Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đáp án - phần 1)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( {1; - \sqrt 2 ;m} \right)\].

Suy ra \[\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}\].

Theo đề, góc giữa hai đường thẳng là \[60^\circ \], do đó \[\frac{{\left| {1 + 2 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}\]

Suy ra \[2\left| {m + 3} \right| = 2\sqrt {\left( {{m^2} + 3} \right)} \]

\[{\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {{m^2} + 3} \right)\]

\[6m + 6 = 0\]

\[m = - 1.\]

Vậy \[m = - 1.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[{\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {0; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;m; - 1} \right).\]

Suy ra \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }}\].

Để góc giữa hai đường thẳng bằng \[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\] thì

\[\frac{{\left| { - m - 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]

\[5\left| { - m - 2} \right| = 5\sqrt {{m^2} + 2} \]

\[{\left( {m + 2} \right)^2} = {m^2} + 2\]

\[{m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2\]

\[m = - \frac{1}{2}.\]

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow {OA} = \left( {0;2;2} \right)\], \[{\overrightarrow u _{Oy}} = \left( {0;1;0} \right)\].

Suy ra \[\cos \left( {OA,Oy} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{OA}},{{\overrightarrow u }_{Oy}}} \right)} \right| = \frac{2}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]

Vậy góc giữa đường thẳng \[OA\] và trục \[Oy\] bằng \[45^\circ .\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;1} \right),{\overrightarrow u _{{d_2}}} = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)\].

Suy ra \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{{d_1}}},{{\overrightarrow u }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }}\].

Để góc giữa hai đường thẳng bằng \[60^\circ \] thì \[\frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \cos 60^\circ \]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + m} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 3} }} = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 2\left| {3 + m} \right| = 2\sqrt {{m^2} + 3} \]

\[ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} = \left( {\sqrt {{m^2} + 3} } \right)\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 = {m^2} + 3\]

\[ \Leftrightarrow 6m + 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow m = - 1.\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;2} \right),{\overrightarrow u _d} = \left( {1;2; - 1} \right)\].

Có \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + \left( { - 1} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.\]

Suy ra \[\left( {d;\left( P \right)} \right) = 30^\circ .\]

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1;1;0} \right),{\overrightarrow u _{d'}} = \left( { - 1;0;1} \right)\].

Có \[\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow u }_{d'}}} \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{2} = \frac{1}{2}.\]

Suy ra \[\alpha = 60^\circ .\]

Đáp án đúng là: B

Vì \[d\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] nên \[{\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right]\].

Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = \left( {1; - 2;0} \right),{\overrightarrow n _{\left( \beta \right)}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)\]

Suy ra \[{\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( \alpha \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( \beta \right)}}} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\{ - 2}&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\{ - 3}&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3; - 6} \right) = 3\left( {2;1; - 2} \right).\]

Lấy \[{\overrightarrow u _d} = \left( {2;1; - 2} \right)\], \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {3;4;5} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \cos \left| {{{\overrightarrow u }_d},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right| = \frac{{\left| {2.3 + 1.4 + \left( { - 2} \right).5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = 0.\]

Vậy số đo góc \[\alpha \] giữa \[d\] và \[\left( P \right)\] là \[90^\circ .\]

Đáp án đúng là: D

Giả sử mặt phẳng \[\left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\] với \[{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\].

Đường thẳng \[d\] đi qua \[O\left( {0;0;0} \right)\] có vectơ chỉ phương \[{\overrightarrow u _d} = \left( {1; - 1; - 3} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[d\] nên \[{\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} = 0\].

Suy ra \[A - B - 3C = 0\].

Mà mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] tạo với \[\left( P \right)\] góc \[45^\circ \] nên

\[\cos \left( {\left( \alpha \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2A - C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 2\left| {2A - C} \right| = \sqrt {10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} \]

\[ \Leftrightarrow 4{\left( {2A - C} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 16{A^2} - 16AC + 4{C^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)\] (1)

Thay \[A = B + 3C\] vào (1), được

\[ \Leftrightarrow 3{A^2} - 8AC - 3{C^2} = 5{B^2}\]

\[ \Leftrightarrow 3{\left( {B + 3C} \right)^2} - 8\left( {B + 3C} \right)C - 3{C^2} - 5{B^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 2{B^2} + 10BC = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = 5C\\B = 0\end{array} \right.\].

Với \[B = 0 \Rightarrow A = 3C \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 3z = 0.\]

Với \[B = 5C\], chọn \[C = 1 \Rightarrow C = 5,A = 8\] nên \[\left( \alpha \right):8x + 5y + z = 0.\]

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;0} \right)\].

Ta có: \[\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\]

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] bằng \[45^\circ .\]

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 3} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {0;2; - 3} \right)\], \[\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)\].

Suy ra \[{\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3;0} \right).\]

\[{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;3;2} \right).\]

\[{\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right).\]

\[{\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 3}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;0;0} \right).\]

a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng

\[\cos \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = 0.\]

Do đó, ý a đúng.

b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng

\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.0 + 3.0 + 2.2} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}.\]

Do đó, ý b đúng.

c) Ta có: \[{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\].

Cosin góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng

\[\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right) = \frac{{\left| {6.1 + 3.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}.\]

Do đó, ý c sai.

d) Ta có:

\[\cos \left( {\left( {SAC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {ABC} \right)}}} \right) = \frac{{\left| { - 6.0 + 0.0 + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = 0.\]

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[90^\circ .\]

Vậy ý d đúng.

Vậy có 3 mệnh đề đúng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\overrightarrow {SD} = \left( {\frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],

\[\overrightarrow {SA} = \left( {\frac{a}{2};0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( {\frac{1}{2};0; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\],

\[\overrightarrow {SC} = \left( { - \frac{a}{2};a; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = a\left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right]\].

Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\1&{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{ - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}}&0\\{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right).\]

Ta có: \[\sin \left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {SD} ,{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right)} \right|\]

\[ = \frac{{\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} + 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }}\]

\[ = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}.\]

Suy ra \[\widehat {\left( {SD,\left( {SAC} \right)} \right)} \approx 28^\circ .\]