Bài tập Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 4;1;5} \right)\)

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra (d, d’) = 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Vậy (d, d’) = 60°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;1;1} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d và d’ có vec tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\), \(\overrightarrow {u'}  = \left( {5;2; - 3} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 5 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}}  \cdot \sqrt {{5^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0\)

Vậy góc giữa d và d’ bằng 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của d, Ox lần lượt là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1;1} \right)\) và \[\overrightarrow {u'}  = \left( {1;0;0} \right)\].

Khi đó cos(d, Ox) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.             b) Đúng.              c) Sai.                d) Sai.

a) Đúng. Phương trình tham số của d là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 7 + 5t}\\{z = 15 + 6t}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).

b) Đúng. Phương trình tham số của d’ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 2 + t'}\\{z = 3 + t'}\end{array}} \right.\)  (t’ ∈ ℝ).

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;5;6} \right)\) và đi qua A(3; 7; 15).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm B(1; 2; 3).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1;4; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 5; - 12} \right)\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 12} \right) = 18}\\{\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 }\end{array}} \right.\).

Vậy d và d’ không cắt nhau.

d) Sai. cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {6^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {195} }}\).

Nên (d, d’) ≈ 21°25’.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                 b) Sai.             c) Sai.               d) Đúng.

a) Đúng. Điểm M(1; 2; 3) thuộc d và điểm N(2; −2; 1) thuộc d’.

b) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {154} }}{{77}}\).

c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)\) và đi qua M(1; 2; 3).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 2;1;3} \right)\) và đi qua N(2; −2; 1).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {10; - 1;7} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 4; - 2} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {MN} = 10 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) + 7 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\).

Vậy d và d’ cắt nhau.

d) Đúng. Thay H(0; −1; 4) vào phương trình đường thẳng d ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 1 + t}\\{ - 1 = 2 + 3t}\\{4 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).

Vậy H thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.                  b) Đúng.             c) Đúng.            d) Đúng.

a) Sai. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: \(\frac{{x - 7}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\).

b) Đúng. Phương trình chính tắc của đường thẳng d’ là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).

c) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1;1} \right)\) và đi qua A(7; 3; 2).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {u'} \) và A ∈ d’.

Vậy đường thẳng d trùng đường thẳng d’.

d) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1;1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d’ là \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\left( { - 2} \right) \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.               b) Sai.            c) Đúng.           d) Sai.

a) Sai. Thay A(0; 2; 1) vào phương trình đường thẳng d \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = t}\\{2 = 2 - 3t}\\{1 = 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t = 0}\\{t = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 0\).

Vậy A thuộc đường thẳng d.

b) Sai. Đường thẳng d’ có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;2;2} \right)\).

c) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 3;2} \right)\) và đi qua A(0; 2; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;2;2} \right)\) và đi qua B(1; 0; 2).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 10; - 8; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \cdot \overrightarrow {AB} = \left( { - 10} \right) \cdot 1 + \left( { - 8} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 7} \right) \cdot 1 = - 1 \ne 0\).

Vậy d và d’ chéo nhau.

d) Sai. Ta có cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 2 + 2 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Sai.           c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).

b) Sai. Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;2m;3} \right)\).

c)  Đúng. Với m = − 3 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6}} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 3; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1; - 6;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0\).

Vậy hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.

d) Sai. Với m = 2 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;4;3} \right)\).

Do đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 - 12 + 15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 3} \right){}^2 + {5^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{{2\sqrt {247} }}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right)\).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {1;\sqrt 2 ;a} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - \sqrt 2 } \right) \cdot \sqrt 2  + 1 \cdot a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - 1} \right|}}{{\sqrt 4  \cdot \sqrt {3 + {a^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4{\left( {a - 1} \right)^2} = 4\left( {3 + {a^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 3 + {a^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 = 3 + {a^2} \Leftrightarrow  - 2a = 2 \Leftrightarrow a =  - 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 33

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;2} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;0;2} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2} \right|}}{{\sqrt 6  \cdot \sqrt 5 }} = \frac{3}{{\sqrt {30} }}\).

Vậy a + b = 3 + 30 = 33.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −0,5

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {0; - 1;2} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;m; - 1} \right)\).

cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {0 \cdot 1 - 1 \cdot m + 2 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 5  \cdot \sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)} }}\).

Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là \(\frac{{\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Leftrightarrow 5 \cdot \left| { - m - 2} \right| = \sqrt 5  \cdot \sqrt {5\left( {{m^2} + 2} \right)}  \Leftrightarrow \left| { - m - 2} \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2 \Leftrightarrow 4m =  - 2 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2} =  - 0,5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 6 }}\).

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 90

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {3;2;1} \right)\).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).

Khi đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {14}  \cdot \sqrt 6 }} = 0\).

Suy ra (d, d’) = 90°.