Bài tập Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) φ = 30°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z = 0 và (β): x + z + \(\sqrt 3 \) = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
Khi đó \(\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) φ = 45°.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): 8x – 4y – 8z – 11 = 0 và (Q): \(\sqrt 2 x - \sqrt 2 y + 7 = 0\) bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {8; - 4; - 8} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\sqrt 2 + 4.\sqrt 2 - 8.0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) φ = 45°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y – z – 11 = 0 và (Q): 2x + 2y – 2z + 7 = 0 bằng
0°;
45°;
180°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \). Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \). Biết góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
60°;
120°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Do \(\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ > 90^\circ \) φ = 180° - 120° = 60°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + 2y – z – 3 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.
\( - \frac{4}{9}\);
\(\frac{4}{9}\);
\(\frac{2}{3}\);
\( - \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y − z + 2 = 0 và (Q): 2x − y – z + 4 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{6}\).
Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng
60°;
135°;
45°;
90°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow n \left( {1; - 1;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) α = 45°.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – 6 = 0 và (Q). Biết rằng điểm H(2; −1; −2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng
45°;
60°;
30°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) ((P), (Q)) = 45°.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1; 0; 0), N(0; 1; 0) và P(0; 0; 1). Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bằng
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (MNP) có dạng: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1\).
Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – 2z + 5 = 0. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Công thức nào sau đây đúng?
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\sin \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\sin \varphi = \frac{{1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
Trong không gian Oxyz, góc giữa mặt phẳng (Oxy) và mặt phẳng (P): \(x + y - \sqrt 2 z + 3 = 0\) bằng
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = 45^\circ \).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + mz – 1 = 0 và (Q): x + my – z + 3 = 0 (m là tham số). Biết góc giữa hai mặt phẳng bằng 60°, giá trị của m có thể là
m = 1.
m = 0.
m = −1.
m = −2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;m} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Có \(\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + m \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {1 - 2m} \right|}}{{{m^2} + 2}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {1 - 2m} \right) = {m^2} + 2\\2\left( {1 - 2m} \right) = - {m^2} - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 4m = 0\\{m^2} - 4m + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4\\m = 2\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (C'BD).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\). Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\)
Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y - 1 = 0\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi C'(a; b; c).
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy C'(1; 1; 1).
Có (A'BD) có phương trình \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'BD) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {C'D} = \left( { - 1;0; - 1} \right),\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - 1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'D} ,\overrightarrow {C'B} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C'BD).
Do đó \(\cos \left( {\left( {A'BD} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x + 2y – z + 1 = 0 và (β): 2x – y + 3 = 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.
Mặt phẳng (β) song song với trục Oz.
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)\)là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).
Có \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 0 = 0\).
Do đó hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.
c) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_2}} \cdot \overrightarrow k = 0\) nên mặt phẳng (β) song song với trục Oz.
d) Đúng. Vì (α) ^ (β) nên ((α), (β)) = 90°. Do đó cos90° = 0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - y + \sqrt 2 z - 5 = 0\) và mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và đồng thời đi qua điểm K(0; 1; 1). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Phương trình của mặt phẳng (Q) là y – z = 0.
Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng của (P) và (Q) bằng \( - 1 - \sqrt 2 \).
\(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{4}\).
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox có dạng: by + cz = 0.
Mà (Q) đi qua điểm K(0; 1; 1) nên b + c = 0 Û b = −c.
Chọn b = 1 Þ c = -1. Vậy (Q): y – z = 0.
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;\sqrt 2 } \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1 - \sqrt 2 \).
c) Đúng. Có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1 - \sqrt 2 } \right|}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\).
d) Sai. Có \(\cos \varphi = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \varphi \approx 31,4^\circ \).
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4). Gọi α là góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (OBC).
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).
Mặt phẳng (OBC) chính là mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( {6;4;3} \right)\).
Giá trị của cosα bằng \(\frac{5}{{\sqrt {61} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).
b) Đúng. Điểm O(0; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) đều có hoành độ bằng 0 nên chúng thuộc mặt phẳng x = 0 chính là mặt phẳng Oyz.
c) Đúng. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0\).
Do đó mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {6;4;3} \right)\).
d) Sai. Có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {61} }}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d.
Góc giữa mặt phẳng (P) và (Q) khi đó bằng 0°.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
b) Sai. Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Vì hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow u \) không cùng phương nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng d.
c) Sai. Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
(Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất thì \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0 \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 90^\circ \).
d) Đúng. Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): x – y + mz + 3 = 0 (với m là tham số). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Khi m = 1, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng của hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3.
Với m = 0, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.
Có hai giá trị thực của m để góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).
b) Sai. Khi m = 1 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 = - 3\).
c) Sai. Khi m = 0 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 76,4^\circ \).
d) Đúng. Có \(\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 2m} \right|}}{{3\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 9\left( {2 + {m^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4 + 16m + 16{m^2} = 18 + 9{m^2}\)\( \Leftrightarrow 7{m^2} + 16m - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 8 \pm 9\sqrt 2 }}{7}\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 1 = 0\) với \(c < 0\) đi qua 2 điểm A(0; 1; 0), B(1; 0; 0) và tạo với (Oyz) một góc 60°. Tính a + b + c (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,59
Có \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).
Theo đề ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} - {b^2} - {c^2} = 0\) (1).
Mà A, B ∈ (P) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right.\) (2).
Từ (1) và (2), ta có a = 1; b = 1; \(c = - \sqrt 2 \) (vì c < 0).
Do đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \approx 0,59\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 và (Q): 2x + y + z + 3 = 0. Tính giá trị của tanφ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười), với φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,7
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Có \({\tan ^2}\varphi = \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \frac{9}{6} - 1 = \frac{3}{6}\)\( \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,7\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0. Biết mặt phẳng (α): x + my = 0 tạo với mặt phẳng (P) một góc 45°. Có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn yêu cầu?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (α).
Ta có \(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{3\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 18\left( {1 + {m^2}} \right) = 4{\left( {2 - m} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 14{m^2} + 16m + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - \frac{1}{7}\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): x – y + z + 3 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng (R) chứa trục Ox và chia góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thành hai phần bằng nhau?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Mặt phẳng (R) chứa trục Ox có phương trình dạng by + cz = 0.
Suy ra \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {0;b;c} \right)\) với \({b^2} + {c^2} \ne 0\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Theo đề ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \cos \left( {\left( Q \right),\left( R \right)} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {b + c} \right| = \left| { - b + c} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = - b + c\\b + c = b - c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\c = 0\end{array} \right.\).
Với b = 0 thì (R): z = 0 trùng với mặt phẳng (Oxy).
Với c = 0 thì (R): y = 0 trùng với mặt phẳng (Oxz).
Trong không gian Oxyz, một mặt bên của hình chóp cụt đều có phương trình mặt phẳng là \(x + y + \sqrt 2 z - 4 = 0\) và mặt đáy nằm trên mặt phẳng (Oxy). Tính góc (theo đơn vị độ) giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp cụt đều này.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt bên, \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
Gọi φ là góc giữa mặt bên và mặt phẳng (Oxy).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
