Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) nhân   \(\overrightarrow v  = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là  \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

\(\sin \left( {\Delta ;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow v ;\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}\)

Nên \(\left( {\Delta ;\left( {Oxy} \right)} \right) = {30^0}\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)\). Mặt \(\left( {Oyz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i  = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc tọa bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) suy ra \(\alpha  = 60^\circ \).

Ta có: \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 1 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = 2\left| a \right|\] (*).

Thay \(a = b = 1\) vào phương trình (*) ta được: \(\sqrt {2 + {c^2}}  = 2 \Rightarrow c =  - \sqrt 2 \).

Khi đó \(a + b + c = 2 - \sqrt 2 \).

a)     Đúng

 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {1; - 2;2} \right)\], véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].

b)    Sai

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\];

c)     Sai

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\]; Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {1; - 2;2} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\left( \alpha  \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\].

d)    Đúng

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3\,;\,4\,;\,5} \right)\]; véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] là \[\overrightarrow {{n_\beta }} \left( {2\,;\,m\,;\,m} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\left( {\left( \beta  \right)} \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.2 + 4.m + 5.m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{2^2} + {m^2} + {m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{5\sqrt 2 .\sqrt {4 + 2{m^2}} }} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }}\].

Do góc giữa đường thẳng  \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] bằng \(60^\circ \)nên ta có: \[\begin{array}{l}\sin 60^\circ  = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {6 + 9m} \right|}}{{10.\sqrt {2 + {m^2}} }} \Leftrightarrow 3.25.\left( {2 + {m^2}} \right) = 9.{\left( {3m + 2} \right)^2} \Leftrightarrow 2{m^2} + 36m - 38 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 19}\end{array}} \right.\end{array}\]

a) Sai

Với \(m = 1\) thì  mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình: \(x + y + 2019 = 0\).

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\[\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\].

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng \(45^\circ \).

b) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;\,2;\,1} \right)\) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng\(\left( R \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {OH} ,\,\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}\).

Vậy côsin góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(\frac{4}{9}\).

c) Sai.

Mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,m;\,m - 1} \right)\).

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 1 = 0\).

\( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 1\).

d) Sai.

\(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2m - 2\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {2{m^2} - 2m + 2} }} = \frac{1}{{3.\sqrt {2{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{2}} }} \le \frac{1}{{3\sqrt {\frac{3}{2}} }}\) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow {\rm{ }}m = \frac{1}{2}\].

a) Sai.

Ta có \({D_1}\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \({A_1}\left( {0;\,1;\,0} \right)\), C₁ (1;0;0), \({B_1}\left( {1;\,1;\,0} \right)\).

\(\overrightarrow {{D_1}{A_1}}  = \left( {0;\,1;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}}  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\).

Một vectơ pháp tuyến của \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{A_1}} ;\,\overrightarrow {{D_1}{C_1}} } \right] = \left( {0;\,0;\, - 1} \right)\).

b) Sai.

Ta có \(D\left( {0;\,0;\,x} \right)\), \(\overrightarrow {D{B_1}}  = \left( {1;\,1;\, - x} \right)\).

Vì góc của \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng \(60^\circ \).

Suy ra \(sin\left( {{B_1}D;\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\,\overrightarrow {D{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 6 = 0 \Rightarrow x = \sqrt 6 \).

c) Sai.

Ta có \(C\left( {1;\,0;\,x} \right),\,\overrightarrow {{D_1}{B_1}}  = \left( {1;\,1;\,0} \right),\,\overrightarrow {{D_1}C}  = \left( {1;\,0;\,x} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{D_1}{B_1}} ,\,\overrightarrow {{D_1}C} } \right] = \left( {x;\, - x;\, - 1} \right)\).

Vì góc giữa mặt phẳng \(\left( {C{B_1}{D_1}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)bằng \(45^\circ \).

Suy ra \(\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai

 Gọi góc giữa đường thẳng \({B_1}D\) mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) là \(\alpha \).

Khi đó \(\sin \alpha  = \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} < 1\).

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2; - 3} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 4;1;5} \right)\).

Do đó \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2\,;\,1\,;\, - 2} \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)\] . Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ta có

Ta có : \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0;15;\frac{{ - 4}}{5}} \right)\], mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] có vecto pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {0;0;1} \right)\].

\[\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 15.0 + 1.\frac{{ - 4}}{5}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{15}^2} + {{\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + 1} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}\]

\[ \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 3^\circ \]

Ta có $\left(d\right):\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1+t\\ z=-3+2t\end{array}\right.$, gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta có phương

trình \(3 + 2t - 3.\left( {1 + t} \right) - 3 + 2t + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 1\). Khi đó \(I\left( {5\,;\,2\,;\, - 1} \right)\).

Gọi \(M\) là điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\left( {M \ne I} \right)\), \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right)\) và giao tuyến \(\left( \Delta  \right)\) của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Khi đó góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)là \(\widehat {MKH}\).

\(\tan \widehat {MKH} = \frac{{MH}}{{HK}} \ge \frac{{MH}}{{HI}}\). Suy ra \(\widehat {MKH}\) nhỏ nhất khi \(HK = HI\) hay \(I \equiv K\) khi đó \(\left( d \right) \bot \left( \Delta  \right)\).

\(\left( d \right)\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2\,;\,1\,;\,2} \right)\) và \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\, - 3\,;\,1} \right)\) nên \(\left( \Delta  \right)\) có

 vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {7\,;\,0\,;\, - 7} \right)\] hay $\overrightarrow{u_2}=\left(1;0;-1\right)$

\(\left( Q \right)\)chứa \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( d \right)\) nên nhận \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {1;\, - 4\,;\,1} \right)\]làm vectơ pháp tuyến.

Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(M\left( {3\,;1\,;\, - 3} \right)\) và nhận \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1\,; - 4\,;\,1} \right)\] làm vectơ pháp tuyến nên có phương

trình

\(1.\left( {x - 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0\)

 \( \Leftrightarrow x - 4y + z + 4 = 0\).