Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 1)
20 câu hỏi
I. Nhận biết
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \[Ox\] và đường thẳng \[Oy\] là
\[0^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: B
Do trong hệ trục \[Oxyz\], các trục \[Ox,Oy,Oz\] đôi một vuông góc với nhau nên góc giữa đường thẳng \[Ox\] và đường thẳng \[Oy\] là \[90^\circ .\]
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], góc giữa đường thẳng \[Ox\] và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là
\[0^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\overrightarrow u _{Ox}} = \left( {1;0;0} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\].
Suy ra \[\sin \left( {Ox,\left( {Oxy} \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{Ox}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0.\]
Do đó, góc giữa đường thẳng \[Ox\] và mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] là \[0^\circ .\]
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\], \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\]. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?
\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left| {\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|.\]
\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}.\]
\[\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\] hoặc \[\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 180^\circ - \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right).\]
Đáp án đúng là: D
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}.\] Tính \[{\mathop{\rm co}\nolimits} \sin \] của góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và trục \[Ox\].
\[\frac{2}{3}.\]
\[ - \frac{2}{3}.\]
\[\frac{1}{3}.\]
\[0.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\overrightarrow u _\Delta } = \left( {2; - 1;2} \right)\] và \[{\overrightarrow u _{Ox}} = \left( {1;0;0} \right)\].
Suy ra \[\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \cos \left| {\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{Ox}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{3}.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] có vectơ chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right)\], \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}.\] Xét các khẳng định sau:
a) \[\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
b) \[\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
c) \[{\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0.\]
d) \[\sin \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.\]
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
1.
0.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có khẳng định a và c đúng.
II. Thông hiểu
Cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1},{\rm{ }}{\Delta _2}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]. Góc giữa \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] là
\[0^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{\overrightarrow u _{{\Delta _1}}} = \left( {3;2;1} \right)\], \[{\overrightarrow u _{{\Delta _2}}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\].
Góc giữa hai đường thẳng là:
\[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{\Delta _1}}},{{\overrightarrow u }_{{\Delta _2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0.\]
Vậy góc giữa \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] là \[90^\circ .\]
Tính góc tạo bởi đường thẳng \[d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x + y + z - 1 = 0.\]
\[0^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {2;1;1} \right)\].
Suy ra \[\sin \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]
Góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng đó là \[30^\circ .\]
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y - z - 3 = 0\] và \[\left( Q \right):x - z - 2 = 0\]. Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
\[0^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {1;0; - 1} \right)\].
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {1.2 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] bằng \[30^\circ .\]
Trong hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[M\left( {1;0;0} \right)\], \[N\left( {0;1;0} \right)\] và \[P\left( {0;0;1} \right)\]. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] và \[\left( {Oxy} \right)\] bằng
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
\[\frac{1}{{\sqrt 5 }}.\]
\[\frac{2}{{\sqrt 5 }}.\]
\[\frac{1}{3}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;0;1} \right),\]\[{\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {MNP} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 1}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right).\]
Suy ra \[\cos \left( {\left( {MNP} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {MNP} \right)}}} \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\]
Hãy tìm giá trị thực của \[m\] để góc giữa hai đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - \sqrt 2 t\\z = 1 + t\end{array} \right.,{\rm{ }}t \in \mathbb{R}\] và \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - \sqrt 2 t'\\z = 1 + mt'\end{array} \right.,{\rm{ }}t' \in \mathbb{R}\] bằng \[60^\circ .\]
\[m = 1.\]
\[m = - 1.\]
\[m = \frac{1}{2}.\]
\[m = - \frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;m} \right)\].
Suy ra \[\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}\].
Theo đề, góc giữa hai đường thẳng là \[60^\circ \], do đó \[\frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}\]
Suy ra \[2\left| {m + 3} \right| = 2\sqrt {\left( {{m^2} + 3} \right)} \]
\[{\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {{m^2} + 3} \right)\]
\[6m + 6 = 0\]
\[m = - 1.\]
Vậy \[m = - 1.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + mt.\\z = 2 - t\end{array} \right.\] Tìm \[m\] để cosin góc giữa hai đường thẳng bằng \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
\[m = 2.\]
\[m = - 2.\]
\[m = \frac{1}{2}.\]
\[m = - \frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {0; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;m; - 1} \right).\]
Suy ra \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }}\].
Để góc giữa hai đường thẳng bằng \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\] thì
\[\frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
\[5\left| { - m - 2} \right| = 5\sqrt {{m^2} + 2} \]
\[{\left( {m + 2} \right)^2} = {m^2} + 2\]
\[{m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2\]
\[m = - \frac{1}{2}.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {0;2;2} \right)\]. Góc giữa đường thẳng \[OA\] và trục \[Oy\] bằng
\[60^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {OA} = \left( {0;2;2} \right)\], \[{\overrightarrow u _{Oy}} = \left( {0;1;0} \right)\].
Suy ra \[\cos \left( {OA,Oy} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{OA}},{{\overrightarrow u }_{Oy}}} \right)} \right| = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
Vậy góc giữa đường thẳng \[OA\] và trục \[Oy\] bằng \[45^\circ .\]
Trong không gian \[Oxyz\], hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 3}}{1}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z - 5}}{m}\] tạo với nhau góc \[60^\circ \], giá trị của tham số \[m\] bằng
\[m = - 1.\]
\[m = 1.\]
\[m = \frac{1}{2}.\]
\[m = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)\].
Suy ra \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}\].
Để góc giữa hai đường thẳng bằng \[60^\circ \] thì \[\frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \cos 60^\circ \]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 2\left| {3 + m} \right| = 2\sqrt {{m^2} + 3} \]
\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {\sqrt {{m^2} + 3} } \right)\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 = {m^2} + 3\]
\[ \Leftrightarrow 6m + 6 = 0\]
\[ \Leftrightarrow m = - 1.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - y + 2z + 1 = 0\]và đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\]. Xét các mệnh đề sau:
Góc giữa \[\left( P \right)\] và \[d\] là một góc nhọn.
\[d \bot \left( P \right).\]
\[d\parallel \left( P \right).\]
\[\left( {d;\left( P \right)} \right) = 30^\circ .\]
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)\].
Có \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]
Suy ra \[\left( {d;\left( P \right)} \right) = 30^\circ .\]
Tính góc \[\alpha \] giữa hai đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + t\\z = 3\end{array} \right.\] và \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t'\\y = 2\\z = - 2 + t'.\end{array} \right.\]
\[60^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1;1;0} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 1;0;1} \right)\].
Có \[\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{2} = \frac{1}{2}.\]
Suy ra \[\alpha = 60^\circ .\]
III. Vận dụng
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):3x + 4y + 5z + 2 = 0\] và đường thẳng \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x - 2y + 1 = 0\] và \[\left( \beta \right):x - 2y - 3z = 0\]. Hãy tính số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\].
\[60^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: B
Vì \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] nên \[{\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right]\].
Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {1; - 2;0} \right),{\overrightarrow n _{\left( \beta \right)}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\]
Suy ra \[{\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 3}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3; - 6} \right) = 3\left( {2;1; - 2} \right).\]
Lấy \[{\overrightarrow u _d} = \left( {2;1; - 2} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {3;4;5} \right)\].
Ta có: \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {2.3 + 1.4 + \left( { - 2} \right).5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = 0.\]
Vậy số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\] là \[90^\circ .\]
Tìm tất cả các mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{{ - 3}}\] và tạo với mặt phẳng \[\left( P \right):2x - z + 1 = 0\] góc \[45^\circ .\]
\[\left( \alpha \right):3x + z = 0.\]
\[\left( \alpha \right):x - y - 3z = 0.\]
\[\left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]
\[\left( \alpha \right):3x + z = 0\] hoặc \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]
Đáp án đúng là: D
Giả sử mặt phẳng \[\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\] với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\].
Đường thẳng \[d\] đi qua \[O\left( {0;0;0} \right)\] có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d\] nên \[{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = 0\].
Suy ra \[A - B - 3C = 0\].
Mà mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[45^\circ \] nên
\[\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2A - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 2\left| {2A - C} \right| = \sqrt {10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2A - C} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 16{A^2} - 16AC + 4{C^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\] (1)
Thay \[A = B + 3C\] vào (1), được
\[ \Leftrightarrow 3{A^2} - 8AC - 3{C^2} = 5{B^2}\]
\[ \Leftrightarrow 3{\left( {B + 3C} \right)^2} - 8\left( {B + 3C} \right)C - 3{C^2} - 5{B^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow - 2{B^2} + 10BC = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 5C\\B = 0\end{array} \right.\].
Với \[B = 0 \Rightarrow A = 3C \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]
Với \[B = 5C\], chọn \[C = 1 \Rightarrow C = 5,A = 8\] nên \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 6 = 0\] và \[\left( Q \right)\]. Biết rằng điểm \[H\left( {2; - 1; - 2} \right)\] là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \[O\left( {0;0;0} \right)\] xuống mặt phẳng \[\left( Q \right)\]. Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng
\[60^\circ.\]
\[90^\circ.\]
\[45^\circ.\]
\[30^\circ.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right)\].
Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;0} \right)\].
Ta có: \[\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[45^\circ .\]
Trong không gian \[Oxyz\], cho hình chóp \[S.ABC\] có ba điểm \[S\left( {0;0;3} \right)\], \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {1;0;0} \right)\], \[C\left( {0;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\]. Xét các mệnh đề sau:
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[0.\]
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{2}{7}.\]
c) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng \[\frac{{10\sqrt 3 }}{{21}}.\]
d) Góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Số mệnh đề đúng là
1.
2.
3.
0.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 3} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {0;2; - 3} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\].
Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3;0} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right).\]
\[{\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;0;0} \right).\]
a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = 0.\]
Do đó, ý a đúng.
b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 3.0 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}.\]
Do đó, ý b đúng.
c) Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\].
Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}.\]
Do đó, ý c sai.
d) Ta có:
\[\cos \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| { - 6.0 + 0.0 + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = 0.\]
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]
Vậy ý d đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng.
Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[S\left( {0;0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\]\[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right),\]\[B\left( { - \frac{a}{2};0;0} \right)\], \[C\left( { - \frac{a}{2};a;0} \right)\],\[D\left( {\frac{a}{2};a;0} \right)\] với \[a > 0\]. Tính góc giữa đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\]. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
\[28^\circ \].
\[38^\circ \].
\[26^\circ \].
\[31^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],
\[\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\].
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\1&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&0\\{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).\]
Ta có: \[\sin \left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SD} ,{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right)} \right|\]
\[ = \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\]
Suy ra \[\widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} \approx 28^\circ .\]
