Bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng lớp 12 (có lời giải)

Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \) có giá trùng với \(d\), hai vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} \) có giá song song với \(d\) (\(AC//{A^\prime }{C^\prime }\) ). Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} ,\overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} \).

Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}(5;0; - 7)\) và nhận \(\vec v = (9;0; - 2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 9t}\\{y = 0}\\{z =  - 7 - 2t}\end{array}} \right.\).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\left\{\begin{array}{l}-4=5+9t\\ 0=0\\ -5=-7-2t\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t=-1\end{array}\right.\right.\text{ (luôn đúng). }$ Vậy điểm \({\rm{M}} \in {\rm{d}}\).

Đường thẳng d đi qua điểm \({{\rm{M}}_0}(5;0; - 6)\) và nhận \(\vec a = (3;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}\)

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;2)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

b) Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}(2;2;1)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)

Đường thẳng MN đi qua M và có \(\overrightarrow {MN}  = (2;3;2)\) là một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 3t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\)

a) Đường thẳng a đi qua điểm \({\rm{M}}(0; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 5;0)\) có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y =  - 2 - 5t}\\{z =  - 3}\end{array}} \right.\)

b) có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 2;3)\).

Đường thẳng a đi qua hai điểm \({\rm{A}}(0;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 2;3)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3t}\\{y =  - 2t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\vec n = (3; - 1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vi đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng P ( nên đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\vec n\) làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-t\text{\hspace{1em} (t là tham số). }\\ z=-4+2t\end{array}\right.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;3;6)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (9;2;13)\) là:

\(\frac{{x - 1}}{9} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 6}}{{13}}{\rm{. }}\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = 6 + 9t}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{x + 1}}{2}}\\{t = \frac{{y - 3}}{{ - 5}}}\\{t = \frac{{z - 6}}{9}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z - 6}}{9}\)

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;6)\).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \({\rm{A}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;6)\) là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\text{ (t là tham số). }\\ z=3+6t\end{array}\right.$

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm \({\rm{A}}(1;2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = (2;3;6)\) là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{6}\)

- Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 4}}{{5 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{8 - 1}} = \frac{{z - 2}}{{6 - 2}} \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{7} = \frac{{z - 2}}{4}.\)

- Phương trình tham số của đường thẳng AB là: $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1+7t\\ z=2+4t\end{array}\text{ ( }t\right.\text{ là tham số). }$

Phương trình chính tắc của đường thẳng OM là:

\(\frac{{x - 0}}{{a - 0}} = \frac{{y - 0}}{{b - 0}} = \frac{{z - 0}}{{c - 0}} \Leftrightarrow \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\)

a) Đường thẳng b đi qua điểm \({\rm{M}}(1; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (5; - 3;2)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{2}\).

b) \(\overrightarrow {AB}  = (2; - 6;4)\).

Đường thẳng b đi qua hai điểm \({\rm{A}}(4;7;1)\) và nhận \(\vec a = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1; - 3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)

a) Ta có đường thẳng d đi qua \({\rm{M}}(3; - 3;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;3;7)\)

b) Phương trình tham số của d là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y =  - 3 + 3t}\\{z = 2 + 7t}\end{array}} \right.\)

a) Do \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 1 + 0t}\\{z = 0 + 2t}\end{array}} \right.\) nên điểm \(M( - 1;1;0)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u(3;0;2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 3s}\\{y = 1}\\{z = 2s.}\end{array}} \right.\)

a) Ta có \({\rm{A}}(2;0;1),{\rm{B}}(3;3;2)\) là các điếm thuộc \(\Delta \).

Có \(\vec u = (1;3;1)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Phương trình tham số của đường thắng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) và có vectơ chí phương \(\vec v = (1;3;1)\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z - ( - 2)}}{1}\) nên điểm \(A(1;0; - 2)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u = (2;3;1)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Đường thắng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\) nên \({\rm{A}}( - 1;1;2)\) và \({\rm{B}}(2;2;7)\) thuộc \(\Delta \) và \(\vec u = (3;1;5)\) là một vectơ chí phương của \(\Delta \).

\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 5}} = \frac{{z - 4}}{1}\).

Đường thắng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{A}}(2; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 1;2;3)\) có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-1+2t\text{ và ptct là: }\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}\\ z=3t\end{array}\right.$

a)+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({\rm{A}}( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 2t}\\{y = 3 + 3t}\\{z = 2 + 4t}\end{array}\quad } \right.\) (t là tham số).

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({\rm{A}}( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\) là: \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}\).

b) Ta có \(\overrightarrow {MN}  = (1;1;1)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

+ Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t^{\text{'}}\\ y=-1+t^{\text{'}} (t\text{'} là tham số).\\ z=3+t^{\text{'}}\end{array}\right.$

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (3;2;0)\). Giá của \(\vec n = (3;2;0)\) và \(\Delta \) cùng vuông góc với \((\alpha )\) nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó \(\Delta \) nhận \(\vec n = (3;2;0)\) làm một vectơ chi phương.

Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 4 + 2t}\\{z = 5.}\end{array}} \right.\)

Nhận xét. Đường thẳng \(\Delta \) trong Vỉ dụ 5 không có phương trình chính tắc.

Ta có mặt phắng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là \(\vec i = (1;0;0)\)

Giá của vectơ \(\vec i\) và \(\Delta \) cùng vuông góc với mặt phắng Oyz nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau.

Do đó \(\Delta \) nhận \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{M}}(2; - 1;3)\) và \(\vec i = (1;0;0)\) làm một vectơ chí phương có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng AB đi qua \(A(1;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = (1;2;1)\). Do đó AB có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 2t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng AB đi qua điếm \({\rm{A}}(2;1;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = (0;3;3)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 + 3t}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2;1;3)\).

Vi \(\Delta //{\rm{d}}\) nên đường thắng \(\Delta \) nhận \(\vec u = (2;1;3)\) làm một vectơ chỉ phương.

Đường thắng \(\Delta \) đi qua điếm \({\rm{A}}(1;1;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2;1;3)\) có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\text{\hspace{1em} và ptct là: }\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}\\ z=2+3t\end{array}\right.$

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;3; - 1)\)

Vi \(\Delta  \bot ({\rm{P}})\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(({\rm{P}})\) làm vectơ chí phương.

Đường thắng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(2; - 1;4)\), có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;3; - 1)\) có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+3t\text{ và phuong trình chính tắc là: }\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-4}{-1}\\ z=4-t\end{array}\right.$

a) Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y =  - 2 - t(t \in \mathbb{R}){\rm{. }}}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

b) Điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi có giá trị \(t\) thoả mãn hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 2 + t}\\{{y_0} =  - 2 - t}\\{{z_0} = 1 + 2t.}\end{array}} \right.\)

Ta có:

- Với $\left\{\begin{array}{l}3=2+t\\ -3=-2-t\text{. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất }t=1\\ 3=1+2t\end{array}\right.$nên \(A\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 1\).

- Với \(B(1; - 1;1)\), ta xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = 2 + t}\\{ - 1 =  - 2 - t}\\{1 = 1 + 2t}\end{array}} \right.\). Hệ phương trình này vô nghiệm nên \(B\) không thuộc \(d\).

a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec a = (2; - 3;4)\).

b) Với \(t = 0\), thay \(t = 0\) vào phương trình của \(d\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2.0 =  - 1}\\{y = 3 - 3.0 = 3}\\{z = 5 + 4.0 = 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy điểm \({M_1}( - 1;3;5)\) thuộc \(d\) ứng với \(t = 0\).

Tương tự với \(t =  - 1\) và \(t = 2\), ta có các điểm thuộc \(d\) tương ứng là \({M_2}( - 3;6;1),{M_3}(3; - 3;13)\).

a) Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

b) Từ phương trình tham số của \(d\), ta có \(d\) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1;2; - 3)\).

Suy ra, phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 3}}\).

a) Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec a = (2;3;6)\).

b) Một điểm thuộc \(d\) khi toạ độ của điểm đó thoả mãn phương trình chính tắc của \(d\) :

\(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{6}\left( {^*} \right)\)

Thay toạ độ của các điểm A, B vào phương trình chính tắc (*). Ta có:

- Điểm \(A(1; - 5; - 6)\) thoả mãn (*) vì \(\frac{{1 - 3}}{2} = \frac{{ - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 6}}{6}\) nên \(A\) thuộc \(d\);

- Điểm \(B(3; - 2;1)\) không thoả mãn vì \(\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{ - 2 + 2}}{3} \ne \frac{1}{6}\) nên \(B\) không thuộc \(d\).

Phương trình tham số của AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + (3 - 4)t}\\{y = 2 + ( - 2 - 2)t}\\{z =  - 1 + (2 - ( - 1))t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ hay }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 - t}\\{y = 2 - 4t}\\{z =  - 1 + 3t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R}).} \right.} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:\(\frac{{x - 4}}{{3 - 4}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2 - 2}} = \frac{{z - ( - 1)}}{{2 - ( - 1)}}{\rm{ hay }}\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}{\rm{. }}\)

a) Vì \(M\) thuộc \(\Delta \) nên \(M(2 - 3t;4 + t;5 - 2t)(t \in \mathbb{R})\).

Ta có: \(2 - 3t = 5\), suy ra \(t =  - 1\). Do đó \(4|t = 4|( - 1) = 3,5 - 2t = 5 - 2 \cdot ( - 1) = 7\). Vậy \(M(5;3;7)\).

b) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 = 2 - 3t}\\{2 = 4 + t}\\{9 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow t =  - 2} \right.\). Suy ra tồn tại số thực \(t\) thoả mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

c) Xét hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = 2 - 3t}\\{5 = 4 + t}\\{4 = 5 - 2t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Suy ra không tồn tại số thực \(t\) thoả

mãn hệ phương trình đó. Vậy điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Do \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và \(\Delta //{\Delta ^\prime }\) nên \(\vec u = ( - 3;1; - 2)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) '.

Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 3{t^\prime }}\\{y = 5 + {t^\prime }}\\{z = 4 - 2{t^\prime }}\end{array}} \right.\) ( \({t^\prime }\) là tham số).

d) Vì \(I\) thuộc \(\Delta \) nên \(I(2 - 3a;4 + a;5 - 2a)(a \in \mathbb{R})\). Mà \(I\) thuộc \((P)\) nên \((2 - 3a) - (4 + a) + (5 - 2a) + 9 = 0 \Leftrightarrow a = 2\). Vậy \(I( - 4;6;1)\).