Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương cơ sở là \(\vec v = \left( { - 3;2;4} \right)\). Ta nhận thấy vectơ ở đáp án A thỏa mãn \(\vec u =  - 2\vec v = \left( {6; - 4; - 8} \right)\).

Do đó, \(\vec u = \left( {6; - 4; - 8} \right)\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm N(5; −5; 6) vào phương trình đường thẳng d, ta được : \(\frac{{5 - 3}}{2} = \frac{{ - 5 + 1}}{{ - 4}} = \frac{{6 - 5}}{1}\) ⇔ \(\frac{2}{2} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} = 1\).

Vì cả ba phân thức đều bằng nhau và bằng 1 nên điểm N(5; −5; 6) nằm trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vectơ nối hai điểm làm một vectơ chỉ phương. Ta tính tọa độ của vectơ như sau: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4 - 1;0 - \left( { - 2} \right); - 1 - 3} \right) = \left( {3;2; - 4} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến. Do đó, một vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng:

\(\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1;2 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - \left( { - 1} \right)2} \right) = \left( { - 1;5;3} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)\).

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với \(\overrightarrow {{n_P}} \).

Vì đường thẳng d vuông góc với d' nên d vuông góc với \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \).

Do đó, ta tính vectơ chỉ phương của d như sau:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) - 3 \cdot 2;3 \cdot 1 - 2\left( { - 1} \right);2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right)1} \right) = \left( { - 5;5;5} \right)\)

Cùng phương với \(\vec v\), ta có thể chọn vectơ chỉ phương thu gọn là \(\vec u = \left( { - 1;1;1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Thay t = 1 vào hệ phương trình, ta được x = 0, y = 4, z = −2.

b) Sai. Vectơ \(\vec n = \left( { - 1;2;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của d.

c) Đúng. Từ phương trình, d có vectơ chỉ phương cơ sở \(\vec v = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Vectơ \(\vec u = - 2\vec v = \left( {2; - 4; - 2} \right)\) nên cũng là một vectơ chỉ phương.

d) Đúng. Từ phương trình tham số, ta xác định được đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; −3) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec v = \left( { - 1;2;1} \right)\). Áp dụng công thức, ta viết được phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Ta tính tọa độ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - \left( { - 1} \right); - 1 - 2;4 - 1} \right) = \left( {3; - 3;3} \right)\).

b) Đúng. Rút gọn \(\overrightarrow {AB} \) bằng cách chia cho 3, ta thu được vectơ cùng phương \(\vec u = \left( {1; - 1;1} \right)\).

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua A là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

Thay t = 4 vào phương trình, ta thu được x = 3, y = −2, z = 5. Do đó điểm N thuộc AB.

d) Sai. Thay tọa độ điểm K(1; 0; 4) vào phương trình tham số của đường thẳng AB, ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = - 1 + t}\\{0 = 2 - t}\\{4 = 1 + t}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 3}\end{array}} \right.\).

Vì các giá trị của tham số t không giống nhau nên điểm K không nằm trên đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Do đường thẳng d // D; d nhận vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\) của \(\Delta \) làm một vectơ chỉ phương.

Ta nhận thấy \(\vec u = - 2\vec v = \left( {2; - 6; - 4} \right)\) nên \(\vec u\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

b) Sai. Phương trình chính tắc của d đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).

Thay tọa độ O(0; 0; 0) vào phương trình này ta được \(\frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 + 1}}{2}\) Û \(1 \ne \frac{{ - 2}}{3} \ne \frac{1}{2}\). Do đó d không đi qua gốc tọa độ O.

c) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình là z = 0, do đó mọi điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) đều có cao độ z = 0.

d) Đúng. Dựa vào điểm đi qua M(1; 2; −1) và vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)\), ta có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{2}\) Û \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Từ phương trình mặt phẳng (P): x + 2y − z = 0, ta xác định ngay được vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).

b) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y + 2z − 3 = 0, vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).

c) Đúng. Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d có một vectơ chỉ phương được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến.

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)

Rút gọn vectơ \(\vec v\) bằng cách chia cho 3, ta được vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

d) Đúng. Thay tọa độ điểm K(1; 0; 1) lần lượt vào phương trình của (P) và (Q), ta được \(1 + 2 \cdot 0 - 1 = 0\) và \(1 - 0 + 2 \cdot 1 - 3 = 0\). Suy ra điểm K thuộc cả hai mặt phẳng nên K nằm trên giao tuyến d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Đúng.                d) Sai.

a) Đúng. Do M là giao điểm của d và d' nên M ∈ d' Þ M(2 + t; 2t; −1 − t).

b) Đúng. Vectơ nối hai điểm là \(\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t;2t; - t} \right)\).

Vì d song song với (P) nên \(\overrightarrow {AM} \) vuông góc với \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0\) Û  2(1 + t) - 2t - t = 0.

c) Đúng. Từ phương trình trên ta giải ra 2 − t = 0 Û t = 2.

Thay t = 2 vào tọa độ tham số, ta được tọa độ M(4; 4; −3).

d) Sai. Tính tọa độ vectơ chỉ phương dựa vào điểm M vừa tìm được, ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {3;4; - 2} \right)\), hoàn toàn không phải là \(\left( {3; - 4; - 2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Vectơ chỉ phương theo hệ số của phương trình là \(\vec v = \left( { - 2;a; - 1} \right)\).

Vì \(\vec u = \left( {4; - 6;2} \right) =  - 2\left( { - 2;3; - 1} \right)\) nên ta đồng nhất và tìm được a = 3.

Vì K(1; 3; 5) thuộc d, thay tọa độ K vào t = 0, ta được cao độ z = b − 0 = 5 Þ b = 5.

Vậy S = 3 + 5 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −6

Vectơ chỉ phương của đường thẳng nối hai điểm được tính bằng biểu thức:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {4 - 2;2 - \left( { - 1} \right);1 - 3} \right) = \left( {2;3; - 2} \right)\)

Đồng nhất với vectơ \(\vec u = \left( {2;m;n} \right)\), ta suy ra m = 3 và n = −2.

Tích cần tìm là m · n = 3 · (−2) = −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng chuẩn bằng cách đưa hệ số của x trên tử về 1:

\(\frac{{x - 2}}{{\frac{a}{3}}} = \frac{{y + 2}}{b} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\)

Vectơ chỉ phương của d là \(\vec v = \left( {\frac{a}{3};b; - 2} \right)\).

Đồng nhất \(\vec v\) với \(\vec u = \left( {2; - 1; - 2} \right)\), ta lập được phương trình \(\frac{a}{3} = 2\) Þ a = 6 và b = −1.

Tổng a + b = 6 + (−1) = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Tính vectơ chỉ phương của d bằng tích có hướng:

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - \left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 3} \right)2 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 2} \right) = \left( { - 2; - 7; - 3} \right)\)

Vì a, b, c cùng dấu và nguyên tố cùng nhau, ta chọn \(\vec u =  - \vec v = \left( {2;7;3} \right)\).

Tổng cần tìm là 2 + 7 + 3 = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\). Vectơ chỉ phương của d' là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Vectơ chỉ phương của d

\(\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)3 - 1\left( { - 2} \right);1 \cdot 1 - 2 \cdot 3;2\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)1} \right) = \left( { - 1; - 5; - 3} \right)\)

Đồng nhất với vectơ \(\vec u = \left( {a;b; - 3} \right)\), ta thu được cao độ khớp nhau hoàn toàn, do đó a = −1 và b = −5.

Biểu thức a − b = −1 − (−5) = 4.