5 bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có lời giải)
5 câu hỏi
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\) d) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\) | b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\) e) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\) | c) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right.\) |
a) Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\5x = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right.\end{array}\) Hệ có nghiệm \(\left( {2;\, - 3} \right)\) | b) Lấy phương trình thứ nhất của hệ trừ phương trình thứ hai ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\2x - 3y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 8\\8y = 8\end{array} \right.\end{array}\) \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 1\end{array} \right.\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{3}{2};\,1} \right)\) |
e) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)\(\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\6x + 3y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\ - 2x = - 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\end{array} \right.\end{array}\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {3,\, - 2} \right)\) | d) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\\3x - 2y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = - 4\\9x - 6y = - 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = - 4\\13x = - 13\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {5,\,3} \right)\)
|
e) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 2y = 12\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 2y = 12\\2,7x = 13,5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {5\,,\,3} \right)\)
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
a) \(\) \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\) | b) \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\) |
a)Nhân phương trình thứ nhất với \( - \sqrt 2 \), ta được: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 2 - 3y = 1\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3\sqrt 2 y = - \sqrt 2 \\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\end{array}\) \(\left\{ \begin{array}{l} - 4\sqrt 2 y = - \sqrt 2 - 2\\2x + y\sqrt 2 = - 2\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\y = - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\end{array}\) Hệ có nghiệm duy nhất \[\left( { - \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 2 }}{8};\, - \frac{1}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\] | b) Nhân phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được: \(5x\sqrt 6 + x\sqrt 6 = 6\)hay \(x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) Từ đó, hệ đã cho tương đương với \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\] Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}\,;\, - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
|
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) \[\left\{ \begin{array}{l} - 5{\rm{x}} + 2y = 4\\6{\rm{x}} - 3y = - 7\end{array} \right.\]
b) \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 11\\ - 4x + 6y = 5\end{array} \right.\]
c) \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}\end{array} \right.\]
a) \[\left\{ \begin{array}{l} - 5{\rm{x}} + 2y = 4\\6{\rm{x}} - 3y = - 7\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 15x + 6y = 12\\12x - 6y = - 14\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 15x + 6y = 12\\ - 3x = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{2}{3};\,\frac{{11}}{3}} \right)\]
b) \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 11\\ - 4x + 6y = 5\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 6y = 22\\ - 4x + 6y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}4x - 6y = 22\\0x + 0y = 27\end{array} \right.\end{array}\]
Hệ vô nghiệm
c) \[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\x - \frac{2}{3}y = 3\frac{1}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 10\\3x - 2y = 10\end{array} \right.\\3x - 2y = 10\\y = \frac{1}{2}\left( {3x - 10} \right)\end{array}\]
Hệ có vố số nghiệm: \[\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{2}\left( {3x - 10} \right)\\x \in \mathbb{R}\end{array} \right.\]
Lấy (1) trừ (2) ta được: \[ - 2\sqrt 2 y = 2\] hay \[y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
Thay \[y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] vào (1), ta được: \[\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 5\] nên \[x = \frac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2}\].
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{{ - 6 + 7\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]
Ta biết rằng: Một đa thức bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của và để đa thức sau (với biến số \[x\]) bằng đa thức 0:
\[P\left( x \right) = \left( {3m - 5n + 1} \right)x + \left( {4m - n - 10} \right)\]
\[P\left( x \right)\] bằng đa thức 0 (viết là \[P\left( x \right) = 0\])
\[\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n + 1 = 0\\4m - n - 10 = 0\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\4m - n = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\ - 20m + 5n = 50\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m - 5n = - 1\\ - 17m = - 51\end{array} \right.\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = 2\end{array} \right.\]
Vậy với \[m = 3\], \[\,n = 2\] thì \[P\left( x \right) = 0\].
