Bài tập Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}\). Số đo góc giữa hai đường thẳng d1; d2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3;4} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 2} \right).3 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} }} = 0\).
Suy ra (d1, d2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d và d'.
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{3 + \sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{ - 1}}{{3\sqrt 6 }}\);
\(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{1}{{54}}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d; d'.
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.2 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 9}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng đó bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = 0\).
Suy ra (d1, d2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 5 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 6}}{4}\). Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;3;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 2;4} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) + 2.4} \right|}}{{\sqrt {17} .\sqrt {21} }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Tính cosin góc giữa đường thẳng d và trục Ox biết \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{1}{6}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\) là vectơ chỉ phương của d, \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục Ox.
\(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {2 + 0 + 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Tính côsin của góc giữa đường thẳng và trục Ox.
\(\frac{2}{3}\);
\( - \frac{2}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
0.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)\) là vectơ chỉ phương của , \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của trục Ox.
\(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\), \({\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Góc giữa 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt 6 }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\). Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của 1; 2.
Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 3 }} = 0\).
Suy ra (1, 2) = 90°.
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(2; −1; 1), C(1; 2; 2), D(0; 1; 2). Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
\( - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\);
1;
\(\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\);
\(\frac{1}{{12}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 1;0} \right)\).
Do đó \[\cos \left( {AB,CD} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\].
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + mt\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Tìm m để côsin góc giữa hai đường thẳng bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
2;
\(\frac{1}{2}\);
\( - \frac{1}{2}\);
−2.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 1} \right)\)lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + \left( { - 1} \right).m + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \sqrt {2 + {m^2}} \)\( \Leftrightarrow 4m = - 2 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = 14 - 3t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 4t'}\\{y = 2 + t'}\\{z = - 1 + 5t'}\end{array}} \right.\).
Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 4;1;5} \right)\)
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra (d, d’) = 30°.
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 3 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\), d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 1 + 2t'}\\{z = 3 - t'}\end{array}} \right.\).
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {u'} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy (d, d’) = 60°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\). Côsin góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng?
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;1;1} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 5}}{3}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right.\). Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng?
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow {u'} = \left( {5;2; - 3} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 5 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0\)
Vậy góc giữa d và d’ bằng 90°.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\). Côsin góc giữa đường thẳng d và trục Ox bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
\(\frac{1}{6}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vectơ chỉ phương của d, Ox lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\) và \[\overrightarrow {u'} = \left( {1;0;0} \right)\].
Khi đó cos(d, Ox) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 7}}{5} = \frac{{z - 15}}{6}\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\).
Khi đó:
Phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 7 + 5t}\\{z = 15 + 6t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Phương trình tham số của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 2 + t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}} \right.\) (t’ ∈ ℝ).
Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Góc giữa đường thẳng d và d’ là 35°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 7 + 5t}\\{z = 15 + 6t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
b) Đúng. Phương trình tham số của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 2 + t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}} \right.\) (t’ ∈ ℝ).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;5;6} \right)\) và đi qua A(3; 7; 15).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm B(1; 2; 3).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1;4; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 5; - 12} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 12} \right) = 18}\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\).
Vậy d và d’ không cắt nhau.
d) Sai. cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {195} }}\).
Nên (d, d’) ≈ 21°25’.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\) và đường thẳng d’; \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\).
Khi đó:
Điểm M(1; 2; 3) thuộc d và điểm N(2; −2; 1) thuộc d’.
cos(d, d’) = \(\frac{{2\sqrt {154} }}{{77}}\).
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
H(0; −1; 4) thuộc đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Điểm M(1; 2; 3) thuộc d và điểm N(2; −2; 1) thuộc d’.
b) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {154} }}{{77}}\).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) và đi qua M(1; 2; 3).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\) và đi qua N(2; −2; 1).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {10; - 1;7} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 4; - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} = 10 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\).
Vậy d và d’ cắt nhau.
d) Đúng. Thay H(0; −1; 4) vào phương trình đường thẳng d ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 1 + t}\\{ - 1 = 2 + 3t}\\{4 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).
Vậy H thuộc đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 - 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t'}\\{y = 5 - t'}\\{z = 4 - t'}\end{array}} \right.\) (t’ ∈ ℝ).
Khi đó:
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \(\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d’ là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).
Hai đường thẳng d và d’ trùng nhau.
cos(d, d’) = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \(\frac{{x - 7}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).
b) Đúng. Phương trình chính tắc của đường thẳng d’ là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).
c) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1;1} \right)\) và đi qua A(7; 3; 2).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {u'} \) và A ∈ d’.
Vậy đường thẳng d trùng đường thẳng d’.
d) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1;1} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x - 1}}{{ - 3}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{2}\).
Khi đó:
Điểm A(0; 2; 1) không thuộc đường thẳng d.
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( {3;2;2} \right)\).
Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Khi đó cos α = \(\frac{5}{{\sqrt {38} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Thay A(0; 2; 1) vào phương trình đường thẳng d \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = t}\\{2 = 2 - 3t}\\{1 = 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 0}\\{t = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 0\).
Vậy A thuộc đường thẳng d.
b) Sai. Đường thẳng d’ có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;2;2} \right)\).
c) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 3;2} \right)\) và đi qua A(0; 2; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;2;2} \right)\) và đi qua B(1; 0; 2).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 10; - 8; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = \left( { - 10} \right) \cdot 1 + \left( { - 8} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 7} \right) \cdot 1 = - 1 \ne 0\).
Vậy d và d’ chéo nhau.
d) Sai. Ta có cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - mt}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + \left( {2m + 1} \right)t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{2m}} = \frac{{z - 2}}{3}\) với m ∈ ℝ∖{0}.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2m;3} \right)\).
Nếu m = − 3 thì d \( \bot \) d’.
Nếu m = 2 thì cos(d, d’) = \(\frac{5}{{\sqrt {247} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).
b) Sai. Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;2m;3} \right)\).
c) Đúng. Với m = − 3 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6}} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 3; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1; - 6;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.
d) Sai. Với m = 2 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\).
Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;4;3} \right)\).
Do đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 - 12 + 15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 3} \right){}^2 + {5^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{{2\sqrt {247} }}\).
Cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - t\sqrt 2 }\\{z = 4 + t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 + t\sqrt 2 }\\{z = 3 + at}\end{array}} \right.\). Tìm giá trị thực của tham số a sao cho góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng 60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;a} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \sqrt 2 + 1 \cdot a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 4 \cdot \sqrt {3 + {a^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4{\left( {a - 1} \right)^2} = 4\left( {3 + {a^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 3 + {a^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 = 3 + {a^2} \Leftrightarrow - 2a = 2 \Leftrightarrow a = - 1\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 2}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\). Biết cosin góc giữa hai đường thẳng này có dạng \(\frac{a}{{\sqrt b }}\). Khi đó a + b bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 33
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;0;2} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{3}{{\sqrt {30} }}\).
Vậy a + b = 3 + 30 = 33.
Cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\) và d’: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 + t}\\{y = mt}\\{z = - t}\end{array}} \right.\). Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −0,5
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1;2} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;m; - 1} \right)\).
cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {0 \cdot 1 - 1 \cdot m + 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)} }}\).
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là \(\frac{{\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
\( \Leftrightarrow 5 \cdot \left| { - m - 2} \right| = \sqrt 5 \cdot \sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)} \Leftrightarrow \left| { - m - 2} \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2 \Leftrightarrow 4m = - 2 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2} = - 0,5\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\) và d’: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\). Biết cosin góc giữa hai đường thẳng d và d’ có dạng \(\frac{a}{{b\sqrt c }}\). Khi đó a có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1;1} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\).
Vậy a = 1.
Cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) và d’: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 90
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;2;1} \right)\).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt 6 }} = 0\).
Suy ra (d, d’) = 90°.
