Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A.

Ta có   \(\overrightarrow {\,{u_1}}  = \left( {1\,;\; - 1\,;\;4} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\);

                                    \(\overrightarrow {\,{u_2}}  = \left( {2\,;\;0\,;\; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).

Suy ra \[\cos \left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} \,,\;\overrightarrow {u{}_2} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,{u_1}} .\overrightarrow {\,u{}_2} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {u{}_2} } \right|}} = \frac{6}{{2\sqrt 2 .\sqrt {18} }} = \frac{1}{2}\].

Vậy \[\left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = 60^\circ \].

Chọn D.

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).

Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]

\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\]   \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].

Chọn D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Suy ra \(SH = BH\tan 60^\circ  = 2\sqrt 3 \).

Chọn hệ tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ.

Ta có \(H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(AC\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt ba trục \(Hx\), \(Hy\), \(Hz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0\).

Gọi \[\varphi \] là góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

              a) Mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2y + 2z - 1 = 0\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)\].

              b)\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\).

              c) Với \(m = 0\), VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {1;\,0\,;\,0} \right)\]. Suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = 1 \ne 0\). Suy ra hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không vuông góc nhau.

              d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {1\,;\, - m\,;\,0} \right)\].

              \(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos {45^o}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{3\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.\end{array}\)

              a) đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\).

              b) \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}} \].

              c) Vì \(\left( Q \right)\)song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Do đó:

              \[\sin \left( {d,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}}  = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\].

              d) Gọi \(\left( R \right):Ax + By + Cz = 0\) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, vuông góc với \(\left( P \right)\) và tạo với \(d\) một góc  \({30^o}\).

              Ta có: \(\left( R \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow A - B + 3C = 0 \Rightarrow A = B - 3C\).

              Mặt khác: \[\sin \left( {d;\left( R \right)} \right) = \sin {30^o} = \frac{1}{2}\]

              \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {A - 2B + C} \right|}}{{\sqrt {6.\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( { - B - 2C} \right)^2} = 6\left( {2{B^2} + 10{C^2} - 6BC} \right)\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 52BC + 44{C^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = C\\B = \frac{{11}}{2}C\end{array} \right.\end{array}\]

              Với \[B = C\], chọn \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)

              Với \[B = \frac{{11}}{2}C\], chọn \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;11;2} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)

* Phương án a) sai: vì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

* Phương án b) đúng:

Đường thẳng  \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Trục  \[Ox\]có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\].

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng  \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Đường thẳng  \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương  là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}  = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {17} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).

* Phương án d) đúng:

Hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\] có các vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;0;3} \right)\]

Đường thẳng  \[d\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; - 5; - 4} \right)\]

Đường thẳng  \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}  = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có:\(A\left( {0;\;0;\;0} \right),B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),D\left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),S\left( {0;\;0;\;1} \right)\)

* Phương án a) đúng: \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)

* Phương án b) sai: Đường thẳng \[SB\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right)\)

* Phương án c) đúng:

       Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\]

Vậy mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).

* Phương án d) đúng:

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\[\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;0;\;\sqrt 3 } \right).\] Suy ra  mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\;0;\;1} \right)\).

Đường thẳng \[BD\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)

Trục \[Oz\] có vecơ chỉ phương là \[\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\] và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+z-7=0$ có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)\].

Ta có \[\sin \left( {Oz,\,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.2 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^1}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\].

Vậy \[\left( {Oz,\,\left( \alpha  \right)} \right) = 24,1^\circ \].

Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({\rm{ }}\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\)là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

\(cos\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + \left( { - 2} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }}\)\( = \frac{9}{{3.3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).