Bài tập Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\). Số đo góc giữa hai đường thẳng d1; d2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3;4} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).3 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} }} = 0\).
Suy ra (d1, d2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d và d'.
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{3 + \sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{ - 1}}{{3\sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{54}}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d; d'.
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.2 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 9}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = 0\).
Suy ra (d1, d2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 5 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}\). Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;3;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;4} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) + 2.4} \right|}}{{\sqrt {17} .\sqrt {21} }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Tính cosin góc giữa đường thẳng d và trục Ox biết \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{1}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của d, \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục Ox.
\(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {2 + 0 + 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Tính côsin của góc giữa đường thẳng và trục Ox.
\(\frac{2}{3}\);
\( - \frac{2}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\) là vectơ chỉ phương của , \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục Ox.
\(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\), \({\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Góc giữa 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(2; −1; 1), C(1; 2; 2), D(0; 1; 2). Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
\( - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\);
1;
\(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\);
\(\frac{1}{{12}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).
Do đó \[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\].
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + mt\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Tìm m để côsin góc giữa hai đường thẳng bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
2;
\(\frac{1}{2}\);
\( - \frac{1}{2}\);
−2.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + \left( { - 1} \right).m + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \sqrt {2 + {m^2}} \)\( \Leftrightarrow 4m = - 2 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\).
