5 bài tập Giải phương trình bậc hai (có lời giải)

a)      \(a = 2,\,b =  - 7,\,c = 3\)

\(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.3 = 25\) do đó \(\sqrt \Delta   = 5\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + 5}}{{2.2}} = \frac{{12}}{4} = 3,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - 5}}{{2.2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)           

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{2};3} \right\}\)

b)      \(a = 6,\,b = 1,\,c = 5\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.6.5 =  - 119 < 0\). Phương trình vô nghiệm.

c)      \(a = 6,\,b = 1,\,c =  - 5\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.6.\left( { - 5} \right) = 121\) do đó \(\sqrt \Delta   = 11\)

Phương trình có hai nghiệm  \({x_1} = \frac{{ - 1 + 11}}{{2.6}} = \frac{5}{6},{x_2} = \frac{{ - 1 - 11}}{{2.6}} =  - 1\).

 Vậy \(S = \left\{ { - 1;\frac{5}{6}} \right\}\)

d)      \(a = 3,\,b = 5,\,c = 2\)

\(\Delta  = {5^2} - 4.3.2 = 1\) do đó \(\sqrt \Delta   = 1\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2.3}} = \frac{{ - 2}}{3}\) ;   \({x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2.3}} =  - 1\)

Vậy \[S = \left\{ { - 1;\frac{{ - 2}}{3}} \right\}\]

e)      \(a = 1,\,b =  - 8,\,c = 16\)

\(\Delta  = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{8}{2} = 4\)

f)      \(a = 16,\,b = 24,\,c = 9\).

\(\Delta  = {24^2} - 4.16.9 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - \frac{{24}}{{2.16}} = \frac{{ - 3}}{4}\)

a) \(a = 4,\,b = 2,\,c = 1\)

\(\Delta = {2^2} - 4.1 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - \frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{2}\)

b) \(a = 13852,\,b' = 7,\,c = 1.\)

\(\Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 13852.1 = 49 - 13852 < 0\)

Phương trình vô nghiệm.

c) \(a = 5,\,b' = - 3,\,c = 1\)

\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 5.1 = 4\) do đó \(\sqrt \Delta   = 2\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{3 + 2}}{5} = 1\) ; \({x_2} = \frac{{3 - 2}}{5} = \frac{1}{5}\)

Vậy \[S = \left\{ {1;\frac{1}{5}} \right\}\]

d) \(a = - 3,\,b' = 2\sqrt 6 ,\,c = 4\)

\(\Delta ' = {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} - \left( { - 3} \right).4 = 36\) do đó \(\sqrt \Delta   = 6\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 2\sqrt 6 + 6}}{{ - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3}\) ; \({x_2} = \frac{{ - 2\sqrt 6 - 6}}{{ - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}\)

Vậy \[S = \left\{ {\frac{{2\sqrt 6 - 6}}{3};\frac{{2\sqrt 6 + 6}}{3}} \right\}\]

a)      Ta có \(3{x^2} - 2x = {x^2} + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 3 = 0\)

\(a = 2,b' =  - 1,c =  - 3.\,\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( { - 3} \right) = 7\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2} \approx 1,82\); \({x_2} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{2} \approx  - 0,82\)

b)      Ta có \({\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(4{x^2} - 4\sqrt 2 x - 1 = {x^2} - 1\)

\(3{x^2} - 4\sqrt 2 x + 2 = 0;\)

\(a = 3,b' =  - 2\sqrt 2 ,c = 2\)                           \(\Delta ' = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 3.2 = 2\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{2\sqrt 2  + \sqrt 2 }}{3} = \sqrt 2  \approx 1,41;\)  \({x_2} = \frac{{2\sqrt 2  - \sqrt 2 }}{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{3} \approx 0,47\)

c)      Ta có \(3{x^2} + 3 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 1 = 0;a = 3,b' =  - 1,c = 1\)

\(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.1 =  - 2 < 0\). Phương trình vô nghiệm.

d)      \(0,5x\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right){}^2\)

\(0,5{x^2} - 2,5x + 1 = 0\)

\({x^2} - 5x + 2 = 0;a = 1,b =  - 2,5,c = 2\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2,5} \right)^2} - 1.2 = 4,25\).

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2,5 + \sqrt {4,25}  \approx 4,65;{x_2} = 2,5 - \sqrt {4,25}  \approx 0,44\) 

a)      \(25{x^2} - 16 = 0\).

\(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{16}}{{25}}\\x =  \pm \frac{4}{5}\end{array}\)

Tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{4}{5};\frac{4}{5}} \right\}\)

b)      Vì \(2{x^2} + 3 > 0\)với mọi \(x\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c)      \(4,2{x^2} + 5,46x = 0\)

\(x\left( {4,2x + 5,46} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\4,2x + 5,46 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \frac{{5,46}}{{4,2}} =  - 1,3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {0; - 1,3} \right\}\)

d)      \(4{x^2} - 2\sqrt 3 x = 1 - \sqrt 3 \)

\(4{x^2} - 2\sqrt 3 x + \sqrt 3  - 1 = 0\)

\(a = 4,b' =  - \sqrt 3 ,c = \sqrt 3  - 1.\,\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 4\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\).

\( = 3 - 4\sqrt 3  + 4 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

\(\sqrt {\Delta '}  = 2 - \sqrt 3 \).

Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{\sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{2};\) \({x_2} = \frac{{\sqrt 3  - 2 + \sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3  - 1}}{2}} \right\}\)

a)      \({x^2} = 12x + 228\)

\({x^2} - 12x - 228 = 0\)

\(a = 1,b' =  - 6,c =  - 228.\,\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1\left( { - 228} \right) = 324;\sqrt {\Delta '}  = 18;\)

Phương trình có hai nghiệm : \({x_1} = \frac{{6 + 18}}{1} = 24;\,\,\,\,{x_2} = \frac{{6 - 18}}{1} = 12\)

Vậy \(S = \left\{ { - 12;24} \right\}\)

b)      \(\frac{1}{{12}}{x^2} + \frac{7}{{12}}x = 19\)

\({x^2} + 7x - 228 = 0\)

\(a = 1,b' = 7,c =  - 228\) \(\Delta ' = {7^2} - 4.1\left( { - 228} \right) = 961 = {31^2}\)

Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - 7 + 31}}{2} = 12;\,\,\) \(\,\,{x_2} = \frac{{ - 7 - 31}}{2} =  - 19\)

Vậy \(S = \left\{ { - 19;12} \right\}\)