Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
13 câu hỏi
Cho phương trình \[4x - 7y = - 1{\rm{ }}\left( * \right)\]
Hướng dẫn giải
a) Đúng. Phương trình \[\left( * \right)\] có các hệ số là \[a = 2\,;\,\,b = - 5\,;\,\,c = 1.\]
b) Sai. Để phương trình có dạng \[ax + by = c\] là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)
Do đó, phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] vì \(a = 2 \ne 0\); \(b = - 5 \ne 0.\)
c) Sai. Thay \[x = 0\,;{\rm{ }}y = 5\] vào phương trình \[\left( * \right)\], ta được: \[4 \cdot 0 - 7 \cdot 5 = --\,35 \ne - 1.\]
Do đó cặp số \[\left( {0\,;\,\,5} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
d) Đúng. Ta có \[4x - 7y = - 1\] suy ra \[7y = 4x + 1\] nên \[y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}\].
Do đó, biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.\]
Điều kiện xác định của phương trình \[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\] là
\(x \ne 2.\)
\(x \ne - 1.\)
\[x \ne 2\] và \(x \ne - 1.\)
\(x \ne 2\) và \(x \ne 0.\)
Vì \(x - 2 \ne 0\) khi \(x \ne 2\) và \(x + 1 \ne 0\) khi \(x \ne - 1\) nên ĐKXĐ của phương trình \[\frac{1}{{x - 2}} + \frac{x}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\] là \[x \ne 2\] và \(x \ne - 1.\)
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[2x + y \le 8\].
\[0x - 2 < 0\].
\[{x^2} - 5x + 4 > 0.\]
\[\frac{2}{3}x--1 \ge 5.\]
Bất phương trình có dạng \[ax + b < 0\] (hoặc \[ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)\] trong đó \[a\,,\,\,b\] là hai số đã cho, \(a \ne 0\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x.\)</>
Bất phương trình \[2x + y \le 8\] có hai ẩn \(x\,,\,\,y\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[0x - 2 < 0\] có dạng \[ax + b \le 0\] và \(a = 0\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[{x^2} - 5x + 4 > 0\] có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ta có \[\frac{2}{3}x--1 \ge 5\] hay \[\frac{2}{3}x--6 \ge 0\]. Bất phương trình \[\frac{2}{3}x--6 \ge 0\] có dạng \[ax + b \ge 0\] và \(a = 2\) nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Vậy chọn đán án D.
Cho tam giác \(DEF\) vuông tại \(D\) có đường cao \(DH\) và \(\widehat E = \alpha \). Khi đó \(\cot \alpha \) bằng tỉ số nào sau đây?
\(\frac{{EH}}{{DH}}\).
\(\frac{{DH}}{{EF}}\).
\(\frac{{DF}}{{EF}}\).
\(\frac{{DH}}{{EH}}\).
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta DEF\) vuông tại \[D,\] ta có:
\(\cot E = \frac{{EH}}{{DH}}\) hay \(\cot \alpha = \frac{{EH}}{{DH}}.\)
Vậy chọn đáp án A.
Trong tam giác \[ABC\], nếu \(\widehat B = 30^\circ \) thì tỉ số giữa cạnh đối \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
1.
Đáp án đúng là: B
Tam giác \[ABC\] có cạnh huyền \(BC\) nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\). Suy ra \[\frac{{AC}}{{BC}} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.\] Vậy tỉ số giữa cạnh đối \(AC\) và cạnh huyền \(BC\) bằng \[\frac{1}{2}.\] |
|
Cho hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.\] có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính giá trị \[{x^2} - {y^2}\].
Hướng dẫn giải
Cách 2. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\2x - y = 11\end{array} \right.\]
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(5x = 15\), suy ra \(x = 3.\)
Thay \(x = 3\) vào phương trình \(3x + y = 4,\) ta được: \(3 \cdot 3 + y = 4,\) hay \(9 + y = 4,\) suy ra \(y = - 5.\)
Do đó \[{x^2} - {y^2} = {3^2} - {\left( { - 5} \right)^2} = 9 - 25 = - 16.\]
Vậy điền đáp án là: \[ - 16.\]
Cho phương trình \[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\]. Hỏi có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình đã cho?
Hướng dẫn giải
Ta có \[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) = \left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\]
\[\left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {x - 2} \right)} \right]\]
\[\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]
\[x - 2 = 0\] hoặc \[x + 3 = 0\]
\[x = 2\] hoặc \[x = - 3\].
Do đó phương trình có hai nghiệm \[x = 2\]; \[x = - 3\] nên có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy điền đáp án là: 2.
Biển báo giao thông R.306 (hình bên báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ \(a\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) thì \(a\) phải thỏa mãn điều kiện gì?
Hướng dẫn giải
Do biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển, nên theo hình vẽ thì tốc độ của ô tô đi trên đường đó không nhỏ hơn \[60{\rm{ km/h,}}\] tức là \[a \ge 60.\]
Vậy điền đáp án là: \[a \ge 60.\]
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] có \[BC = 1,2\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{, }}AC = 0,9\,\,{\rm{cm}}.\] Tính \[\sin B + \cos B.\]
Hướng dẫn giải
Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\) Suy ra \[AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = \frac{3}{5} = 0,6\); \(\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = \frac{4}{5} = 0,8.\) |
|
Do đó \[\sin B + \cos B = 0,6 + 0,8 = 1,4.\]
Vậy điền đáp án là: \[1,4.\]
(2,0 điểm)
1) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)b) \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\).
2) Xác định \[a,\,\,b\] để đồ thị hàm số \[y = ax + b\] đi qua hai điểm \[A\left( {2\,;\,\,1} \right)\] và \[B\left( {4\,;\,\,--2} \right).\]
Hướng dẫn giải
1)
a) \(\frac{{x + 3}}{{x + 1}} - \frac{{x - 1}}{x} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) Điều kiện xác định \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne - 1.\) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \(\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 5x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) Suy ra \(x\left( {x + 3} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\) \({x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 1} \right) = {x^2} + 5x + 1\) \[{x^2} + 3x - {x^2} + 1 = {x^2} + 5x + 1\] \(3x + 1 = {x^2} + 5x + 1\) \[{x^2} + 2x = 0\] \[x\left( {x + 2} \right) = 0\] \(x = 0\) hoặc \[x + 2 = 0\] \(x = 0\) hoặc \[x = - 2\] Đối chiếu ĐKXĐ suy ra \[x = - 2\] là nghiệm của phương trình. | b) \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\) \(\frac{{5 + x + 4}}{5} \le \frac{{3x - x - 3}}{3}\) \(\frac{{x + 9}}{5} \le \frac{{2x - 3}}{3}\) \[3\left( {x + 9} \right) \le 5\left( {2x - 3} \right)\] \[3x + 27 \le 10x - 15\] \[10x - 3x \le 27 + 15\] \[7x \ge 42\] \[x \ge 6\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \ge 6.\] |
(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Do ảnh hưởng của dịch Covid – 19 nên trong tháng hai cả hai tổ công nhân chỉ làm được 700 sản phẩm. Sang tháng ba, tình hình dịch ổn định tổ I vượt mức \[20\% ,\] tổ II vượt mức \[15\% \] nên cả hai tổ làm được 830 sản phẩm. Hỏi trong tháng hai mỗi tổ làm được bao nhiêu sản phẩm?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 \[\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 700} \right)\].
Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: \[x + y = 700\] (sản phẩm) \[\left( 1 \right)\]
Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: \[x + 20\% \cdot x = 1,2x\] (sản phẩm).
Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: \[y + 15\% \cdot y = 1,15y\] (sản phẩm).
Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: \[1,2x + 1,15y = 830\] (sản phẩm) \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\1,2x + 1,15y = 830\end{array} \right.\).
Từ phương trình thứ nhất ta có \(x + y = 700\) suy ra \(x = 700 - y\). Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
\(1,2\left( {700 - y} \right) + 1,15y = 830\), suy ra \(0,05y = 10\) hay \(y = 200\) (thỏa mãn).
Từ đó \(x = 700 - y = 700 - 200 = 500\) (thỏa mãn).
Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.
(2,0 điểm)
1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Hướng dẫn giải
1) Từ \(B\) kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K.\) Xét tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) nên \(BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\) Tam giác \(ABK\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ \). |
|
Do đó
\(\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)
Ta có \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Tam giác \(ANB\) vuông cân tại \(N\) nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ \); \(\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
Suy ra \(AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8,28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy \(AN \approx 5,85\,\,{\rm{cm}}\,.\)
(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)
Hướng dẫn giải
Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:
\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\)
\[\left( {{a^2} + {b^2}} \right){\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 2{\left( {a + b} \right)^2}\]
\[{\left( {a + b} \right)^2}\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right] + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2ab{\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {ab + 1} \right)^2} - 2{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left( {a + b} \right)^4} - 2{\left( {a + b} \right)^2}\left( {ab + 1} \right) + {\left( {ab + 1} \right)^2} \ge 0\]
\[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\] (luôn đúng với mọi số thực \[a,\,\,b\]).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
