Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y + 5z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2\,;\, - 3\,;\,5} \right)\).

Thay tọa độ của điểm \(M(3;4; - 5)\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta có \(\frac{{3 - 3}}{2} = \frac{{4 - 4}}{{ - 5}} = \frac{{ - 5 + 5}}{3}.\)

Do đó \(M \in d\)

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y =  - 1 + 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;2;3} \right).\)

Đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0; - 1;3} \right)\).

Đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 4;2;2} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {{u_2}} \) và \(A \notin {d_2}\). Do đó \({d_1}//{d_2}.\)

Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 5}}{m}\,\left( {m \ne 0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3;4;m} \right)\).

Đường thẳng \[{d_2}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;2;1} \right).\)

Để \({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Leftrightarrow 3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + m.1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 5\)

Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3 + t = 6 - t'\\2 - 3t = 1 - t'\\5 + 2t = 3 + 2t'\end{array} \right.\] có nghiệm \(\left( {t;t'} \right) = \left( {1;2} \right)\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(d\) là \(I\left( {4; - 1;7} \right)\)

Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN}  = (\,1;\,1;\, - 1)\) và đi qua \(M(\,1;\,0;\,1)\)nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t\end{array} \right..\)

Đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\), và đi qua \(M\left( {2; - 3;5} \right)\) nên có có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3 - t\\z = 5 + t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 3; - 1} \right)\), và đi qua \(M\left( {1; - 2;0} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 - 3t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right..\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm \(M,N,Q\) không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\).

Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm \(P\).

Đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( { - 1;2;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d\) và \(d'\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {6;3;1} \right)\).

Mặt khác, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - t\\z = 12 - 3t\end{array} \right.\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1; - 1;12} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(6\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 3y + z - 15 = 0\)

Đường thẳng \(d\) và \(d'\) lần lượt chứa hai điểm \(M\left( {3; - 1; - 1} \right)\) và \(N\left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;1;2} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) nên có vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\) hay có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt khác, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {3; - 1; - 1} \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(x + y + z - 1 = 0\).

Đường thẳng \(\Delta \) có một VTCP là  \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 5} \right)\).Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\5 = 3 + t\\ - 6 = 4 - 5t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow t = 2.\) Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;2} \right)\). Dễ thấy: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 3 + t = 0 \Leftrightarrow t =  - 3\) nên điểm \(M\left( { - 5;0;19} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)  . Vậy mệnh đề D. Đúng.

Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\].Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: \(\frac{{10 - 4}}{3} = \frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}}\)  là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4; - 2} \right)\). Dễ thấy: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\]. Đường thẳng  \({\Delta _2}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;1; - 1} \right)\]  và đi qua điểm \[M\left( {10;1; - 2} \right)\].

 Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( {9; - 1; - 1} \right)\] và \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MA}  =  - 20\].Vậy mệnh đề D. Đúng.

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;6} \right)\] . Nên Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là: \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;3} \right)\).Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)  là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 + t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 3 + t\\6 = 5 + t\\9 = 9 + 3t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \). Vậy mệnh đề C.Sai.

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1;3} \right)\) và điểm \(C \in d\) . Vậy mệnh đề D. Đúng.

Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( { - 1;4; - 5} \right)\].Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Đường thẳng \({\Delta _2}\)  cắt trục toạ độ \(Oz\) tại \[M\left( {0;0;2} \right)\] . Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\). Dễ thấy: \[\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} \] không cùng phương.Vậy mệnh đề C.Sai.

Ta có: Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( { - 1;4; - 5} \right)\]. Đường thẳng  \({\Delta _2}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\]  và đi qua điểm \[M\left( { - 4; - 2;4} \right)\].

 Ta có: \[\overrightarrow {MA}  = \left( { - 3; - 6;9} \right)\] và \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MA}  = 0\]. Vậy mệnh đề D. Sai.

Các véc tơ chỉ phương của đường thẳng \[AB\] có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình hộp gồm: \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BA} ,\,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {B'A'} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {C'D'} \). Có tất cả là 8 véc tơ.

+) Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{0}{2} = \frac{{1 - 1}}{3} = \frac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 0 = 0 = 0\) điều này là đúng, do đó \(A \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{2}{2} = \frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{ - 3 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 1 = 1 = 1\) điều này là đúng, do đó \(B \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(C\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{4}{2} = \frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 2 = 2 =  - 3\) điều này là vô lí, do đó \(C \notin \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(D\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{{ - 2}}{2} = \frac{{ - 2 - 1}}{3} = \frac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow  - 1 =  - 1 =  - 1\) điều này là đúng, do đó \(D \in \Delta \).

Vậy có \(3\) điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \) là \(A,\,\,B,\,\,D\).

+) Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t\\0 =  - t\\2 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 0\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 0\). Hệ có nghiệm, do đó \(A \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + 2t\\ - 1 =  - t\\1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \). Hệ vô nghiệm, do đó \(B \notin \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(C\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\ - 2 =  - t\\4 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 2\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\). Hệ có nghiệm, do đó \(C \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(D\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\1 =  - t\\ - 1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \).  Hệ vô nghiệm, do đó \(D \notin \Delta \).

Vậy có \(2\) điểm không thuộc đường thẳng \(\Delta \) là \(\,B,\,\,D\).

+) \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - m;2m; - 4} \right)\), \(d\) có VTCP \(\overrightarrow v  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

+) \(\Delta  \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0 \Leftrightarrow \left( { - m} \right).2 + 2m.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2} =  - 0,5\).

+) \(d\) có PTTS \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - s\\y = 6 + 2s\\z =  - 3 - 2s\end{array} \right.\).

+) Để xét VTTĐ của \(\Delta \) và \(d\) ta xét hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}2 - t =  - 1 - s\\2t = 6 + 2s\\1 - t =  - 3 - 2s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - s = 3\\t - s = 3\\t - 2s = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\s =  - 1\end{array} \right.\].

Hệ có nghiệm duy nhất nên \(\Delta \) và \(d\) cắt nhau. Thay \(t = 2\) vào phương trình \(\Delta \) (hoặc thay \(s =  - 1\) vào phương trình của \(d\)) ta được tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(d\) là \(M\left( {0;4; - 1} \right) \Rightarrow a + b + c = 0 + 4 + \left( { - 1} \right) = 3.\)

+) \(\Delta \) có VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;4} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6;8} \right) \Rightarrow b =  - 6,c = 8\).

+) Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = 2t\\ - 1 = {y_0} - 6t\\3 = {z_0} + 8t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\{y_0} = 5\\{z_0} =  - 5\end{array} \right.\)

Từ đó ta có: \({y_0} + {z_0} + b + c = 5 - 5 - 6 + 8 = 2\).