\sqrt {\frac{2}{{x - 1}}} \) là \(x - 1 > 0\) hay \(x > 1.\)
Biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} \) bằng
\(3 - 2x.\)
\(2x - 3.\)
\(2x - 3\) và \( - 2x + 3\).
\(\left| {2x - 3} \right|.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} \) là \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó, \(\sqrt {{{\left( {3 - 2x} \right)}^2}} = \left| {2x - 3} \right|\).
Giá trị của biểu thức \({\sin ^2}45^\circ + {\cos ^2}45^\circ \) bằng bao nhiêu?
\(0.\)
\(1.\)
\(2.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), do đó \({\sin ^2}45^\circ + {\cos ^2}45^\circ = 1\).
Với mọi góc nhọn \(\alpha \), ta có
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
\(\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = 1 - \tan \alpha .\)
\(\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Với mọi góc nhọn \(\alpha \), ta có\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
Cho đường tròn \(\left( {O;{\rm{ 4 cm}}} \right)\) và \(\left( {O';{\rm{ 3 cm}}} \right)\) có \(OO' = 5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Vị trí tương đối của hai đường tròn đã cho là
tiếp xúc trong.
cắt nhau.
tiếp xúc ngoài.
đựng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(4 - 3 < 5 < 4 + 3\) hay \(1 < OO' < 7\).
Do đó hai đường tròn này cắt nhau.
Góc ở tâm chắn cung \(160^\circ \) có số đo bằng bao nhiêu?
\(200^\circ .\)
\(160^\circ \).
\(80^\circ \).
\(20^\circ .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có góc ở tâm có số đo bằng cung bị chắn.
Do đó, chọn đáp án B.
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Khẳng định nào sau đây là sai?
Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp tuyến bằng nhau.
Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
− Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
− Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
− Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Do đó, khẳng định B là sai.
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Lan có một dung dịch nước muối sinh lí có nồng độ \(1,5\% \) và một dung dịch nước cất không chứa muối (nồng độ \(0\% \)). Lan cần pha trộn dung dịch để thu được 1 lít (1000 ml) dung dịch nước muối sinh lí súc miệng có nồng độ 0,9%. Gọi (ml) là thể tích dung dịch nước muối và \(y\) (ml) là thể tích nước cất \(0\% \) (\(x,{\rm{ }}y > 0\)).
a) Phương trình biểu diễn tổng thể tích dung dịch là \(x + y = 1\,\,000\).
b) Phương trình biểu diễn lượng muối trong dung dịch ban đầu là .
c) Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,015x + y = 900\end{array} \right.\).
d) Lan cần pha \(600{\rm{ ml}}\) dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(400{\rm{ ml}}\) dung dịch nước cốt \(0\% \) để được dung dịch mong muốn.\(1,5\% .x\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
• Gọi \(x\) (ml) là thể tích dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(y\) (ml) là thể tích nước cất \(0\% \) (\(x,{\rm{ }}y > 0\)).
Tổng thể tích dung dịch là \(1{\rm{ 000 ml}}\) nên ta có phương trình \(x + y = 1\,\,000\) (1).
Do đó, ý a) là đúng.
• Tổng khối lượng muối trong dung dịch là \(0,9\% \) của \(1{\rm{ 000 ml}}\). Lượng muối trong dung dịch ban đầu là \(1,5\% .x\) và trong nước cất là \(0\).
Do đó ta có: \(0,015x + 0y = 0,009.1\,\,000\) hay \(0,015x = 9\) (2)
Do đó, ý b) là sai.
• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,000\\0,015x = 9\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là sai.
• Giải phương trình \(0,015x = 9\) ta được \(x = 600\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 600\) vào phương trình (1), được: \(y = 1\,000 - 600 = 400\) (thỏa mãn).
Vậy Lan cần pha \(600{\rm{ ml}}\) dung dịch nước muối \(1,5\% \) và \(400{\rm{ ml}}\) dung dịch nước cốt \(0\% \) để được dung dịch mong muốn.
Do đó, ý d) là đúng.
Một người quan sát một tòa nhà và đứng cách tòa nhà khoảng \[25{\rm{\;m}}\]. Góc nâng từ mắt người quan sát đến nóc tòa nhà là \[36^\circ \]. Nếu anh ta đi thêm \[5{\rm{\;m}}\] nữa, đến vị trí \[E\] nằm giữa \[C\] và \[H\], thì có góc nâng mới từ \[F\] đến nóc tòa nhà. Chiều cao \[CD\] tính từ chân đến mắt người quan sát là \[1,6{\rm{\;m}}{\rm{.}}\] (Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
a) \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ .\]
b) \[FK = 25{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]
c) Độ dài tòa nhà lớn hơn 20 m.
d) Góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà khoảng \[42^\circ \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
• Xét \[\Delta AKD\] vuông tại \[D\], ta có: \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}\]O10-2024-GV154......... hay \[AK = AD \cdot \tan 36^\circ \].
Do đó, ý a) là đúng.
• Ta có: \[FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]O10-2024-GV154.........
Do đó, ý b) là đúng.
• Từ \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},\] ta có \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18,164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có\[AH = AK + KH \approx 18,164 + 1,6 = 19,764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Vậy độ dài tòa nhà chính là độ dài đoạn \[AH\] và khoảng 20 m.
Do đó, ý c) là sai.
• Xét \[\Delta AFK\] vuông tại \[K\], tacó: \[\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18,164}}{{20}}\]O10-2024-GV154........., do đó \[\widehat {KFA} \approx 42^\circ .\]
Vậy góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà khoảng \[42^\circ \].
Vậy ý d) là đúng.
Phần 3. (2,0 điểm)Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: −1
Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)
Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)
\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12\)
\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12\)
\( - 6x \cdot 2 = 12\)
\( - 12x = 12\)
\(x = - 1\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 1\).
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn của bất phương trình \(\frac{{3x + 5}}{2} - 1 < \frac{{2x + 1}}{3} + x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8
\(\frac{{\left( {3x + 5} \right) \cdot 3}}{6} - \frac{{1 \cdot 6}}{6} < \frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot 2}}{6} + \frac{{x \cdot 6}}{6}\)
\(\left( {3x + 5} \right) \cdot 3 - 6 < \left( {2x + 1} \right) \cdot 2 + 6x\)
\(9x + 15 - 6 < 4x + 2 + 6x\)
\(10x + 2 > 9x + 9\)
\( - x < - 7\)
\(x > 7\).
Vậy bất phương trình trên có nghiệm là \(x > 7\).
Do đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là 8.
Tính giá trị của biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}\] tại \[x = 25.\] (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0,25
Điều kiện xác dịnh: \[x \ge 0\].
Thay \[x = 25\] (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \[A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 7}}\], ta được:
\[A = \frac{{\sqrt {25} - 2}}{{\sqrt {25} + 7}} = \frac{{5 - 2}}{{5 + 7}} = \frac{3}{{12}} = \frac{1}{4} = 0,25\].
Vậy \[A = 0,25\] tại \[x = 25.\]
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] bán kính \[OA.\] Từ trung điểm \[M\] của \[OA\] vẽ dây \[BC \bot OA.\] Biết độ dài đường tròn \[\left( O \right)\] là \[4\pi {\rm{\;cm}}.\] Độ dài cung lớn \[BC\] bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 8,38
Ta có \(BC \bot OA\) tại trung điểm \[M\] của \[OA\] nên \(BC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(OA.\) Do đó \[OB = AB.\] Mà \[OA = OB\] nên \[OA = OB = AB.\] Suy ra tam giác \[OAB\] là tam giác đều. Do đó \[\widehat {AOB} = 60^\circ .\] Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {AOC} = 60^\circ .\] Ta có Khi đó số đo cung lớn \[BC\] bằng Độ dài cung lớn \[BC\] là: \[l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right) \approx 8,38{\rm{ cm}}{\rm{.}}\] | |
![Cho đường tròn \[\left( O \right)\] bán kính \[OA.\] Từ trung điểm \[M\] của \[OA\] vẽ dây \[BC \bot OA.\] Biết độ dài đường tròn \[\left( O \right)\] là \[4\pi {\rm{\;cm}}.\] Độ dài cung lớn \[BC\] bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/22-1761105129.png)
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Cho biểu thức \[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\] với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\].
a) Chứng minh rằng \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
b) Tìm các giá trị nguyên của \[a\] để \[T\] nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:
\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]
\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]
\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].
b) Ta có: \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}\].
Do đó, để \[T \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{a + 1}}\] là số nguyên.
Suy ra \[a + 1\] là Ư(4).
Vì điều kiện \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] nên ta có \[a + 1 = 4\] suy ra \[a = 3.\]
Vậy \[a = 3\] là giá trị cần tìm.
(1,5 điểm)Cho nửa đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AB = 2R\]. Từ \[A\] kẻ tiếp tuyến\[Ax\], \[P \in Ax\]sao cho \[AP > R.\] Từ \[P\] kẻ tiếp tuyến \[PM\] với \[\left( O \right)\] tại \[M.\] Gọi \[OP\] cắt \[MA\] tại \[Q\]. Đường vuông góc với \[AB\] tại \[O\] cắt \[BM\] tại \[N.\]
a) Chứng minh bốn điểm \[A,\,P,\,M,\,O\] cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác \[OBNP\] là hình bình hành và gọi \[PM\] cắt \[ON\] tại \[I\]. Chứng minh \[\Delta POI\] cân.
c) Gọi \[PN\] cắt \[OM\] tại \[J,\,AN\] cắt \[OP\] tại \[K.\] Chứng minh ba điểm \[I,\,J,\,K\] thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
![ho nửa đường tròn tâm \[O\] đư (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/37-1761145264.png)
a) Có \[AP\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[A\] nên \[AP \bot AO\].
\[MP\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[M\] nên \[PM \bot MO\].
Tam giác \[APO\] vuông tại \[A\] nên ba điểm \[A,\,P,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[PO\]. (1)
Tam giác \[POM\] vuông tại \[M\] nên ba điểm \[M,\,P,\,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[PO\]. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,\,P,\,M,\,O\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[PO\].
b) Trong \[\left( O \right)\] có tam giác \[AMB\] có \[OA = OB = OM = \frac{1}{2}AB\] nên tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\].
Do đó, \[\widehat {AMB} = 90^\circ \] hay \[AM \bot MB.\] (*)
Mà xét \[\Delta PAO\] và \[\Delta PMO\] có: \[AO = OM = R\] và \[PO\] chung.
Do đó, \[\Delta PAO = \Delta PMO\] (ch – cgv).
Suy ra \[PA = PM\] và \[AO = AM\] (hai cạnh tương ứng)
Do đó, \[PO\] là đường trung trực của \[AM\].
Suy ra \[AM \bot PO\]. (**)
Từ (*) và (**), có \[PO\parallel NB\] nên \[\widehat {AOP} = \widehat {OBN}\] (so le trong)
Xét \[\Delta PAO\] và \[\Delta NOB\] có:
\[AO = OB = R\] (gt)
\[\widehat {PAO} = \widehat {OBN}\] (so le trong)
Do đó, \[\Delta PAO = \Delta NOB\] (cgv – gn)
Suy ra \[PO = NB\] (hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác \[OBNP\] có: \[PO = NB\] và \[PO\parallel NB\] nên \[OBNP\] là hình bình hành.
Suy ra \[PN\parallel OB\].
Mà \[ON \bot OB\] nên \[ON \bot PN\] do đó \[\widehat {PNO} = 90^\circ \].
Có \[\Delta MOA\] cân tại \[O\] (vì \[OA = OM\]) nên \[\widehat {OAM} = \widehat {AMO}\] (3).
Có \[\widehat {AMO} = \widehat {PMN}\] (cùng phụ với \[\widehat {AMP}\]) (4)
Và \[\widehat {MAO} = \widehat {PON}\] (cùng phụ với \[\widehat {POA}\]) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \[\widehat {PMN} = \widehat {PON}\].
Mà \[\widehat {PMN} = \widehat {MPO}\] (vì \[MN\parallel PO\])
Suy ra \[\widehat {OPM} = \widehat {PON}\] hay \[\widehat {POI} = \widehat {IPO}\].
Vậy \[\Delta OPI\] cân tại \[I.\]
c) Xét tứ giác \[APNO\] có \[\widehat {PAO} = \widehat {AON} = \widehat {PNO} = 90^\circ \]
Suy ra \[APNO\] là hình chữ nhật.
Mà \[PO \cap AN = K\] nên \[K\] là trung điểm của \[PO.\]
Xét \[\Delta POI\] cân tại \[I:\] có \[K\] là trung điểm \[PO\] nên \[IK\] là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
Do đó, \[IK \bot PO.\]
Xét \[\Delta JPO\] có \[ON \bot PJ,\,\,PM \bot OJ,\,\,ON \cap PM = I\] nên \[I\] là trực tâm của \[\Delta JPO\].
Suy ra \[IJ \bot PO\].
Từ đây suy ra \[I,\,J,\,K\] thẳng hàng.
(0,5 điểm) Bác Sơn muốn xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(72{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\). Đáy bể có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\), chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bác Sơn muốn phần diện tích cần xây (bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy bể) là nhỏ nhất để tiết kiệm chi phí thì \(x\) phải bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Hướng dẫn giải
Chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)
Diện tích đáy của bể là \(2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Chiều cao của bể là: \(\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Diện tích xung quanh của bể là: \(2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:
\(\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Do \(x\) là chiều rộng của bể nên \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)
Suy ra \(2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85,72\)
Dấu “=” xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}\) hay \(2{x^3} = 108\), tức là \(x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì \(x \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
