Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Hai mặt phẳng \[\left( P \right),\,\left( Q \right)\] có các véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;\,1;\,1} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}\].

Ta có mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _1} = \left( {0;1;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - 10z + 2025 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _2} = \left( {1;1; - 10} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng thì \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {102} }}\).

Trục \[Oz\] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow j  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\]; đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\];

Ta có: \[\cos \left( {\Delta ,\,Oz} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 1.0 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\].

Nên \[\left( {\Delta ,\,Oz} \right) \approx 48^\circ \].

Ta có đường thẳng chứa \(Ox\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + 12 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường và mặt thì \(sin\varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = {45^0}\).

Hai mặt phẳng \[\left( P \right),\,\left( Q \right)\] có các véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2;\,1;\, - 3} \right)\].

Ta có: \[\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{14}}\].

Nên \[\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 22^\circ \].

Ta có đường \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y =  - 4 + 2t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;2} \right)\), đường \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2m\\y = 2 - 2m\\z = 3 + m\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\). Ta có \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow u }_2}} \right|}} = \frac{4}{9}\).

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\]; Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 - 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\].

Nên \[\left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) \approx 19^\circ \].

Ta có đường \({\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2;1} \right)\), đường \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;2} \right)\). Ta có \(cos\varphi  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}.{{\overrightarrow u }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_1}} \right|\left| {{{\overrightarrow u }_2}} \right|}} = \frac{5}{6}\).

Đường thẳng \[\Delta \] có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,1;\,2} \right)\]; Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có véctơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {6;\,2;\,3} \right)\].

Ta có: \[\sin \left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.6 + 1.2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{21}}\].

Nên \[\left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) \approx 7^\circ \].

Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}\).

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là \(6km\)

Giả sử đường thẳng \[d\] cắt đường thẳng \(\Delta \) tại \[B\], ta có: \[B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in \Delta \].

Đường thẳng \[d\] có véctơ chỉ phương là: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)\], mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;2;2} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa \[d\] và \(\left( P \right)\), ta có: \(\sin \varphi  = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0\)

\[ \Rightarrow d\] tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc \(\varphi \) nhỏ nhất khi \(\varphi  = 0^\circ \) hay \[\sin \varphi  = 0 \Rightarrow t = 0\].

Khi đó đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( { - 1;0; - 1} \right)\] và có véctơ chỉ phương  \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2; - 2;1} \right)\]

Vậy \(a =  - 2,b =  - 2, \Rightarrow a + 2b =  - 6\).

Chọn  hệ trục toạ độ Đề các vuông góc \(Oxyz\)như sau :  \(O \equiv A(0;0;0)\); \[A'(0;0;a)\]

\(B(a;0;0)\); \[B'(a;0;a)\]; \(C(a;a;0)\); \[C'(a;a;a)\]; \(D(0;a;0)\); \[D'(0;a;a)\].

Ta có \[\left( {AB'D'} \right)//\left( {C'BD} \right)\]

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[(C'BD)\]là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = ( - {a^2}; - {a^2};{a^2})\] hay \[\overrightarrow {{n_2}}  = (1;1; - 1)\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(C'BD)\]là   \[x + y - z - a = 0\].

Phương trình tổng quát của mặt phẳng \[(AB'D')\] là \[x + y - z = 0\].

 \[ \Rightarrow d\left( {(AB'D'),(C'BD)} \right) = d\left( {B,(AB'D')} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

Đáp án: a) Đúng   b) Sai   c) Đúng   d) Sai

a) Vectơ \[\overrightarrow {{u_1}}  = (2,1,2)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _1}\).

b) Vectơ \[\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 1,2, - 2)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\).

c) Ta có \[{\rm{cos}}\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) + 1.2 + 2.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{4}{9} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 64^\circ \].

d)  Trục \[Ox\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i  = (1,0,0)\].

Ta có cosΔ1,Ox=2.1+1.0+2.022+12+22.12+02+02=23⇒Δ1,Ox≈48°

a) Dựa vào phương trình đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec u\) cùng phương. Do đó, \(\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \);

b) Thay tọa độ của điểm \(M\) vào \(x\), \(y\), \(z\) của đường thẳng \(\Delta \), ta thấy:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\\ - 2 = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 5\end{array} \right.\)

Do vậy,\(M\left( {0;3; - 2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \);

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec n\) không cùng phương. Do vậy, đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

d) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\,\,\,(1)\\y = 2 - t\,\,(2)\\z = 3 + t\,\,(3)\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0\) (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: \(1 + t + 2(2 - t) + 3 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 0t + 4 = 0\) - phương trình vô nghiệm

Do vây, đường thẳng \(\Delta \) không cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án: a) Sai   b) Sai   c) Đúng   d) Đúng

a) Vectơ \[\overrightarrow {{n_1}}  = (1,2,1)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

b) Vectơ \[\overrightarrow {{n_2}}  = ( - 1,1,2)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

 Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

Ta có \[{\rm{cos}}\alpha  = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = {60^o}\].

c) Vectơ \[\overrightarrow {{n_3}}  = (m,1,0)\] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((R)\).

\((Q) \bot (R) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}}  = 0 \Leftrightarrow  - m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

d)  Gọi \(\beta \) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\).

Ta có \[{\rm{cos}}\beta  = \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }}\], \[\cos \]của góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((R)\) bằng \(\frac{{\sqrt {15} }}{6}\) khi

\[\frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{6} \Leftrightarrow 2.{\left( {m + 2} \right)^2} = 5.\left( {{m^2} + 1} \right) \Leftrightarrow  - 3{m^2} + 8m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3,m = \frac{{ - 1}}{3}\]

a) Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {3;0;0} \right);\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_c};{y_c} - 3;{z_c}} \right)\]. Mà \[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} - 3 = 0 \Leftrightarrow \\{z_C} = 0\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 3\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;3;0} \right)\]

b) \[\overrightarrow {DD'}  = \left( {0;0; - 3} \right);\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_{A'}};{y_{A'}};{z_{A'}}} \right)\]. Mà ta lại có \[\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {A'C}  = \left( {3;3;3} \right)\] nên chọn \[{\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)\]. Phương trình đường thẳng \[A'C\]đi qua \[A'\left( {0;0; - 3} \right)\] và có \[{\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)\] là : \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z =  - 3 + t\end{array} \right.\]

c) \[\left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)\]. Chọn \[{\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\]. Nên phương trình mặt phẳng \[\left( {A'BD} \right)\] đi qua điểm \[A'\left( {0;0; - 3} \right)\] và  có \[{\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)\]là: \[x + y - z - 3 = 0\]

\[\sin \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{A'C}};{{\overrightarrow n }_{(A'BD)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}\]

Nên \[\cos \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right)}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\].

d) Ta có \[\overrightarrow {DC'}  = \left( {3;0; - 3} \right);\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;3; - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DC'} ;\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {9;9;9} \right)\].

Chọn \[{\overrightarrow n _{(C'BD)}} = \left( {1;1;1} \right)\]\[ \Rightarrow \cos \left( {\left( {C'BD} \right);\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.1 + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}\]

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0;\,12;\,5} \right)\).

Ta có:\(\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + ( - 2) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {{12}^2} + {5^2}} }} = \frac{{14}}{{39}}\).

Suy ra \(\left( {\Delta ,(P)} \right) \approx 21^\circ \).

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {12;\,0;\,5} \right)\).

Ta có:\(\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 12 + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{12}^2} + {0^2} + {5^2}} }} = \frac{2}{{39}}\).

Suy ra \(\left( {\Delta ,(P)} \right) \approx 3^\circ \).

Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {3;\,4;\, - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0\,;0\,;1} \right)\).

Từ đó, góc \(\alpha \) giữa đường bay (một phần của đường thẳng \(AB\)) và sân bay (một phần của mặt phẳng\((Oxy))\) có \(\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {26} }}\).

Suy ra\(\alpha  \approx 11^\circ \).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - \sqrt 3 \,;\,1\,;\,0} \right)\);

 trục \(Ox\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\).

Ta có: \(\sin \left( {\left( P \right)\,;\,Ox} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n \,;\,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt 4 .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( P \right)\,;\,Ox} \right) = {60^0}.\)

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)\).

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \({\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)\)

Lại có, \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \({\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)\).

Từ đó, góc có \(\alpha \) giữa mái nhà bên phải và nền nhà có \(\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Suy ra \(\alpha  \approx 27^\circ \).

Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).

Ta có \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).

Vây góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\) là \(45^\circ \).