Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Phần 1. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Trong mỗi câu hỏi từ câu 1 đến câu 12, hãy viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bài làm.
Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4.\)
\(3x - 0y - 2 = 0.\)
\(3y - 2z = \frac{1}{2}.\)
\(\frac{2}{x} + \frac{y}{3} - 2 = 0.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Do đó, \(\frac{2}{x} + \frac{y}{3} - 2 = 0\)không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong các hệ phương trình dưới đây, hệ phương trình nào không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 5\\2y - x = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\2x - \sqrt 5 y = 3\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 4\\3x - 2y = 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x - 3{y^2} = 4\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\).
Do đó, hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\x - 3{y^2} = 4\end{array} \right.\) không là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Do đó, chọn đáp án D.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 2}}{{x - 4}} - 1 = \frac{{30}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\) là
\(x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne 4.\)
\(x \ne 3;{\rm{ }}x \ne - 4.\)
\(x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne 4;{\rm{ }}x \ne - 2.\)
\(x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne - 4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì \(x + 3 \ne 0\)khi \(x \ne - 3\) và \(x - 4 \ne 0\) khi \(x \ne 4\)nên điều kiện xác định của phương trình đã cho là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 4\).
Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “\(n\) nhỏ hơn \(\frac{3}{5}\)” là
\(n \le \frac{3}{5}.\)
\(n < \frac{3}{5}.\)
\(n > \frac{3}{5}.\)
\(n \ge \frac{3}{5}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Bất đẳng thức diễn tả khẳng định “\(n\) nhỏ hơn \(\frac{3}{5}\)” là \(n < \frac{3}{5}.\)
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \sqrt {1 - 2x} \) là
\(x \le \frac{1}{2}.\)
\(x < \frac{1}{2}.\)
\(x > \frac{1}{2}.\)
\(x \ge \frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định của biểu thức \(A = \sqrt {1 - 2x} \) là \(1 - 2x \ge 0\) hay \(x \le \frac{1}{2}.\)
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\). Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\sqrt {AB} = \sqrt A \cdot \sqrt B \) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0\).
\(\sqrt {AB} = \sqrt { - A} \cdot \sqrt { - B} \) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0\).
\(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt { - A} }}{{\sqrt { - B} }}\) với \(A < 0,\,\,B < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B > 0\).
Do đó, chọn đáp án C.
Trục căn thức ở mẫu của \(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) được kết quả là
\(2\left( {\sqrt 3 + 1} \right).\)
\(2\left( {\sqrt 3 - 1} \right).\)
\(\sqrt 3 + 1.\)
\(\sqrt 3 - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} = \sqrt 3 + 1\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khi đó:
\(AB = AC.\cos B.\)
\(AB = AC.\cos C.\)
\(AB = BC.\cos B.\)
\(AB = BC.\cos C.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) nên \(AB = BC \cdot \cos B.\)
Cho \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\tan \alpha = \sin \beta .\)
\(\tan \alpha = \cot \beta .\)
\(\tan \alpha = \cos \beta .\)
\(\tan \alpha = \tan \beta .\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì \(\alpha + \beta = 90^\circ \) nên \(\alpha \) và \(\beta \) là hai góc phụ nhau.
Do đó, \(\tan \alpha = \cot \beta .\)
Điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) nếu
\(OM = R.\)
\(OM > R.\)
\(OM < R.\)
\(OM = 2R.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) nếu \(OM = R.\)
Cho hai đường tròn \(\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)\) và \(\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)\) tiếp xúc ngoài thì độ dài của \(OO'\) bằng:
\(2{\rm{ cm}}.\)
\({\rm{7 cm}}.\)
\({\rm{3 cm}}.\)
\({\rm{1 cm}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cho hai đường tròn \(\left( {O;\,\,2{\rm{ cm}}} \right)\) và \(\left( {O';\,\,5{\rm{ cm}}} \right)\) tiếp xúc ngoài thì \(OO' = 2 + 5 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Cho hai đường tròn đồng tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \(R\) và \(r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).\) Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính
\(S = \pi \left( {{r^2} - {R^2}} \right).\)
\(S = \pi \left( {{r^2} + {R^2}} \right).\)
\(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\)
Kết quả khác.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường tròn đồng tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \(R\) và \(r{\rm{ }}\left( {R > r} \right).\) Diện tích phần nằm giữa hai đường tròn này – hình vành khăn được tính theo công thức \(S = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\)
Phần 2. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong câu 13, 14, hãy chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).
Hai tổ cùng làm một công việc trong \(15\) giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong \(3\) giờ, tổ II làm trong \(5\) giờ thì được \(25\% \) công việc. Gọi \(x,\,\,y\) (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
a) Trong 1 giờ, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc); tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).
b) Trong 3 giờ, tổ I làm được \(\frac{3}{x}\) (công việc); trong 5 giờ tổ II làm được \(\frac{5}{y}\) (công việc).
c) Hệ phương trình biểu diễn bài toán là \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 15\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).
d) Nếu làm riêng thì tổ I hoàn thành công việc trong 40 giờ, tổ II hoàn thành trong 24 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
• Gọi \(x,\,\,y\) (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
Trong 1 giờ, tổ I làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc); tổ II làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).
Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).
Do đó, ý a) là đúng.
• Trong 3 giờ, tổ I làm được \(\frac{3}{x}\) (công việc).
Trong 5 giờ, tổ II làm được \(\frac{5}{y}\) (công việc).
Do đó, ý b) là đúng.
• Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau \(15\) giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được \(\frac{1}{{15}}\) (công việc). Ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\) (1)
Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được \(25\% = \frac{1}{4}\) công việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\) (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{15}}\\\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\).
Do đó, ý c) là sai.
• Từ phương trình thứ nhất, ta được: \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\).
Thế \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\) vào phương trình thứ hai, ta được:
\(3\left( {\frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\) hay \(\frac{1}{5} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}\), suy ra \(\frac{2}{y} = \frac{1}{{20}}\) nên \(y = 40\) (thỏa mãn).
Thay \(y = 40\) vào phương trình \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{y}\), ta được:
\(\frac{1}{x} = \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{40}}\) hay \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\), suy ra \(x = 24\) (thỏa mãn).
Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.
Do đó, ý d) là sai.
Một người có tầm mắt cao \[1,65{\rm{ m}}\] đứng trên tầng thượng của tòa Lotte Center thì nhìn thấy một chiếc xe thu gom phế thải đang dừng ở \[B\] với góc nghiêng \[80^\circ \] (như hình vẽ). Biết xe đó cách tòa nhà \(48{\rm{ m}}\). Lúc này, một người ở độ cao \[200{\rm{ m}}\] của tòa nhà cũng nhìn thấy xe thu gom phế thải khác đang dừng ở \[E\] với góc nghiêng \(65^\circ \). (Tất cả các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
a)\(AC = AB.\cot \widehat {CBA}\).
b) Tòa nhà có độ cao lớn hơn \(272{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
c) Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \(E\) đến chân tòa nhà khoảng \(93,26{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
d) Hai xe thu gom phế thải cách nhau một khoảng lớn hơn \(45{\rm{ m}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:
\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)
Do đó, ý a) là sai.
• Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:
\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy tòa nhà cao khoảng \[270,57{\rm{ m}}\].
Do đó, ý b) là sai.
• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].
Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:
\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]
Do đó, ý c) là đúng.
• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]
Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau một khoảng \[45,26{\rm{ m}}\].
Vậy ý d) là đúng.
Phần 3. (2,0 điểm)Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình \(\frac{{2x - 5}}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{6x + 3}}{{{x^2} - 3x}}\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 1
Ta có: Điều kiện xác định: \(x \ne 0,{\rm{ }}x \ne 3\).
Ta có: \(\frac{{2x - 5}}{{x - 3}} - \frac{1}{x} = \frac{{6x + 3}}{{{x^2} - 3x}}\)
\(\frac{{\left( {2x - 5} \right)x}}{{\left( {x - 3} \right)x}} - \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}\)
\(\frac{{2{x^2} - 5x - x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}} = \frac{{6x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)x}}\)
\(2{x^2} - 5x - x + 3 = 6x + 3\)
\(2{x^2} - 5x - x + 3 - 6x - 3 = 0\)
\(2{x^2} - 12x = 0\)
\(2x\left( {x - 6} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 0\)(loại) hoặc \(x = 6\)(TM).
Vậy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
Vậy có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hỏi giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \[\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4\] là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: −16
Ta có: \[\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4\]
\[\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4\]
\[\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} - 4 \ge 0\]
\[\frac{{8 - x - 24}}{6} \ge 0\]
\[\frac{{ - x - 16}}{6} \ge 0\]
\[ - x - 16 \ge 0\]
\[x \le - 16\].
Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên là \(x = - 16\).
Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}\) khi \(x = \frac{1}{{16}}.\) (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: −0,6
Điều kiện xác định: \(x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 16\).
Thay \(x = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn ĐKXĐ) vào \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}\), ta được:
\(B = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 2}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 4}} = \frac{{\frac{1}{4} + 2}}{{\frac{1}{4} - 4}} = \frac{9}{4}:\left( { - \frac{{15}}{4}} \right) = \frac{{ - 9}}{{15}} = \frac{{ - 3}}{5} = - 0,6\).
Cung tròn \(50^\circ \) của một đường tròn có độ dài là \(\pi {\rm{\;cm}}.\) Tính bán kính của đường tròn đó.
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3,6
Công thức tính độ dài của cung tròn \(n^\circ \) trên đường tròn bán kính \(R{\rm{\;(cm)}}\) là: \[l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Suy ra \(R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Thay \(n = 50,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}\) ta được: \[R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{50 \cdot \pi }} = 3,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
Vậy bán kính của đường tròn đó là \[3,6{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0\) và
a) Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Tìm các giá trị của \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\).
Hướng dẫn giải
a) Với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có:
\(P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\)
\[ = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\].
Vậy với \(x > 0,{\rm{ }}x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
b) Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\).\(BC\)
Theo đề, để \(2P = 2\sqrt x + 5\) thì \(\frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\)
Suy ra \(2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \) hay \(2x + 3\sqrt x - 2 = 0\) do đó \(\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right) = 0\)
Suy ra \(\sqrt x + 2 = 0\) hoặc \(\sqrt x - \frac{1}{2} = 0\).
Do đó, \(\sqrt x = - 2\) (vô lí) hoặc \(\sqrt x = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(x = \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5\).
(1,5 điểm) Cho nửa đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB\]. Lấy \[C\] nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[K\] là trung điểm của dây cung \[BC\]. Qua \[B\] dựng tiếp tuyến với \[\left( O \right)\], cắt \[OK\] tại \[D\].
a) Chứng minh rằng \[OD \bot BC\] và \[\Delta ABC\] vuông.
b) Chứng minh \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Vẽ \[CH \bot AB\] tại \[H\]. Gọi \[I\] là trung điểm của \[CH\]. Tiếp tuyến tại \[A\] của đường tròn \[\left( O \right)\] cắt \[BI\] tại \[E\]. Chứng minh \[E,C,D\] thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường cao của \[\Delta OBC.\] Suy ra \[OK \bot BC\] hay \[OD \bot BC\].
Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB,\) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ .\]
Vậy \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\].
b) Xét \[\Delta OBC\] cân tại \[O\] (do \[OC = OB = R\]) nên đường trung tuyến \[OK\] cũng là đường phân giác của \[\Delta OBC.\] Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}.\)
Xét \[\Delta CDO\] và \[\Delta BDO\] có:
\[OD\] là cạnh chung; \(\widehat {BOD} = \widehat {COD}\); \[OB = OC\]
Do đó \[\Delta CDO = \Delta BDO\] (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {DCO} = \widehat {DBO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).
Như vậy, \[OC \bot DC\] tại \[C\] thuộc \(\left( O \right)\) hay \[DC\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\].
c) Gọi \[F\] là giao điểm của \[BC,\,\,AE.\] Ta có: \[IC \bot AB\] và \[AF \bot AB\], suy ra \[IC\,{\rm{//}}\,AF\] hay \[IC\,{\rm{//}}\,EF\]. Xét \[\Delta BEF\], có: \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (1) Xét \[\Delta BAE\], có: \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{EB}}\] (Hệ quả định lí Thalès) (2) Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{IC}}{{EF}} = \frac{{IH}}{{EA}}\], mà \[IC = IH\] (do \(I\) là trung điểm của \(CH)\) nên \[EF = EA\] hay \[E\] là trung điểm của \[AF.\] Ta có \[\widehat {FCA} = 90^\circ \] (cùng bù với \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]) nên \[\Delta FCA\] vuông tại \[C\].
Xét \(\Delta ACF\) vuông tại \(C,\) có \(CE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AF\) nên \[CE = EA = EF = \frac{1}{2}AF.\] Xét \[\Delta CEO\] và \[\Delta AEO\], có: \[CE = AE\], \[OC = OA\] và \[OE\] là cạnh chung Do đó \[\Delta CEO = \Delta AEO\] (c.c.c) Suy ra \[\widehat {ECO} = \widehat {EAO} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng). Ta có: \[\widehat {ECO} + \widehat {OCD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] hay \[\widehat {ECD} = 180^\circ \]. Vậy ba điểm \[E,C,D\] thẳng hàng. |
|
(0,5 điểm) Một người đào ao cá trên thửa ruộng dạng hình tam giác vuông \[ABC\] tại \[A\] có độ dài các cạnh góc vuông \[AB = 6{\rm{ m,}}\] \[AC = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\] Một chiếc máy xúc ở vị trí điểm \[M\] di chuyển trên bờ \[BC.\] Gọi \[MD\] và \[ME\] là khoảng cách từ \[M\] đến bờ \[AB,AC.\] Người đó đào được ao là tứ giác \[ADME\]. Tính diện tích lớn nhất của ao cá mà người đó có thể đào. 
Hướng dẫn giải
Đặt \[AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)\].
Ta có tứ giác \[ADME\] có \[\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AEM} = 90^\circ \] nên \[ADME\] là hình chữ nhật.
Do đó, \[EM = AD = x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có \(EM\,{\rm{//}}\,AB\) (cùng vuông góc với \(AC)\) nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:
\[\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}\] suy ra \[CE = \frac{4}{3}x\].
Ta có \[AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x\].
Diện tích hình chữ nhật \[ADME\] là:
\[{S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)\]\[ = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)\]
\[ = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12\]\[ = - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12\].
Vì \[{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó \[ - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi \[x - 3 = 0\] hay \[x = 3.\]
Khi đó \[D\] là trung điểm của \[AB\].
Lúc này, xét \(\Delta ABC\) có \(D\) là trung điểm của \(AB\) và \(DM\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) nên \(DM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC,\) suy ra \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \[ADME\] bằng \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\] khi \[M\] là trung điểm của \[BC\].
Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là \[{\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].
