Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).

Do đó, \(0x + 0y = 4\) không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right..\)

Do đó, hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right.\) là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{4x - 1}}{{x + 2}} + 1 = \frac{3}{{x - 3}}\) là \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne - 2;{\rm{ }}x \ne 3.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta viết bất phương trình \(\frac{x}{2} + 1 > 0\) về dạng \(\frac{1}{2}x + 1 > 0,\) đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b > 0\) với \(a = \frac{1}{2} \ne 0\) và \(b = 1.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 5;\)                                         \(\sqrt {{5^2}} = 5;\)

          \(\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} = \left| { - 5} \right| = 5;\)                                \( - {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = - 5.\)

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi số \(a\), ta luôn có: \(\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: \(2x + 3 \ge 0\) suy ra \(x \ge \frac{{ - 3}}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khẳng định sai là: “Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh kề được gọi là cosin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha \)”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \[\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng.

Do đó, đường tròn có vô số trục đối xứng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, \(d\left( {O;a} \right) = 4 < 6\), do đó đường thẳng \(a\) cắt nhau tại hai điểm của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc \(\alpha \), kí hiệu \(\sin \alpha .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Sai.              c) Đúng.          d) Đúng.

Gọi \(x\) là số học sinh của lớp 9A, \(y\) là số học sinh của lớp 9B \(\left( {x,{\rm{ }}y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\).

• Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là \(3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A \({\rm{8 kg}}\) giấy báo cũ nên ta có phương trình:

\(2y + 9 - 2x - 9 = 8\) suy ra \(2y - 2x = 8\) hay \(y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Do đó, ý b) là sai.

• Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.\).

Do đó, ý c) là đúng.

• Cộng theo vế hai phương trình ta được \(2y = 90\), suy ra \(y = 45\) (TM).

Thay \(y = 45\) vào phương trình (1), ta được \(x + 45 = 86\), suy ra \(x = 41\)(TM).

Vậy lớp 9A có \(41\) học sinh, lớp 9B có \(45\) học sinh.

Do đó, ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng.          c) Sai.            d) Sai.

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng \(CH.\)

• Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)

Suy ra \(CH = AH \cdot \tan 43^\circ .\)

Do đó, ý a) là đúng.

• Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\) (2)

Do đó, ý b) là đúng.

• Từ (1) và (2) ta có:

\(AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)

Do đó_, ý c) là sai.

• Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng \(84,66{\rm{ m}}\).

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

Điều kiện xác định: \(x \ne 2,{\rm{ }}x \ne  - 2\).

Ta có: \(\frac{{x + 3}}{{x - 2}} - \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 24}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} - 4x + 24\)

\({x^2} + 5x + 6 - {x^2} + x + 2 = {x^2} - 4x + 24\)

\(6x + 8 - {x^2} + 4x - 24 = 0\)

\( - {x^2} + 10x - 16 = 0\)

\({x^2} - 10x + 16 = 0\)

\({x^2} - 2x - 8x + 16 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) - 8\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)

Do đó, \(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 8 = 0\)

Suy ra \(x = 2\) (loại) hoặc \(x = 8\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 8\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: −9

Ta có: \(3x - \left( {6 + 2x} \right) \le 3 \cdot \left( {x + 4} \right)\)

\(3x - 2x - 6 \le 3x + 12\)

\(x - 6 \le 3x + 12\)

\(3x - x \ge - 6 - 12\)

\(2x \ge - 18\)

\(x \ge - 9\).

Do đó nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là \( - 9\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,15

Điều kiện xác định: \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 1\).

Thay \(x = \frac{1}{{25}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(A = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\), ta có:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{25}}} \left( {\sqrt {\frac{1}{{25}}} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt {\frac{1}{{25}}} } \right)}} = \frac{{\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5} + 1} \right)}}{{2\left( {1 - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{5} \cdot \frac{6}{5}}}{{2 \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{6}{{25}}:\frac{8}{5} = \frac{3}{{20}} = 0,15\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,35

Bán kính của đường tròn lớn là: \(90:2 = 45{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Bán kính của đường tròn nhỏ là: \(60:2 = 30{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích bề mặt trên chiếc đèn chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là \(45{\rm{\;cm}},\,\,30{\rm{\;cm}}\) và bằng:

\(S = \pi \left( {{{45}^2} - {{30}^2}} \right) = 3\,\,534,29{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) \approx 0,35{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).

Hướng dẫn giải

a) Với \(a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

Vậy với \(a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9\) ta được \(P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}\).

b) Ta có: \(A + \left| A \right| = 0\) suy ra \(\left| A \right| = - A\).

Do đó, \(A \le 0\) hay \(\frac{3}{{\sqrt a - 2}} \le 0\) suy ra \(\sqrt a - 2 < 0\) do đó \(\sqrt a < 2\).

Suy ra \(0 \le a < 4\).

Vậy \(0 \le a < 4\) là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta CAO\) vuông tại \(A\) (\(CA\) là tiếp tuyến) nên ba điểm \(O,A,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CO.\) (1)

Xét \(\Delta CDO\) vuông tại \(D\) (\(DC\) là tiếp tuyến) nên ba điểm \(O,C,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(CO.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(O,A,C,D\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(CO.\)

b) Gọi \(BD\) cắt \(AC\) tại \(A'\), \(BC\) cắt \(DF\) tại \(I\).

Xét \(\Delta ADB\) có trung tuyến \(OD = \frac{1}{2}AB\) nên \(\Delta ADB\) vuông tại \(D\).

Suy ra \(\Delta ADA'\) vuông tại \(D\).

Lại có \(CD = CA\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên suy ra được \[CD = AC'\].

Suy ra \[\Delta CAD\] cân tại \[C\] nên \[\widehat {CAD} = \widehat {CDA}\].

Có \[\widehat {CAD} + \widehat {AA'D} = \widehat {CDA} + \widehat {CDA'} = 90^\circ \] nên \[\widehat {AA'D} = \widehat {A'DC}\].

Suy ra \(CA' = A'D\).

Từ đây suy ra \(CA' = CA = CD\) hay \(C\) là trung điểm của \(AA'\).

Mặt khác, \(DF\parallel AA '\) (cùng vuông góc với \(AB\)) nên theo định lí Thalès thì \(\frac{{ID}}{{CA'}} = \frac{{IF}}{{CA}}\left( { = \frac{{BI}}{{BC}}} \right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(ID = IF\).

Do đó, \(BC\) đi qua trung điểm của \(DF.\)

c) Ta có: \(\cos \widehat {COD} = \frac{{OD}}{{OC}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat {COD} = 60^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {AOD} = 180^\circ - \widehat {COD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ta có \({S_{quat{\rm{ }}AOD}} = \frac{{\pi \cdot {R^2} \cdot 120^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(COD\), có \(CD = \sqrt {C{O^2} - O{D^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 \).

Ta có: \({S_{OCD}} = \frac{1}{2}CD \cdot DO = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt 3 \cdot R = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta DCO\) và \(\Delta ACO\), có: \(CO\) chung (gt)

                                            \(CA = CD\) (tính chất)

                                            \(OA = OD = R\) (gt)

Do đó, \(\Delta DCO = \Delta ACO\) (c.c.c).

Suy ra \({S_{ACO}} = {S_{COD}} = \frac{1}{2}{S_{ACDO}}\).

Do đó, \({S_{ACDO}} = 2{S_{CDO}} = {R^2}\sqrt 3 \).

Diện tích phần tam giác \(ACD\) nằm ngoài đường tròn là: \({R^2}\sqrt 3 - \frac{{\pi {R^2}}}{3} = \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right){R^2}\).

⦁ Diện tích giấy màu cần sử dụng chính bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng \(16{\rm{ cm}}\) và cạnh đáy là \(2x{\rm{ cm}}\).

Xét tam giác \(SBC\), kẻ đường cao \(SH \bot BC\) tại \(H\).

Do tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác, suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Suy ra \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = x{\rm{ (cm) }}\left( {0 < x < 16} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\)

Suy ra \(S{H^2} = {16^2} - {x^2} = 256 - {x^2}.\)

Do đó \(SH = \sqrt {256 - {x^2}} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích tam giác \(SBC\) là \(\frac{1}{2}SH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {256 - {x^2}} \cdot 2x = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích giấy màu cần sử dụng là \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

⦁ Yêu cầu bài toán đưa về thực hiện tìm giá trị lớn nhất của \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)với \(0 < x < 16\).

Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)

                                \( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2 \cdot 128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)

                                \( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\)

Do đó, \(S \le 512\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} - 128 = 0\) hay \(x = 8\sqrt 2 \) (do \(0 < x < 16)\).

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là \(512{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).