Bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ là 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Cabin dừng ở điểm B. Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?
19°;
20°;
21°;
22°.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) và (Oxy) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Do đó \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 2} \right).0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{3}\) (AB, (Oxy)) ≈ 19°.
Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc mặt phẳng (Oxy). Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm A(1; 2; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\). Trong khoảng thời gian ngắn nói trên, góc cất cánh của máy bày bằng.
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: C
Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng đi qua A nhận \(\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}\) (, (Oxy)) = 30°.
Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai đường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng a đi qua hai nút lưới M(1; 1; 2) và N(0; 3; 0), đường thẳng b đi qua hai nút lưới P(1; 0; 3) và Q(3; 3; 9). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ)?
60°;
68°;
86°;
44°.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng a nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương, đường thẳng b nhận \(\overrightarrow {PQ} = \left( {2;3;6} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Do đó \(\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}\) (a, b) ≈ 68°.
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), B(−3; −4; 2), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi sợi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
40°;
36°;
73°;
63°.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)\).
Mặt phẳng (OAB) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Mặt khác \(\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)\) nên ta có:
\(\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{13\sqrt {12} }}\).
Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.
Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): x – 2y + 5 = 0 và (Q): x – 2y – 3z + 20 = 0. Tính côsin góc tạo bởi giữa hai mái nhà.
\(\frac{5}{{\sqrt {70} }}\);
\(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {70} }}\);
\(\frac{3}{{\sqrt {14} }}\);
\(\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {14} }}\).
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + 0.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {70} }}\).
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí A(3; 2; −3) sẽ hạ cánh tới vị trí B(8; 8; 0). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
37°;
36°;
21°;
63°.
Đáp án đúng là: C
Gọi α là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó α = (AB, (Oxy)).
Với đường thẳng AB, nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;6;3} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Với (Oxy) do Oz (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {5.0 + 6.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {70} }}\) α ≈ 21°.
Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), biết kho có chiều cao bằng 8 m, hai mái nhà EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Khi đó góc giữa hai mái nhà bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ)?
9,5°;
5,9°;
10°;
10,5°.
Đáp án đúng là: A
Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:
AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.
Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra
E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).
Khi đó \(\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {FI} = \left( {0;12;1} \right),\overrightarrow {HG} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {GI} = \left( {0; - 12;1} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FI} } \right] = \left( {0; - 10;120} \right) = - 10\left( {0;1; - 12} \right)\),
\(\left[ {\overrightarrow {HG} ,\overrightarrow {GI} } \right] = \left( {0; - 10; - 120} \right) = - 10\left( {0;1;12} \right)\).
Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1; - 12} \right)\).
Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;12} \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {0.0 + 1.1 + \left( { - 12} \right).12} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{143}}{{145}}\) φ ≈ 9,5°.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, sàn nhà của một công trình thuộc mặt phẳng Oxy, tay vịn của lan can cầu thang là một đường thẳng đi qua hai điểm A(5; 1; 9) và B(2; 1; 12). Góc tạo bởi tay vịn của lan can cầu thang và mặt sàn nhà bằng bao nhiêu độ?
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Ta có \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 0.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Suy ra (AB, (Oxy)) = 45°.
Trong một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ trục tọa Oxyz. Biết tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) và mặt sàn sân khấu là mặt phẳng (P) có phương trình y = 0. Tính góc giữa tia sáng và mặt sàn sân khấu.
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) và d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 1.1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {0 + 1 + 0} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) (d, (P)) = 45°.
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng (Oxy), người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí A, B, C ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ (1; 0; 3), (5; 0; 1), (5; 9; 1). Góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
72°;
37°;
73°;
27°.
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;9;0} \right)\).
Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).
Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;2} \right)\).
Lại có, (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;0;1} \right)\).
Ta có góc α là góc giữa mái nhà bên phải và nên nhà. Khi đó:
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) α ≈ 27°.
Một tuyến cáp treo được mô hình bởi đoạn thẳng nối hai điểm A(10; 0; 0) và B(70; 40; 80). Góc nghiêng của tuyến cáp treo với mặt phẳng nằm ngang (Oxy) gần bằng:
35°.
32°.
48°.
53°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có vec tơ chỉ phương: \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {60;\,\,40;\,\,80} \right)\).
Mặt phẳng ngang có pháp tuyến: \(\overrightarrow n = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\)
Gọi a là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó: \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {60 \cdot 0 + 40 \cdot 0 + 80 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{40}^2} + {{80}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{80}}{{\sqrt {11600} }} \Rightarrow \alpha \approx 48^\circ \).
Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường uống nước thẳng đi qua hai điểm A(1; 1; 2) và B(1; 2; 1). Hỏi đường ống nước nói trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng nằm ngang).
45°.
90°.
35°.
60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,1;\,\, - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = 45^\circ \).
Vậy ống nước nghiêng 45° so với mặt nằm ngang.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Ox. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đã cất cạnh tại điểm A(2; 0; 0) với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\). Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động có góc cất cánh gần với giá trị nào sau đây?
26°.
27°.
28°
29°
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng d đi qua A(2; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Vec tơ chỉ phương của d, trục Ox lần lượt là \(\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\) và \(\overrightarrow i = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).
\(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
Vậy góc cất cánh của may bay xấp xỉ bằng 27°.
Trên một cánh đồng điện năng lượng mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ trục tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0. Tính góc hợp bởi (P) với mặt đất (Q) có phương trình z = 0.
20°.
35°.
40°.
45°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;0;2} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)\).
\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ \).
Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(4; 2; 3) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0. Biết vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn. Tính diện tích của vùng quan sát đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
70 đvdt.
75,5 đvdt.
69,7 đvdt.
69,8 đvdt.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Kẻ CH ^ (P), ta có: \(CH = d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\).
Do tam giác CAB cân tại C nên \(\widehat {ACH} = 57,5^\circ \).
Xét tam giác vuông CAH có AH = CH×tan\(\widehat {ACH}\)= 3×tan57,5° 4,7091.
Diện tích của vùng quan sát được của camera là: S = p∙r2 p×(4,7091)2 69,7 (đvdt).
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Trong đó mặt phẳng nghiêng (P) có phương trình 4x + 11z + 5 = 0 và mặt sàn (Q) có phương trình z – 1 = 0.
(P) và (Q) có vec tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n \) = (4; 0; 11) và \(\overrightarrow {n'} \)= (0; 0; 1).
Điểm C(6; -7; -16) thuộc mặt phẳng (P).
\(\left| {\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right]} \right| = 4\).
Góc giữa mặt phẳng nghiêng và mặt sàn là 30°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: \(\overrightarrow n = \left( {4;0;11} \right)\) và \(\overrightarrow {n'} = \left( {0;0;1} \right)\)
b) Sai. Ta có: 4×6 + 11×(-16) + 5 ¹ 0. Do đó điểm C(6; -7; -16) không thuộc mặt phẳng (P).
c) Đúng. \(\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{11}\\0&1\end{array}} \right|;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&4\\1&0\end{array}} \right|;\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 4\).
d) Sai. \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 11 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}\)
Vậy \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\) 20°.
Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 8 m, 9 m, 10 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác trên mặt sàn với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với B Ox, C Oy, tia Oz cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {AA'} \). Chọn gốc tọa độ O trùng với trung điểm của AC và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 m.
Tọa độ các điểm A'(0; -4; 10), \(B'\left( {4\sqrt 3 ;\,\,0;\,\,9} \right)\), C'(0; 4; 8).
Mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow k \) = (0; 1; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (A'B'C') nhận \(\overrightarrow n = \left( {0;\,\,1;\,\,4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Biết độ dốc của mái nhà đạt mức tiêu chuẩn khoảng từ 27° đến 35° thì mái nhà trên có độ dốc ở mức tiêu chuẩn.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì DABC đều có BO là đường cao. Do đó, BO đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, O là trung điểm của AC Þ AO = BC = \(\frac{{AC}}{2}\)= 4 (m).
Vì BO là trung tuyến của tam giác đều có cạnh bằng 8 m nên BO = \(\frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3 \).
Khi đó tọa độ các điểm là: A'(0; -4; 10), \(B'\left( {4\sqrt 3 ;\,\,0;\,\,9} \right)\), C'(0; 4; 8).
b) Sai. Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {4\sqrt 3 ;\,\,4;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;\,\,8;\,\, - 2} \right)\)
c) Đúng. Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\8&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{4\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4\sqrt 3 }&4\\0&8\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\,\,8\sqrt 3 ;\,\,32\sqrt 3 } \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow n = \frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,\,1;\,\,4} \right)\)là một vectơ pháp tuyến của (A'B'C').
d) Sai. Ta có:
\(\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {4^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {17} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ \)
Vậy mái nhà không ở mức tiêu chuẩn
Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \) = (2; -2; 1) với tốc độ là 4,5 (m/s) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) được mô hình hóa như các hình vẽ sau:
Phương trình chính tắc của đường cáp là \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).
Giả sử sau t giây kể từ lúc xuất phát (t > 0), cabin đến vị điểm M. Khi đó tọa độ của điểm M là \(\left( {3t + 10;\,\,\, - 3t + 3;\,\,\,\frac{{3t}}{2}} \right)\).
Cabin dừn ở điểm B có hoành độ xB = 550. Quãng đường AB có độ dài bằng 810 (m) (làm trong kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 22° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vì đường cáp đi qua điểm A(10; 3; 0) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)\)nên có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).
b) Đúng. Sau t giây kể từ lúc xuất phát (t > 0), cabin đến vị trí điểm M. Khi đó cabin đi được đoạn đường có độ dài bằng đoạn AM = 4,5t.
Đặt \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1} = u \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2u\\y = 3 - 2u\\z = u\end{array} \right.\)
Suy ra tọa độ điểm M là M(10 + 2u; 3 – 2u; u) (u > 0).
Khi đó:
AM = 4,5t <=> (2u)2 + (-2u)2 + u2 = (4,5t)2 <=> 9u2 = \(\frac{{81}}{4}\)t2
Vì u > 0 => u = \(\frac{3}{2}t\).
Do đó, \(M\left( {10 + 3t;\,\,3 - 3t;\,\,\frac{3}{2}t} \right)\).
c) Đúng. Ta có: B(10 + 2u; 3 – 2u; u) (u > 0).
B có hoành độ xB = 550 => 10 + 2u = 550 Þ u = 270.
Do đó, B(550; -537; 270) => AB = \(\sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{270}^2}} = 810\) (m).
d) Sai. Đường cáp AB có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)\), mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\). Suy ra góc giữa đường cáp AB và mặt phẳng (Oxy) là a với sin a = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| k \right|}} = \frac{1}{3}\) => a = 19°.
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị trí A(1; -2; 6) hướng đến vị trí B(0; 2; -4), bia chắn là mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 8 = 0, đơn vị là km.
Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều hướng theo vectơ \(\overrightarrow v \left( { - 1;\,\,4;\,\, - 10} \right)\) với vận tốc 850 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngoại vật) sau hai phút viên đạn bắn ra đi qua điểm B.
Điểm B thuộc mặt phẳng (P).
Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxz) là H(1; 0; 6).
Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) (làm tròn đến hàng đơn vị) là 50°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,4;\,\, - 10} \right)\).
Phương trình AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\end{array} \right.\).
Giao điểm M(x; y; z) của AB và (P) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\\2x - y + 2z + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{12}}{{13}}\\x = \frac{1}{{13}}\\y = \frac{{22}}{{13}}\\z = - \frac{{42}}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{{13}};\,\,\frac{{22}}{{13}};\,\, - \frac{{42}}{{13}}} \right)\).
\(\overrightarrow {AM} \left( { - \frac{{12}}{{13}};\,\,\frac{{48}}{{13}};\,\, - \frac{{120}}{{13}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\overrightarrow {AB} \).
Vậy viên đạn dừng lại ở bia chắn là mặt phẳng (P), không đi qua điểm B.
b) Sai. Thay tọa độ điểm B(0; 2; -4) vào phương trình (P): 2x – y + 2z + 8 = 0, ta có: 2×0 - 2 + 2×(-4) + 8 = -2 ¹ 0. Vậy điểm B không thuộc (P).
c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxz) là H(1; 0; 6).
d) Sai. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là a
Ta có: \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 1;\,\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P), \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,\,4;\,\, - 10} \right)\).
sin a = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1 \cdot 2 + 4 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 10} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{9}\) => a 53°.
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay, một máy bay đang ở vị trí A(4; -5; 1) sẽ hạ cánh khẩn cấp ở vị trí B(1; 2; 0) trên đường băng EG.
Phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = - 5 + 7t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) (t phút).
Góc trượt giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy) không nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 9°.
Có một lớp mây mô phỏng bởi mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; -1; 0), P(0; 0; 2). Máy bay xuyên qua đám mây tại điểm C có độ cao làm tròn đến hàng đơn vị là 346 m.
Biết rằng tầm nhìn của phi công sau khi khỏi đám mây là 800 m. Sau khi ra khỏi đám mây, người ta phi công đạt được quy định an toàn bay là người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(2; 0,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu 150 m.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Do đó phương trình đường thẳng AB là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = - 5 + 7t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) (t phút).
b) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
Khi đó \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {{1^2}} } }} = \frac{{\sqrt {59} }}{{59}}\).
Suy ra \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 7,48^\circ \in \left( {2,5^\circ ;\,\,9^\circ } \right)\)
c) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{5} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z - 10 = 0\).
Ta có C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) nên C AB.
Suy ra, điểm C(4 – 3t; -5 + 7t; 1 – t), thay vào (P) ta được:
2(4 – 3t) – 10(-5 + 7t) + 5(1 – t) – 10 = 0 <=> -81t + 53 = 0 <=> t = \(\frac{{53}}{{81}}\).
Suy ra \(C\left( {\frac{{55}}{{27}};\,\, - \frac{{34}}{{81}};\,\,\frac{{28}}{{81}}} \right)\). Do đó, điểm C có độ cao bằng \(\frac{{28}}{{81}}\) (km) 346 (m).
d) Đúng. Gọi I là điểm ở độ cao 150 m và I AB nên tọa độ điểm I là I(4 – 3a, -5 + 7a; 1 – a).
Vì I ở độ cao 150 m nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là 150 m = 0,15 km.
\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 0,15 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - a} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0,15 \Leftrightarrow \left| {1 - a} \right| = 0,15\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - a = 0,15\\1 - a = - 0,15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,85\\a = 1,15\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {1,45;\,\,0,95;\,\,0,15} \right)\\I\left( {0,55;\,\,3,05;\,\, - 0,15} \right)\end{array} \right.\).
Vì I là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn I(1,45; 0,95; 0,15).
Ta có: IE = \(\sqrt {{{\left( {1,45 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0,95 - 0,5} \right)}^2} + {{0,15}^2}} \approx 0,73.\)
Do tầm nhìn của phi công sau khi khỏi máy bay là 800 m = 0,8 km > 0,73 km nên người phi công đạt được quy định an toàn bay.
Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí A(3; 2; -3) sẽ hạ cánh tới vị trí B(8; 8; 0). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 21.
Gọi a là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó a = (AB, (Oxy)).
Với đường thẳng AB, nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;\,\,6;\,\,3} \right)\) làm vectơ chi phương.
Với (Oxy) do Oz ^ (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó, sin a = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{3\sqrt {70} }}{{70}}\).
Vậy a 21°.
Người ta muốn dựng một cột ăng-ten trên một sườn đồi. Ăng-ten được dựng thẳng trong không gian Oxyz với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1 m. Gọi O là gốc cột, A là điểm buộc dây cáp vào cột ăng-ten và M, N là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi. Cho biết tọa độ các điểm lần lượt là O(0; 0; 0), A(0; 0; 6), M(3; -4; 3), N(-5; -2; 2). Góc tạo bởi các sợi dây cáp MA với mặt phẳng sườn đồi bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 53.
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;\,\,4;\,\,3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {MA} = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {34} \approx 5,8\)(m)
Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;\,\, - 4;\,\,3} \right)\), \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 5;\,\, - 2;\,\,2} \right)\) nên có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( { - 2;\,\, - 21;\,\, - 26} \right)\).
Gọi a là góc tạo bởi MA với mặt phẳng (AMN).
Ta có:
sin a =\(\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 21} \right) + 3 \cdot \left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }} = \frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}\)
\( \Rightarrow \alpha \approx 53^\circ \).
Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng (Oxy), đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm A(1; 2; -1) và B(5; 6; -2). Góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn bằng bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 10.
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,4;\, - 1} \right)\).
Ta có: \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }}\).
Suy ra \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right)\) 10°.
Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật. Biết các tọa độ như hình vẽ. Tính độ dốc của mái nhà, tức góc tạo bởi mái nhà so với nền nhà (đơn vị độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 26,6
Độ dốc của mái nhà, tức là số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng (OABC) và (FGQP).
Ta có: \(\overrightarrow {QP} = \left( {0;\,\, - 5;\,\,0} \right)\), \(\overrightarrow {QG} = \left( {2;\,\,0;\,\, - 1} \right)\).
Mặt phẳng (FGQP) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {QP} ,\,\,\overrightarrow {QG} } \right] = \left( {5;\,\,0;\,\,10} \right)\).
Mặt phẳng (OABC) chính là mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).
Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (FGHE) và (Oxy).
Ta có: cos a = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 10 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {0^2} + {{10}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Do đó, a 26,6°.
Một căn gác có chiếc cửa sổ như hình vẽ. Tính góc (theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần mười) giữa mặt nghiêng của chiếc cửa sổ với mặt sàn. Biết rằng khi mặt trời chiếu vuông góc với mặt sàn thì hình chiếu của chiếc cửa sổ là một hình vuông có cạnh 1,5 m và chiều cao so với mặt sàn của các điểm A, B, C lần lượt là 1,2 m, 1,3 m, 2, 4 m (hình vẽ minh họa).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 38,8.
Gọi O, B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên sàn nhà.
Ta gắn trục hệ tọa độ như sau:
Tia Ox trùng với OB', Oy trùng với OC', Oz trùng với OA, mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với 10 cm trong thực tế. Khi đó, ta có tọa độ các điểm như sau:
O(0; 0; 0), A(0; 0; 12), B(15; 0; 13), C(0; 15; 24) Þ \(\overrightarrow {AB} \left( {15;\,\,0;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0;\,\,15;\,\,12} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 15;\,\, - 180;\,\,225} \right)\).
Mặt nghiêng của cửa sổ có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_2}} = \,\frac{1}{{15}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;\,\, - 12;\,\,15} \right)\).
Mặt sàn trùng với mặt phẳng (Oxy) suy ra có vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)\).
\(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {{15}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {370} }}{{74}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) \approx 38,8^\circ \).
