Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).

Viết phương trình \(2x + \frac{y}{2} = 1\) thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1\) ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với \(a = 2 \ne 0,\) \(b = \frac{1}{2} \ne 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cách 1: Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..\)

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\text{\hspace{0.17em}MODE\hspace{0.17em}}}\boxed{5}\boxed{1}\boxed{1}\boxed{=}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{4}\boxed{=}\boxed{3}\boxed{=}\boxed{2}\boxed{=}\boxed{8}\boxed{=}\boxed{=}$

Trên màn hình cho kết quả $x=\mathrm{2,}$ ta bấm tiếp phím $\boxed{=},$ màn hình cho kết quả y=1

Vậy cặp số \(\left( {2;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..\)

Cách 2: Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..\)

Từ phương trình thứ nhất, ta có \(x = 4 - 2y\).

Thế \(x = 4 - 2y\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(3\left( {4 - 2y} \right) + 2y = 8\) hay \(12 - 4y = 8\), suy ra \(y = 1.\)

Thay \(y = 1\) vào \(x = 4 - 2y\), ta được \(x = 4 - 2 \cdot 1 = 2.\)

Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là cặp nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(x - 4 \ne 0\) khi \(x \ne 4\) và \(x + 3 \ne 0\) khi \(x \ne - 3\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x + 2}}{{x - 4}} - 1 = \frac{{30}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}\) là \(x \ne - 3,x \ne 4.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “\(x\) không lớn hơn \( - 100\)” được viết là \(x \le - 100.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Biểu thức \(\frac{{3\sqrt x + 5}}{{x - 6\sqrt x + 9}}\) có điều kiện xác định là \(x \ge 0\) và \(x - 6\sqrt x + 9 \ne 0\).

Ta có: \(x - 6\sqrt x + 9 = {\left( {\sqrt x - 3} \right)^2},\) do đó \(x - 6\sqrt x + 9 \ne 0\) khi \({\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \ne 0\) hay \(x \ne 9.\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \(\frac{{3\sqrt x + 5}}{{x - 6\sqrt x + 9}}\) là \(x \ge 0\)và \(x \ne 9\).

⦁ Biểu thức \(\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}\) có điều kiện xác định là: \(x \ge 0\) và \(4 - x \ne 0\) hay \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

⦁ Biểu thức \(\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) có điều kiện xác định là \(x \ge 0.\)

⦁ Biểu thức \(2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)\) có điều kiện xác định là \(x \ge 0.\)

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\sqrt {16} + \sqrt[3]{{ - 64}} = \sqrt {{4^2}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {64a} \)\( = 3\sqrt a - 4\sqrt a + 8\sqrt a = 7\sqrt a .\)       

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với hai góc nhọn \(\alpha \) và \(\beta \) bất kì thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ \) thì ta có \(\tan \alpha = \cot \beta .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{8}{{\sin 30^\circ }} = 16{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(d\left( {O;\,\,d} \right) = 3 < R\), do đó đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( {O;4{\rm{ cm}}} \right)\) cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công thức tính độ dài của cung tròn \(n^\circ \) trên đườn tròn bán kính \(R{\rm{\;(cm)}}\) là: \[l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Suy ra \(R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Thay \(n = 60,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}\) ta được: \[R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{60 \cdot \pi }} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

a) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P\), ta có:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{1}{{5 + 1}} = \frac{1}{6}.\)

Vậy giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{6}\) tại \(x = 25.\)

b) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:

\(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}\)

   \( = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)

    \( = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(Q = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\).      

c) Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có:

\(A = \frac{P}{Q} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}\).

Để \(\left| A \right| > A\) thì \(A < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\).

Mà \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0\) khi \(\sqrt x - 2\) và \(\sqrt x + 1\) trái dấu.

Nhận thấy \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\sqrt x - 2 < 0\), suy ra \(\sqrt x < 2\) hay \(x < 4.\)

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\), ta có: \(0 \le x < 4\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}\) thì \(\left| A \right| > A.\)

Gọi \(x,\,\,y\) (đồng) lần lượt là giá niêm yết của một thùng nước ngọt và một túi bánh sandwich \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\).

Theo bài, cô Linh đi siêu thị mua 1 thùng nước ngọt và 4 túi bánh mì sandwich với giá niêm yết tổng cộng là 340 000 đồng nên ta có phương trình: \(x + 4y = 340\,\,000\) (1)

Giá mỗi thùng nước ngọt sau khi tăng \(5\% \) so với giá niêm yết là: \(x + 5\% x = 1,05x\) (đồng).

Giá mỗi túi bánh mì sandwich được giảm \(15\% \) so với giá niêm yết là:

\(x - 15\% x = 0,85x\) (đồng).

Theo bài, khi thanh toán cô Linh chỉ cần trả tổng cộng \(325\,\,000\) đồng nên ta có phương trình: \(1,05x + 4 \cdot 0,85y = 325\,\,000\) hay \(1,05x + 3,4y = 325\,\,000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 340\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1,05x + 3,4y = 325\,\,000\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(1,05,\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1,05x + 4,2y = 357\,\,000\\1,05x + 3,4y = 325\,\,000\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(0,8y = 32\,\,000\) nên \(y = 40\,\,000\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 40\,\,000\) vào phương trình (1), ta được:

\(x + 4 \cdot 40\,\,000 = 340\,\,000\) nên \(x = 180\,\,000\) (thỏa mãn).

Vậy một thùng nước ngọt và một túi bánh mì sandwich có giá niêm yết lần lượt là \(180\,\,000\) đồng và \(180\,\,000\) đồng.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng \(CH.\)

Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}\) nên \(AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\) (1)

Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}\) nên \(BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)\)

Do đó, \(CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84,66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}\)

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng \(84,66{\rm{ m}}\).

a) Vì \(d,\,\,d'\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) lần lượt tại \(A,\,\,B\) nên \[d \bot OA,\,\,d' \bot OB\].Tứ giác \(ABDC\) có \(AC\,{\rm{//}}\,BD\) (cùng vuông góc với \(AB\)) nên \(ABDC\) là hình thang.Hình thang \(ABDC\) có \(\widehat {CAB} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) nên \(ABDC\) là hình thang vuông.b)⦁ Ta có \(\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {DOB} = 180^\circ \)Suy ra \(\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {COD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Lại có \(\widehat {DOB} + \widehat {ODB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta OBD\) vuông tại \(B)\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {ODB}\).

Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta OBD\) có: \(\widehat {CAO} = \widehat {OBD} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOC} = \widehat {BDO}\).

Do đó $\Delta CAO\backsim \Delta OBD$ (g.g)

Suy ra \(\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{AO}}{{BD}}\) nên \(CA \cdot BD = OA \cdot OB = {R^2}\)

⦁ Vì $\Delta CAO\backsim \Delta OBD$ suy ra \(\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{CO}}{{OD}}\)

Mà \(OA = OB = R\) nên \(\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}\).

Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta COD\) có: \(\widehat {CAO} = \widehat {COD} = 90^\circ \) và \(\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}\)

Do đó $\Delta CAO\backsim \Delta COD$ (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ACO} = \widehat {DCO}\) (hai góc tương ứng).

Kẻ \(OH \bot CD\) tại \(H\).

Xét \(\Delta CAO\) và \(\Delta CHO\) có:

\(\widehat {CAO} = \widehat {CHO} = 90^\circ \), \(CO\) là cạnh chung và \(\widehat {ACO} = \widehat {DCO}\)

Do đó \(\Delta CAO = \Delta CHO\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AO = HO\) (hai cạnh tương ứng).

Như vậy, \(CD \bot OH\) tại \(H\) và \(H\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) (do \(OH = OA = R)\) nên \(CD\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

c) Xét \(\Delta CAO\) vuông tại \(A,\) ta có:

\(CA = OA \cdot \cot \widehat {ACO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.\)

Theo câu b, ta có \(CA \cdot BD = {R^2}\) nên \[BD = \frac{{{R^2}}}{{CA}} = \frac{{{R^2}}}{{\frac{{R\sqrt 3 }}{3}}} = R\sqrt 3 .\]

Diện tích hình thang vuông \(ABDC\) là:

\({S_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left( {CA + BD} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot \left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R\sqrt 3 } \right) = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích nửa đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB\) là: \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích hình được giới hạn bởi tứ giác \(ABDC\) và đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) là:

\(S = {S_1} - {S_2} = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi {R^2}}}{2} = \frac{{4 \cdot {2^2} \cdot \sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi \cdot {2^2}}}{2} \approx 3,0{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

– Gọi \(x\) là số lần giảm giá \(10\,\,000\) đồng \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,0 \le x < 20} \right).\)

Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: \(200 - 10x\) (nghìn đồng).

Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: \(100 + 20x\) (chiếc).

Doanh thu \(T\left( x \right)\) của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:

\(T\left( x \right) = \left( {200 - 10x} \right)\left( {100 + 20x} \right)\)

        \( = 200.\left( {100 + 20x} \right) - 10x\left( {100 + 20x} \right)\)

       \( = 20\,\,000 + 4\,\,000x - 1\,\,000x - 200{x^2}\)

       \( = 20\,\,000 + 3\,\,000x - 200{x^2}\)

      \( = - 200\left( {{x^2} - 15x + {{7,5}^2}} \right) + 31\,\,250\)

      \( = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) (nghìn đồng).

Nhận thấy \( - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250 \le 31\,\,250\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 7,5 = 0\) khi \(x = 7,5\).

Do \(x\) phải là số nguyên dương nên \(x = 7,5\) không thỏa mãn.

– Ta thấy rằng \(T\left( x \right) = - 200{\left( {x - 7,5} \right)^2} + 31\,\,250\) lớn nhất khi \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất.

Do giá trị của \(T\left( x \right)\) phụ thuộc \(x - 7,5\) và \(x\) nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

⦁ Với \(x - 7,5 > 0\) hay \(x > 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 8.\)

Khi đó, \(T\left( 8 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

⦁ Với \(x - 7,5 < 0\) hay \(x < 7,5\)

Mà \(x\) nguyên dương và \({\left( {x - 7,5} \right)^2}\) nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị \(x = 7.\)

Khi đó, \(T\left( 7 \right) = 31\,\,200\) (nghìn đồng).

Nhận thấy cả hai giá trị \(x = 7,\,\,x = 8\) đều cho doanh thu \(T = 31\,\,200\) (nghìn đồng) hay \(T = 31\,\,200\,\,000\) đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá \(70\,\,000\) đồng hoặc \(80\,\,000\) đồng để thu được doanh thu cao nhất.