Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x+1}=-2$.

$\Rightarrow \sqrt{x^2-3x-4}=-2\left(x+1\right)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 3x – 4 = 4(x + 1)²

⇒ x² – 3x – 4 = 4(x² + 2x + 1)

⇒ 3x² + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-1\right)}^2-3.\left(-1\right)-4}}{-1+1}=-2$ (vô lý)

Với $x=-\frac{8}{3}$, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2-3.\left(-\frac{8}{3}\right)-4}}{-\frac{8}{3}+1}=-2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x=-\frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x=-\frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{8}{3}$.

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a² – b² = (–8)² – 3² = 55.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$4\sqrt{2x^2-3x+1}=\sqrt{9x^2+54x+81}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được 16(2x² – 3x + 1) = 9x² + 54x + 81

⇒ 23x² – 102x – 65 = 0

⇒ x = 5 hoặc $x=-\frac{13}{23}$.

Khi thay x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ đều thỏa mãn.

Với x = 5, ta có $y=4\sqrt{{2.5}^2-3.5+1}=24$.

Suy ra tọa độ giao điểm A(5; 24).

Với $x=-\frac{13}{23}$, ta có $y=4\sqrt{2.{\left(-\frac{13}{23}\right)}^2-3.\left(-\frac{13}{23}\right)+1}=\frac{168}{23}$.

Suy ra tọa độ giao điểm $B\left(-\frac{13}{23};\frac{168}{23}\right)$.

Vậy hai đồ thị có hai giao điểm là A(5; 24) và $B\left(-\frac{13}{23};\frac{168}{23}\right)$.

Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\sqrt{x^2+x+10-2\sqrt{x^2+x+7}}=\sqrt{x^2+x+15-6\sqrt{x^2+x+7}}$

$\iff \sqrt{x^2+x+7-2\sqrt{x^2+x+7}+3}=\sqrt{x^2+x+7-6\sqrt{x^2+x+7}+8}$  (1)

Đặt $t=\sqrt{x^2+x+7}$, t ≥ 0.

Phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

t² – 2t + 3 = t² – 6t + 8

⇒ 4t = 5

⇒ $t=\frac{5}{4}$ (nhận)

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-2.\frac{5}{4}+3}=\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-6.\frac{5}{4}+8}$ (đúng)

Vì vậy khi thay $t=\frac{5}{4}$ vào phương trình $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$, ta thấy $t=\frac{5}{4}$ thỏa mãn.

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{x^2+x+7}=\frac{5}{4}$.

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được $x^2+x+7=\frac{25}{16}$.

⇒ $x^2+x+\frac{87}{16}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là: ∅.

Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)²

⇒ 3x – 4 = x² – 6x + 9

⇒ x² – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$.

Với  $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9-\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9-\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có MN dài hơn MP 10 cm nên MN = MP + 10.

Xét ∆MNP vuông tại M có MN² + MP² = NP² (Định lí Pythagore)

Suy ra (MP + 10)² + MP² = NP²

Hay MP² + 20MP + 100 + MP² = NP²

Do đó NP² = 2MP² + 20MP + 100

Nên $NP=\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}$

• Ta có chu vi của ∆MNP là 50 cm.

Suy ra: MN + NP + MP = 50.

Khi đó $MP+10+\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}+MP=50$

$\iff \sqrt{2M{P}^2+20MP+100}=40-2MP$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2MP² + 20MP + 100 = 1600 – 160MP + 4MP²

Þ 2MP² – 180MP + 1500 = 0

Þ MP ≈ 80,71 hoặc MP ≈ 9,29.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy chỉ có MP ≈ 9,29 thỏa mãn.

Do đó NP ≈ 21,41 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM² = AM² + AB² – 2AM.AB.cosA

         = x² + 200² – 2x.200.cos120°

         = x² + 40 000 + 200x

Do đó $BM=\sqrt{x^2+200x+40000}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS² = AS² + AB² – AS.AB.cosA

         = (x + 300)² + 200² – 2.(x + 300).200.cos120°

         = x² + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

         = x² + 800x + 190 000

Do đó $BS=\sqrt{x^2+800x+190000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\iff \sqrt{x^2+800x+190000}=2\sqrt{x^2+200x+40000}$  (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x² + 800x + 190 000 = 4(x² + 200x + 40 000)

⇒ –3x² + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = –100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.