Đề kiểm tra Phương trình đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z =  - 1 - 2t\end{array} \right..\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm \(M,N,Q\) không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 =  - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\).

Đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( { - 1;2;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d\) và \(d'\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {6;3;1} \right)\).

Mặt khác, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - t\\z = 12 - 3t\end{array} \right.\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {1; - 1;12} \right)\).

Đường thẳng \(d\) và \(d'\) lần lượt chứa hai điểm \(M\left( {3; - 1; - 1} \right)\) và \(N\left( {0;0;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 3;1;2} \right)\), vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) nên có vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\) hay có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mặt khác, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm \(M\left( {3; - 1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có một VTCP là  \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 5} \right)\).Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\5 = 3 + t\\ - 6 = 4 - 5t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow t = 2.\) Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4;2} \right)\). Dễ thấy: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Vậy mệnh đề C. Đúng.

Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\].Vậy mệnh đề A. Sai.

Ta có: \(\frac{{10 - 4}}{3} = \frac{{1 + 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}}\)  là mệnh đề đúng. Vậy mệnh đề B. Đúng.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2;1; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;4; - 2} \right)\). Dễ thấy: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\). Vậy mệnh đề C. Đúng.

Ta có: Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( {1;2; - 1} \right)\]. Đường thẳng  \({\Delta _2}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;1; - 1} \right)\]  và đi qua điểm \[M\left( {10;1; - 2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;6} \right)\] . Nên Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là: \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;3} \right)\).Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)  là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 + t\\z = 9 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = 3 + t\\6 = 5 + t\\9 = 9 + 3t\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \). Vậy mệnh đề C.Sai.

Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( { - 1;4; - 5} \right)\].Vậy mệnh đề A. Đúng.

Ta có: Đường thẳng \({\Delta _2}\)  cắt trục toạ độ \(Oz\) tại \[M\left( {0;0;2} \right)\] . Vậy mệnh đề B. Sai.

Ta có : \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\). Dễ thấy: \[\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} \] không cùng phương.Vậy mệnh đề C.Sai.

Ta có: Đường thẳng  \({\Delta _1}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\]  và đi qua điểm \[A\left( { - 1;4; - 5} \right)\]. Đường thẳng  \({\Delta _2}\) có một VTCP là: \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\]  và đi qua điểm \[M\left( { - 4; - 2;4} \right)\].

+) Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{0}{2} = \frac{{1 - 1}}{3} = \frac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 0 = 0 = 0\) điều này là đúng, do đó \(A \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{2}{2} = \frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{ - 3 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 1 = 1 = 1\) điều này là đúng, do đó \(B \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(C\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{4}{2} = \frac{{7 - 1}}{3} = \frac{{1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow 2 = 2 =  - 3\) điều này là vô lí, do đó \(C \notin \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(D\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

                        \(\frac{{ - 2}}{2} = \frac{{ - 2 - 1}}{3} = \frac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow  - 1 =  - 1 =  - 1\) điều này là đúng, do đó \(D \in \Delta \).

Vậy có \(3\) điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \) là \(A,\,\,B,\,\,D\).

+) Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t\\0 =  - t\\2 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t = 0\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 0\). Hệ có nghiệm, do đó \(A \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(B\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 = 1 + 2t\\ - 1 =  - t\\1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \). Hệ vô nghiệm, do đó \(B \notin \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(C\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}5 = 1 + 2t\\ - 2 =  - t\\4 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 2\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2\). Hệ có nghiệm, do đó \(C \in \Delta \).

+) Thay tọa độ của điểm \(D\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 + 2t\\1 =  - t\\ - 1 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \).  Hệ vô nghiệm, do đó \(D \notin \Delta \).

+) \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - m;2m; - 4} \right)\), \(d\) có VTCP \(\overrightarrow v  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

+) \(d\) có PTTS \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - s\\y = 6 + 2s\\z =  - 3 - 2s\end{array} \right.\).

+) Để xét VTTĐ của \(\Delta \) và \(d\) ta xét hệ: \[\left\{ \begin{array}{l}2 - t =  - 1 - s\\2t = 6 + 2s\\1 - t =  - 3 - 2s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - s = 3\\t - s = 3\\t - 2s = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\s =  - 1\end{array} \right.\].

+) \(\Delta \) có VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;4} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6;8} \right) \Rightarrow b =  - 6,c = 8\).

+) Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình \(\Delta \) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = 2t\\ - 1 = {y_0} - 6t\\3 = {z_0} + 8t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\{y_0} = 5\\{z_0} =  - 5\end{array} \right.\)