Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án, ta được:

Thay \(x = 0,y = 2\) vào phương trình \(x + 2y = 3\), ta được: \(0 + 2.2 = 4 \ne 3\).

Do đó, \(\left( {0;2} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x + 2y = 3\).

Thay \(x = 1,y = 1\) vào phương trình \(x + 2y = 3\), ta được: \(1 + 2.1 = 3\).

Do đó, \(\left( {1;1} \right)\) là nghiệm của phương trình \(x + 2y = 3\).

Thay \(x = 2,y = 0\) vào phương trình \(x + 2y = 3\), ta được: \(2 + 2.0 = 2 \ne 3\).

Do đó, \(\left( {2;0} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x + 2y = 3\).

Thay \(x = 0,y = 1\) vào phương trình \(x + 2y = 3\), ta được: \(0 + 2.1 = 2 \ne 3\).

Do đó, \(\left( {0;1} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x + 2y = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án, ta có:

Thay \(x = - 2\) vào bất phương trình \( - x + 3 < 0\), ta được: \( - \left( { - 2} \right) + 3 < 0\) hay \(5 < 0\) (vô lí).

Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của bất phương trình \( - x + 3 < 0.\)

Thay \(x = - 2\) vào bất phương trình \(2 + 2x < 0\), ta được: \(2 + 2\left( { - 2} \right) < 0\) hay \( - 2 < 0\) (luôn đúng).

Do đó, \(x = - 2\) là nghiệm của bất phương trình \(2 + 2x < 0.\)

Thay \(x = - 2\) vào bất phương trình \( - 5x + 3 \le 0\), ta được: \( - 5\left( { - 2} \right) + 3 \le 0\)hay \(13 \le 0\)(vô lí).

Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của bất phương trình \( - 5x + 3 \le 0.\)

Thay \(x = - 2\) vào bất phương trình \( - 2x + 5 < 0\), ta được: \( - 2\left( { - 2} \right) + 5 < 0\) hay \(9 < 0\) (vô lí).

Do đó, \(x = - 2\) không là nghiệm của bất phương trình \( - 2x + 5 < 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông \(DEF\) vuông tại \(E\), ta có: \(\tan F = \frac{{DE}}{{EF}}\) nên \(DE = EF.\tan F.\)

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy \[4 < 12 - 7\] hay \[OO' < R - R'\].

Do đó hai đường tròn đựng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án:         a) S                b) Đ               c) Đ                d) S

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[A\] là \[\frac{{{a^2}}}{b} \ge 0\] và \[\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}} \ge 0\].

Với \[\frac{{{a^2}}}{b} \ge 0\], do \[{a^2} \ge 0\] với mọi \[a \in \mathbb{R}\] nên điều kiện xác định là \[b > 0.\] (1)

Với \[\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}} \ge 0\], do \[{a^4} \ge 0\] với mọi \[a \in \mathbb{R}\] nên điều kiện xác định là \[{b^3} > 0\] suy ra \[b > 0.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có điều kiện xác định của biểu thức là \[b > 0\] và \[a \in \mathbb{R}\].

b) Thay \[a = 0\] và \[b > 0\] (thỏa mãn điều kiện), ta được: \[A = \sqrt {\frac{{{0^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{0^4}}}{{{b^3}}}} = 0\].

c)  Với \[a = 2\] và \[b = 1\] (thỏa mãn điều kiện) thì

\[A = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{2^2}}}{1}} \cdot \sqrt {\frac{{{2^4}}}{{{1^3}}}} = \sqrt {{2^2}} \cdot \sqrt {{2^4}} = 2 \cdot {2^2} = 8.\]

d) Ta có: \[A = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b} \cdot \frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{a^6}}}{{{b^4}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^3}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{b^2}} \right)}^2}}}} = \frac{{\left| {{a^3}} \right|}}{{{b^2}}}\] (vì \[b > 0\] và \[a \in \mathbb{R}\]).

Vậy \[A = \frac{{\left| {{a^3}} \right|}}{{{b^2}}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án: \[1\]

Cách 1: Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\]

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{MODE}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{5}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{5}\boxed{=}\boxed{=}$

Trên màn hình cho kết quả \(x = 2,\) ta bấm tiếp phím  $\boxed{=},$ màn hình cho kết quả \(y = 1.\)

Vậy cặp số \(\left( {2;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\].

Do đó, ta tính được \[T = x - y = 2 - 1 = 1.\]

Cách 2: Thực hiện cộng đại số hai phương trình, ta được: \[5x = 10\] hay \[x = 2.\]

Thế \[x = 2\] vào phương trình thứ nhất, ta được: \[2.2 + y = 5\] hay \[y = 1\].

Do đó, \[x = 2\], \[y = 1\].

Suy ra cặp số \(\left( {2;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.\].

Vậy \[T = x - y = 2 - 1 = 1.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án: \[3\]

Điều kiện xác định của phương trình là: \[x \ne - 1,x \ne 2.\]

Ta có: \[\frac{3}{{x + 1}} + \frac{5}{{x - 2}} = \frac{{5x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

          \[\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{5x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\]

          \[3\left( {x - 2} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 5x + 8\]

          \[3x - 6 + 5x + 5 = 5x + 8\]

                          \[3x = 9\]

                          \[x = 3\] (TM).

Mà \[x = a\] nên \[a = 3.\]

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\), ta được:

\(P = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}.\)

Vậy giá trị của \(P = \frac{{19}}{2}\) khi \(x = 16.\)

b) Với \(x > 0;x \ne 4\), ta có:

\(Q = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{5\sqrt x - 2}}{{4 - x}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).

Vậy với \(x > 0;x \ne 4\) thì \(Q = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\)

c) Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.\)

Vì \(x > 0;x \ne 4\) nên \(\sqrt x > 0,\frac{3}{{\sqrt x }} > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \(\sqrt x ,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được:

\(\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .\)

Suy ra \(\frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 .\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}\) hay \(x = 3\) (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\frac{P}{Q} = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x,y\] (nghìn đồng) lần lượt là giá niêm yết của quyển từ điển và món đồ chơi \[\left( {x,y > 0} \right).\]

Theo đề, tổng số tiền mua một quyển từ điển và một món đồ chơi với tổng số tiền theo giá niêm yết là \[750\]nghìn đồng nên ta có: \[x + y = 750\] (nghìn đồng) (1).

Mà khi Bình mua thì được giảm giá, do đó ta có:

\[80\% x + 90\% y = 630\] hay \[0,8x + 0,9y = 630\] (nghìn đồng) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\0,8x + 0,9y = 630\end{array} \right.\]

Từ phương trình thứ nhất, ta có: \[x + y = 750\], suy ra \[x = 750 - y\].

Thế \[x = 750 - y\] vào phương trình thứ hai, ta được:

\[0,8\left( {750 - y} \right) + 0,9y = 630\]

\[600 - 0,8y + 0,9y = 630\]

\[600 + 0,1y = 630\]

\[0,1y = 30\]

\[y = 300\] (TM).

Thay \[y = 300\] vào phương trình thứ nhất, ta được \[x = 750 - 300 = 450\] (TM).

Vậy giá niêm yết của quyển từ điển là \[450\] nghìn đồng, giá niêm yết của món đồ chơi là \[300\] nghìn đồng.

Ta có: \[\widehat {ABD} = \widehat {BDH} = \widehat {DHA} = 90^\circ \] nên tứ giác \[AHDC\] là hình chữ nhật.

Do đó, \[AB = DH = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}\]

Xét tam giác vuông \[DHA\], có: \[\tan \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{HA}}\] suy ra \[AH = \frac{{HD}}{{\tan \widehat {HAD}}} = \frac{{75}}{{\tan 35^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Xét tam giác vuông \[AHC\], có: \[CH = AH.\tan \widehat {CAH} = \frac{{75}}{{\tan 35^\circ }}.\tan 43^\circ \approx 99,88{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Do đó, chiều cao \[CD\] là: \[CD = AH + CH = 75 + 99,88 = 174,88{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]             

Vậy chiều cao của trạm phát sóng đó khoảng \[174,88{\rm{ m}}\].

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[OC\] là tia phân giác của \[\widehat {AOM}\], \[OD\] là tia phân giác của  \[\widehat {BOM}\].

Mà \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {COD} = 90^\circ \].

Suy ra tam giác \[COD\] vuông tại \[O\] có \[OM \bot CD\] (\[OM\] là tiếp tuyến).

Xét \[\Delta MOC\] và \[\Delta MDO\] có:

\[\widehat {COM} = \widehat {MOD} = 90^\circ \] (gt) và \[\widehat {MCO} = \widehat {MOD}\] (cùng phụ với \[\widehat {COM}\])

Do đó,  (g.g)

Suy ra \[\frac{{MO}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}\], suy ra \[O{M^2} = CM.DM\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AC = CM\] và \[BD = MD\].

Do đó, \[O{M^2} = CM.DM = AC.BD\] suy ra \[{R^2} = AC.BD\].            (1)

Mà ta có: \[AB = 2R\] suy ra \[A{B^2} = 4{R^2}\] nên  \[{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.\]          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}\] (đpcm).

b) Ta có: \[\widehat {COD} = 90^\circ \] nên \[OC \bot OD\].          (3)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có \[DB = DM\], lại có \[OM = OB = R\].

Suy ra \[OD\] là đường trung trực của \[BM\] suy ra \[BM \bot OD\].            (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[OC\parallel BM\] (cùng vuông góc với \[OD\]).

Gọi \[I\] là trung điểm của \[CD\] ta có \[I\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[OCD\] đường kính \[CD\].

Theo tính chất tiếp tuyến ta có \[AC \bot AB\], \[BD \bot AB\] nên \[AC\parallel BD\] nên tứ giác \[ACDB\] là hình thang vuông.  

Mà \[I\] là trung điểm \[CD\]; \[O\] là trung điểm \[AB\], suy ra \[IO\] là đường trung bình của hình thang \[ACDB\] nên \[OI\parallel AC\].

Mà \[AC \bot AB\] nên \[OI \bot AB\] tại \[O\].

Suy ra \[AB\] là tiếp tuyến tại \[O\] của đường tròn đường kính \[CD.\]

Ta có: \[AC\parallel BD\] suy ra \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}\] mà \[CA = CM\]; \[BD = DM\] nên \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}}\].

Suy ra \[MN\parallel BD\] mà \[BD \bot AB\] suy ra \[MN \bot AB.\]

c) Ta có: \[AM = AO = OM = R\] suy ra \[\Delta OAM\] đều.

Do đó, \[\widehat {AOM} = 60^\circ \].

Mà, ta có: \[\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ \], suy ra \[\widehat {MOB} = 180^\circ - \widehat {AOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OM,OB\] và cung nhỏ \[MB\] là

\[S = \frac{{n\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{120\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.\]

d) Ta có: \[AC = CM\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

\[OA = OM = R\]

Do đó \[OC\] là đường trung trực của \[AM\], suy ra \[OC \bot AM\].

Mà \[OD\] là đường trung trực của \[BM\], suy ra \[BM \bot OD\] (chứng minh phần b).

Xét tứ giác \[MEOF\] có: \[\widehat {EOF} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {MEO} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {MFO} = 90^\circ \].

Suy ra tứ giác \[MEOF\] là hình chữ nhật.

Mà \[K\] là trung điểm của \[EF\].

Suy ra \[K\] là trung điểm của \[OM\](tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật).

Do đó, \[KM = KO = \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2}R\].

Vậy \[M\] di chuyển trên \[\left( O \right)\] thì trung điểm \[K\] của \[EF\] di chuyển trên đường tròn tâm \[O\], bán kính \[\frac{1}{2}R\].