Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {DD'}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)

Ta có: \(\frac{{2 - 2}}{1} = \frac{{1 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 1 + 1}}{3} = 0\)(đúng)

\(\frac{{1 - 2}}{1} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 + 1}}{3}\)(Sai)

\(\frac{{1 - 2}}{1} = \frac{{3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 4 + 1}}{3}\)(đúng)

\(\frac{{4 - 2}}{1} = \frac{{ - 3 - 1}}{{ - 2}} = \frac{{5 + 1}}{3}\)(đúng)

Do đó chọn B

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{3}\) có một vectơ chỉ phương là. \[\overrightarrow {{u_1}} \left( { - 2;5; - 3} \right)\]

\[d\]có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( {2; - 2;1} \right)\]và đi qua \[M\left( {1;2;0} \right)\].

\[d'\]có VTCP \[\overrightarrow {u'}  = \left( { - 2;3;1} \right)\]và đi qua \[M'\left( {0; - 5;4} \right)\].

Từ đó ta có:

\[\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 1; - 7;4} \right)\]và \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\3&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\{ - 2}&3\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5\,; - 4\,;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \].

Lại có \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  = ( - 1).( - 5) + ( - 7).( - 4) + 4.2 = 41 \ne 0\].

Suy ra \[d\] chéo nhau với \[d'\].

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1;3} \right),\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1;m} \right)\)

\({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) \( \Leftrightarrow  - 2 - 1 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = 1\)\(\)

Ta có Tọa độ của \(A\)thỏa mãn cả hai phương trình đường thẳng. Do đó \(A\)là giao điểm của hai đường thẳng

Ta có đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \[M\left( { - 1\,;\, - 1\,;\,2} \right)\] và nhận \[\overrightarrow {MN}  = \left( {2\,;\,4\,;\,2} \right)\] làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x + 1}}{2}\,\, = \,\,\frac{{y + 1}}{4}\,\, = \,\,\frac{{z - 2}}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{y + 1}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z - 2}}{1}\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(d\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,1\,;\, - 2} \right)\). Phương trình đường thẳng cần tìm: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\)

Ta có \[\left( \alpha  \right):4x + 3y - 7z + 1 = 0\]\[ \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {4\,;3\,; - 7} \right)\] là VTPT của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\].

Mà đường thẳng \[d \bot \left( \alpha  \right)\] \[ \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left( {4\,;3\,; - 7} \right)\] là VTCP của đường thẳng \[d\].

Ta lại có \[A\left( {1\,;2\,;3} \right) \in d\].

Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng \[d\] là: \[\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 7}}\].

Cách 1:

Ta có: Trong thời gian từ \(0\) đến \(3\)giây phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là:

                                        \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{3}t\\y = 2 + \frac{1}{3}t\\z = 4 + \frac{2}{3}t\end{array} \right.\)

với \(t = 3\) ta được điểm \[M\left( {2;\,3;\,6} \right)\].

Cách 2: Sau 3 giây viên đạn sẽ tới mục tiêu là điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow v \)

            \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1 + 1 = 2\\{y_M} = 2 + 1 = 3\\{z_M} = 4 + 2 = 6\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\,3;\,6} \right)\)

Ta có \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1\,;2\,;3} \right),\,\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1\,;2\,; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 12;6;0} \right)\]

Mặt khác \[\left( \alpha  \right)\] qua \({M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right)\)\[ \Rightarrow \left( \alpha  \right): - 12\left( {x + 1} \right) + 6\left( {y - 2} \right) + 0\left( {y + 1} \right) = 0\]

            \[ \Leftrightarrow \left( \alpha  \right):2x - y + 4 = 0\]

Ta có \(\left( d \right)\parallel \left( {d'} \right)\) và \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)\],\({M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right) \in d:{M_{0'}}\left( {1;2;0} \right) \in d'\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{M_0}{M_{0'}}} } \right] = \left( {2; - 5; - 4} \right)\)

Mặt khác \[\left( \alpha  \right)\] qua \({M_0}\left( { - 1;2; - 1} \right)\)\[ \Rightarrow \left( \alpha  \right):2\left( {x + 1} \right) - 5\left( {y - 2} \right) - 4\left( {y + 1} \right) = 0\]

            \[ \Leftrightarrow \left( \alpha  \right):2x - 5y - 4z + 8 = 0\].

* Phương án a) đúng.

* Phương án b) đúng: \[\frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{1}{{ - 2}}\]

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng \[d\] có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow v  = ( - 2;1;1)\] và đi qua điểm \[M(7;3;2)\] nên phương trình tham số của \[d\] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 2u\\y = 3 - u\\z = 2 - u\end{array} \right.,\,u \in \mathbb{R}\].

* Phương án d) sai: Do hai đường thẳng d  và d' có cặp vecto chỉ phương không cùng phương  nên chúng chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3 + 4t = 7 + 2u\\5 - 2t = 3 - u\\3 - t = 2 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4t - 2u = 4\\ - 2t + u =  - 2\\ - t + u =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\t = 1\end{array} \right.\]

Hệ có nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại điểm \[M(7;3;2)\].

* Phương án a) đúng.

* Phương án b) đúng.

* Phương án c) sai: Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[d\] nên có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\]. Suy ra phương trình tham số đường thẳng \[\Delta \] là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,t \in \mathbb{R}\].

* Phương án d) đúng:  Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\] và song song với đường thẳng \[d\] có phương trình chính tắc là: \[\frac{x}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\].

Đường thẳng \[d\] có 1 VTCP \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;\, - 2;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 VTPT \[\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\], gọi  \[\overrightarrow u \] là 1 VTCP của đường thẳng \[\Delta \]

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \bot d\\\Delta //\left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;4;3} \right)\).

Suy ra PTTS của đường thẳng \[\Delta \] :\[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\]. Chọn \(t = 1 \Rightarrow \Delta \)đi qua điểm \(M\left( {5;5;6} \right)\)

Suy ra PTCT của đường thẳng \[\Delta \]: \(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 5}}{4} = \frac{{z - 6}}{3}\)\( \Rightarrow a =  - 5,b = 2,c = 4,d =  - 6 \Rightarrow M =  - 5\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1\,;\,3\,;\,1} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {1\,;\, - 1\,;\,0} \right)\); \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right]\)\( = \left( {1\,;\,1\,;\, - 2} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(D\)và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)nên có véc tơ chỉ phương là\({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1\,;\,1\,; - 2} \right)\), phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z =  - 3 - 2t\end{array} \right.\). Chọn \(t = 1 \Rightarrow M\left( {2;2; - 5} \right)\).

Suy ra \(a = 2;b =  - 5 \Rightarrow {a^b} = {2^{ - 5}} = 0,03.\)

\(d:\,\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\)\( \Rightarrow d\) qua \(M\left( {2;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

\(\Delta :\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{4}\)\( \Rightarrow \Delta \) qua \(N\left( {1;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)\) làm một VTCP

Thế tọa độ điểm \(M\left( {2;0;0} \right)\)vào đường thẳng \(\Delta \), ta được: \(\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow d//\Delta \).

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\). \(\left( P \right)\) chứa \(d\) và \(\Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {7; - 7;7} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\):\(x - y + z - 2 = 0\)\( \Rightarrow a = 1,b =  - 1;c =  - 2 \Rightarrow a + b + c =  - 2\).

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm \(B\left( { - 5;a;b} \right)\)thì tọa độ của điểm \(B\) thỏa \(\left( 1 \right)\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l} - 5 = 1 + 2t\\a = 2 + t\\b = 3 + 5t\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 3\\a = 2 + t\\b = 3 + 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 3\\a =  - 1\\b =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow {b^a} =  - 0,1.\)

Gọi \(M = d \cap d' \Rightarrow M\left( {1;2;4} \right)\).

Ta có \(N \in d' \Rightarrow N\left( {1;2;1 + 3t'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {0;0;3t' - 3} \right)\). Theo giả thiết \(MN = 6\)

Suy ra \(\left| {3t' - 3} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 3\\t' =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {1;2;7} \right)\\N\left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right.\). Vì \(c < 0 \Rightarrow \)nhận \(N\left( {1;2; - 2} \right)\)

Vậy \(a = 1,b = 2,c =  - 2 \Rightarrow a - b + c =  - 5.\)

Gọi \(B = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow \)tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 6 = 0\\\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;1;2} \right)\)

Vì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d\) cắt \(\Delta  \Rightarrow B \in d \Rightarrow d\) đi qua \(A\left( {1;1;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0; - 1} \right)\) làm một VTCP.

Suy ra PTTS của \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 3 - t\end{array} \right. \Rightarrow a = 1,b =  - 1 \Rightarrow M = 2025.\)