Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(4;2;20)\) và nhận \(\vec a = \frac{1}{{997}}\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{{997}}(0;997;0) = (0;1;0)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3 + t}\\{z = 20}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(1;1;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (0;0;1)\)

Đường thẳng d' đi qua \({\rm{N}}(10;20;5)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (0;0;5) = 5\vec a\)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 10}\\{1 = 20}\\{1 = 5 + 5{t^\prime }}\end{array}{\rm{ (vô lí)}}{\rm{. Suy ra }}M \notin d.} \right.\)Vậy d // d'.

Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a_1}}  = (0;0;1),\overrightarrow {{a_2}}  = (0;1;0)\)

Ta có \(\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} \) không cùng phương với nhau nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = 20}\\{0 = {t^\prime }}\\{50 + t = 50}\end{array}} \right.\) (vô nghiệm).

Vậy \(d\) và d' chéo nhau.

Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;0;0),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0\). Do đó d và d' vuông góc với nhau.

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = (0;1;0)\)

Đường thẳng MN đi qua \({\rm{M}}(3;3;1,5)\) và nhận \(\overrightarrow {MN}  = (0;1;0)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 3 + t}\\{z = 1,5}\end{array}} \right.\)

a) Ta có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 3; - 3;12) =  - 3(1;1; - 4)\)

Đường thắng MN đi qua điếm \({\rm{M}}(2;3; - 4)\) và có VTCP \(\vec u = (1;1; - 4)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z =  - 4 - 4t}\end{array}} \right.\)

b) Mặt phắng Oxy có phương trình là \({\rm{z}} = 0\).

Vi D là giao điếm của đường thắng MN với mặt phắng Oxy nên tọa độ điếm D là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3 + t}\\{z =  - 4 - 4t}\\{z = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 0}\\{t =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\).Vậy \(D(1;2;0)\).

c) Ta có \(MD = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 4)}^2}}  = \sqrt {18} ;MN = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 3)}^2} + {{12}^2}}  = \sqrt {162} \) Vi \({\rm{MD}} < {\rm{MN}}\) nên D nằm giữa M và N .

Vậy tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điếm N .

a) Đường thắng a đi qua \({\rm{M}}(1;2;0)\) và có vectơ chí phương là \(\vec a = (0;0;3)\) Đường thắng b đi qua \({\rm{N}}(1;2;6)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (4;2;0)\) Có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\). Suy ra a \( \bot {\rm{b}}\).

Ta xét hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 1 + 4{t^\prime }}\\{2 = 2 + 2{t^\prime }}\\{3t = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0}\\{{t^\prime } = 0.{\rm{  }}}\\{t = 2}\end{array}} \right.} \right.\)Suy ra hệ có nghiệm duy nhất. Do đó a và b cắt nhau.

b) Thay \({\rm{t}} = 2\) vào phương trình đường thắng a ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\\{z = 6}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ giao điếm của hai đường thắng này là \((1;2;6)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = (1;1;0),\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = ( - 2;2;0)\). Vì \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  \cdot \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  =  - 2 + 2 = 0\) nên hai con đường trên vuông góc với nhau.

Hai vật thế chuyến động trên hai đường thẳng

Vật 1 chuyến động trên đường thắng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_1}} \)

Vật 2 chuyến động trên đường thắng đi qua B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{v_2}} \)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;0)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = ( - 5;1;3)\)

Có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] =  - 10 + 3 =  - 7 \ne 0\). Do đó hai đường thắng này chéo nhau.

Vậy trong quá trình chuyến động, hai vật thế trên không va chạm vào nhau.