Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
17 câu hỏi
Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0\].
\[5x - 3z = 6\].
\(5x - 8y = 0.\)
\[\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3.\]
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Xét các đáp án, ta thấy:
\[\left( {x - 5} \right) + \left( {2y - 6} \right) = 0\] hay \(x - 5 + 2y - 6 = 0\) suy ra \(x + 2y = 11\) nên đáp án A là phương trình bậc nhất hai ẩn.
\[5x - 3z = 6\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,z\) nên đáp án B là phương trình bậc nhất hai ẩn.
\(5x - 8y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\)
\[\left( {x - 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 3\] hay \[2xy - 3x - 4y + 6 = 3\] suy ra \[2xy - 3x - 4y = - 3\] nên đáp án D không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn đáp án D.
Phương trình \[x - 5y = 2\] nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?
\[\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\].
\[\left( {3\,;\,\, - 1} \right)\].
\[\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right)\].
\(\left( {7\,;\,\,1} \right).\)
• Thay \[x = 1\,;{\rm{ }}y = - 2\] vào phương trình đường thẳng, ta có: \[1 - 5 \cdot \left( { - 2} \right) = 11 \ne 2.\]
Suy ra \[\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[x - 5y = 2\].
• Thay \[x = 3\,;{\rm{ }}y = - 1\] vào phương trình đường thẳng, ta có: \[3 - 5 \cdot \left( { - 1} \right) = 8 \ne 2.\]
Suy ra \[\left( {3\,;\,\, - 1} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[x - 5y = 2\].
• Thay \[x = - 1\,;{\rm{ }}y = - 3\] vào phương trình đường thẳng, ta có: \[ - 1 - 5 \cdot \left( { - 3} \right) = 14 \ne 2.\]
Suy ra \[\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[x - 5y = 2\].
• Thay \[x = 7\,;{\rm{ }}y = 1\] vào phương trình đường thẳng, ta có: \[7 - 5 \cdot 1 = 7 - 5 = 2.\]
Suy ra \(\left( {7\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của phương trình \[x - 5y = 2\].
Do đó, ta chọn đáp án D.
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho các điểm \[A\left( {0\,;\,\,4} \right),{\rm{ }}B\left( {1\,;\,\,5} \right),{\rm{ }}C\left( {2\,;\,\,3} \right),{\rm{ }}D\left( {--1\,;\,\,--1} \right).\] Đường thẳng \[4x--3y = --1\] đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?
\[A\] và \[B\].
\[B\] và \[C\].
\[C\] và \[D\].
\[D\] và \[A\].
• Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y = 4\] vào phương trình đường thẳng, ta có:
\[4 \cdot 0--3 \cdot 4 = 0--12 = --12 \ne --1.\]
Suy ra đường thẳng \[4x--3y = --1\] không đi qua \[A\left( {0\,;\,\,4} \right)\].
Do đó, loại đáp án A và D.
• Thay \[x = 1\,;{\rm{ }}y = 5\] vào phương trình đường thẳng, ta có:
\[4 \cdot 1--3 \cdot 5 = 4--15 = --11 \ne --1.\]
Suy ra đường thẳng \[4x--3y = --1\] không đi qua \[B\left( {1\,;\,\,5} \right)\].
Do đó, loại đáp án B.
• Thay \[x = 2\,;{\rm{ }}y = 3\] vào phương trình đường thẳng, ta có:
\[4 \cdot 2--3 \cdot 3 = 8--9 = --1.\]
Suy ra đường thẳng \[4x--3y = --1\] đi qua \[C\left( {2\,;\,\,3} \right)\].
Do đó, ta chọn đáp án C.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\2x - y = 4\end{array} \right.\]?
\[\left( { - 3\,;\,\,2} \right)\].
\[\left( {3\,;\,\,2} \right)\].
\[\left( {3\,;\,\, - 2} \right)\].
\[\left( { - 3\,;\,\, - 2} \right).\]
Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = 5 - x\]. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
\[2x - \left( {5 - x} \right) = 4\], tức là \[3x - 5 = 4\], suy ra \[3x = 9\] hay \[x = 3\].
Từ đó \[y = 5 - 3 = 2.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {3\,;\,\,2} \right).\]
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 3}} = \frac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) là
\[x \ne - 2;{\rm{ }}x \ne 3\].
\[x \ne 2;{\rm{ }}x \ne --3\].
\[x \ne - 3;{\rm{ }}x \ne --2\].
\[x \ne 0;{\rm{ }}x \ne 3\].
Vì \[x + 2 \ne 0\] khi \[x \ne - 2\] và \[x - 3 \ne 0\] khi \[x \ne 3\] nên điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{x - 3}} = \frac{{5x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) là \[x \ne - 2\] và \[x \ne 3\].
Bất đẳng thức \(m \le - 8\) có thể được phát biểu là
\(m\) lớn hơn âm 8.
\(m\) không nhỏ hơn âm 8.
\(m\) nhỏ hơn âm 8.
\(m\) không lớn hơn âm 8.
Đáp án đúng là: D
Bất đẳng thức \(m \le - 8\) có thể được phát biểu là \(m\) không lớn hơn âm 8.
Nếu \[a < b\] thì 2a+1 ..... 2b+1. Dấu thích hợp điền vào ô trống là
\[ \ge \].
\[ \le \].
\[ < \].
</>
\[ > \].
Đáp án đúng là: C
Nhân hai vế của bất đẳng thức \[a < b\] với 2, ta được: \[2a < 2b\].
Cộng 1 vào hai vế của bất đẳng thức \[2a < 2b\], ta được: \[2a + 1 < 2b + 1\].
Do đó dấu cần điền vào ô trống là \[ < \].
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[3x + y > 4\].
\[0x - 4 \ge 0\].
\[5x--3 > 4\;\].
\[2{x^2} - 3x + 1 \le 0.\]
Bất phương trình có dạng \[ax + b < 0\] (hoặc \[ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)\] trong đó \[a\,,\,\,b\] là hai số đã cho, \(a \ne 0\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x.\)</>
Bất phương trình \[3x + y > 4\] có hai ẩn \(x\,,\,\,y\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[0x - 4 \ge 0\] có dạng \[ax + b \ge 0\] và \(a = 0\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ta có \[5x--3 > 4\;\] hay \[5x--7 > 0\;\]. Bất phương trình \[2x--7 > 0\;\] có dạng \[ax + b \ge 0\] và \(a = 2\) nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[2{x^2} - 3x + 1 \le 0\] có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Vậy chọn đán án C.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] có \[AB = 6{\rm{ cm}},{\rm{ }}AC = 8{\rm{ cm}},{\rm{ }}BC = 10{\rm{ cm}}.\] Khi đó \(\sin B\) bằng
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{5}{4}\).
\(\frac{5}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}.\)
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] thì
\[\sin B--\cos C = 0.\]
\[\sin C + \cos {\rm{ }}B = 0.\]
\[\sin {\rm{ }}B + \cos {\rm{ }}C = 0.\]
\[\cos B + \cos C = 0.\]
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên hai góc \[B\] và \[C\] là hai góc phụ nhau.
Do đó \[\sin B = \cos C\] hay \[\sin B--\cos C = 0.\]
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[BC = a,\] \[AC = b,\,\,AB = c.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[c = b \cdot \tan B\].
\[c = b \cdot \cot C\].
\[c = b \cdot \tan C\].
\[c = b \cdot \sin B\].
Đáp án đúng là: C
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \[c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B.\]
Do đó khẳng định đúng là: \[c = b \cdot \tan C\].
Cho tam giác\(ABC\)vuông tại\(A\)có \(AB = 8\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat C = 30^\circ .\) Độ dài cạnh \(BC\) là
4 cm.
\(8\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}\).
\(\frac{{8\sqrt 3 }}{3}\,\,{\rm{cm}}\).
16 cm.
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \[\widehat C = 30^\circ \] nên \[AB = BC \cdot \sin {\rm{ }}C.\] Suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{8}{{\sin 30^\circ }} = 16\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \[BC = 16{\rm{ cm}}.\] |
|
(1,0 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
a) \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\3x - y = 5\end{array} \right.\];
b) \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\5x - y = 10\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
a) Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = 3 - x\]. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
\[3x - \left( {3 - x} \right) = 5\], tức là \[4x - 3 = 5\], suy ra \[4x = 8\] hay \[x = 2\].
Từ đó \[y = 3 - 2 = 1.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,;\,\,1} \right).\]
b) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \[2x + y + 5x - y = 14\] hay \[7x = 14\], suy ra \[x = 2.\]
Thế \[x = 2\] vào phương trình thứ nhất, ta được \[2 \cdot 2 + y = 4\], suy ra \(y = 0.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \[\left( {2\,;\,\,0} \right).\]
(2,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\];
b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\);
c) \[4x + 1 < 2x - 9\];
d) \(\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x\).
Hướng dẫn giải
a) \[2x(3x - 1) + 6x - 2 = 0\] \[2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\] \[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\] \[2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\] \(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\). Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = - 1\). | b) \(\frac{3}{{x + 1}} - \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Điều kiện xác định \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\) và \(x \ne 2\). Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{4x - 2}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) Suy ra \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 4x - 2\) \(3x - 6 - 2x - 2 = 4x - 2\) \[x - 8 = 4x - 2\] \[3x = - 6\] \[x = - 2\]. Giá trị \[x = - 2\] thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình là \[x = - 2\]. |
c) Ta có: \[4x + 1 < 2x - 9\] \[4x - 2x < - 9 - 1\] \[2x < \; - 10\] \[x < - 5\]. Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < - 5.\) | d) Ta có: \(\frac{2}{3}\left( {2x + 3} \right) < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 2 < 7 - 4x\) \(\frac{4}{3}x + 4x < 5\) \(\frac{{16}}{3}x < 5\) \(x < \frac{{15}}{{16}}\). Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < \frac{{15}}{{16}}\). |
(1,5 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng \[68{\rm{ m}}.\] Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi khu vườn mới là \[178{\rm{ m}}.\] Tính diện tích ban đầu của khu vườn.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {x > 0} \right).\]
\[y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều rộng của khu vườn lúc đầu \[\left( {y > 0} \right).\]
Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng \[68{\rm{ m}}\] nên \[2x + 2y = 68\] hay \[x + y = 34\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là \[2x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chiều dài khu vườn sau khi tăng là \[3y\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi của khu vườn sau khi tăng là \[2 \cdot 2x + 2 \cdot 3y = 178\] hay \[2x + 3y = 89{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 34\\2x + 3y = 89\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 34 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được
\(2\left( {34 - y} \right) + 3y = 89\), tức là \(2y = 42\), suy ra \(y = 21\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
Từ đó \(x = 34 - 21 = 13\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.
Diện tích ban đầu của khu vườn là: \(13 \cdot 21 = 273\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là \(273\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)
(2,0 điểm)
1. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\,\,\left( {AB < AC} \right)\], đường cao \(AH.\) Biết \(AB = 6\,\,{\rm{cm}}\) và \(\cos \widehat {ABC} = \frac{3}{5}\). Tính \(BC,\,\,AC,\,\,BH.\)
2. Từ trên một ngọn hải đăng cao \(75\,\,{\rm{m}}\), người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là \(30^\circ \) và \(45^\circ \) (xem hình vẽ). Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét giữa hai lần quan sát? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
</>
Hướng dẫn giải
1. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), ta có:
\(AB = BC\,.\,\cos C\) nên
\(BC = \frac{{AB}}{{\cos C}} = \frac{6}{{\frac{3}{5}}} = 10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Áp dụng định lí Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {10^2} - {6^2} = 64\), suy ra \(AC = 8\,\,{\rm{cm}}\).
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) có \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ ;\,\,\widehat B\) chung.
Do đó .
Suy ra \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{AB}}\) hay \(A{B^2} = BH\,.\,BC\) nên \(BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy \(BC = 10\,\,{\rm{cm}},\,\,AC = 8\,\,{\rm{cm}},\,\,BH = 3,6\,\,{\rm{cm}}.\)
2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là \(CD.\)
Xét \(\Delta BAC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 75\cot \widehat {BCA} = 75\cot 45^\circ = 75\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Xét \(\Delta DAB\) vuông tại \(A\) có \(AD = 75\cot \widehat {BDA} = 75\cot 30^\circ = 75\sqrt 3 \,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:
\(CD = AD - AC = 75\sqrt 3 - 75 \approx 55\,\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.
(0,5 điểm) Cho \[x,{\rm{ }}y\] là hai số thực thỏa mãn điều kiện \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\]
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2x + 2y - 3}}{{x + y + 6}}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \[{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.\]
\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 7x + 7y + {y^2} + 10 = 0\)
\({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)^2} + 7\left( {x + y} \right) + {y^2} + 10 = 0 & \left( 1 \right)\)
Đặt \[S = x + y\].
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \[{S^2} + 7S + {y^2} + 10 = 0\]
\({S^2} + 7S + \frac{{49}}{4} = \frac{9}{4} - {y^2}\)
\({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4} - {y^2} \le \frac{9}{4}\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{9}{4} - {y^2} = \frac{9}{4}\) hay \(y = 0\).
Do đó \({\left( {S + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\) nên \(\frac{{ - 3}}{2} \le S + \frac{7}{2} \le \frac{3}{2}\) hay \[ - 5 \le S \le - 2.\]
Ta có \(P = \frac{{2x + 2y - 3}}{{x + y + 6}} = \frac{{2\left( {x + y + 6} \right) - 15}}{{x + y + 6}}\) \( = 2 - \frac{{15}}{{x + y + 6}} = 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} & \left( 2 \right)\)
Với \[ - \,5 \le S \le - \,2\] thì \(1 \le S + 6 \le 4\)
\(\frac{{15}}{4} \le \frac{{15}}{{S + 6}} \le 15\)
\(2 - 15 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le 2 - \frac{{15}}{4}\)
\( - 13 \le 2 - \frac{{15}}{{S + 6}} \le - \frac{7}{4}\)
\( - 13 \le P \le - \frac{7}{4}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P\] là \[ - 13\] khi \(x = - 5\,;\,\,y = 0\).
Và giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{{ - 7}}{4}\) khi \[x = - 2\,;\,\,y = 0.\]
