Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
7 câu hỏi
(3,0 điểm)
Tìm căn bậc hai của số \[12,25\] và xác định số \(a\) để \[12,25\] là căn bậc hai của \(a\).
Hướng dẫn giải
1.⦁ Ta có căn bậc hai của \[20,25\] là \[\sqrt {12,25} = \sqrt {{{3,5}^2}} = 3,5\].
Vậy căn bậc hai của \[12,25\] là \[3,5\].
⦁ Vì \(a\) có căn bậc hai là \[12,25\], nên ta có:
\[\sqrt a = 12,25\] suy ra \[a = {12,25^2}\] hay \[a = 150,0625.\]
Vậy \[a = 150,0625\] là số cần tìm.
Cho hai biểu thức: \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\].
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\) và \(B\).
b) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 25.\]
c) Biết \[P = \frac{A}{B}\], chứng minh rằng \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]
d) Tìm giá trị nguyên của \[x\] để \[P\] nhận giá trị nguyên.
a) Với \(x \ge 0\) ta có:
⦁ \[\sqrt x - 2 \ne 0\] khi \(\sqrt x \ne 2\) hay \(x \ne 4.\)
⦁ \(x - 2\sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)\)
Do đó \(x - 2\sqrt x \ne 0\) khi \(\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0,\) hay \(\sqrt x \ne 0\) và \(\sqrt x - 2 \ne 0\) tức là \(x \ne 0,\,\,x \ne 4.\)
Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\] là \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] và điều kiện xác định của biểu thức \[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\] là \[x > 0,\,\,x \ne 4.\]
b) Thay \[x = 25\] (thỏa mãn điều kiện \[x > 0,\,\,x \ne 4)\] vào biểu thức \[A = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\], ta có:
\[A = \frac{2}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{2}{{5 - 2}} = \frac{2}{3}.\]
Vậy \[A = \frac{2}{3}\] khi \[x = 25\].
c) Với \[x > 0,\,\,x \ne 4\], ta có:
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\sqrt x + 3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\].
Với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\], ta có:
\[P = \frac{A}{B} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]
\[ = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{2\left( {2\sqrt x - 3} \right)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}\].
Vậy với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\] thì \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]
d) – Với \[x > 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne \frac{9}{4}\] ta có: \[P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}.\]
Suy ra \[2P = \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{2\sqrt x - 3}}.\]
Với \(x \in \mathbb{Z},\) để \(2P\) có giá trị là số nguyên thì \(3 \vdots \left( {2\sqrt x - 3} \right)\)
Hay \(2\sqrt x - 3 \in \)Ư\[\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3;\,\, - 3} \right\}.\]
Với \[x > 0\] ta có \(2\sqrt x - 3 > - 3\) nên \[2\sqrt x - 3 \in \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3} \right\}.\]
⦁ Nếu \(2\sqrt x - 3 = 1\), thì \(\sqrt x = 2\) nên \(x = 4\) (không thỏa mãn \(x \ne 4).\)
⦁ Nếu \(2\sqrt x - 3 = - 1\), thì \(\sqrt x = 1\) nên \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện).
⦁ Nếu \(2\sqrt x - 3 = 3\), thì \(\sqrt x = 3\) nên \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện).
– Thử lại, ta có:
⦁ Với \[x = 1\] thì \[P = \frac{{\sqrt 1 }}{{ - 1}} = - 1\] (thỏa mãn).
⦁ Với \[x = 9\] thì \[P = \frac{{\sqrt 9 }}{3} = 1\] (thỏa mãn).
Vậy \[x \in \left\{ {1;\,\,9} \right\}\] là giá trị cần tìm.
(2,5 điểm)
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) \[\frac{{2x - 5}}{{x + 3}} - \frac{{2x}}{{x - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 2x - 3}}.\]
b) \[2x + \frac{{2x + 1}}{2} > 3x - \frac{1}{5}.\]
Hướng dẫn giải
1. a) Điều kiện xác định: \[x \ne - 3;\,\,x \ne 1\]. Ta có: \[\frac{{2x - 5}}{{x + 3}} - \frac{{2x}}{{x - 1}} = \frac{4}{{{x^2} + 2x - 3}}\] \[\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\] \[\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{4}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\] \[\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) - 2x\left( {x + 3} \right) = 4\] \[2{x^2} - 7x + 5 - 2{x^2} - 6x - 4 = 0\] \[ - 13x + 1 = 0\] \[ - 13x = - 1\] \[x = \frac{1}{{13}}\] (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{1}{{13}}\]. | b) \[2x + \frac{{2x + 1}}{2} > 3x - \frac{1}{5}\] \[\frac{{6x + 1}}{2} > \frac{{15x - 1}}{5}\] \[\frac{{6x + 1}}{2} - \frac{{15x - 1}}{5} > 0\] \[\frac{{5\left( {6x + 1} \right) - 2\left( {15x - 1} \right)}}{{10}} > 0\] \[5\left( {6x + 1} \right) - 2\left( {15x - 1} \right) > 0\] \[30x + 5 - 30x + 2 > 0\] \[7 > 0\](luôn đúng). Vậy bất phương trình có vô số nghiệm. |
Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Gọi \[x,y\] lần lượt là thời gian mà người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình xong công việc(\[x,y > 0\], đơn vị: ngày).
Trong một ngày, người thứ nhất làm được số phần công việc là: \[\frac{1}{x}\] (công việc).
Trong một ngày, người thứ hai làm được số phần công việc là: \[\frac{1}{y}\] (công việc).
Hai người cùng làm sau 6 ngày thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:
\[6 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\] hay \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\]. (1)
Theo đề, hai người làm cùng nhau trong 3 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành công việc, do đó ta có: \[3 \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + \frac{4}{y} = 1\] hay \(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\). (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\].
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1.\end{array} \right.\]
Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:
\[\frac{4}{y} = \frac{1}{2}\] nên \[y = 8\] (thỏa mãn).
Thay \[y = 8\] vào phương trình (1), ta được:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}\], suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\] nên \[x = 24\] (thỏa mãn).
Vậy người thợ thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc trong 24 ngày, người thợ thứ hai làm một mình thì hoàn thành công việc trong 8 ngày.
(1,5 điểm) Một người quan sát một tòa nhà và đứng cách tòa nhà khoảng \[25{\rm{\;m}}\]. Góc nâng từ mắt người quan sát đến nóc tòa nhà là \[36^\circ \].
a) Viết tỉ số lượng giác \(\tan 36^\circ \) trong tình huống này.
b) Nếu anh ta đi thêm \[5{\rm{\;m}}\] nữa, đếnvị trí \[E\] nằm giữa \[C\] và \[H\], thì góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà là bao nhiêu (làm tròn đến độ)? Biết chiều cao \[CD\] tính từ chân đến mắt người quan sát là \[1,6{\rm{\;m}}{\rm{.}}\]
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta AKD\] vuông tại \[D\], ta có: O10-2024-GV154.\[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}}.\]
b)Ta có: O10-2024-GV154.\[FK = EH = CH - CE = 25 - 5 = 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Từ \[\tan 36^\circ = \tan D = \frac{{AK}}{{KD}},\] ta có \[AK = KD \cdot \tan 36^\circ = 25 \cdot \tan 36^\circ \approx 18,164{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có\[AH = AK + KH \approx 18,164 + 1,6 = 19,764 \approx 20{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Xét \[\Delta AFK\] vuông tại \[K\], tacó: O10-2024-GV154.\[\tan F = \frac{{AK}}{{KF}} \approx \frac{{18,164}}{{20}}\], do đó \[\widehat {KFA} \approx 42^\circ .\]
Vậy góc nâng từ \[F\] đến nóc tòa nhà khoảng \[42^\circ \].
(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và một điểm \(A\) cách \(O\) một khoảng \(2R\). Từ \(A\) vẽ các tiếp tuyến \(AB,AC\) với đường tròn (\(B,C\) là các tiếp điểm).
a) Chứng minh \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Đường thẳng vuông góc với \(OC\) tại \(O\) cắt \(AB\) tại \(M\). Đường thẳng vuông góc với \(OB\) tại \(O\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng tứ giác \(AMON\) là hình thoi.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC.\)
a) Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB = OC = R\)
Suy ra \(AO\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
b) Ta có: \(AB \bot OB\) (do \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B)\) và \(ON \bot OB\)
Suy ra \(ON\,{\rm{//}}\,AB\) hay \(ON\,{\rm{//}}\,AM\). (1)
Tương tự, ta có: \(OM\,{\rm{//}}\,AC\) hay \(OM\,{\rm{//}}\,AN\). (2)
Xét tứ giác \(AMON\) có \(ON\,{\rm{//}}\,AM\) và \(OM\,{\rm{//}}\,AN\) nên \(AMON\) là hình bình hành.
Ta có: hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (3)
Do đó hình bình hành \(AMON\) là hình thoi.
c) Ta có: \(\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(\widehat {OAC} = 30^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ \).
Ta có \(\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ \) suy ra \[\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].
Suy ra \(\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .\)
Mà \(\widehat {BOC}\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(BC\) nên
Do đó số đo cung lớn \(BC\) là:
Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \(OB,\,\,OC\) và cung lớn \(BC\) là
\(S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}\) (đơn vị diện tích).
(0,5 điểm) Một sợi dây thép \(AC\) có chiều dài \({\rm{8 m}}\)được chia thành hai phần \(AB,\,\,BC\) (như hình vẽ minh họa dưới đây).
Mỗi phần đều được uốn thành một hình vuông. Hỏi phải chia sợi dây ban đầu như thế nào để tổng diện tích hai hình vuông thu được sau khi uốn là nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn \(AB\) là \(x\) (\(0 < x < 8\), đơn vị: m).
Lúc này, độ dài đoạn \(AB\) chính là chu vi hình vuông đó và bằng \(4x\) (m).
Do đó, độ dài đoạn \(BC\) là \(8 - 4x\) (m).
Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn \(BC\) là \(\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x\) (m).
Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Ta có: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).
Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2{\rm{ }}{m^2}\) khi \(x - 1 = 0\) hay \(x = 1.\)
Khi đó, độ dài đoạn thẳng \(AB = 4{\rm{ m}}\)và độ dài đoạn thẳng \(BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}\) hay \(B\) là trung điểm của đoạn \(AC\).
Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau \(AB = BC = 4{\rm{\;m}}.\)
