Bài tập Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) φ = 30°.
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).
Khi đó \(\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) φ = 45°.
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: D
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {8; - 4; - 8} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2 ;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {8.\sqrt 2 + 4.\sqrt 2 - 8.0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) φ = 45°.
90°;
60°;
30°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.
0°;
45°;
180°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = 2\overrightarrow {{n_1}} \). Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.
60°;
120°;
90°;
45°.
Đáp án đúng là: A
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Do \(\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ > 90^\circ \) φ = 180° - 120° = 60°.
\( - \frac{4}{9}\);
\(\frac{4}{9}\);
\(\frac{2}{3}\);
\( - \frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;2; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\).
\(\frac{2}{3}\);
\(\frac{3}{4}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{6}\).
60°;
135°;
45°;
90°.
Đáp án đúng là: C
Có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow n \left( {1; - 1;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:
\(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) α = 45°.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
45°;
60°;
30°;
90°.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) ((P), (Q)) = 45°.
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
\(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (MNP) có dạng: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1\).
Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\), \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\sin \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
\(\sin \varphi = \frac{{1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
Khi đó \(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + \left( { - 2} \right) \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\).
30°.
45°.
60°.
90°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = 45^\circ \).
m = 1.
m = 0.
m = −1.
m = −2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;m} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Có \(\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + m \cdot \left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {1 - 2m} \right|}}{{{m^2} + 2}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {1 - 2m} \right) = {m^2} + 2\\2\left( {1 - 2m} \right) = - {m^2} - 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 4m = 0\\{m^2} - 4m + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4\\m = 2\end{array} \right.\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\). Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\)
Có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y - 1 = 0\\z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AA'} = \left( {0;0;1} \right)\). Gọi C'(a; b; c).
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {CC'} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - 1 = 0\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.\). Vậy C'(1; 1; 1).
Có (A'BD) có phương trình \(\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 1\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'BD) là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {C'D} = \left( { - 1;0; - 1} \right),\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - 1; - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'D} ,\overrightarrow {C'B} } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (C'BD).
Do đó \(\cos \left( {\left( {A'BD} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.
Mặt phẳng (β) song song với trục Oz.
Côsin góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)\)là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).
Có \(\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 0 = 0\).
Do đó hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau.
c) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_2}} \cdot \overrightarrow k = 0\) nên mặt phẳng (β) song song với trục Oz.
d) Đúng. Vì (α) ^ (β) nên ((α), (β)) = 90°. Do đó cos90° = 0.
Phương trình của mặt phẳng (Q) là y – z = 0.
Tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng của (P) và (Q) bằng \( - 1 - \sqrt 2 \).
\(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{4}\).
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox có dạng: by + cz = 0.
Mà (Q) đi qua điểm K(0; 1; 1) nên b + c = 0 Û b = −c.
Chọn b = 1 Þ c = -1. Vậy (Q): y – z = 0.
b) Đúng. Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;\sqrt 2 } \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (Q).
Khi đó \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + \sqrt 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1 - \sqrt 2 \).
c) Đúng. Có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1 - \sqrt 2 } \right|}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\).
d) Sai. Có \(\cos \varphi = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \varphi \approx 31,4^\circ \).
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).
Mặt phẳng (OBC) chính là mặt phẳng tọa độ (Oyz).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow n = \left( {6;4;3} \right)\).
Giá trị của cosα bằng \(\frac{5}{{\sqrt {61} }}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).
b) Đúng. Điểm O(0; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) đều có hoành độ bằng 0 nên chúng thuộc mặt phẳng x = 0 chính là mặt phẳng Oyz.
c) Đúng. \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0\).
Do đó mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {6;4;3} \right)\).
d) Sai. Có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {6 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {61} }}\).
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d.
Góc giữa mặt phẳng (P) và (Q) khi đó bằng 0°.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).
b) Sai. Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Vì hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow u \) không cùng phương nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng d.
c) Sai. Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
(Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất thì \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = 0 \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 90^\circ \).
d) Đúng. Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (Q) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).
Khi m = 1, tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến tương ứng của hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3.
Với m = 0, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.
Có hai giá trị thực của m để góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\).
b) Sai. Khi m = 1 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 1 = - 3\).
c) Sai. Khi m = 0 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 76,4^\circ \).
d) Đúng. Có \(\cos 60^\circ = \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 \cdot 1 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 1 - 2m} \right|}}{{3\sqrt {2 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {1 + 2m} \right)^2} = 9\left( {2 + {m^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4 + 16m + 16{m^2} = 18 + 9{m^2}\)\( \Leftrightarrow 7{m^2} + 16m - 14 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \frac{{ - 8 \pm 9\sqrt 2 }}{7}\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,59
Có \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).
Theo đề ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} - {b^2} - {c^2} = 0\) (1).
Mà A, B ∈ (P) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right.\) (2).
Từ (1) và (2), ta có a = 1; b = 1; \(c = - \sqrt 2 \) (vì c < 0).
Do đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \approx 0,59\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,7
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Có \({\tan ^2}\varphi = \frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1 = \frac{9}{6} - 1 = \frac{3}{6}\)\( \Rightarrow \tan \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,7\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Có \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {n'} = \left( {1;m;0} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), (α).
Ta có \(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot m + 2 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{3\sqrt {{1^2} + {m^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 18\left( {1 + {m^2}} \right) = 4{\left( {2 - m} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 14{m^2} + 16m + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - \frac{1}{7}\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Mặt phẳng (R) chứa trục Ox có phương trình dạng by + cz = 0.
Suy ra \(\overrightarrow {{n_R}} = \left( {0;b;c} \right)\) với \({b^2} + {c^2} \ne 0\).
Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Theo đề ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( R \right)} \right) = \cos \left( {\left( Q \right),\left( R \right)} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - b + c} \right|}}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {b + c} \right| = \left| { - b + c} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + c = - b + c\\b + c = b - c\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\c = 0\end{array} \right.\).
Với b = 0 thì (R): z = 0 trùng với mặt phẳng (Oxy).
Với c = 0 thì (R): y = 0 trùng với mặt phẳng (Oxz).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 45
Có \(\overrightarrow n = \left( {1;1;\sqrt 2 } \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt bên, \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).
Gọi φ là góc giữa mặt bên và mặt phẳng (Oxy).
Ta có \(\cos \varphi = \frac{{\left| {\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
