255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản và nâng cao cực hay có lời giải (P7)

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{2}{x}}>81. ĐK: x>0 \\ \iff \frac{-2}{x}>2 \\ \iff \frac{x+1}{x}<0 \\ \iff -1<x<0 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} ĐK: \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3-2x>0\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<\frac{3}{2}\end{array}\right.\right. \\ \iff 0<x<\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} \mathrm{t}={\log }_2\mathrm{x} \iff \mathrm{x}=2^{\mathrm{t}} \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^{{\log }_2\mathrm{x}}={\left(2^{\mathrm{t}}\right)}^{\mathrm{t}}=2^{{\mathrm{t}}^2} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} x^{{\log }_{2}3}=5 \\ \iff x=\sqrt[{\log }_{2}3]{5}=5^{\frac{1}{{\log }_{2}3}} \\ \iff {\log }_{5}x=\frac{1}{{\log }_{2}3} \\ \iff {\log }_{5}x.{\log }_{2}3=1 \\ \iff {\log }_{5}x.{\log }_{2}5.{\log }_{5}3=1 \\ \iff {\log }_{2}x=\frac{1}{{\log }_{5}3}={\log }_{3}5 \\ \iff x=2^{{\log }_{3}5} \end{gathered}$$

Đáp án A

Đặt ${\sin }^{2}x=t, t\in [0;1]$$$. Khi đó  phương trình đã cho tương đương với

$2^t+3^{1-t}=m.3^t \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}=m \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}=m$$$

Xét phương trình $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t} với t\in [0;1]$$$

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t\ln \left(\frac{2}{3}\right)-2.\ln 3.3^{1-2t}<0 với \forall t\in [0;1]$$$

Vậy hàm số trên luôn nghịch biến trên [0;1]

Ta có f(0) = 4 và f(1) = 1

KL: Phương trình có nghiệm khi $1\le x\le 4$

B sai khi c < 0

C sai khi a=1

D sai khi c < 0

$$\begin{gathered} {\left(\frac{6}{7}\right)}^n>2017.{\left(\frac{4}{5}\right)}^n \\ \iff \frac{{\left({\displaystyle \frac{6}{7}}\right)}^n}{{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^n}>2017 \iff {\left(\frac{15}{14}\right)}^n>2017 \\ \iff n>{\log }_{\frac{15}{14}}2017\approx 110,3 \\ \Rightarrow n_{min}=111 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_4(2-3x)=a \\ \iff 2-3x=4^a \\ \iff x=\frac{2-4^a}{3} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} 3^x.5^{\frac{x-1}{x}}=3 \\ \iff 5^{\frac{x-1}{x}}=3^{1-x} \\ \iff {\log }_5{5}^{\frac{x-1}{x}}={\log }_5{3}^{1-x} \\ \iff \frac{x-1}{x}=(1-x){\log }_{5}3 \\ \iff (x-1)\left(\frac{1}{x}+{\log }_{5}3\right)=0 \\ \iff x=1 hoặc x=\frac{-1}{{\log }_{5}3}=-{\log }_{3}5={\log }_{\frac{1}{3}}5 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} BPT\hspace{0.17em}đã cho\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_3(2x-3)\ge 0\\ {\log }_3(2x-3)<1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x-3\ge 1\\ 2x-3<3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x<3\end{array}\right.\iff 2\le x<3 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án A

$$\begin{gathered} x^{{\log }_{5}2}=3 \\ \iff x=\sqrt[{\log }_{5}2]{3}=3^{\frac{1}{{\log }_{5}2}} \\ \iff {\log }_{3}x=\frac{1}{{\log }_{5}2} \\ \iff {\log }_{3}x.{\log }_{5}2=1 \\ \iff {\log }_{3}x.{\log }_{5}3.{\log }_{3}2=1 \\ \iff {\log }_{5}x=\frac{1}{{\log }_{3}2}={\log }_{2}3 \\ \iff x=5^{{\log }_{2}3} \end{gathered}$$

Đáp án D

$ĐK: \left\{\begin{array}{l}0<1-2x\ne 1\\ 1+3x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\ne x<\frac{1}{2}\\ x>\frac{-1}{3}\end{array}\right.$

Đáp án D

$$\begin{gathered} Với đáp án B: \\ {\log }_{a}b>1={\log }_{a}a\iff b>a>1 (mâu thuẫn với ĐB là a>b>1) \\ Với đáp án C: \\ {\log }_{a}b>{\log }_{b}a \iff {\log }_{a}b-{\log }_{b}a>0 \\ \iff \frac{{\left({\log }_{a}b\right)}^2-1}{{\log }_{a}b}>0 \\ \iff -1<{\log }_{a}b<0 hoặc {\log }_{a}b>1 \\ TH1: -1<{\log }_{a}b<0 \\ do a>1 \Rightarrow \frac{1}{a}<b<1 \\ TH2: {\log }_{a}b>1\iff b>a (do a>1) \\ Với đáp án D: \\ khi 0<a<1 thì {\log }_{a}b>1\iff b<a \\ Kết hợp lại ta có 0<b<a<1 hay 1>a>b>0 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{4}\right)}^x=\frac{1}{3} \\ \iff x={\log }_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{3}\right)={\log }_{4}3 \end{gathered}$$

Đáp án B

$BPT đã cho\iff \left\{\begin{array}{l}4x-3>0\\ 2x-1>0\\ 4x-3>2x-1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{3}{4}\\ x>\frac{1}{2}\\ x>1\end{array}\right.\right.\iff x>1$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 3^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}=5\iff 3^{\mathrm{x}}=5-\mathrm{x} \\ \mathrm{Ta} \mathrm{thấy} \mathrm{hàm} \mathrm{y}=3^{\mathrm{x}} \mathrm{là} \mathrm{ĐB} \mathrm{trên} \mathrm{R} \mathrm{còn} \mathrm{hàm} \mathrm{y}=5-\mathrm{x} \mathrm{là} \mathrm{NB}\hspace{0.17em}\mathrm{trên} \mathrm{R} \\ \Rightarrow 2 \mathrm{ĐTHS} \mathrm{chỉ} \mathrm{giao} \mathrm{nhau} \mathrm{tại} 1 \mathrm{điểm} \mathrm{duy} \mathrm{nhật} \\ \mathrm{hay} \mathrm{PT}\hspace{0.17em}\mathrm{chỉ} \mathrm{có} 1 \mathrm{nghiệm} \mathrm{duy} \mathrm{nhất} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} 2^{2x+1}-3.2^x-2<0 \\ \iff 2.{\left(2^x\right)}^2-3.2^x-2<0 \\ \iff \frac{-1}{2}<2^x<2 \\ \iff x<1 \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} y\text{'}=(2x-2).\ln 5.5^{x^2-2x} \\ y\text{'}=0\iff x=1 \\ Lập BBT ta thấy y\uparrow /(1;+\infty ) và y\downarrow /(-\infty ;1) \\ y>1\iff 5^{x^2-2x}>1 \\ \iff x^2-2x>0\iff x>2 hoặc x<0 \\ \Rightarrow y<1 \iff 0<x<2 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_{4}6=t \\ \iff {\log }_{4}2+{\log }_{4}3=t \\ \iff \frac{1}{2}+{\log }_{4}3=t \\ \iff {\log }_{4}3=t-\frac{1}{2}=\frac{2t-1}{2} \\ {\log }_{3}12={\log }_{3}3+{\log }_{3}4=1+\frac{2}{2t-1}=\frac{2t+1}{2t-1} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{6}\right)}^x\ge 1\iff x\le 0 \\ {2}^{x^2}>2^{x-1}\iff x^2-x+1>0 ( luôn đúng với \forall x\in \mathrm{ℝ}) \\ {3}^x-2^x+1>0 ( luôn đúng) \\ {\log }_3{x}^2\ge 0\iff x^2\ge 1\iff x\le -1 hoặc x\ge 1 \\ (a-b)\left(2^a-2^b\right)\ge 0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a-b\ge 0\\ 2^a-2^b\ge 0\end{array}\right.hoặc \left\{\begin{array}{l}a-b\le 0\\ 2^a-2^b\le 0\end{array}\right. \\ \iff a\ge b hoặc a\le b \\ \Rightarrow đúng với mọi a,b\in \mathrm{ℝ} \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án B

$$\begin{gathered} Nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình \\ {T}^2-\frac{5}{2}T+1=0\iff T=2 hoặc T=\frac{1}{2} \\ TH1: \left\{\begin{array}{l}{3}^x=2\\ 2^{\sqrt{y}}=\frac{1}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x={\log }_{3}2\\ \sqrt{y}=-1 \left(VN\right)\end{array}\right.\right. \\ TH2: \left\{\begin{array}{l}{3}^x=\frac{1}{2}\\ 2^{\sqrt{y}}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x={\log }_3\left(\frac{1}{2}\right)\\ \sqrt{y}=1 \iff y=1\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 5^{x^2-1}=\frac{5^{x^2}}{5}=\frac{1}{5}.5^{x^2} \\ \frac{{25}^x}{5}=5^{2x-1} \\ {\left(5^{x+1}\right)}^{x+1}=5^{{\left(x+1\right)}^2} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} {\log }_{16}\left(a{b}^4\right)={\log }_{16}a+4{\log }_{16}b={\log }_{16}a+4{\log }_{2^4}b \\ ={\log }_{16}a+{\log }_{2}b \end{gathered}$$