Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.\].

\[\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Suy ra \[\left( {{d_1};{d_2}} \right) = {30^0}\]

Trục \(Ox\) có VTCP \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right).\)

Đường thẳng \(d\) có VTCP \[\vec u = \left( {1;2;2} \right).\]

Vậy \(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow i ,\vec u} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}.\)

Ta có \(\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0 \Rightarrow \) VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

\(\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0 \Rightarrow \)VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ \).

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;2} \right)\).

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Gọi \[\alpha \] là góc tạo bởi đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (\[0^\circ  \le \alpha  \le 90^\circ \]), ta có:

\[\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\].

Khi đó \[\cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{1}{6}}  = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\].

Theo bài ra ta có: \((P) \bot d.\) Và \((P) \cap d = I(1;0;0)\) \( \Rightarrow \) \(AI = \sqrt 2 .\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \({d_1}\) ta có \(HI = 1\)

Trong tam giác vuông \(HAI\) ta có \(\sin \hat A = \frac{{HI}}{{AI}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \hat A = {45^0} \Rightarrow 2\hat A = {90^0}\)

\( \Rightarrow \varphi  = {180^0} - 2\hat A = 90\).

Vậy ta có \(\sin \varphi  = 1\).

Ta có \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\] và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {4; - 4;3} \right)\).

Vì \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)\) nên \[\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {{n_P}}  \Rightarrow 2m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2m + 2\].

Mặt khác: \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {4m - 4n + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} .\sqrt {41} }} = \frac{{\left| {4m + 5} \right|}}{{\sqrt {41} \sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt {41} }}.\sqrt {\frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}} \).

Vì \(0^\circ  \le \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) \le 90^\circ \) nên \(\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất khi \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất.

Xét hàm số \(f\left( m \right) = \frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}} \Rightarrow f'\left( m \right) = \frac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}\).

BBT

Dựa vào BBT ta có \(\mathop {\max }\limits_{m \in \mathbb{R}} f\left( m \right) = 5\) tại \(m = 0\).

Do đó \(\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)\) lớn nhất khi \(m = 0\). Suy ra \(\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt {205} }}{{41}}\).

Chọn B.

Mặt phẳng \[\left( P \right):2x - 3y - 4 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2\,;\; - 3\,;\;0} \right)\].

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\) nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0\,;\;0\,;\;1} \right)\].

Do đó, \[\cos \left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = 0\], suy ra \[\left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = 90^\circ \].

Vậy góc giữa mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) bằng \[90^\circ \].

Chọn C.

Đường thẳng \(d\) chứa trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {\,u\,} = \left( {1\,;\;0\,;\;0} \right)\); mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {\,n\,} = \left( {0\,;\;3\,;\; - 1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(d\) và \(\left( P \right)\). Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {\,u\,} ,\overrightarrow {\,n\,} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} .\overrightarrow {\,n\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} } \right|.\left| {\overrightarrow {\,n\,} } \right|}} = 0\), suy ra \(\alpha = 0^\circ \).

Chọn B.

Ta có   \(\overrightarrow {\,{u_1}}  = \left( { - 1\,;\;1\,;\;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\);

                                    \(\overrightarrow {\,{u_2}}  = \left( { - 2\,;\;1\,;\; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).

Suy ra \[\cos \left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} \,,\;\overrightarrow {u{}_2} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,{u_1}} .\overrightarrow {\,u{}_2} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {u{}_2} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 .3}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy \(\left( {{d_1}\,,\,{d_2}} \right) = 45^\circ \).

Chọn A.

Ta có   \(\overrightarrow {\,{u_1}}  = \left( {1\,;\; - 1\,;\;4} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\);

                                    \(\overrightarrow {\,{u_2}}  = \left( {2\,;\;0\,;\; - 2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\).

Suy ra \[\cos \left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} \,,\;\overrightarrow {u{}_2} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,{u_1}} .\overrightarrow {\,u{}_2} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {u{}_2} } \right|}} = \frac{6}{{2\sqrt 2 .\sqrt {18} }} = \frac{1}{2}\].

Vậy \[\left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = 60^\circ \].

Chọn D.

Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Đặt \(AB = 230 = a\), \(SA = 219 = b\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\).

Do đó: \(A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)\], \(D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)\), \[S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\].

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {BG}  = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)\).

Suy ra \[\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]\[ = \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}\]

\[ = \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}\]   \[ = \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}\].

Vậy \[\left( {SA\,,\;BG} \right) \approx 71^\circ 23'40''\;\].

Chọn D

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.\) nên \(\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Suy ra \(SH = BH\tan 60^\circ  = 2\sqrt 3 \).

Chọn hệ tọa độ \(Hxyz\) như hình vẽ.

Ta có \(H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\) với \(I\) là trung điểm của \(AC\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(z = 0\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) cắt ba trục \(Hx\), \(Hy\), \(Hz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)\), \(I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)\), \(S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)\) nên có phương trình: \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1\) \( \Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0\).

Gọi \[\varphi \] là góc giữa \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\frac{1}{{\sqrt 7 }}\].

a)	b)	c)	d)
Đ	Đ	S	Đ

              a) Mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - 2y + 2z - 1 = 0\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)\].

              b)\(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\).

              c) Với \(m = 0\), VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {1;\,0\,;\,0} \right)\]. Suy ra \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = 1 \ne 0\). Suy ra hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) không vuông góc nhau.

              d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT là \[\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {1\,;\, - m\,;\,0} \right)\].

              \(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos {45^o}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{3\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.\end{array}\)

            Suy ra tổng các giá trị của \(m\) để góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng \({45^o}\) là \(8\).

a)	b)	c)	d)
Đ	S	Đ	S

              a) đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\).

              b) \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}} \].

              c) Vì \(\left( Q \right)\)song song với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Do đó:

              \[\sin \left( {d,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}}  = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}\].

              d) Gọi \(\left( R \right):Ax + By + Cz = 0\) là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, vuông góc với \(\left( P \right)\) và tạo với \(d\) một góc  \({30^o}\).

              Ta có: \(\left( R \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow A - B + 3C = 0 \Rightarrow A = B - 3C\).

              Mặt khác: \[\sin \left( {d;\left( R \right)} \right) = \sin {30^o} = \frac{1}{2}\]

              \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {A - 2B + C} \right|}}{{\sqrt {6.\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( { - B - 2C} \right)^2} = 6\left( {2{B^2} + 10{C^2} - 6BC} \right)\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 52BC + 44{C^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = C\\B = \frac{{11}}{2}C\end{array} \right.\end{array}\]

              Với \[B = C\], chọn \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)

              Với \[B = \frac{{11}}{2}C\], chọn \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;11;2} \right)\] là vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\)

            Có hai cặp vectơ pháp tuyến nên có hai mặt phẳng \(\left( R \right)\)thoả yêu cầu bài toán

a) S

b) Đ

c) Đ

d) Đ

* Phương án a) sai: vì \(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

* Phương án b) đúng:

Đường thẳng  \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Trục  \[Ox\]có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\].

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}\).

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng  \[\Delta \] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1; - 3;2} \right)\]

Đường thẳng  \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương  là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}  = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {17} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}\).

* Phương án d) đúng:

Hai mặt phẳng \[\left( P \right)\]và \[\left( Q \right)\] có các vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;0;3} \right)\]

Đường thẳng  \[d\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; - 5; - 4} \right)\]

Đường thẳng  \[\Delta '\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_{\Delta '}}}  = \left( {3;2;2} \right)\]

Ta có \(\cos \left( {d,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{0}{{\sqrt {77} .\sqrt {17} }} = 0 \Rightarrow \left( {d,\Delta '} \right) = {90^0}\).

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có:\(A\left( {0;\;0;\;0} \right),B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),D\left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),S\left( {0;\;0;\;1} \right)\)

* Phương án a) đúng: \(B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)

* Phương án b) sai: Đường thẳng \[SB\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right)\)

* Phương án c) đúng:

       Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\]

Vậy mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)\).

* Phương án d) đúng:

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),\)\[\overrightarrow {BC}  = \left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\]\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;0;\;\sqrt 3 } \right).\] Suy ra  mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\;0;\;1} \right)\).

Đường thẳng \[BD\] có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)\)

Ta có \(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{2.\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Trục \[Oz\] có vecơ chỉ phương là \[\overrightarrow k  = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\] và mặt phẳng α: 2x−y+z−7=0 có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)\].

Ta có \[\sin \left( {Oz,\,\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.2 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^1}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\].

Vậy \[\left( {Oz,\,\left( \alpha  \right)} \right) = 24,1^\circ \].

Chọn hệ tọa độ  \[Oxyz\] như hình vẽ trên. Khi đó \[A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\],\[A'\,\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right)\],\[B\,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[C\,\left( {0\,;\,3\,;\,0} \right)\].

Vì \[M\] là trung điểm \[BC\]nên \[M\,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,0} \right)\].

Đường thẳng \[AB\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB}  = \,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)\], đường thẳng \[A'M\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {A'M}  = \,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\, - 5} \right)\].

Vậy \[\cos \left( {AB,A'M} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'M} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'M} } \right|}} = \frac{{\left| {3.\frac{3}{2} + 0.\frac{3}{2} + 0.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {118} }}\].

Suy ra \[\left( {AB,A'M} \right) = 74^\circ \].

Gọi \[d'\] là đường thẳng qua \[A\] và song song với \[d\]. Trên \[d'\] lấy điểm \[I\]; \[H\]là hình chiếu vuông góc của \[I\] trên \[\left( P \right)\]và \[K\] là hình chiếu vuông góc của \[H\]trên \[\Delta \].

Khi đó \[\left( {d,\Delta } \right) = \left( {d',\Delta } \right) = \widehat {IAK} = \alpha \].

mà \[\sin \alpha  = \frac{{IK}}{{IA}} \ge \frac{{IH}}{{IA}}\] suy ra \[{\alpha _{\min }} \Leftrightarrow H \equiv K\] hay \[\Delta \] qua \[A\] và \[H\], hay \[\Delta \] là hình chiếu vuông góc của \[d'\] trên \[\left( P \right)\].

Ta có: \[\left( P \right)\]có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1\,;\, - 1\,;\,1} \right)\], \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)\], suy ra \[\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} \,} \right] = \left( {4\,;\,3\,;\, - 1} \right)\].

\[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( {AIH} \right)}}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right] = \left( { - 2\,;\,5\,;\,7} \right)\]\[ \Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{7}\]

                 Khi đó \[\Delta  \cap \left( {Oxy} \right) = B \Rightarrow B\left( {\frac{{16}}{7}\,;\,\frac{2}{7}\,;\,0} \right)\], do đó \[m = \frac{{16}}{7},\,n = \frac{2}{7},\,p = 0\].

Vậy \[T = 7m + 7n + p = 18\].

Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \({\rm{ }}\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 2;1; - 2} \right)\).

Vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\)là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

\(cos\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + \left( { - 2} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }}\)\( = \frac{9}{{3.3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(T = 1 - 2{\cos ^2}a\, = 0\).

Đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 + t\\z =  - 2 + 4t\end{array} \right.\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;4} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 2} \right)\).

               \(\sin \left( {a,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{1}{3}}  = \sin \varphi \)

Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Suy ra \(d\left( {A,(P)} \right) = AH = FA.\sin \varphi  = 40\sqrt 3 .\sqrt {\frac{1}{3}}  = 40\,cm\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

               Mặt phẳng \(\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;1} \right)\).

               \({\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \)

               Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được\(\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ \).

               Theo đề tam giác ABF cân tại A vì \(AB = AF\)\( \Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ \)

               Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.

               \(AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18,4\,m\)

             Tỉ số \[\frac{{AF}}{{BF}} = 0,92\].