Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Vì Oy (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 6 + t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 12 = 0. Tìm sin của góc giữa d và (P).
0°;
1;
0;
90°.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 3} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = - \overrightarrow n \) nên d (P) (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 2}}\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 2022 = 0. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\sin \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\sin \alpha = \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = - \frac{4}{9}\);
\(\cos \alpha = \frac{4}{9}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng
60°;
45°;
90°;
0°.
Đáp án đúng là: C
Ta có OA (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian Oxyz, hãy tính số đo góc α giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0.
30°;
60°;
150°;
120°.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}\) α = 30°.
Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa đường thẳng chứa trục Oy và mặt phẳng (P): 4x – 3y + \(\sqrt 2 z\) - 7 = 0 bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;\sqrt 2 } \right)\). Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.4 + 1.\left( { - 3} \right) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Suy ra \(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 2y + 1 = 0 và (β): x – 2z – 3 = 0. Tính góc φ giữa d và (P).
φ = 30°;
φ = 45°;
φ = 60°;
φ = 90°.
Đáp án đúng là: C
Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Do đó \[\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] φ = 60°.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z – 6 = 0. Giá trị của sin(d, (P)) bằng
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{7}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{{42}}\);
\(\frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\);
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1;4} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{{21}}\).
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; −3) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 5}}{2}\). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
11°;
10°;
21°;
12°.
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (ABC): \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\) 3x – 6y + 2z + 6 = 0.
Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3; - 6;2} \right)\), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\).
Khi đó \(\sin \left( {d,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 1.\left( { - 6} \right) + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{21}}\)
(d, (ABC)) ≈ 11°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
60°;
120°;
150°;
30°.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)\); mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
(d, (P)) = 30°.
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng d: \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng (Q): x + y – 2z + 1 = 0.
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2; - 1} \right)\), mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Ta có: sin(d, (Q)) = \(\frac{{\left| {\left( { - 1} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy (d, (Q)) = 30°.
Trong không gian Oxyz, tính sin của góc giữa đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + 3t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0.
\(\frac{{\sqrt {14} }}{{42}}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{{42}}\).
\(\frac{{\sqrt {14} }}{{22}}\).
Đáp án khác.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow a = \left( {2;3; - 1} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{42}}\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−3; −1; 3) và N(−1; 0; 4) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (P).
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
sin(MN, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).
Vậy (MN, (P)) = 30°.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng (P): x + y + z – 5 = 0. Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
3.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\).
Trong không gian Oxyz, tính sin của góc giữa đường thẳng d: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (Oxy).
3.
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
sin(d, (Oxy)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.
Khi đó:
\(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
\(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
sin(\(\Delta \), (P)) = \(\frac{8}{9}\).
Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) bằng khoảng 63°(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
b) Đúng. \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) Đúng. sin(\(\Delta \), (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}\).
d) Đúng. (\(\Delta \), (P)) ≈ 63°.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0.
Khi đó:
Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Điểm M(2; 2; 4) thuộc đường thẳng d.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 60°.
Đường thẳng d’ đi qua điểm M(2; 2; 4) song song với (P) và tạo với d một góc 45° có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
b) Đúng. Thay M(2; 2; 4) vào phương trình đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 1 - t}\\{2 = 3 + t}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - 1}\\{4 = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = - 1\).
c) Sai. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)\)
sin(d, (P)) =\(\frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy (d, (P)) = 45°.
d) Đúng. Gọi \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ chỉ phương của d'.
Vì d’ // (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow a - 2 \cdot b + 2 \cdot c = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0\)
⇔ a = 2b – 2c (1).
cos(d, d’) = cos(45°)
= \(\frac{{\left| {a \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 1 + c \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{\left| {b - a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {b - a} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} (2)\).
Thay (1) vào (2) ta có:
\(\left| {b - \left( {2b - 2c} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {2b - 2c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} \Leftrightarrow \left| {2c - b} \right| = \sqrt {5{b^2} - 8bc + 5{c^2}} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {2c - b} \right)^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2} \Leftrightarrow 4{c^2} - 4bc + {b^2} = 5{b^2} - 8bc + 5{c^2}\)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 4bc + {c^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {2b - c} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2b = c\).
Chọn b = 1 khi đó c = 2.
Do đó a = −2.
Vectơ chỉ phương của d’ là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\).
Đường thẳng d’ đi qua M(2; 2; 4) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}\).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = 3 + 3t}\end{array}} \right.\) , (t ∈ ℝ) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – z – 2 = 0.
Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(−1; 2; −3) và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là: x + 2y – z – 6 = 0.
Đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 + t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
b) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{0}{{\sqrt {66} }} = 0\).
Vậy góc giữa d và (P) bằng 0°.
c) Đúng. Do (P) // (Q) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; −3) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x + 1) + 2(y – 2) – 1(z + 3) = 0 hay x + 2y – z – 6 = 0.
d) Sai. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua điểm B(2; 0; −2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t'}\\{y = 2t'}\\{z = - 2 - t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 6y – 3z + 2024 = 0.
Khi đó:
Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).
b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;6; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {1;2; - 1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \frac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{n_P}} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vậy \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c) Sai.
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {3 \cdot \left( { - 1} \right) + 6 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt {54} }} = \frac{{18}}{{3 \cdot \sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = 1\).
Vậy góc giữa d và (P) bằng 90°.
d) Đúng. Do d’ \( \bot \) (P) nên \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow n = \left( {3;6; - 3} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng d’ đi qua A(0; 1; 2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;6; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t'}\\{y = 1 + 6t'}\\{z = 2 - 3t'}\end{array}} \right.\) (t ∈ ℝ).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\end{array}} \right.\), t ∈ ℝ và mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 1 = 0.
Khi đó:
Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;0; - 3} \right)\).
Góc giữa d và (P) là 60°.
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Hình chiếu của M(1; 2; −1) lên (P) là N(1; 2; −1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. c) Sai.
a) Sai. Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
b) Sai. sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{14}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {14} }} = 1\).
Do đó (d, (P)) = 90°.
c) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\).
Do \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right)\) nên d \( \bot \) (P).
Vậy đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Sai. Gọi N(1 + 2t; 2+ t; −1 – 3t) thuộc d.
Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2x + y - 3z - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 3t}\\{2 + 4t + 2 + t + 3 + 9t - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{17}}}\\{y = \frac{{11}}{7}}\\{z = \frac{2}{{17}}}\\{t = \frac{{ - 3}}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{1}{7};\frac{{11}}{7};\frac{2}{7}} \right)\).
Tìm m để đường thẳng d: \(\frac{x}{m} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) tạo với mặt phẳng (P): 2x + y + z – 1 một góc 30° (m là số nguyên dương)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {m;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {m \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2m + 1} \right|}}{{\sqrt {6 \cdot \left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{1}{2}\).
\( \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 1} \right)^2} = 6{m^2} + 30 \Leftrightarrow 10{m^2} + 16m - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = \frac{{ - 13}}{5}}\end{array}} \right.\).
Do m nguyên dương nên m =1.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng (P): x + my – z + 10 = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng \(\frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;m; - 1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| { - 2 \cdot 1 + 1 \cdot m + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{3 \cdot \sqrt {\left( {{m^2} + 2} \right)} }} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\).
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \sqrt 3 \cdot \left| m \right| = \sqrt {{m^2} + 2} \Leftrightarrow 3{m^2} = 2{m^2} + 2\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = - 1}\end{array}} \right.\).
Cho đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = 10 - mt}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0. Xác định m để sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là \(\frac{4}{9}\) ( m là số nguyên dương)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - m} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + \left( { - m} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - m} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{3\sqrt {\left( {{m^2} + 5} \right)} }} = \frac{4}{9}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 - m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 5} }} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow 9{\left( {6 - m} \right)^2} = 16\left( {{m^2} + 5} \right) \Leftrightarrow 7{m^2} + 108m - 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = \frac{{ - 122}}{7}}\end{array}} \right.\).
Với m nguyên dương nên m = 2.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 5}}{1}\) và mặt phẳng (P): 2x + y + z + 6 = 0. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu độ?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 90
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1;1} \right)\).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\).
sin(d, (P)) = \(\frac{{\left| {2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{6} = 1\).
Vậy (d, (P)) = 90°
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x – 2y + 1 = 0 và (Q): x – 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (α): 5x + 12y + 10 = 0. Biết sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) có dạng \(\frac{a}{{b\sqrt 6 }}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Khi đó giá trị của biểu thức b – a bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −9
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;0} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 2} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\).
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4;2;2} \right)\).
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;12;0} \right)\).
sin(d, (α)) = \(\frac{{\left| {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {{12}^2} + {0^2}} }} = \frac{{44}}{{\sqrt {169} \cdot \sqrt {24} }} = \frac{{22}}{{13\sqrt 6 }}\).
Vậy a = 22, b = 13 nên b – a = −9.
