7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 47)

Chọn 5 chữ số còn lại từ 6 chữ số 0,1,2,3,8,9 có $C_6^5$ cách

Xếp thứ tự 5 chữ số ở trên: 5! cách

5 chữ số trên tạo thành 6 khe trống, xếp 4 chữ số 4, 5, 6, 7 vào 6 khe trống đó: $A_6^4$  cách

⇒ $C_6^5$ .5!.$A_6^4$ số (bao gồm cả trường hợp số 0 đứng đầu)

Chọn 5 chữ số sao cho có mặt chữ số 0:   cách

Xếp 5 chữ số đó sao cho số 0 đứng đầu: 4! cách (hoán vị 4 chữ số còn lại)

4 chữ số tạo thành 5 khe trống, xếp 4,5,6,7 vào 5 khe trống:   cách

Vậy số số thỏa mãn là: $C_6^5$ .5!.$A_6^4$ - $C_5^4$ .4!. $A_5^4$ = 244800 (số).

Chọn A làm mốc, cho thời điểm 7 giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ A đến B làm chiều dương.

Ô tô chuyển động thẳng đều, ô tô xuất phát từ B cách A 30,5 km lúc 9 giờ (chuyển động sau xe máy 2 giờ) nên phương trình chuyển động của ô tô là: 

y = 30,5 + 80(t – 2) = 80t – 129,5

Phương trình chuyển động của xe máy là y = 2t² + 36

Ô tô đuổi kịp xe máy tại thời điểm hai đồ thị hàm số giao nhau.

Xét phương trình hoành độ:

2t² + 36 = 80t – 129,5

⇔ 2t² – 44t + 129,4 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}t=18,5\left(L\right)\\ t=3,5\end{array}\right.$

Khi t = 3,5 thì y = 150,5

Vậy ô tô đuổi kịp xe máy tại vị trí cách B là: 150,5 − 30,5 = 120 km.

Gọi thời gian đội 2 làm riêng xong công việc là x (x > 3)

Thời gian đội 1 làm riêng xong công việc là y (2 < y < x)

1 ngày đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$  (công việc)

1 ngày đội 2 làm được: $\frac{1}{y}$  (công việc)

1 ngày cả 2 đội làm được: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc)

Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\left(1\right)$

Vì đội 2 làm riêng nhanh hơn đội 1 là 3 ngày nên ta có: y – x = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\ y=x+3\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}\\ y=x+3\end{array}\right.$ ⇔  $\left\{\begin{array}{l}2x+2x+6=x^2+3x\\ y=x+3\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-6=0\\ y=x+3\end{array}\right.$

⇔  $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\left(L\right)\end{array}\right.\\ y=x+3\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=6\end{array}\right.$

Vậy đội 2 làm trong 3 ngày thì xong, đội 2 làm trong 3 ngày thì xong.

Hiện nay anh hơn em 13 tuổi thì 7 năm nữa hiệu số tuổi không đổi và anh vẫn hơn em 13 tuổi.

Coi tuổi anh khi đó là 2 phần thì tuổi em là 1 phần như thế

Tuổi anh khi đó là :

13 : (2 – 1) . 2 = 26 (tuổi)

Tuổi em khi đó là:

26 – 13 = 13 (tuổi)

Tuổi anh hiện tại là:

26 – 7 = 19 (tuổi)

Tuổi em hiện tại là:

19 – 13 = 6 (tuổi)

Vậy năm ngoái tuổi em là 5 tuổi, tuổi anh là 18 tuổi.

Năm ngoái tuổi anh gấp số lần tuổi em là:

18 : 5 = 3,6 (lần).

Gọi giá tiền 1 quyển vở là a, giá tiền 1 cái bút là b (đồng)

Theo bài ra ta có: $\left\{\begin{array}{l}10a+3b=51000\\ 5a+6b=57000\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}10a+3b=51000\\ 10a+12b=114000\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}9b=63000\\ 10a+12b=114000\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}b=7000\\ a=3000\end{array}\right.$

Vậy giá của 1 quyển vở là 3000 đồng và của 1 cái bút chì là 7000 đồng.

a) Nửa chu vi hình chữ nhật đó là:

648 : 2 = 324(m)

Chiều rộng thửa đất đó là:

(324 – 72) : 2 = 126(m)

Chiều dài thửa đất đó là:

126 + 72 = 198(m)

Diện tích thửa đất đó là:

126 . 198 = 24948 (m²)

b) Cạnh thửa đất hình vuông là:

648 : 4 = 162 (m)

Diện tích thửa đất đó là:

162 . 162 = 26244 (m²).

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 40 đỉnh của đa giác

⇒ n(Ω) = $C_{14}^3$  = 364

Gọi A là biến cố: "3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của tam giác vuông"

Chọn một đường chéo đi qua tâm, có 7 cách chọn.

Tương ứng với mỗi đường kính ấy, mỗi đỉnh còn lại sẽ tạo với đường kính một tam giác vuông. Khi đó, số tam giác vuông được tạo ra là

7 .$C_{12}^1$ = 84

Vậy xác suất cần tính là P(A) = $\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(A\right)}=\frac{84}{364}=\frac{3}{13}$ .

s = $\frac{-1}{3}$  t³ + 6t²

⇒ v = s′ = −t² + 12t

⇒ v′ = −2t + 12 = 0

⇒ t = 6

Vậy trong 9s từ khi bắt đầu chuyển động thì vận tốc lớn nhất đạt được là 36 km/h.

Gọi M(x_M; y_M)

Vì M ∈ Oy nên M(0; y_M)

Ta có: $\overrightarrow{MA}=\left(2;3-y_M\right)$

$\overrightarrow{MB}=\left(4;-1-y_M\right)$

suy ra: $k\overrightarrow{MB}=\left(4k;-1k-y_{M}k\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}2=4k\\ 3-y_M=-1k-y_{M}k\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ 3-y_M=-1k-y_{M}k\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ 3-y_M=-1.\frac{1}{2}-y_M.\frac{1}{2}\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ y_M=7\end{array}\right.$

Vậy giá trị của k là $\frac{1}{2}$ .

Vì M thuộc Ox nên giả sử M(a; 0)

$\overrightarrow{AM}=\left(a+1;-2\right);\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$

Tam giác MAB vuông tại A nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$

⇔ (a + 1) . 6 + (-2) . 6 = 0

⇔ 6a + 6 – 12 = 0

⇔ a = 1

$\overrightarrow{AM}=\left(2;-2\right)$⇒ AM = $\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AB}=\left(6;6\right)$⇒ AB = $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$

S_ABM = $\frac{1}{2}.AM.AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.6\sqrt{2}=12$  (đvdt)

Giải thích các bước giải:

Gọi x, y lần lượt là số ghe lớn, ghe nhỏ cần thuê.   (x, y ≥ 0)

Số hành khách để x ghe lớn và y ghe nhỏ chở là: 10x + 5y

Số vali để x ghe lớn và y ghe nhỏ chở là: 4x + 4y

Chi phí thuê ghe là T = 250x + 130y (nghìn đồng)

Từ các dữ kiện ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 8\\ 0\le y\le 8\\ 10x+5y\ge 40\\ 4x+4y\ge 24\end{array}\right.$ (1)

Khi đó bài toán mới hình thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x = x₀; y = y₀) nào cho T = 250x + 130y nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE tính cả biên (như hình vẽ).

T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE

Ta có: 

A(0;8) ⇒ T = 1040

B(8;8) ⇒ T = 3040

C(8;0) ⇒ T = 2000

D(6;0) ⇒T = 1500

E(2;4) ⇒ T = 1020

Do đó T = 250x + 130y nhỏ nhất là 1020 (nghìn đồng) khi x = 2; y = 4

Vậy chủ khách sạn cần thuê 2 ghe lớn và 4 ghe nhỏ để chi phí thấp và phải trả là 1020 nghìn đồng. 

Để $\overline{14x8y}$  chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5

* Nếu y = 0 ta có số $\overline{14x80}$

Để $\overline{14x80}$  chia hết cho 3 thì 1 + 4 + x + 8 + 0 chia hết cho 3 tức 13 + x chia hết cho 3

Mà 13 + x < 23 ⇒ x = 2 hoặc x = 5 hoặc x = 8

* Nếu y = 5 ta có số $\overline{14x85}$

Để $\overline{14x80}$  chia hết cho 3 thì 1 + 4 + x + 8 + 5 chia hết cho 3 tức 18 + x chia hết cho 3

⇒ x = 3 hoặc x = 6 hoặc x = 9

Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là: (2; 0), (5; 0), (8; 0), (3; 5), (6; 5), (9; 5).

a) 10 bó hoa đầu tiên công ty được tính với giá 1 bó hoa bằng 80% giá ban đầu là 48000 đồng, từ bó thứ 11 trở đi, công ty được tính giá 1 bó hoa là 24000 đồng

Tổng số tiền công ty đó mua là:

10 . 48000 + 20 . 24000 = 960000 (đồng)

b) Sau khi trả tiền cho 10 bó hoa đầu thì số tiền khách hàng trả cho những bó hoa còn lại là:

648000 – 10 . 48000 = 168000 (đồng)

Sau khi mua 10 bó hoa đầu thì số bó hoa khách hàng mua thêm là:

168000 : 24000 = 7 (bó).

 $-3\frac{1}{25}=-\frac{3.25+1}{25}=-\frac{76}{25}=-3,04$

Khối tròn xoay:

+ Hình trụ đáy tròn: Cây nến, bóng đèn ống (không kể chân bóng), viên pin, hộp sữa, ...

+ Hình nón: Đầu tên lửa, đầu đạn, ...

+ Hình cầu: Viên bi, qua bóng, ...

Do 11; 13; 17; 19 là các số nguyên tố nên ƯCLN (11; 13; 17; 19) = 1.

Vậy ƯCLN (11; 13; 17; 19) = 1.

Nửa chu vi của đáy bể hình chữ nhật là:

7,6 : 2 = 3,8 (m)

Chiều dài đáy bể là: 

(3,8 + 0,8) : 2 = 2,3 (m)

Chiều rộng đáy bể là: 

2,3 − 0,8 = 1,5 (m)

Thể tích của bể nước là: 

2,3 . 1,5 . 2 = 6,9 (m³)

Đổi 6,9m³ = 6900dm³ = 6900 lít

Đáp số: 6900 lít.

Cạnh hình vuông ghép là:

3232 : 4 = 808 (cm)

Dựa vào hình vẽ, ta thấy cạnh hình vuông ghép bằng tổng chiều dài hình M và chiều rộng hình N

Mà ta có chiều dài hình M lớn chiều rộng hình N là 570 cm nên chiều dài hình M là:

(808 + 570) : 2 = 689 (cm)

Tiếp tục dựa vào hình vẽ, ta thấy cạnh hình vuông ghép bằng hai lần chiều rộng hình M, nên chiều rộng hình M là:

808 : 2 = 404 (cm)

Chu vi hình M là:

(689 + 404) . 2 = 2186 (cm) = 21,86 (m)

Đáp số: 21,86 (m).

Đáp án đúng là: A

M là trung điểm của BC nên ta có: 2$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .

a) Ta có: $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}$ = 180° (Vì là góc bẹt)

=> $\widehat{A_1}+\widehat{A_3}$  = 90° (Vì $\widehat{A_2}$ = 90°) (1)

Xét ΔAKC có: $\widehat{A_3}+\widehat{C_1}$ = 90° (Vì $\widehat{K}$ = 90°) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ .

Xét ΔAHB và ΔCKA có:

$\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (cmt)

AB = AC (gt)

$\widehat{H}=\widehat{K}$= 90°

Do đó: ΔAHB = ΔCKA (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AH = CK (Cặp cạnh tương ứng)

b) Vì ΔAHB = ΔCKA nên BH = AK và AH = CK (Cặp cạnh tương ứng)

Ta có: HK = AK + AH = BH + CK (đpcm)

Vậy HK = BH + CK.

a, Xét ΔMBN và ΔMAC có:

MA = MB vì M là trung điểm BA

$\widehat{NMB}=\widehat{CMA}$(đối đỉnh)
MN = MC

⇒ ΔMNB = ΔMCA(c.g.c)

⇒ $\widehat{MNB}=\widehat{MCA}$

⇒ BN//AC

b, Từ câu a ⇒ AC = BN

Ta có BN // AC ⇒ AC // BE ⇒ $\widehat{AEB}=\widehat{EAC}$

Xét ΔABE và ΔECA có:

Chung AE

$\widehat{AEB}=\widehat{EAC}$

BE = AC

⇒ ΔABE = ΔECA(c.g.c)

⇒ AB = EC

c, Ta có AC // BE ⇒ $\widehat{ACB}=\widehat{CBE}$⇒$\widehat{ACF}=\widehat{FBE}$

Xét ΔACF và ΔBEF có:

FB = FC vì F là trung điểm BC

$\widehat{ACF}=\widehat{FBE}$

AC = BE

⇒ ΔACF = ΔEBF (c.g.c)

⇒ $\widehat{AFC}=\widehat{BFE}$

⇒ A, F, E thẳng hàng.

a) Tập A có 5 phần tử

Số cách chọn x là 5 cách

Số cách chọn y là 5 cách (do không yêu cầu x, y khác nhau)

Số cặp thỏa mãn là: 5 . 5 = 25 (cặp)

b) (x; y) là tập con của A

Do có sắp thứ tự nên có  cặp.

c) Để x + y = 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3

Vậy có 5 cặp số (x; y) thỏa mãn là (1; 5), (5; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 3).

Giao điểm của ba đường phân giác gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ:

Để $\overline{x184y}$  chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5

Mà $\overline{x184y}$  không chia hết cho 2 do đó y = 5

Khi đó ta có số $\overline{x1845}$

Để $\overline{x1845}$  chia hết cho 9 thì x + 1 + 8 + 4 + 5 chia hết cho 9 hay x + 18 chia hết cho 9

Suy ra: x = 9 (do x khác 0)

Vậy x = 9, y = 5 thì ta có số 91845 chia hết cho 5, chia hết cho 2 dư 1 và chia hết cho 9.

Nhận xét: x² – x + 1 = ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$  do vậy A luôn xác định

Ta có: A =  $\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$

⇔ A(x² – x + 1) = x² + 1

⇔ x²(A – 1) – x.A + (A – 1) = 0

Tìm GTLN, GTNN tức là tồn tại giá trị x thỏa mãn min A và max A

Vậy thì điều kiện cần là phương trình trên có nghiệm, tức là:

∆ = A² – 4(A – 1)(A – 1) = A² – 4(A² – 2A + 1) = –3A² + 8A – 4 ≥ 0

⇔ – (3A² – 2A) + (6A – 4) ≥ 0

⇔ – A(3A – 2) + 2(3A – 2) ≥ 0

⇔ (3A – 2)(2 – A) ≥ 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3A-2\ge 0\\ 2-A\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}3A-2\le 0\\ 2-A\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\frac{2}{3}\le A\le 2\\ \left\{\begin{array}{l}A\le \frac{2}{3}\\ A\ge 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy $\frac{2}{3}\le A\le 2$  hay GTNN của A là $\frac{2}{3}$ khi x = – 1.

GTLN của A là 2 khi x = 1.

Số chia nhỏ nhất trong phép chia đã cho là:

44 + 1 = 45

Số bị chia nhỏ nhất trong phép chia đã cho là:

45 . 123 + 44 = 5579

Đáp số: 5579.

Ta có:

|x − a| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x − a ≤ 2

⇔ −a – 2 ≤ x ≤ a + 2

Ta được:

A = [a − 2; a + 2]

Xét A ∩ B = ∅

⇔ $\left[\begin{array}{l}a+2\le -2\\ a-2>5\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}a\le -4\\ a>7\end{array}\right.$

Do đó:

A ∩ B ≠ ∅ ⇔ −4 < a ≤ 7

Hay a ∈ (−4; 7]

⇒ m = – 4; n = 7

⇒ S = n + 2m = −1.

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số $\overline{abcde}$  (a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ e; a ≠ 0)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có $A_7^2$  (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có $A_7^2$ (cách)

Suy ra có $A_5^3.A_7^2$ số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có $A_4^3$  (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có $C_6^1$  (cách)

Suy ra có  $A_4^3.C_7^1$ (cách)

Vậy có: $A_5^3.A_7^2-A_4^3.C_7^1=2376$  số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vì AC, BD là đường chéo của hình chữ nhật nên cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra: AC = 2OC = 2.2 = 4 cm.

Vậy AC = 4cm.

Ta có: M, N là trung điểm BC; SB nên MN là đường trung bình của tam giác SCB

Suy ra: MN // SC

Mà SC ∈ (SCD) nên MN // (SCD)

+) Gọi giao điểm của PM và AB là E

Ta có: E ∈ AB ⸦ (SAB), E ∈ PM ⸦ (MNP)

Giao điểm của EN và SA là F
Mà EN ⸦ (MNP)

Suy ra: SA ∩ (MNP) = {F}.

Tổng tiền mua cam:

 500 . 40000 = 20000000 (đồng)

Tổng tiền vốn là:

20000000 + 4000000 = 24000000 (đồng) 

Số lượng cam không bị hư là: 

500.(100% − 10%) = 500 . 90% = 450 (kg)

Tổng số tiền thu được khi bán hết là: 

(100% + 20%) . 24000000 = 28800000 (đồng)

Giá bán của mỗi kg cam là:

 28800000 : 450 = 64000 (đồng)  

Vậy giá bán của mỗi kg cam là: 64000 đồng.

a) Nửa chu vi mảnh vườn là:

80 : 2 = 40 (m)

Chiều rộng mảnh vườn là:

40 : (3 + 5) . 3 = 15 (m)

Chiều dài mảnh vườn là:

40 – 15 = 25 (m)

Diện tích mảnh vườn là:

25 . 15 = 375 (m²)

b) Diện tích ao thả cá là:

375 . $\frac{2}{5}$  = 150 (m²).

1) Xét ΔCBM và ΔADM có:

AM = MC (giả thtết)

 $\widehat{CMB}=\widehat{AMD}$( đối đỉnh)

BM = MD (giả thiết)

⇒ ΔCBM = ΔADM (c.g.c)

Suy ra: BC = DA (hai cạnh tương ứng)

2) Xét ΔABM và ΔCDM có:

AM = CM (giả thiết)

 $\widehat{CMD}=\widehat{AMB}$(đối đỉnh)

BM = DM (giả thiết)     

⇒ ΔABM = ΔCDM (c.g.c)

$\widehat{BAM}=\widehat{DCM}$= 90°(hai góc tương ứng) (đpcm)

⇒ DC⊥AC (đpcm)

3) Ta có BN // AC mà AC ⊥ DC ⇒ BN ⊥ DC ⇒ $\widehat{BND}$ = 90°

AB // CD (do cùng ⊥AC)

Xét ΔABC và ΔNBC có:

$\widehat{ABC }=\widehat{NCB}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

BC chung

$\widehat{ACB }=\widehat{NBC}$(do BN//AC nên đó là hai góc ở vị trí so le trong)

⇒ ΔABC = ΔNBC (g.c.g)

⇒ AB = NC (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABM và ΔCNM có:

AB = CN (cmt)

$\widehat{BAM}=\widehat{NCM}$= 90°

AM = CM (giả thiết)

⇒ ΔABM = ΔCNM (đpcm).

a) Ta có: AB = DC (tính chất hình bình hành) mà E, F lần lượt là trung điểm AB, CD

⇒ EB = DF và EB // DF

⇒ BEDF là hình bình hành

b) AE = DF(= $\frac{1}{2}$  AB = $\frac{1}{2}$  DC) và AE // DF

⇒ AEFD là hình bình hành

Mà AE = AD (= $\frac{1}{2}$  AB)

⇒ AEFD là hình thoi

c) EBFD là hình bình hành ⇒ ED // BF ⇒ EM // FN(1)

Chứng minh tương tự câu b ⇒ EBCF là hình thoi

Và AEFD, EBCF là hình thoi

⇒ EM = FN và FN = NB mà ED = BF ⇒ ME = FN(2)

Từ (1) và (2) suy ra EMFN là hình bình hành mà   $\widehat{EMF}$ = 90°(AEFD là hình thoi)

⇒ EMFN là hình chữ nhật.

Có khoảng 100 số từ 6650 đến 6749.

Để làm tròn đến số 6700 thì số đó nhỏ nhất phải là:6650 vì 6649 làm tròn hàng trăm sẽ thành 6600.

Và số lớn nhất sẽ bằng 6749 vì nếu là 6750 thì làm tròn đến hàng  phần trăm sẽ bằng 6800.

Vậy có khoảng 100 số nguyên sau khi làm tròn bằng 6700.

Đoạn ống nước mới dài số mét là:

0,8 + 1,35 – $\frac{2}{25}$ = 2,15 − 0,08 = 2,07 (m).

Công thức tính diện tích của hình bình hành sẽ bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.

P = x² + 2y² + 2xy – 6x – 8y + 2024

P = x² + y² + y² + 2xy – 6x – 6y – 2y + 2024

P = (x² + 2xy + y²) – (6x + 6y) + 9 + y² – 2y + 1 + 2014

P = (x + y)² – 2(x + y)3 + 3² + (y – 1)² + 2014

P = (x + y – 3)² + (y – 1)² + 2014

Ta thấy (x + y – 3)² + (y – 1)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên P ≥ 2014

Vậy GTNN của P là 2014 khi $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ y-1=0\end{array}\right.$  ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$ .

a) Q =  $\left(\frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)+\frac{3-\sqrt{x}}{x-1}$

Q =   $\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{3-\sqrt{x}}{\left(1+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

Q = $\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+3-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

Q = $\frac{-x-\sqrt{x}+x-\sqrt{x}+3-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

Q = $\frac{3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

Q = $\frac{-3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=-\frac{3}{\sqrt{x}+1}$

b) Để Q = – 1 thì $-\frac{3}{\sqrt{x}+1}=-1$

⇔ $\sqrt{x}+1=3$

⇔ $\sqrt{x}=2$

⇔ x = 4.

Gọi O là tâm hình vuông.

Theo quy tắc 3 điểm ta có:

$\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$

= $4\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)-3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)$

= $4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}$

Mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$

Suy ra: $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

Lấy điểm A' trên tia OA sao cho OA' = 3OA, khi đó: $\overrightarrow{OA\text{'}}=3\overrightarrow{OA}$

Suy ra: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA\text{'}}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA\text{'}}$

Mặt khác: BA' = $\sqrt{O{B}^2+OA{\text{'}}^2}=\sqrt{O{B}^2+9O{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+9.{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a\sqrt{5}$

$\left|\overrightarrow{u}\right|=BA\text{'}=a\sqrt{5}$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B, điểm A thuộc Oy và điểm C thuộc Ox.

Theo bài ra ta có:

B(0;0), C(3;0), A(0;2), D(1;2)

Khi đó: $\overrightarrow{AC}=\left(3;-2\right)$

Phương trình tham số của AC là: $\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=2-2t\end{array}\right.$

Gọi M thuộc AC suy ra: M(3t ; 2 – 2t)

Ta có: $\overrightarrow{BM}=\left(3t;2-2t\right);\overrightarrow{DC}=\left(2;-2\right)$

Để BM ⊥ CD thì $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{DC}=0$

⇔ 6t – 4 + 4t = 0

⇔ t = $\frac{2}{5}$

⇒ $M\left(\frac{6}{5};\frac{6}{5}\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{6}{5};\frac{-4}{5}\right)$  ⇒ $AM=\frac{\sqrt{52}}{5}$

$\overrightarrow{AC}=\left(3;-2\right)$⇒ $AC=\sqrt{13}$

Vì $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}$  và $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC}$   cùng chiều nên k = $\frac{AM}{AC}=\frac{\sqrt{52}}{5\sqrt{13}}=\frac{2}{5}$ .

a) A₁ = 1

A₂ = 1 + 4 = 5

A₃ = 1 + 4 + 7 = 12

b) Dự đoán công thức A_n = $\frac{n\left(3n-1\right)}{2}$  (1)

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 1 ta có: A₁ = $\frac{1.2}{2}=1$ (đúng)

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 tức là

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) = $\frac{k\left(3k-1\right)}{2}$

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k, tức là cần chứng minh

1 + 4 + 7 + … + (3k – 2) + (3k + 1) =  $\frac{\left(k+1\right)\left(3k+2\right)}{2}$(2)

Theo giả thiết quy nạp ta có:

A_k+1 = A_k + (3k + 1) =  $\frac{k\left(3k-1\right)}{2}$+ (3k + 1)

= $\frac{3k^2-k+6k+2}{2}=\frac{3k^2+5k+2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(3k+2\right)}{2}$ .

Vậy (1) đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

y = ax + 3 đi qua A(– 1; 2) nên ta có:

2 = – a + 3

⇔ a = 3 – 2

⇔ a = 1

Vậy hệ số góc của đường thẳng trên là 1.

a) $C=\frac{x^3}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{2+x}$

$C=\frac{x^3}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{2\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$C=\frac{x^3-x^2-2x-2x+4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$C=\frac{x^3-x^2-4x+4}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$C=\frac{x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$C=\frac{\left(x^2-4\right)\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

$C=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}$

C = x – 1

b) Để C = 0 thì x – 1 = 0 hay x = 1.

c) Để C luôn dương thì x – 1 ≥ 0 hay x ≥ 1.

 

Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

⇒ R = $\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Ta có: S = $\frac{abc}{4R}=pr$ ⇒ $\frac{10bc}{4.\frac{10\sqrt{3}}{3}}=\frac{10+b+c}{2}.\frac{5\sqrt{3}}{3}$

⇒ 60bc = 200 (10 + b + c)

⇔ 3bc = 10(10 + b + c) = 100 + 10(b + c)(1)

Áp dụng định lý cos: a² = b² + c² – 2bc. cos

100 = b² + c² – bc (2)

Từ (1) và (2) ta có:

100 + 10(b + c) = (b + c)² – 100

⇔ (b + c)² – 10(b + c) – 200 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}b+c=20\\ b+c=-10\left(L\right)\end{array}\right.$

Với b + c = 20 thì bc = 100

Khi đó: b(20 – b) – 100 = 0

⇔ 20b – b² – 100 = 0

⇔ (10 – b)² = 0

⇔ b = 10

Suy ra: c = 10.

Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC)

Vì ABC là tam giác đều nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra H là trung điểm BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHC có:

AH² = AC² – HC² = 3² –${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{27}{4}$

Suy ra: AH = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

S_ABC = $\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt{3}}{2}.3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$  (cm²)

b) S_AMB = $\frac{1}{2}.MI.AB=MI.1,5$

S_AMC = $\frac{1}{2}.MJ.AC=MJ.1,5$

S_CMB = $\frac{1}{2}.MK.CB=MK.1,5$

S_ABC = S_AMB + S_AMC + S_BMC = 1,5 (MI + MJ + MK) = $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

MI + MJ + MK = $\frac{9\sqrt{3}}{4}:1,5=\frac{3\sqrt{3}}{2}$  (cm).

Để bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ thì ta chọn 1 hoa đỏ trong 4 bông hoa đỏ, 6 bông còn lại chọn bất kỳ trong 8 bông vàng và trắng

Số cách chọn là: $C_4^1.C_8^6=112$  (cách).

A'C' = A'B'² + B'C'² = 2A'B'²

AC'² = AA'² + A'C'² = AA'² + 2A'B'² = 3AA'²

AC' = AA'$\sqrt{3}$ = $a\sqrt{3}$

Suy ra: AA' = a

Khối lập phương có cạnh là a nên V_{ABCD.A'B'C'D'} = a³.

$\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\overrightarrow{GA\text{'}}-\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB\text{'}}-\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC\text{'}}-\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\left(\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $3\overrightarrow{GG\text{'}}+\left(\overrightarrow{G\text{'}A\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}C\text{'}}\right)=3\overrightarrow{GG\text{'}}$

⇔ $3\overrightarrow{GG\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$ (đpcm)

Vậy điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm là $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}$ .