Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Vì Oy (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
0°;
1;
0;
90°.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = - \overrightarrow n \) nên d (P) (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.
\(\sin \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\sin \alpha = \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\).
60°;
45°;
90°;
0°.
Đáp án đúng là: C
Ta có OA (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
30°;
60°;
150°;
120°.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\) α = 30°.
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;\sqrt 2 } \right)\). Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.4 + 1.\left( { - 3} \right) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
φ = 30°;
φ = 45°;
φ = 60°;
φ = 90°.
Đáp án đúng là: C
Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó \[\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] φ = 60°.
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{7}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{{42}}\);
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\).
11°;
10°;
21°;
12°.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\) 3x – 6y + 2z + 6 = 0.
Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)\), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 6} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{21}}\)
(d, (ABC)) ≈ 11°.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
60°;
120°;
150°;
30°.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
(d, (P)) = 30°.
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 1} \right)\), mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Ta có: sin(d, (Q)) = \(\frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy (d, (Q)) = 30°.
\(\frac{{\sqrt {14} }}{{42}}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{{42}}\).
\(\frac{{\sqrt {14} }}{{22}}\).
Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;3; - 1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{42}}\).
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
sin(MN, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy (MN, (P)) = 30°.
3.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\).
3.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
sin(d, (Oxy)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
sin(\(\Delta \), (P)) = \(\frac{8}{9}\).
Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63°(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
b) Đúng. \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) Đúng. sin(\(\Delta \), (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\).
d) Đúng. (\(\Delta \), (P)) ≈ 63°.
Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Điểm M(2; 2; 4) thuộc đường thẳng d.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 60°.
Đường thẳng d’ đi qua điểm M(2; 2; 4) song song với (P) và tạo với d một góc 45° có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
b) Đúng. Thay M(2; 2; 4) vào phương trình đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 1 - t}\\{2 = 3 + t}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)\)
sin(d, (P)) =\(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy (d, (P)) = 45°.
d) Đúng. Gọi \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của d'.
Vì d’ // (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow a - 2 \cdot b + 2 \cdot c = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0\)
⇔ a = 2b – 2c (1).
cos(d, d’) = cos(45°)
= \(\frac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {b - a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} (2)\).
Thay (1) vào (2) ta có:
\(\left| {b - \left( {2b - 2c} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {2b - 2c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow \left| {2c - b} \right| = \sqrt {5{b^2} - 8bc + 5{c^2}} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {2c - b} \right)^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2} \Leftrightarrow 4{c^2} - 4bc + {b^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2b = c\).
Chọn b = 1 khi đó c = 2.
Do đó a = −2.
Vectơ chỉ phương của d’ là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua M(2; 2; 4) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).
Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(−1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là: x + 2y – z – 6 = 0.
Đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 + t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{0}{{\sqrt {66} }} = 0\).
Vậy góc giữa d và (P) bằng 0°.
c) Đúng. Do (P) // (Q) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x + 1) + 2(y – 2) – 1(z + 3) = 0 hay x + 2y – z – 6 = 0.
d) Sai. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 - t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).
b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;6; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {1;2; - 1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{n_P}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) Sai.
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 6 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {54} }} = \frac{{18}}{{3 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = 1\).
Vậy góc giữa d và (P) bằng 90°.
d) Đúng. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {3;6; - 3} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua A(0; 1; 2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;6; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;0; - 3} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Hình chiếu của M(1; 2; −1) lên (P) là N(1; 2; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. c) Sai.
a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
b) Sai. sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {14} }} = 1\).
Do đó (d, (P)) = 90°.
c) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
Do \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên d \( \bot \) (P).
Vậy đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Sai. Gọi N(1 + 2t; 2+ t; −1 – 3t) thuộc d.
Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2x + y - 3z - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2 + 4t + 2 + t + 3 + 9t - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{17}}}\\{y = \frac{{11}}{7}}\\{z = \frac{2}{{17}}}\\{t = \frac{{ - 3}}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {m;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {m \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {6 \cdot \left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{1}{2}\).
\( \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 1} \right)^2} = 6{m^2} + 30 \Leftrightarrow 10{m^2} + 16m - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = \frac{{ - 13}}{5}}\end{array}} \right.\).
Do m nguyên dương nên m =1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;m; - 1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| { - 2 \cdot 1 + 1 \cdot m + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{3 \cdot \sqrt {\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3 \cdot \left| m \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \Leftrightarrow 3{m^2} = 2{m^2} + 2\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - m} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - m} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{3\sqrt {\left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{4}{9}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 9{\left( {6 - m} \right)^2} = 16\left( {{m^2} + 5} \right) \Leftrightarrow 7{m^2} + 108m - 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = \frac{{ - 122}}{7}}\end{array}} \right.\).
Với m nguyên dương nên m = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 90
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{6} = 1\).
Vậy (d, (P)) = 90°
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −9
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;0} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4;2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;12;0} \right)\).
sin(d, (α)) = \(\frac{{\left| {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} }} = \frac{{44}}{{\sqrt {169} \cdot \sqrt {24} }} = \frac{{22}}{{13\sqrt 6 }}\).
Vậy a = 22, b = 13 nên b – a = −9.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
