Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Thay \(x = - 2,y = 4\) vào phương trình \(x - 2y = 0\), ta được: \( - 2 - 2.4 = - 10 \ne 0.\)

Do đó, \(\left( { - 2;4} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x - 2y = 0.\)

⦁ Thay \(x = - 2,y = 4\) vào phương trình \(2x + y = 0\), ta được: \(2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0.\)

Do đó, \(\left( { - 2;4} \right)\) là nghiệm của phương trình \(2x + y = 0.\)

⦁ Thay \(x = - 2,y = 4\) vào phương trình \(x - y = 2\), ta được: \( - 2 - 4 = - 6 \ne 2.\)

Do đó, \(\left( { - 2;4} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x - y = 2.\)

⦁ Thay \(x = - 2,y = 4\) vào phương trình \(x + 2y + 1 = 0\), ta được: \( - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0.\)

Do đó, \(\left( { - 2;4} \right)\) không là nghiệm của phương trình \(x + 2y + 1 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cách 1: Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1.\end{array} \right.\)

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\text{\hspace{0.17em}MODE\hspace{0.17em}}}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{5}\boxed{=}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{-}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{=}$ 

Trên màn hình hiện kết quả \(x = 2\), ta bấm tiếp phím $\boxed{=}$, màn hình cho kết quả \[y = 1.\]

Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1\end{array} \right.\).

Cách 2: Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(y = 5 - 2x\).

Thế \(y = 5 - 2x\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(x - 3\left( {5 - 2x} \right) = - 1\) hay \(7x = 14\), suy ra \(x = 2.\)

Thay \(x = 2\) vào \(y = 5 - 2x\), ta được \(y = 5 - 2.2 = 1.\)

Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì \(2x + 1 \ne 0\) khi \(x \ne - \frac{1}{2}\) và \(x - 5 \ne 0\) khi \(x \ne 5.\)

Do đó, điều kiện xác định của phương trình \(\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}\) là \(x \ne - \frac{1}{2}\) và \(x \ne 5.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \( - 3 > - 4\) nên với \(m\) bất kì thì \(m - 3 > m - 4.\)

Tương tự, ta có: \( - 3 > - 5\) nên \(m - 3 > m - 5;\)

 \( - 3 < - 2\) nên \(m - 3 < m - 2;\)

 \( - 3 > - 6\) nên \(m - 3 > m - 6.\)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của \(\sqrt {16 - x} \) là \(16 - x \ge 0\) hay \(x \le 16.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta được:

\(\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.\) Do đó, đáp án A là đúng.

\(\sqrt {0,64} .\sqrt 9 = 0,8.3 = 2,4\). Do đó, đáp án B là đúng.

\(\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18.6 = 108.\)Do đó, đáp án C là đúng.

\(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = 3.7 = 21 \ne - 21.\)Do đó, đáp án D là sai.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\sqrt {27a} :\sqrt {6a} \cdot 2\sqrt {18a} = \sqrt {\frac{{27a}}{{6a}} \cdot 18a} \cdot 2 = \sqrt {81a} \cdot 2 = 18\sqrt a .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AC = AB.\cot C.\)

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có: \(AB = BC.\cos \widehat {B\,} = 5.\cos 45^\circ = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Độ dài cung tròn cần tìm là: \[l = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{30}}{{180}}\pi \cdot 4 = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}\]

Do đó độ dài cung tròn cần tìm bằng \[\frac{{2\pi }}{3}\,\,{\rm{dm}}.\]

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta ABC\) có \(CO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\) và \(CO = \frac{1}{2}AB\) (do \(AB\) là đường kính của đường tròn tâm \(O)\) nên tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).

Do đó, \(\widehat {ACB}\) là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(MA,MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MA \bot OA,\,\,MB \bot OB\), do đó \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(OABM\) có: \(\widehat {AOB} + \widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AMB} = 360^\circ .\)

Suy ra \(\widehat {AOB} = 360^\circ - \widehat {MAO} - \widehat {MBO} - \widehat {AMB} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ .\)

Mà góc \(AOB\) là góc ở tâm chắn cung nhỏ \(AB\)

Do đó, số đo cung nhỏ \(AB\) là \(130^\circ .\)

Hướng dẫn giải

a) Với \(x = \frac{1}{{16}}\) (TMĐK), thay vào vào biểu thức \(A\), ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 5}}{{2\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 1}} = \frac{{\frac{1}{4} + 5}}{{2.\frac{1}{4} - 1}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{5}{2}.\)

Vậy với giá trị \(x = \frac{1}{{16}}\) thì \(A = - \frac{5}{2}.\)

b) Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\), ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - \left( {3\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

   \( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\)

c) Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}\), ta có:

\(M = A.B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}.\)

Với \(x \ge 0\) thì \(\sqrt x + 1 \ge 1\), suy ra \(\frac{{\sqrt x + 1}}{4} \ge \frac{1}{4}\) suy ra \(\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4\).

Do đó, \(1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 5\) hay \(M \le 5\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sqrt x = 0\) hay \(x = 0\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(M\) bằng \(5\) khi \(x = 0.\)

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\).

Ta có: \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}\)

\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8\)

\(\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8\)

\(2x.\left( { - 2} \right) = 8\)

\( - 4x = 8\)

   \(x = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 2\).

b) \(0,5x + 7\left( {x - 2} \right) \le \frac{1}{2}x - 1\)

\(0,5x + 7x - 14 \le 0,5x - 1\)

\(0,5x + 7x - 0,5x \le 14 - 1\)

                      \(7x \le 13\)

                        \(x \le \frac{{13}}{7}\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \frac{{13}}{7}\).

Gọi \(x\) là vận tốc của xe tải, \(y\) là vận tốc của xe khách (\(y > x > 0\), km/h).

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là \(15\) km nên \(y - x = 15.\) (1)

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = \(\frac{7}{3}\) giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: \(\frac{7}{3}y\) (km) và xe tải đi được quãng đường là \(\frac{2}{3}x\) (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: \(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\). (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.\).

Từ phương trình (1), ta có: \(y = 15 + x\), thế vào phương trình (2), ta được:

\(\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170\)

\(\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170\)

\(3x = 135\)

\(x = 45\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 45\) vào phương trình (1), ta được: \(y = 15 + 45 = 60\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là \(45\)km/h, vận tốc của xe khách là \(60\) km/h.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác \(ADC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(AC = CD \cdot \cot \widehat {DAC} = h \cdot \cot 60^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)

Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(C\), ta có:

\(BC = CD \cdot \cot \widehat {DBC} = h \cdot \cot 75^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\)

Do \(AB = AC - BC\) nên \(h \cdot \cot 60^\circ - h \cdot \cot 75^\circ = 101\)

Hay \(h \cdot \left( {\cot 60^\circ - \cot 75^\circ } \right) = 101\).

Suy ra \(h = \frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326\) (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng \(326\) (m).

a) Ta có \(CA,\,\,CM\) là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(C\) nên \(CA = CM\) và \(OC\)là tia phân giác của \[\widehat {AOM}\], do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}.\)

Tương tự, ta có \(DB = DM\) và \[OD\] là tia phân giác của \[\widehat {BOM}\], do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}.\)

Mà \[\widehat {AOM}\] và \[\widehat {BOM}\] là hai góc kề bù nên \[\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ .\]

Khi đó, ta có: \[\widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {BOM}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ .\]

Hay \(\widehat {COD} = 90^\circ .\)

Vì \(CD\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) nên \[CD \bot OM.\]

Xét \(\Delta COM\) và \(\Delta ODM\) có:

\[\widehat {CMO} = \widehat {OMD} = 90^\circ \] và \(\widehat {OCM} = \widehat {DOM}\) (cùng phụ với \(\widehat {COM}\))

Do đó $\Delta COM\backsim \Delta ODM$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{DM}}\) hay \[O{M^2} = CM.DM\].

Mà \[AC = CM\] và \[BD = MD\] (chứng minh trên)

Do đó, \[O{M^2} = CM.DM = AC.BD\] hay \[{R^2} = AC \cdot BD\]. (1)

Mặt khác, \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[AB = 2R,\] suy ra \[A{B^2} = 4{R^2}\] nên \[{R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}\].

b) Ta có: \[AC \bot AB,\,\,BD \bot AB\] nên \[AC\,{\rm{//}}\,BD\]

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}\].

Mà \[CA = CM\], \[BD = DM\] (chứng minh câu a)

Do đó ta có \[\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}},\] suy ra \[MN\,{\rm{//}}\,BD\] (định lí Thalès đảo).

Lại có \[BD \bot AB\] nên \[MN \bot AB.\]

c) Xét tam giác \[MOD\], có: \[\cos \widehat {MOD} = \frac{{MO}}{{OD}} = \frac{{MO}}{{2MO}} = \frac{1}{2}\], suy ra \[\widehat {MOD} = 60^\circ \].

Theo câu a, \[OD\] là tia phân giác của \[\widehat {BOM}\] nên \[\widehat {BOM} = 2\widehat {MOD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .\]

Mà \[\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \] (câu a)

Suy ra \[\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \].

Mà \(\widehat {AOM}\) là góc ở tâm chắn cung \(AM\) nhỏ nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \[OM,OA\] và cung nhỏ \[MA\] là:

\[S = \frac{{60 \cdot \pi \cdot {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}\] (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của bể là \(2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)

Chiều cao của bể là: \(\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích xung quanh của bể là: \(2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

\(\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Do \(x\) là chiều rộng của bể nên \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}\)

Suy ra \(2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85,72\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}\) hay \(2{x^3} = 108\), tức là \(x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì \(x \approx 3,78{\rm{ m}}{\rm{.}}\)