Bài tập Góc giữa 2 đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đường thắng d có vectơ chí phương là \(\vec a = (2;4;2)\) Đường thắng d' có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (3;3;6)\) Có \(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{|2.3 + 4.3 + 2.6|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6}\). Suy ra $\left(d,d^{\text{'}}\right)\approx {\mathrm{33,56}}^{°}$.

Đường thẳng d có vectơ chí phương là \(\vec a = (2;2;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;3; - 3)\)

\(\sin (d,(P)) = \frac{{|2.0 + 2.3 + 1 \cdot ( - 3)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{3}{{9\sqrt 2 }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\). Suy ra $(d,(P\left)\right)\approx {\mathrm{13,63}}^{°}$

Mặt phả̉ng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (0;4;4)\)

Mặt phẳng \(\left( {{{\rm{P}}^\prime }} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (7;0;7)\) \(\cos \left( {(P),\left( {{P^\prime }} \right)} \right) = \frac{{|0.7 + 4.0 + 4.7|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2}}  \cdot \sqrt {{7^2} + {7^2}} }} = \frac{{28}}{{56}} = \frac{1}{2}\)

Suy ra $\left(\left(\text{P}\right),\left({\text{P}}^{\text{'}}\right)\right)={60}^{°}$

Chọn hệ trục như hình vẽ

\(O(0;0;0),B(3;0;0),C(0;1;0),{O^\prime }(0;0;2),{B^\prime }(3;0;2),{C^\prime }(0;1;2){\rm{. }}\)

a) Đường thằng \({\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }\) nhận \(\overrightarrow {{\rm{B}}{{\rm{O}}^\prime }}  = ( - 3;0;2)\) làm vectơ chí phương.

Đường thẳng \({{\rm{B}}^\prime }{\rm{C}}\) nhận \(\overrightarrow {{B^\prime }C}  = ( - 3;1; - 2)\) làm vectơ chỉ phương.

\(\cos \left( {B{O^\prime },{B^\prime }C} \right) = \frac{{|( - 3) \cdot ( - 3) + 0.1 + 2 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 3)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\)

Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta \) 'tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\vec u = (1;1;0),{\bar u^\prime } = (2;2;1)\). Khi đó:

$\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\text{'}}\right)\right|=\frac{|1\cdot 2+1\cdot 2+0\cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\text{ Vậy }\left(\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}\right)\approx {\mathrm{19,5}}^{°}.$

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (1; - \sqrt 3 ;0)\), \({\vec u_2} = ( - \sqrt 3 ;1;0)\). Ta có:

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={30}^{°}$

Đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (3;2;1),{\vec u_2} = ( - 1;2; - 1)\).

Ta có: \({\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 3 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) = 0\). Suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 1;2)\).

Các trục tọa độ Ox , Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec i = (1;0;0)\), \(\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos (\Delta ,{\rm{Ox}}) = \frac{{|2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 0 + 2 \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}\\\cos (\Delta ,{\rm{Oy}}) = \frac{{|2 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{3}\\\cos (\Delta ,{\rm{Oz}}) = \frac{{|2 \cdot 0 + ( - 1) \cdot 0 + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\end{array}\)

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{4}{9}\). Suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {26}^{°}$

Ta có:

\(\sin ({\rm{Ox}},({\rm{P}})) = \frac{{|1 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{|A|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

\(\sin ({\rm{Oy}},({\rm{P}})) = \frac{{|0 \cdot A + 1 \cdot B + 0 \cdot C|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{|B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

\(\sin ({\rm{Oz}},({\rm{P}})) = \frac{{|0 \cdot A + 0 \cdot B + 1 \cdot C|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{|C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Đường thắng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = (\sqrt 3 ;0;1)\) và mặt phắng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (\sqrt 3 ;0;1)\). Ta thắy vectơ chí phương của \(\Delta \) đồng thời là vectơ pháp tuyến của (P), do đó \(\Delta  \bot \) \(({\rm{P}})\), suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)={90}^{°}$

Do \(\left( {{{\rm{P}}_1}} \right),\left( {{{\rm{P}}_2}} \right)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1;1;2),\overrightarrow {{n_2}}  = (2; - 1;1)\) nên \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|1 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 1) + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).

Suy ra $\left(\left(P_1\right),\left(P_2\right)\right)={60}^{°}$

Đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\) lẩn lượt có các vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1; - 1;2)\) và \(\overrightarrow {{a^\prime }}  = (1;2; - 1)\). Ta có:

\(\cos \left( {d,{d^\prime }} \right) = \frac{{\left| {\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }} } \right|}}{{|\vec a| \cdot \left| {\overrightarrow {{a^\prime }} } \right|}} = \frac{{|1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{| - 3|}}{6} = \frac{1}{2}.\) Vậy $\left(d,d^{\text{'}}\right)={60}^{°}$

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1;2; - 1)\), mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1;1; - 2)\).

Ta có: \(\sin (d,(\alpha )) = \frac{{|\vec n \cdot \vec a|}}{{|\vec n| \cdot |\vec a|}} = \frac{{|( - 1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + ( - 1) \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)

Vậy $(d,(\alpha \left)\right)={30}^{°}$

Mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (2;2; - 4)\) và \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (1;0; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((\alpha ),(\beta )) = \frac{{\left| {\vec n \cdot \overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}}{{|\vec n| \cdot \left| {\overrightarrow {{n^\prime }} } \right|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + ( - 4) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 4)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {} 3}}{2}{\rm{. }}\) Vậy $\left(\right(\alpha ),(\beta \left)\right)={30}^{°}$

a) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = (a;0;0)\).

Các vectơ \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {CD} \) lần lượt là vectơ chí phương của hai đường thắng $S A$ và CD nên \(\cos (SA,CD) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{a^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a \cdot a}} = \frac{1}{2}({\rm{ do }}a > 0).\) Suy ra $(SA,CD)={60}^{°}$.

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - a;a;0)\).

Xét vecto \([\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{a}{2}}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{2}}&0\\{ - a}&a\end{array}} \right|} \right)\) \( = \left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\).

Khi đó, \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SD}  = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

\({\rm{ Ta có }}\sin (SD,(SAC)) = \frac{{\left| {\frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + a \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}^2}} }}\)

\( = \frac{{\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2  \cdot {a^2}\frac{{\sqrt 7 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\) Suy ra $(SD,(SAC\left)\right)\approx {28}^{°}$.

a) Trong hình vuông \(AD{D^\prime }{A^\prime }\), ta có: \(A{D^\prime } \bot D{A^\prime }\).

Do \(CD \bot \left( {AD{D^\prime }{A^\prime }} \right)\) nên \(A{D^\prime } \bot CD\). Suy ra \(A{D^\prime } \bot \left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)\).

Mặt khác, ta có: \(A{A^\prime } \bot (ABCD)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \(\left( {CD{A^\prime }{B^\prime }} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(A{A^\prime }\) và \(A{D^\prime }\), đó là góc \({A^\prime }A{D^\prime }\). Vì tam giác \({A^\prime }A{D^\prime }\) vuông cân tại \({A^\prime }\) nên $\widehat{A^{\text{'}}A{D}^{\text{'}}}={45}^{°}$. Vậy $\left(\left(ABCD\right),\left(CD{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=\widehat{A^{\text{'}}A{D}^{\text{'}}}={45}^{°}$.

b) Ta có \({\rm{A}}{{\rm{D}}^\prime } \bot ({\rm{CDAB}})\).

Mặt khác, ta có \(AB \bot (BCCB)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((BCCB)\) và \((CDAB\) ) là góc giữa hai đường thẳng AB và AD ', đó là góc BAD :

Lại có \(AB \bot \left( {AD{D^\prime }A} \right.\) ), suy ra \(AB \bot AD\) ', do đó $\widehat{BA{D}^{\text{'}}}={90}^{°}$.

Vậy $\left(\right(\text{BCC}B),(CDAB\left)\right)=\widehat{BA{D}^{\text{'}}}={90}^{°}$

Do \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \({\vec n_1} = (\sqrt 3 ;0;1),{\vec n_2} = ( - \sqrt 3 ;0;1)\)

Nên \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{|\sqrt 3  \cdot ( - \sqrt 3 ) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - \sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}{\rm{. }}\) Suy ra $\left(\left(P_1\right),\left(P_2\right)\right)={60}^{°}$

Các vectơ \(\vec i = (1;0;0),\vec j = (0;1;0)\) và \(\vec k = (0;0;1)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ \(({\rm{Oyz}}),({\rm{Ozx}})\) và \(({\rm{Oxy}})\).

Ta có:

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Oyz}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 1 + {\rm{B}} \cdot 0 + {\rm{C}} \cdot 0|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|{\rm{A}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }};\)

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Ozx}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 0 + {\rm{B}} \cdot 1 + {\rm{C}} \cdot 0|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|{\rm{B}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }}\)

\(\cos (({\rm{P}}),({\rm{Oxy}})) = \frac{{|{\rm{A}} \cdot 0 + {\rm{B}} \cdot 0 + {\rm{C}} \cdot 1|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|{\rm{C}}|}}{{\sqrt {{{\rm{A}}^2} + {{\rm{B}}^2} + {{\rm{C}}^2}} }}.\)

Trục Oz có vectơ chí phương là \(\vec k = (0;0;1)\)

Đường thắng \(\Delta \) có vectơ chi phương là \(\vec u = (1;2; - 2)\)

Khi đó \(\cos (Oz,\Delta ) = |\cos (\vec k,\vec u)| = \frac{{| - 2|}}{{\sqrt {{1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{2}{3}\). Vậy $(Oz,\Delta )\approx {\mathrm{48,2}}^{°}$

Trục Ox có vectơ chỉ phương \(\vec i = (1;0;0)\), mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (\sqrt 2 ; - 1;1)\). Ta có:

\(\sin (Ox,(P)) = \frac{{|1 \cdot \sqrt 2  + 0 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{{\sqrt 2 }^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy Ox tạo với \((P)\) góc ${45}^{°}$

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = ( - 1;2;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 1;1)\)

Ta có \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{| - 1 - 2 + 1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{3\sqrt 2 }}\). Do đó $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {\mathrm{28,1}}^{°}$

Các mặt phẳng \((P),(Q)\) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;2;2),\overrightarrow {{n^\prime }}  = (1;1; - 1)\).

Ta có: \(\cos ((P),(Q)) = \frac{{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\). Do đó $\left(\right(P),(Q\left)\right)\approx {\mathrm{78,9}}^{°}$

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - \sqrt 2 ;1)\)

Mặt phẳng \(({\rm{Oxz}})\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = (0;1;0)\)

Có \(\cos ((P),(Oxz)) = \frac{{|1.0 - \sqrt 2 .1 + 1.0|}}{{\sqrt {1 + 2 + 1}  \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra $\left(\right(P),(Oxz\left)\right)={45}^{°}$

Mặt phẳng \((ABD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BD}  = (3;3;0)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\).

Suy ra \((ABD)\) có vectơ pháp tuyến \([B\vec D,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12;12; - 9)\). Do đó \(\vec n = ( - 4;4; - 3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ABD)\).

Mặt phẳng \((ACD)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC}  = (0;3; - 4)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (3;0; - 4)\). Suy ra \((ACD)\) có vectơ pháp tuyến là \([\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ] = ( - 12; - 12; - 9)\). Do đó \(\vec m = (4;4;3)\) cũng là vectơ pháp tuyến của \((ACD)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \((ABD)\) và \((ACD)\). Khi đó:

\(\cos \varphi  = |\cos (\vec n,\vec m)| = \frac{{| - 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 + ( - 3) \cdot 3|}}{{\sqrt {{{( - 4)}^2} + {4^2} + {{( - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {{4^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{41}}.\) Vậy $\phi \approx {\mathrm{77,3}}^{°}$

Đường thắng \({\Delta _1}\) có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2; - 1;3)\)

Đường thắng \({\Delta _2}\) có vectơ chí phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1;1;2)\)

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot ( - 1) + ( - 1) \cdot 1 + 3 \cdot 2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\). Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)\approx {\mathrm{70,9}}^{°}$

Trục Oz có vectơ chí phương là \(\vec k = (0;0;1)\)

Mặt phắng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;2; - 1)\) Có \(\sin (Oz,(P)) = \frac{{|0.1 + 0.2 + 1 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt 1  \cdot \sqrt {1 + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Suy ra $(Oz,(P\left)\right)\approx {\mathrm{24,1}}^{°}$

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chí phương là \(\vec u = ( - 1;2;3)\)

Mặt phẳng \(({\rm{P}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1;1)\)

\({\rm{ C\'o  }}\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{| - 1.1 + 2.1 + 3.1|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {42} }}\). Suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {\mathrm{38,1}}^{°}$

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (2;1;0)\), \({\vec u_2} = (1; - 1;2)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|2 \cdot 1 + 1 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 2|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {30} }}{{30}}\).

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)\approx {79}^{°}$.

b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = (1; - 2; - 2)\), \({\vec u_2} = (2;2; - 1)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|1 \cdot 2 + ( - 2) \cdot 2 + ( - 2) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 0\).

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)={90}^{°}$.

c) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \({\vec u_1} = ( - 1;2; - 3)\), \({\vec u_2} = (2; - 1; - 1)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{|( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) + ( - 3) \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{42}}\).

Suy ra $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)\approx {84}^{°}$.

a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = ( - \sqrt 3 ;0;1)\) và mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - \sqrt 3 ; - 1)\).

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|( - \sqrt 3 ) \cdot 1 + 0 \cdot ( - \sqrt 3 ) + 1 \cdot ( - 1)|}}{{\sqrt {{{( - \sqrt 3 )}^2} + {0^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - \sqrt 3 )}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {15}  + \sqrt 5 }}{{10}}\).

Suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {38}^{°}$.

b) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chi phương là \(\vec u = (2; - 3;3)\) và mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3; - 4;5)\).

Ta có: \(\sin (\Delta ,(P)) = \frac{{|2 \cdot 3 + ( - 3) \cdot ( - 4) + 3 \cdot 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2} + {5^2}} }} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{10}}\).

Suy ra $(\Delta ,(P\left)\right)\approx {84}^{°}$

Góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 45⁰

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Suy ra (-3) \( \cdot 5 + 4 \cdot 3 + m \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\).