10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 1
726 câu hỏi
Tính: (‒0,25)4.44.
(‒0,25)4.44
\[ = {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^4} \cdot {4^4}\]
\[ = {\left( { - \frac{1}{4} \cdot 4} \right)^4}\]
\[ = {\left( { - \frac{4}{4}} \right)^4}\]
= (‒1)4 = 1.
Tính tích:
\[\left( {1 + \frac{7}{9}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{20}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{33}}} \right) \cdot .. \cdot \left( {1 + \frac{7}{{2900}}} \right)\].
\[\left( {1 + \frac{7}{9}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{20}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{33}}} \right) \cdot .. \cdot \left( {1 + \frac{7}{{2900}}} \right)\]
\[ = \frac{{16}}{9} \cdot \frac{{27}}{{20}} \cdot \frac{{40}}{{33}} \cdot ... \cdot \frac{{2\,\,907}}{{2\,\,900}}\]
\[ = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10 \cdot ... \cdot 51 \cdot 57}}{{1 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot ... \cdot 50 \cdot 58}}\]
\[ = \frac{{\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 51} \right)\left( {8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 57} \right)}}{{\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot 50} \right)\left( {9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot \cdot \cdot 58} \right)}}\]
\[ = \frac{{51 \cdot 8}}{{50 \cdot 58}}\]
\[ = \frac{{51 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{{25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29}}\]
\[ = \frac{{102}}{{725}}.\]
Tìm x, biết:
\[\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2014}}} \right) \cdot x = \frac{{2013}}{1} + \frac{{2012}}{2} + \frac{{2011}}{3} + ... + \frac{2}{{2012}} + \frac{1}{{2013}}\].
Ta có:
\[\frac{{2013}}{1} + \frac{{2012}}{2} + \frac{{2011}}{3} + ... + \frac{2}{{2012}} + \frac{1}{{2013}}\]
\[ = \left( {1 + \frac{{2012}}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{{2011}}{3}} \right) + ... + \left( {1 + \frac{2}{{2012}}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{{2013}}} \right) + 1\]
\[ = \frac{{2014}}{2} + \frac{{2014}}{3} + ... + \frac{{2014}}{{2012}} + \frac{{2014}}{{2013}} + \frac{{2014}}{{2014}}\]
\[ = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]
Nên từ đề bài, ta có:
\[\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right) \cdot x = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]
Suy ra x = 2014.
Tính nhanh:
(145 × 99 + 145) ‒ (143 × 102 ‒ 143).
(145 × 99 + 145) ‒ (143 × 102 ‒ 143)
= [(145 × (99+1)] ‒ [(143 × (102 ‒ 1)]
=(145 × 100) ‒ (143 × 101)
=14500 ‒ 14443
=57.
Tính:
A = (‒2) + (‒59) ‒ (‒22) + 59.
A = (‒2) + (‒59) ‒ (‒22) + 59
= ‒2 ‒ 59 + 22 + 59
= (‒2 + 22) + (‒59 + 59)
= 20.
Tính: \[\frac{{{2^{23}} + {\rm{ }}{2^{24}} + {\rm{ }}{2^{25}}}}{{{2^{18}} + {2^{19}} + {2^{20}}}}\].
\[\frac{{{2^{23}} + {\rm{ }}{2^{24}} + {\rm{ }}{2^{25}}}}{{{2^{18}} + {2^{19}} + {2^{20}}}}\]
\[ = \frac{{{2^{18}}\left( {{2^5} + {\rm{ }}{2^6} + {\rm{ }}{2^7}} \right)}}{{{2^{18}}\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2}} \right)}}\]
\[ = \frac{{{2^5}\left( {{2^0} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}{2^2}} \right)}}{{{2^0} + {2^1} + {2^2}}}\]
= 25 = 32.
Tính hợp lí:
\[\frac{{{2^3} \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 45}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\].
\[\frac{{{2^3} \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 45}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]
\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 9 \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]
\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^4} \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2} \cdot 1}}\]
\[ = \frac{{{9^4} \cdot \left( {8 + 5} \right)}}{{{9^2} \cdot \left( {10 - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{9^4} \cdot 13}}{{{9^3}}}\]
= 9.13 = 117.
Tìm x, biết: (2x ‒ 1)3 = 27.
Lời giải:
(2x ‒ 1)3 = 27
(2x ‒ 1)3 = 33
2x ‒ 1 = 3
2x = 4
x = 2
Vậy x = 2.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
(3x ‒ 16y ‒24)2 = 9x2 + 16x + 32.
Lời giải:
(3x ‒ 16y ‒24)2 = 9x2 + 16x + 32
[3x ‒ (16y + 24)]2 = 9x2 + 16x + 32
9x2−6x(16y+24)+(16y+24)2=9x2+16x+32
−96xy – 144x + 256y2 + 768y + 576 = 16x + 32
256y2 − 96xy – 160x + 768y + 544 = 0
x(3y+5)=8y2+24y+17
\[x = \frac{{8{y^2} + 24y + 17}}{{3y + 5}}\]
\[9x = \frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}}\]
Do x ∈ ℤ nên \[\frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{{72{y^2} + 216y + 153}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Suy ra \[\frac{{24y\left( {3y + 5} \right) + 32\left( {3y + 5} \right) - 7}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Do đó \[24y + 32 - \frac{7}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Mà y ∈ ℤ nên 3y + 5 ∈ Ư(7), mà Ư(7) = {‒7; ‒1; 1; 7}.
Ta có bảng giá trị:
3y + 5 | ‒7 | ‒1 | 1 | 7 |
y | ‒4 | ‒2 | \( - \frac{4}{3}\) | \(\frac{2}{3}\) |
Do y ∈ ℤ nênta chọn y ∈ {‒4; ‒2}.
Tìm x:
(4x ‒ 3)4 = (4x ‒ 3)2.
Lời giải:
(4x ‒ 3)4 = (4x ‒3)2
(4x ‒ 3)4 ‒ (4x ‒ 3)2 = 0
(4x ‒3)2.(4x ‒ 3)2 ‒ (4x ‒ 3)2 = 0
(4x ‒ 3)2.[(4x ‒ 3)2 ‒ 1] = 0
(4x ‒ 3)2 = 0 hoặc (4x ‒ 3)2 ‒ 1 = 0
⦁Với (4x ‒ 3)2 = 0
4x ‒ 3 = 0
\[x = \frac{3}{4}\]
⦁Với (4x ‒ 3)2 ‒ 1 = 0
4x ‒ 3 = 1 hoặc 4x ‒ 3 = ‒1
x = 1 hoặc \[x = \frac{1}{2}\]
Vậy \[x = \frac{3}{4}\]; x = 1; \[x = \frac{1}{2}\].
Tính:
\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\].
\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{3}{4}}}\]
\[ = \frac{{\frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{4}}} = \frac{9}{4} \cdot \left( { - 2} \right) = - \frac{9}{2}.\]
Tìm x, biết:
(5x + 1)2 ‒ (5x + 3)(5x ‒ 3) = 30.
(5x + 1)2 ‒ (5x + 3)(5x ‒ 3) = 30
25x2+10x+1−(25x2−9)=30
25x2+10x+1−25x2+9=30
10x+10=30
10x = 30 ‒ 10
10x=20
x =2
Vậy x = 2.
Tính tổng:
A=3825+910−1115+1321−1528+1736−...+1974851−1994950
\[A = \frac{{38}}{{25}} + \frac{9}{{10}} - \frac{{11}}{{15}} + \frac{{13}}{{21}} - \frac{{15}}{{28}} + \frac{{17}}{{36}} - ... + \frac{{197}}{{4851}} - \frac{{199}}{{4950}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{18}}{{20}} - \frac{{22}}{{30}} + \frac{{26}}{{42}} - ... + \frac{{394}}{{9702}} - \frac{{398}}{{9900}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{20}} - \frac{{11}}{{30}} + \frac{{13}}{{42}} - ... + \frac{{197}}{{9702}} - \frac{{199}}{{9900}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{4 \cdot 5}} - \frac{{11}}{{5 \cdot 6}} + \frac{{13}}{{6 \cdot 7}} - ... + \frac{{197}}{{98 \cdot 99}} - \frac{{199}}{{99 \cdot 100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left[ {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) - ... + \left( {\frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{{25}}{{100}} - \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{{24}}{{100}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{6}{{25}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{12}}{{25}}\]
\[ = \frac{{50}}{{25}} = 2\]
Vậy A = 2.
Tìm a để: (a ‒ 3) chia hết cho (a ‒14).
Ta có: a‒ 3 = a ‒ 14 + 11
Để (a ‒ 3) ⋮(a ‒14) thì (a ‒ 14 + 11)⋮ (a ‒ 14)
Mà (a ‒ 14)⋮ (a ‒ 14) nên 11 ⋮ (a ‒ 14)
Hay a ‒14 ∈ Ư(11), mà Ư(11) = {‒11; ‒1; 1; 11}.
Ta có bảng giá trị:
a ‒ 14 | ‒11 | ‒1 | 1 | 11 |
a | 3 | 13 | 15 | 25 |
Vậy các giá trị của a là a ∈{3; 13; 15; 25}.
Chứng minh rằng:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b).(b + c).(c + a).
(a+b+c)3
=(a+b)3+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2+c3
=a3+3a2b+3ab2+b3+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2+c3
=a3+b3+c3+[3a2b+3ab2+3(a+b)2.c+3.(a+b).c2]
=a3+b3+c3+[3ab(a+b)+3(a+b)2c+3(a+b)c2]
=a3+b3+c3+3(a+b)[ab+(a+b)c+c2]
=a3+b3+c3+3(a+b)(ab+ac+bc+c2)
=a3+b3+c3+3(a+b)[a.(b+c)+c.(b+c)]
=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c).
Cho a, b, c ≥ 0 với a + b + c = 3 và P=a2a+2b3+b2b+2c3+c2c+2a3. Tìm GTNN của P.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]
Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]
Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]
Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]
Ta có: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
32 ≥ 3(ab + bc + ca)
Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.
Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]
Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.
Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 ‒ (m2 ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của S = x1 + x2 với x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Xét phương trình (m2 + 2m + 2)x2 ‒ (m2 ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0
Ta có: ac = (m2 + 2m + 2).(‒1) = ‒[(m + 1)2 + 1] < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Theo định lí Viète, ta có: S=x1+x2=m2−2m+2m2+2m+2
Suy ra S.m2 + 2Sm + 2S = m2 ‒ 2m + 2
Hay (S ‒1)m2 + 2(S + 1)m + 2(S ‒ 1) = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆’ = (S + 1)2 ‒ 2(S ‒ 1)2 = ‒S2 + 6S ‒ 1.
Để tồn tại giá trị của S, m thì phương trình (*) phải có nghiệm m hay ∆’ ≥ 0.
Tức là ‒S2 + 6S ‒ 1 ≥ 0 hay 3−22≤S≤3+22
Vậy biểu thức S có GTNN là 3−22, GTLN là 3+22.
Cho hệ phương trình: m−1x−m−1y=m−37 1x+2y=3m+1 2
a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
b) Tìm m để phương trình có nghiệm nguyên x, y và x + y bé nhất.
a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y
Thay vào phương trình (1) ta có:
(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37
(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37
(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37
3m2 + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37
3m2 ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37
‒3(m ‒ 1)y = ‒3m2 + 3m ‒ 36
Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:
\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].
Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y
\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]
\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]
\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]
Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).\)
b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]
Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.
Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.
Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.
Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).
Ta tính:
\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].
Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:
Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;
Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;
Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;
Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;
Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;
Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;
Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;
Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;
Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;
Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;
Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;
Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.
Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.
Vậy m = ‒11.
Tìm n thuộc ℤ sao cho n + 5 chia hết cho 2n ‒ 1.
(n+ 5) chia hết (2n ‒ 1)
2(n+5) chia hết (2n ‒ 1)
(2n+ 10 ) chia hết (2n ‒ 1)
(2n ‒ 1 +11) chia hết (2n ‒ 1)
11 chia hết (2n ‒ 1)
Nên 2n ‒ 1 ∈ Ư(11)
Vậy 2n ‒ 1 ∈ {‒1; ‒11;1;11}.
Nếu: 2n ‒ 1 = ‒1 thì n = 0;
2n ‒ 1 =‒11 thì n = ‒5;
2n ‒ 1 = 11 thì n = 6;
2n ‒ 1 = 1 thì n = 1.
Vậy các giá trị của n là n ∈ {0; ‒5; 6; 1}.
Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: (x + 1).(2y + 3) = 12.
Ta có: x + 1; 2y + 3 là ước tự nhiên của 12.
Mà 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4.
Do 2y + 3 là số lẻ nên 2y + 3 = 1 hoặc 2y + 3 = 3
⦁ Với 2y + 3 = 2 thì y=−12 (loại).
⦁ Với 2y + 3 = 3 thì y = 0, suy ra x + 1 = 4 hay x = 3.
Vậy (x; y) = (3; 0).
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ‒ 24.
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) ‒ 24
=(x2+5x+4)(x2+5x+6) ‒ 24
=(x2+5x+5 ‒ 1)(x2+5x+5+1) ‒ 24
=(x2+5x+5)2 ‒ 1 ‒ 24
=(x2+5x+5)2 ‒ 25
=x(x+5)(x2+5x+10).
Tìm x, biết: (x + 2)2 ‒x + 4 = 0.
(x + 2)2 ‒ x + 4 = 0
x2+4x+4−x+4=0
x2+3x+8=0
x2+2x.1,5+2,25+5,75=0
(x+1,5)2+5,75=0
Ta có: (x+1,5)2 ≥ 0 với mọi x nên (x+1,5)2+5,75 > 0 với mọi x.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Giải hệ phương trình: x+y2=xy+3y−1x+y=x2+y+11+x2.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} - xy - 3y + 1 = 0\\x + y = \frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} - 3y + 1 = 0\\x + y - 1 = \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + y - 3} \right) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}}\left( {x + y - 3} \right) = - 1\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]
Đặt \[\frac{y}{{1 + {x^2}}} = a;\,\,x + y - 3 = b,\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ab = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = a - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Thế (2) vào (1), ta được:
a(a – 2) = –1
a2 – 2a + 1 = 0
(a – 1)2 = 0
a – 1 = 0
a = 1.
Thay a = 1 vào phương trình (2), ta được: b = 1 – 2 = –1.
Với a = 1 và b = –1, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}} = 1\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y - 3 = - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]
Thế (3) vào (4), ta được:
x + 1 + x2 – 3 = –1
x2 + x – 1 = 0
\(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)
Với \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\)
Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right).\)
Giải phương trình: x2+12=5−x2x2+4.
\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
\[{x^4} + 2{x^2} + 1 = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
\[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 4 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \] (1)
Đặt \[t = x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
Suy ra t2 = x2(2x2 + 4)
Suy ra \[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}\]
Từ (1) ta có phương trình:
\[\frac{{{t^2}}}{2} = 4 - t\]
t2 + 2t ‒ 8 = 0
t = ‒4 hoặc t = 2
⦁Với t = ‒4 ta có:
\[x\sqrt {2{x^2} + 4} = - 4\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - x\sqrt {2{x^2} + 4} = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{\left( { - x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {4^2}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} = 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra \[x = - \sqrt 2 \]
⦁Với t = 2 ta có:
\[x\sqrt {2{x^2} + 4} = 2\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {2^2}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^4} + 2{x^2} - 2 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = \sqrt 3 - 1\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \]
Vậy phương trình có 2 nghiệm \[x = - \sqrt 2 \]; \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \].
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
(x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49).
(x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49)
[x2+4(y2+7)]2=17[x4+(y2+7)2]
x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4+17(y2+7)2
16x4−8x2(y2+7)+(y2+7)2=0
[4x2−(y2+7)]2=0
4x2−y2−7=0
(2x+y)(2x−y)=7
Vì x, y nguyên dương nên 2x+y>0và 2x+y>2x−y
Do đó 2x+y=7và 2x−y=1.
Giải hệ phương trình 2x+y=72x−y=1 ta được x=2y=3.
Vậy x=2,y=3.
Cho số nguyên tố p. Giả sử x, y là số tự nhiên khác 0 thỏa mãn x2+py2xy là số tự nhiên. Chứng minh x2+py2xy=1+p.
Gọi ƯCLN(x, y) = d (d ∈ℕ*).
Khi đó tồn tại số tự nhiên a và b để x = da, y = db và (a, b) = 1.
Ta có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{a^2} + p{d^2}{b^2}}}{{{d^2}ab}} = \frac{{{a^2} + p{b^2}}}{{ab}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Từ đó ta được a2 + pb2 ⋮ ab, suy ra a2 + pb2 ⋮ b, suy ra a2 ⋮ b.
Do (a, b) = 1 nên suy ra ta được b = 1. Suy ra a2 + p ⋮ a, suy ra p ⋮ a.
Do p là số nguyên tố nên ta được a = 1 hoặc a = p.
⦁ Với a = 1, khi đó ta được x = y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2} + p{d^2}}}{{{d^2}}} = p + 1\]
⦁ Với a = p, khi đó ta được a = dp; y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{p^2} + p{d^2}}}{{{d^2}p}} = p + 1\]
Vậy ta luôn có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = p + 1\].
Phân tích đa thức thành nhân tử:
(x2 + x ‒ 1)2 + 4x2 + 4x.
(x2 + x ‒ 1)2 + 4x2 + 4x
= x4+x2+1+2x3 ‒ 2x ‒ 2x2 + 4x2+4x
= x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
\[ = {x^2}\left( {{x^2} + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]
\[ = {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 2x + 1 + \frac{2}{x}} \right]\]
\[ = {x^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1} \right]\]
\[ = {x^2}{\left( {x + \frac{1}{x} + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}.\]
Giải hệ phương trình: 2y(x2−y2)=3xxx2+y2=10y.
\[\left\{ \begin{array}{l}2y({x^2} - {y^2}) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
⦁Xét trường hợp đặc biệt:
Nếu x = 0, từ phương trình (1) ta có 2y.(‒y2) = 0, suy ra y = 0.
Thay x = 0, y = 0 vào phương trình (2), ta được 0.0 = 0 (luôn đúng).
Như vậy, cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ.
⦁ Xét trường hợp xy ≠ 0.
Chia phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:
\[\frac{{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{3x}}{{10y}}\]
20y2(x2 ‒ y2) = 3x2(x2 + y2)
20x2y2 ‒ 20y4 = 3x4 + 3x2y2
3x4 ‒ 17x2y2 + 20y4 = 0
3x4 – 12x2y2 – 5x2y2 + 20y4 = 0
3x2(x2 – 4y2) – 5y2(x2 – 4y2) = 0
(x2 – 4y2)(3x2 – 5y2) = 0
x2 = 4y2 hoặc \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\]
+) Với x2 = 4y2, ta có x = 2y hoặc x = –2y
⦁Thế x = 2yvào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
2y[(2y)2 + y2] = 10y
2y.5y2 = 10y
10y3 = 10y
y3 – y = 0
y(y2 ‒ 1) = 0
y = 0 (loại) hoặc y = 1 (thỏa mãn) hoặc y = ‒1 (thỏa mãn).
Khi y = 1, ta có x = 2.
Khi y = ‒1, ta có x = ‒2.
Do đó (2; 1), (‒2; ‒1) là các nghiệm của hệ phương trình.
⦁ Thế x = ‒2yvào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
‒2y[(‒2y)2 + y2] = 10y
‒2y.5y2 = 10y
‒10y3 = 10y
y3 + y = 0
y(y2 + 1) = 0
y = 0 (loại) và y2 + 1 = 0 (vô lí).
Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.
+) Với\[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\], ta có \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] hoặc \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \].
⦁Thế \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
\[y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( {y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]
\[y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]
\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} - 10y = 0\]
\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} - 5} \right) = 0\]
y = 0 (loại) hoặc \[{y^2} = \frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}\]
Suy ra: \[y = \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \] hoặc \[y = - \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \]
Khi \[y = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].
Khi \[y = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].
Do đó \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right);\,\,\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\] là hai nghiệm của hệ phương trình.
⦁Thế \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
\[ - y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( { - y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]
\[ - y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]
\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} + 10y = 0\]
\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5} \right) = 0\]
y = 0 (loại) và \[\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5 = 0\] (vô lí).
Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là (0; 0), (2; 1), (‒2; ‒1), \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\], \[\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\].
Tìm (x; y) thuộc ℤ thỏa mãn:
(x ‒ 2018)2 = y4 ‒ 6y5 + 11y2 ‒ 6y.
⦁Xét vế phải của phương trình:
y4 ‒ 6y5 + 11y2 ‒ 6y
= y(y3 ‒ 6y2 + 11y ‒ 6)
= y(y3 – y2 – 5y2 + 5y + 6y – 6)
= y[y2(y – 1) – 5y(y – 1) + 6(y – 1)]
= y (y – 1)(y2 – 5y + 6)
= y(y – 1)(y2 – 2y – 3y + 6)
= y(y – 1)[y(y – 2) – 3(y – 2)]
= y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).
Vậy ta có (x ‒ 2018)2 = y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).
⦁Tìm giá trị của y:
Vì (x ‒ 2018)2 ≥ 0 là số chính phương, nên y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) cũng là số chính phương không âm. Ta xét các trường hợp:
Nếu y ≤ 0 hoặc y ≥ 3 thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) sẽ không phải là số chính phương.
Nếu y = 1, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018
Nếu y = 2, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018.
Vậy ta có hai cặp nghiệm là (2018; 1) và (2018; 2).
Tìm x, biết: (x ‒ 5)(x ‒ 7) = 0.
(x ‒ 5)(x ‒ 7) = 0
x ‒ 5 = 0 hoặc x ‒ 7 = 0
x = 5 hoặc x = 7
Vậy x = 5, x = 7.
Phân tích đa thưc thành nhân tử:
(x+y)3 ‒ x(x+y)2.
(x+y)3 ‒ x(x+y)2=(x+y)2(x+y ‒ x)=(x+y)2y.
Tìm số tự nhiên n biết 3n + 7 chia hết cho n.
Vì 3n luôn chia hết cho n nên để 3n + 7 chia hết cho n thì ta cần 7 chia hết cho n.
Suy ra n ∈ Ư(7) = {1; –1; 7; –7}.
Mà n là số tự nhiên nên n ∈ {1; 7}.
Cho hai tập hợp A, B thỏa mãn A∖B = {1; 2}, A ∩ B = {3; 4}. Khi đó số phần tử của tập hợp A là bao nhiêu?
Ta có:A∖B = {1; 2} nên tập hợp A có các phần tử 1; 2.
A ∩ B = {3; 4} nên tập hợp A có các phần tử 3; 4.
Suy ra A = {1; 2; 3; 4}.
Vậy A có 4 phần tử.
Thực hiện phép tính:
[504 ‒ (52.8 + 70) : 33 + 6] : 125.
[504 ‒ (52.8 + 70) : 33 + 6] : 125
= [504 ‒ (25.8 + 70) : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ (200 + 70) : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ 270 : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ 10 + 6] : 125
= 500 : 125
= 4.
Thực hiện phép tính:
3−5+3+5.
\[\sqrt {3 - \sqrt 5 } + \sqrt {3 + \sqrt 5 } \]
\[ = \frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right| + \left| {\sqrt 5 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt 5 - 1 + \sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {10} .\]
Tìm x:
2x−1+x+13=0.
Ta có \[\left| {2x - 1} \right| \ge 0,\,\,\,\,\,\left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0 \ge 0\] với mọi x.
Do đó để \[\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0\] thì ta cần:
2x ‒ 1 = 0 và \[x + \frac{1}{3} = 0\]
\[x = \frac{1}{2}\] và \[x = - \frac{1}{3}\]
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn.
Giải phương trình:
2x+1+2x−1x+3−2x−1x2+4−2=0.
Điều kiện xác định: \(x \ge - \frac{1}{2}.\)
\[\sqrt {2x + 1} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} - \sqrt 2 = 0\]
\[\left( {\sqrt {2x + 1} - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} } \right) = 0\]
\(2x - 1 = 0\) (1) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\] (2)
¬ Giải phương trình (1):
\(2x - 1 = 0\)
\(2x = 1\)
\(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
¬ Giải phương trình (2):
\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} = \sqrt {{x^2} + 4} .\] (3)
Với \(x \ge - \frac{1}{2}\) ta có:
⦁\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\frac{5}{2}}} = \frac{{4 + 5\sqrt 2 }}{{10}} < 2.\]
⦁\[\sqrt {{x^2} + 4} \ge \sqrt 4 = 2.\]
Do đó phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}.\)
Giải phương trình:
3x−2+x+3=x3+3x−1.
Điều kiện xác định: 3x ‒ 2 ≥ 0 và x + 3 ≥ 0, hay \[x \ge \frac{2}{3}\] và x ≥ ‒3, tức là \[x \ge \frac{2}{3}\].
\[\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} = {x^3} + 3x - 1\]
\[\sqrt {3x - 2} - 1 + \sqrt {x + 3} - 2 = {x^3} + 3x - 4\]
\[\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\]
\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4} \right) = 0\]
\(x - 1 = 0\) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4 = 0\]
\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = x + 4\] (*)
Xét phương trình (*): Với \[x \ge \frac{2}{3}\] ta có
⦁\[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le \frac{1}{1} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{3} + 3} + 2}} = 7 - \sqrt {33} < 2\]
⦁\(x + 4 \ge \frac{2}{3} + 4 > 4.\)
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1.\)
0,1 bằng bao nhiêu?
Ta có: \[0,1 = \frac{1}{{10}}\].
Viết số thập phân 0,125 dưới dạng phân số tối giản là bao nhiêu?
Ta có:\[0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{{125:125}}{{1000:125}} = \frac{1}{8}\].
0,001 tấn bằng bao nhiêu tạ?
Ta có: 0,001 tấn = 0,01 tạ.
Tính: 0,25 × 56.
Ta có: 0,25 × 56 = 14.
Tìm x, biết:
70 ‒ 5(x ‒ 3)=45.
70 ‒ 5(x ‒ 3)=45
5(x ‒ 3)=25
x ‒ 3=5
x=8
Vậy x = 8.
0,5 đổi ra phân số bằng bao nhiêu?
Ta có: \[0,5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\]
Tìm x, biết: x × 0,5 = 1,05 ‒ x
x ×0,5=1,05−x
x×0,5+x = 1,05
x×(0,5+1)=1,05
x×1,5=1,05
x=1,05:1,5
x=0,7
Vậy x = 0,7.
0,2 đổi ra phân số bằng bao nhiêu?
Ta có: \[0,2 = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.\]
Tính tổng:
S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 99 × 100
S = 1 × 2 + 2 × 3 + ... + 99 × 100
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + ..... + 99 × 100 × (101 ‒ 98)
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + .... + 99 × 100 × 101 ‒ 98 × 99 × 100
3S = 99 × 100 × 101 = 999900
S = 999900 : 3 = 333300.
Cho B=1+121+2+131+2+3+141+2+3+4+...+1x1+2+3+4+...+x.
Tìm số nguyên dương x để B = 115.
Ta có
\[B = 1 + \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 2} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {1 + 2 + 3} \right) + ... + \frac{1}{x}\left( {1 + 2 + 3 + ... + x} \right)\]
\[ = 1 \cdot \left( {\frac{{1 \cdot 2}}{2}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot 3}}{2}} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{3 \cdot 4}}{2}} \right) + ... + \frac{1}{x}\left[ {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right]\]
\[ = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + ... + \frac{{x + 1}}{2}\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {2 + 3 + 4 + ... + \left( {x + 1} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right]\]
Từ B = 115 ta có:
\[\frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right] = 115\]
x(x + 3) = 460
Mà x là số nguyên dương, x và x + 3 cách nhau 3 đơn vị, lại có 20.23 = 460.
Vậy x = 20.
Tìm n sao cho:
1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương.
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương.
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương.
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương.
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0. Do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Tính nhanh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= (1 + 9) + (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) + 5
= 10 + 10 + 10 + 10 + 5
= 10 × 4 + 5
= 40 + 5
= 45.
Tính:
1 + 2 ‒ 3 ‒ 4 + 5 + 6 ‒ 7 ‒ 8 + ... + 2013 + 2014 ‒2015 ‒2016 + 2017 + 2018.
Đặt A = 1+ 2 ‒ 3 ‒ 4+ 5+ 6 ‒ 7 ‒ 8+...+ 2013+ 2014 ‒ 2015 ‒ 2016+ 2017+ 2018.
Tổng A có số các số hạng là:
(2018 ‒ 1): 1+ 1= 2018 (số hạng).
Ta ghép 4 số hạng vào 1 nhóm được tất cả 504 nhóm và còn thừa 2 số hạng.
A=(1+ 2 ‒ 3 ‒ 4)+(5+ 6 ‒ 7 ‒ 8)+...+(2013+ 2014 ‒ 2015 ‒ 2016)+(2017+ 2018).
A=(‒4)+(‒4)+...+(‒4)+ 4035.
A=(‒4)× 504+ 4035.
A=(‒2016)+ 4035.
A= 2019.
Tính:
1 ‒ 3 + 5 ‒ 7 + 9 ‒ 11 + ... + 97 ‒ 99.
1 ‒ 3 + 5 ‒ 7 + 9 ‒ 11 + ... + 97 ‒ 99 (50 số hạng)
= ‒2+ (‒2) + (‒2) + (‒2) +...+ (‒2) (có 25 số ‒2)
= ‒2.25
=‒50.
Chứng minh B = 31 + 32 + 33 + 34 + ... + 32010 chia hết cho 4 và 13.
⦁B = 31 + 32 + 33 + 34 + ... + 32010
=(3+32)+(33+34)+.....+(32009+22010)
=3(1+3)+33(1+3)+......+32009(1+3)
=3.4 +33.4 +......+32009.4
=4.(3+33+....+32009)chia hết cho 4.
⦁B = 31 + 32 + 33 + 34 + ... + 32010
=(3+32+33)+...+(32008+32009+32010)
=3(1+3+9)+ ... +32008(1+3+9)
=3.13+...+32008.13
=13(3+...+ 32008) chia hết cho 13.
Vậy B chia hết cho 4 và 13.
1 cái thùng sắt hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng 47 chiều dài và kém chiều dài 1,5 m, chiều cao 1,8 m.
a) Tính diện tích toàn phần của cái thùng
b) Người ta sơn bên ngoài cái thùng này cứ 4 m2 thì hết 1 kg sơn. Tính số kg sơn để sơn thùng
a) Chiều dài của cái thùng đó là:
1,5 : (7 ‒ 4) × 7 = 3,5 (m).
Chiều rộng của cái thùng đó là:
3,5 ‒ 1,5 = 2 (m).
Diện tích xung quanh của cái thùng đó là:
(3,5 + 2) × 2 × 1,8 = 19,8 (m2).
Diện tích toàn phần của cái thùng là:
19,8 + (3,5 × 2 × 2) = 33,8 (m2).
b) 33,8 m2 gấp 4 m2 số lần là:
33,8 : 4 = 8,45 (lần).
Số kg sơn để sơn thùng là:
1 × 8,45 = 8,45 (kg).
Đáp số: a) 33,8 m2
b) 8,45 kg sơn.
1 giây bằng bao nhiêu tích tắc
Ta có: 1 giây = 60 tích tắc.
Trên 1 khu đất có diện tích 6,5 ha, người ta dùng 45 diện tích để xây nhà liền kề, phần còn lại để trồng cây và lối đi. Hỏi diện tích để trồng cây và lối đi là bao nhiêu mét vuông?
Phân số chỉ diện tích làm lối đi và trồng cây là:
\[1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\] (diện tích khu đất)
Diện tích làm lối đi và trồng cây là:
\[6,5 \times \frac{1}{5} = 1,3\] (ha)
1,3 ha = 13 000 m2.
Đáp số: 13 000 m2.
Một lớp học có 35 học sinh, trong đó số học sinh nam bằng 23 số học sinh nữ. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần)
Lớp học đó có số học sinh nữ là:
(35 : 7) × 4 = 20 (học sinh nữ)
Lớp học đó có số học sinh nam là:
35 ‒ 20 = 15 (học sinh nam)
Đáp số: 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam.
Một người thợ may 2 ngày, mỗi ngày 10 giờ được 5 cái áo. Hỏi người đó may với năng suất trong 3 ngày, mỗi ngày 8 giờ may được mấy cái áo?
Mỗi cái áo mất thời gian may là:
10 : 5 = 2 (giờ)
Trong 8 giờ người đó may được số cái áo là:
8 : 2 = 4 (cái áo)
Trong 3 ngày người đó may số cái áo là:
4 × 3 = 12 (cái áo)
14 của 8 bằng bao nhiêu?
\[\frac{1}{4}\]của 8 là:\[8 \cdot \frac{1}{4} = 2.\]
Tính:
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 38 × 39 + 39 × 40.
S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 38 × 39 + 39 × 40
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ... + 38 × 39 × 3 + 39 × 40 × 3
3S = 1 ×2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + 3 × 4 × (5 ‒ 2) + ... + 38 × 39×(40 ‒ 37) + 39 × 40 × (41 ‒ 38)
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + 3 × 4 × 5 ‒ 2 × 3 × 4 + ... + 38 × 39 × 40 ‒ 37 × 38 × 39 + 39 × 40 × 41 ‒ 38 × 39 × 40
3S = 39 × 40 × 41
Suy ra S = (39 × 40 × 41) : 3
Vậy S = 21 320.
Tìm nghiệm nguyên: 1 + x + x2 + x3 = y3.
Ta có 1 + x + x2 + x3 = y3
Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]
Do đóy3>x3.
Xét hiệu:
y3−(x+2)3=x3+x2+x+1−x3−6x2−12x−8
=−5x2−11x−7
\[ = - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.
Suy ra y3<(x+2)3
Tóm lại x3<y3<(x+2)3
Mà x;y nguyên nên y = x + 1.
Thế vào phương trình ban đầu, ta được:
1+x+x2+x3=x3+3x2+3x+1
Suy ra 2x2+2x=0
2x(x + 1) = 0
x = 0 hoặc x + 1 = 0
x = 0 hoặc x = ‒1
Với x = 0, suy ra y = 1
Với x = ‒1, suy ra y = 0.
Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).
Một xe ô tô chạy đường dài đoạn đường đầu dài 90km đi hết 2 giờ. Sau đó nghỉ 30 phút để sửa xe. Đoạn đường tiếp theo dài 30 km đi hết 0,5 giờ.
a) Tính tốc độ của ô tô trên mỗi đoạn đường.
b) Tính tốc độ trung bình của ô tô trên cả đoạn đường trên.
a) Quãng đường s1 = 90km, thời gian t1 = 2h
Tốc độ trên đoạn đường đầu là:
\[{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{{t_1}}} = \frac{{90}}{2} = 45\](km/h)
Quãng đường s2 = 30km, thời gian t1 = 0,5h
Tốc độ trên đoạn đường thứ hai là:
\[{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{{t_2}}} = \frac{{30}}{{0,5}} = 60\](km/h)
b) Thời gian nghỉ sửa xe là 30 phút = 0,5 giờ
Tổng thời gian là:
T = t1 + t2 + tnghỉ = 2h + 0,5h + 0,5h = 3h
Tổng quãng đường là:
S = s1 + s2 = 90 + 30 = 120 km
Tốc độ trung bình trên cả quãng đường là:
\[{v_{tb}} = \frac{S}{T} = \frac{{120}}{3} = 40\] (km/h)
Vậy tốc độ của ô tô trên đoạn đường đầu là 45km/h, tốc độ trên đoạn đường thứ hai là 60km/h.
Tốc độ trung bình của ô tô trên cả quãng đường là 40km/h.
1,25 có phải số hữu tỉ không?
Ta có: \[1,25 = \frac{{125}}{{100}} = \frac{5}{4}.\]
Vậy 1,25 là số hữu tỉ.
1,4 bằng bao nhiêu phần trăm
Ta có: \[1,4 = \frac{{140}}{{100}} = 14\% .\]
Cho dãy số 1, 5, 13, 29, 61, ... Số hạng tiếp theo của dãy là bao nhiêu?
Quy luật của dãy số là số đằng sau bằng gấp đôi số đằng trước rồi cộng thêm với 3.
1× 2 +3=5
5× 2 +3=13
13× 2 +3=29
29× 2 +3=61
61× 2 +3=125
Số tiếp theo là 125.
1,5 ha bằng bao nhiêu mét vuông?
Ta có: 1 ha = 10000m2
Nên 1,5 ha = 15 000 m2.
Tính: 1,2 × 5.
Ta có: 1,2 × 5 = 6.
Tính nhanh:
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 98.99.100.
Đặt A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+...+98.99.100
4A=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+...+98.99.100).4
4A=1.2.3(4 ‒ 0)+2.3.4(5 ‒ 1)+3.4.5(6 ‒ 2)+4.5.6(7 ‒ 3)+...+98.99.100(101 ‒ 97)
4A=1.2.3.4+2.3.4.5 ‒ 1.2.3.4+3.4.5.6 ‒ 2.3.4.5+4.5.6.7 ‒ 3.4.5.6+...+98.99.100.101 ‒ 97.98.99.100
4A=1.2.3.4 ‒ 1.2.3.4+2.3.4.5 ‒ 2.3.4.5+3.4.5.6 ‒ 3.4.5.6+...+97.98.99.100 ‒ 97.98.99.100+98.99.100.101
4A=98.99.100.101
Suy ra A = 98.99.100.101 : 4 = 24 497 550.
1,8(3) viết phân số thế nào?
1,8(3) viết phân số như sau:
\[1,8\left( 3 \right) = 1,8 + \frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3\]
\[ = \frac{9}{5} + \left( {\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3} \right)\]
\[ = \frac{9}{5} + \frac{1}{{30}}\]
\[ = \frac{{54 + 1}}{{30}}\]
\[ = \frac{{55}}{{30}} = \frac{{11}}{6}.\]
Chứng minh rằng:
11+12+13+14+...+1n>n với n ∈ ℕ và n > 1.
Với n ∈ ℕ và n > 1, ta có:
\[\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} = n \cdot \frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt n .\]
Cho A=12+13+14+...+1100. Chứng minh A < 18.
Ta có:
\[\frac{1}{{2\sqrt 2 }} < \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 1 }}{{2 - 1}} = \sqrt 2 - \sqrt 1 .\]
\[\frac{1}{{2\sqrt 3 }} < \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 - \sqrt 2 .\]
\[\frac{1}{{2\sqrt 4 }} < \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt 4 - \sqrt 3 }}{{4 - 3}} = \sqrt 4 - \sqrt 3 .\]
...
\[\frac{1}{{2\sqrt {100} }} = \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} = \frac{{\sqrt {100} - \sqrt {99} }}{{100 - 99}} = \sqrt {100} - \sqrt {99} .\]
Suy ra \[\frac{A}{2} < \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} = \sqrt {100} - \sqrt 1 = 10 - 1 = 9.\]
Do đó A < 18.
Vậy A < 18.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
11+x2+4y2+4+xy với xy ≥ 2.
Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]
Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]
\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]
\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]
(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.
Chứng minh rằng:
11⋅2+13⋅4+15⋅6+...+149⋅50=126+127+128+...+150.
\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}}\]
\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\]
\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) \cdot 2\]
\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{25}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}\]
Vậy \[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}} = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}.\]
Rút gọn biểu thức:
A=11⋅3−13⋅5−15⋅7−...−147⋅49−149⋅51.
\[2A = \frac{2}{{1 \cdot 3}} - \frac{2}{{3 \cdot 5}} - \frac{2}{{5 \cdot 7}} - ... - \frac{2}{{47 \cdot 49}} - \frac{1}{{49 \cdot 51}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{49}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{{49}} = \frac{{48}}{{49}}\]
Suy ra \[A = \frac{{48}}{{49}}:2 = \frac{{24}}{{49}}.\]
Rút gọn biểu thức:
A=11⋅4+14⋅7+17⋅10+...+194⋅97
\[A = \frac{1}{{1 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{1}{{94 \cdot 97}}\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{3}{{94 \cdot 97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{94}} - \frac{1}{{97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{96}}{{97}} = \frac{{32}}{{97}}.\]
Cho biểu thức: S=132+152+172+...+120252. Chứng minh S < 1.
Ta có: \[S = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2}}}\]
\[S < \frac{1}{{{3^2} - 1}} + \frac{1}{{{5^2} - 1}} + \frac{1}{{{7^2} - 1}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2} - 1}}\]
\[S < \frac{1}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {3 + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right)}} + ... + \frac{1}{{\left( {2025 - 1} \right)\left( {2025 + 1} \right)}}\]
\[S < \frac{1}{{2 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{2024 \cdot 2026}}\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{2}{{2 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{2}{{2024 \cdot 2026}}} \right)\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2026}}} \right)\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2026}}} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{{4052}} < 1.\]
Vậy S < 1.
Tìm x, biết:
11⋅3+13⋅5+15⋅7+...+12x−12x+1=4999.
Ta có: \[\frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{49}}{{99}}\]
Suy ra \[\frac{2}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = 2 \cdot \frac{{49}}{{99}}\]
\[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2x - 1}} - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]
\[1 - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]
\[\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{{99}}\]
2x + 1 = 99
2x = 98
x = 98 : 2
x = 49
Vậy x = 49.
Tính nhanh:
11+2+11+2+3+...+11+2+3+4+...2020.
Đặt S = 1 + 2 + ...+ n.
Số số hạng của dãy số trên là: (n ‒ 1) : 1 + 1 = n
Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều ta có tổng trên là:
S = (n+1) × n : 2.
Áp dụng công thức tính tổng S trên vào biểu thức A ta có:
\[A = \frac{1}{{\left( {2 + 1} \right) \times 2:2}} + \frac{1}{{\left( {3 + 1} \right) \times 3:2}} + ... + \frac{1}{{\left( {2020 + 1} \right) \times 2020:2}}\]
\[ = \frac{1}{{2 \times 3:2}} + \frac{1}{{3 \times 4:2}} + \frac{1}{{4 \times 5:2}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021:2}}\]
\[ = \frac{2}{{2 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 4}} + \frac{2}{{4 \times 5}} + ... + \frac{2}{{2020 \times 2021}}\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021}}} \right)\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]
\[ = 1 - \frac{2}{{2021}}\]
\[ = \frac{{2021 - 2}}{{2021}} = \frac{{2019}}{{2021}}.\]
Tính: 12+74
Ta có:
\[\frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.\]
Tìm x, biết:
1+13+16+110+...+2xx+1=1+20232025.
\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2023}}{{2025}}\]
\[\frac{2}{2} + \frac{2}{6} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4048}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{x \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{2025}}\]
x + 1 = 2025
x = 2025 ‒ 1
x = 2024
Vậy x = 2024.
Viết thành tỉ số phần trăm 1,47
Ta có: \[1,47 = \frac{{147}}{{100}} \cdot 100\% = 147\% \].
Tính tổng: S=15+152+153+...+15100.
Ta có:
\[5S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}\]
\[5S - S = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}} \right)\]
\[4S = 1 - \frac{1}{{{5^{100}}}} = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{5^{100}}}}\]
Suy ra \[S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{4 \cdot {5^{100}}}}.\]
Chứng minh rằng:
16<152+162+172+...+11002<14.
Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}};\frac{1}{{{6^2}}} < \frac{1}{{5 \cdot 6}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]
Cộng vế với vế ta được:
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{100}} = \frac{6}{{25}} < \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\]
Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}};\frac{1}{{{6^2}}} > \frac{1}{{6 \cdot 7}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]
Cộng vế với vế ta được:
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}} + \frac{1}{{6 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{{101}} = \frac{{96}}{{505}} > \frac{{96}}{{576}} = \frac{1}{6}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{1}{6} < \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4}\].
Tìm n:
19×27n=3n.
\[\frac{1}{9} \times {27^n} = {3^n}\]
\[\frac{1}{9} = \frac{{{3^n}}}{{{{27}^n}}}\]
\[\frac{1}{9} = {\left( {\frac{3}{{27}}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n}\]
n = 1
Vậy n = 1.
Tìm n:
19×34×3n=37.
\[\frac{1}{9} \times {3^4} \times {3^n} = {3^7}\]
\[\frac{1}{9} \times 81 \times {3^n} = {3^7}\]
9 × 3n = 37
32 × 3n = 37
32 + n = 37
2 + n = 7
n = 7 ‒ 2
n = 5
Vậy n = 5.
Cho tam giác ABC có các đường phân giác cắt nhau tại N. Cho ha, hb, hc là đường cao, gọi r là khoảng cách từ N đến cạnh tam giác. Chứng minh rằng 1ha+1hb+1hc=1r.
2SABC = ha.a = ha.b = hc.c
Suy ra \[\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{a}{{2S}} + \frac{b}{{2S}} + \frac{c}{{2S}} = \frac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)\]
\[ = \frac{1}{{r\left( {a + b + c} \right)}}\left( {a + b + c} \right)\](vì 2S=r(a+b+c)).
\[ = \frac{1}{r}.\]
Tìm điều kiện xác định: 1x+2x−1.
Điều kiện xác định:
x – 1 ≥ 0 và \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } \ne 0\]
x ≥ 1 và \[x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1 \ne 0\]
x ≥ 1 và \[{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)^2} \ne 0\](luôn đúng với mọi x ≥ 1)
Vậy x ≥ 1.
Tìm x, y, z sao cho: 1x+1y+1z=1.
Xét \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\] (*)
Giả sử: x ≥ y ≥ z > 0
Suy ra\[\frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z}\]
\[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = \frac{3}{z}\], suy ra z ≤ 3, suy ra z ∈{1; 2; 3}.
¬ Với z = 1 suy ra\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\]vô lý vì x,y ∈ ℕ*
¬Với z = 2 suy ra\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\]
Ta có \[\frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\], suy ra y ≤ 4,suy ra y ∈ {2;3;4} (vì y≥ z).
⦁ y = 2 suy ra \[\frac{1}{x} = 0\] vô lý (loại);
⦁ y = 3 suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\]hay x = 6;
⦁ y = 4 suy ra\[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\] hay x = 4.
¬Với z = 3 suy ra\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]
Ta có\[\frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\] hay y ≤ 3, suy ra y = 3 (vì y ≥ z), suy ra x = 3.
Vậy (*) có nghiệm (6;3;2), (4;4;2), (3; 3;3) và các hoán vị của các bộ 3 trên.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1x+1y=z .
Ta có x, y ∈ ℕ, suy ra \[\frac{1}{x} \le 1,\frac{1}{y} \le 1\]
\[z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le 2\]
¬z = 2, suy ra x = y = 1.
¬z = 1, suy ra \[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]
⦁Nếu x = y, suy ra \[\frac{2}{x} = 1\], suy ra x = y = 2.
⦁Nếu giả sử x > y, suy ra \[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{2}{y}\] hay y < 2
y = 1, suy ra \[\frac{1}{x} = 0\](vô lý)
Vậy x = y = 2; z = 1 hoặc x = y = 1, z = 2.
Tìm số tự nhiên x, y khác 0, thỏa mãn: 1x+1y=13+1xy.
Ta có:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{xy}}\]
\[\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{{xy + 3}}{{3xy}}\]
\[\frac{{3x + 3y}}{{3xy}} = \frac{{xy + 3}}{{3xy}}\]
3x + 3y = xy + 3
(x ‒ 3)(y ‒ 3) = 6
Vì x,y là số tự nhiên nên x ‒ 3 và y ‒ 3 thuộc ước của 6 mà ước của 6 là ±1; ±2; ±3; ±6
Ta có bảng:
x ‒ 3 | ‒6 | ‒3 | ‒2 | ‒1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
y ‒ 3 | ‒1 | ‒2 | ‒3 | ‒6 | 6 | 3 | 2 | 1 |
x | ‒3 (loại) | 0 (loại) | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 9 |
y | 2 | 1 | 0 (loại) | ‒3 (loại) | 9 | 6 | 5 | 4 |
Vậy có 4 cặp số (x, y) thỏa mãn là: (4; 9), (5; 6), (6; 5), (9; 4).
Tính: I = 12 + 42 + 72 +...+ 1002.
I = 12 + 42 + 72 +...+ 1002
= 1 + 4.(3 + 1) + 7.(3 + 4) + ... + 100.(3 + 97)
= 1 + 3.4 + 1.4 + 3.7 + 4.7 +...+ 3.100 + 97.100
= 3.(4 + 7 + ... + 100) + (1 + 1.4 + 4.7 + ... + 97.100)
Đặt B = 1.4 + 4.7 + ... + 97.100
9B = 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 ‒ 1) + ... + 97.100.(103 ‒ 94)
= 1.4.7 + 1.4.2 + 4.7.10 ‒ 1.4.7 + ... + 97.100.103 ‒ 94.97.100
= 1.4.2 + 97.100.103
Suy ra B = 111012
Do đó I = 3.(100 + 4).33 : 2 + 111012= 5148 + 111012 = 116160.
10 người thì câu 10 con cá trong 5 phút. Hỏi trong 50 phút thì 50 người câu được bao nhiêu con cá?
10 người câu được 10 con cá trong 5 phút, suy ra trung bình mỗi người sẽ câu được 1 con cá trong 5 phút và trong 50 phút, mỗi người sẽ câu được:
1 : 5 × 50 = 10 (con cá)
Vì có tất cả 50 người nên số cá câu được là:
10 × 50 = 500 (con cá)
Đáp số: 500 con cá.
10 mũ 20 bằng bao nhiêu?
Khi nhân 10 với chính nó 20 lần, kết quả sẽ là số 1 theo sau 20 chữ số 0. Điều này xảy ra vì mỗi lần nhân với 10 sẽ thêm một chữ số 0 vào sau số 1.
Vậy: 10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000.
(số này có 21 chữ số, gồm số 1 đứng đầu và 20 số 0 đứng sau).
Chứng minh 10n + 8 chia hết cho 9 (n ∈ ℕ*).
Nếu n=0thì 10n+8=1+8=9⋮9.
Nếu n≥1thì 10n+8=100...0+8(n chữ số 0) =100...08(n ‒ 1 chữ số 0) có tổng các chữ số là 1+0+0+... + 8 = 9 ⋮ 9.
Vậy 10n + 8 chia hết cho 9
10 ngày 8 giờ là bao nhiêu phút?
1 ngày = 24 giờ = 24 × 60 phút = 1440 phút
10 ngày = 10 × 1440 phút = 14 400 phút
8 giờ = 8 × 60 phút = 480 phút
Vậy 10 ngày 8 giờ = 14 400 phút + 480 phút = 14 880 phút.
Có 10 viên thuốc, có thể uống 1 hoặc 2 viên 1ngày. Hỏi có bao nhiêu cách để uống hết 10 viên?
Vì có 10 viên thuốc mà một ngày phải uống 1 hoặc 2 viên thuốc nên ta có ít nhất 4 cách.
Cách 1: uống 10 viên thuốc trong 10 ngày mà 1 ngày uống 1 viên.
Cách 2: uống 10 viên thuốc trong 5 ngày mà 1 ngày uống 2 viên.
Cách 3: uống 10 viên thuốc trong 8 ngày mà cứ một ngày trong các ngày thứ nhất, thứ ba, thứ năm, thứ bảy uống 1 viên là 4 viên, cứ một ngày trong các ngày thứ hai, thứ tư, thứ tám uống 2 viên thì tổng là 6 viên mà 4 + 6 = 10 (viên).
Cách 4: Tương tự cách 3 nhưng trái ngược lại, ngày thứ nhất, thứ ba, thứ năm uống 2 viên là 6 viên còn ngày thứ hai, thứ tư, thứ bảy, thứ tám uống 1 viên là 4 viên thì được 10 viên và cũng trong vòng 8 ngày.
Tính: 100 + 97 + 94 + ... + 4 + 1.
Số số hạng của dãy là:
(100 ‒ 1) : 3 + 1 = 34 (số).
Giá trị của dãy số là:
(100 + 1) . 34 : 2 = 1717
Vậy giá trị của dãy số trên là 1717.
Tính: 100 * 10000.
Ta có: 100 × 10 000 = 1 000 000.
Tính: 100 : 6.
Ta có: 100 : 6 = 16,666… ≈ 16,7 (làm tròn số).
1000 phút bằng bao nhiêu giờ?
1 giờ = 60 phút
1000 phút \[ = \frac{{1000}}{{60}}\] giờ ≈ 16,67 giờ.
Tính: 1000*100000.
Ta có: 1 000 × 100 000 = 100 000 000.
Tính: 1000*2000.
Ta có: 1 000 × 2 000 = 2 000 000.
Tính: 1000*20000.
Ta có: 1 000 × 20 000 = 20 000 000.
Tính nhanh: 10000 – 47 × 72 – 47 × 28.
10000 ‒ 47 × 72 ‒ 47 × 28
= 10000 ‒ 47 × (72 + 28)
= 100 × 100 ‒ 47 × 100
= 100 × (100 ‒ 47)
= 100 × 53
= 5300.
Tính: 100005.
Ta có: \[\frac{{10000}}{5} = 2000\].
Tính: 100005000.
Ta có: \[\frac{{10000}}{{5000}} = 20\].
Tính: 1000005.
Ta có: \[\frac{{100000}}{5} = 20000\].
Tính: 100000050000.
Ta có: \[\frac{{1000000}}{{50000}} = 20\].
10000 cm2 bằng bao nhiêu m2.
Ta có: 10 000 cm2 = 1 m2.
1000 kg bằng bao nhiêu tấn?
Ta có: 1000kg = 1 tấn.
Tìm x, biết:
100 ‒ 7(x ‒ 5)=58.
100 ‒ 7(x ‒ 5) = 58
7(x ‒ 5) = 42
x ‒ 5 = 6
x =11
Vậy x = 11.
Năm 1010 là thế kỷ bao nhiêu?
Năm 1010 là thế kỷ XI.
Một nền nhà hình chứ nhật có chiều dài 8 m, chiều rộng 6 m. Nếu lát nền nhà bằng những viên gạch hình vuông có cạnh 40 cm thì cần bao nhiêu viên gạch?
Diện tích nền nhà là:
8 × 6 = 48 (m2) = 480 000 (cm2).
Diện tích một viên gạch hình vuông là:
40 × 40 = 1 600 (cm2).
Cần số viên gạch là:
480 000 : 1 600 = 300 (viên gạch).
Tính: 11×322×37−9152⋅3142.
\[\frac{{11 \times {3^{22}} \times {3^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {2 \cdot {3^{14}}} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{11 \times {3^{22}} \times {3^7} - {{\left( {{3^2}} \right)}^{15}}}}{{{{\left( {2 \cdot {3^{14}}} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{11 \times {3^{29}} - {3^{30}}}}{{2{}^2 \cdot {3^{28}}}}\]
\[ = \frac{{{3^{29}} \cdot \left( {11 - 3} \right)}}{{2{}^2 \cdot {3^{28}}}}\]
\[ = \frac{{3 \cdot 8}}{4} = 6\].
Tìm x, biết:
1115−79+x⋅38=6190+x3.
\[\frac{{11}}{{15}} - \left( {\frac{7}{9} + x} \right) \cdot \frac{3}{8} = \frac{{61}}{{90}} + \frac{x}{3}\]
\[\frac{{11}}{{15}} - \frac{7}{{24}} - \frac{{3x}}{8} - \frac{{61}}{{90}} - \frac{x}{3} = 0\]
\[\frac{{ - 17}}{{72}} - \left( {\frac{{3x}}{8} + \frac{x}{3}} \right) = 0\]
\[\frac{{17}}{{24}}x = - \frac{{17}}{{72}}\]
\[x = - \frac{1}{3}\]
Vậy \[x = - \frac{1}{3}\]
Chứng minh rằng
11−12+13−14+...+199−1100>12.
\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}\]
Ta có \(\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};\,\,\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};\,\,...;\,\,\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.\)
Do đó \[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} + ... + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} = \frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}.\]
Vậy \[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} > \frac{1}{2}.\]
Tính: 111 : 3.
Ta có: 111 : 3 = 37.
Viết dưới dạng 1 lũy thừa: 123.33.
Ta có: 123.33=(12.3)3=363.
Năm 1200 thuộc thế kỉ nào?
Năm 1200 thuộc thế kỉ XII.
Tính: 12008.
Ta có: \[\frac{{1200}}{8} = 150.\]
Rút gọn phân số 121111.
Ta có \[\frac{{121}}{{111}}\] là phân số tối giản.
Biết 28 bao lúa như nhau thì chứa tổng cộng 1260 kg. Hỏi nếu có 1665 kg lúa thì chứa trong bao nhiêu bao?
Trọng lượng của mỗi bao là:
1260 : 28 = 45 (kg).
Só bao cẩn có để chứa 1665 kg lúa là:
1665 : 45 = 37 (bao).
127 500 cm2 bằng bao nhiêu m2?
Ta có: 127 500 cm2 =12,75 m2.
Tính:
128 ‒ [68 + 8(37 ‒ 35)2] : 4.
128 ‒ [68 + 8(37 ‒ 35)2] : 4
128 ‒ [68 + 8(37 ‒ 35)2 ] : 4
= 128 ‒ [68 + 8.22 ] : 4
= 128 ‒[68 + 32] : 4
= 128 ‒ 100 : 4
= 128 ‒ 25
= 103.
12m 15dm bằng bao nhiêu m?
12m 15dm = 12m + 1,5m = 13,5m.
12m 15dm bằng bao nhiêu dm?
12m 15dm = 120dm + 15dm = 135dm.
Tìm x, biết: 13 ‒ 2(x + 3) = 27.
13 ‒ 2(x + 3) = 27
2(x+3)=13 ‒ 27
2(x+3)=‒14
x +3=‒14 : 2
x+3=‒7
x=‒7 ‒ 3
x=‒10
Vậy x = ‒10.
Tính:
133 : 7 + 154 : 7 + 413 : 7.
133 : 7 + 154 : 7 + 413 : 7
= (133 + 154 + 413) : 7
= 700 : 7
= 100.
134,65 cm2 bằng bao nhiêu m2.
Ta có: 134,65 cm2 = 0,0013465 m2.
Tính: 135 × 45.
Ta có: 135 × 45 = 6075.
135 phút bằng bao nhiêu giờ?
1 giờ = 60 phút
135 phút \[ = \frac{{135}}{{60}}\]giờ = 2,25 giờ.
25% của 135 là bao nhiêu?
25% của 135 là:
135 × 25 : 100 = 33,75.
13 hm2 24 dam2 = ? dam2
Ta có: 13 hm2 24 dam2 = 1 324 dam2.
Tính: 143 × 25 + 25 × 35 + 75 × 39 + 75 × 139.
143 × 25 + 25 × 35 + 75 × 39 + 75 × 139
= [25 × (143 + 35)] + [75 × (39 + 139)]
= 25 × 178 + 75 × 178
= (25 + 75) × 178
= 100 × 178
= 17 800.
Tính: 144 : 3.
Ta có: 144 : 3 = 48.
15 dm2 = ? cm2.
Ta có: 15 dm2 = 1500 cm2.
Tính: 15 × 15.
Ta có: 15 × 15 = 225.
Tìm x, biết:
3x−155⋅8−158⋅11−1511⋅4−...−1547⋅50=2110.
\[3x - \frac{{15}}{{5 \cdot 8}} - \frac{{15}}{{8 \cdot 11}} - \frac{{15}}{{11 \cdot 4}} - ... - \frac{{15}}{{47 \cdot 50}} = 2\frac{1}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{3}{{5 \cdot 8}} + \frac{3}{{8 \cdot 11}} + \frac{3}{{11 \cdot 14}} + ... + \frac{3}{{47 \cdot 50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{14}} + ... + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5 \cdot \frac{9}{{50}} = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - \frac{9}{{10}} = \frac{{21}}{{10}}\]
3x = 3
x = 1
Vậy x = 1.
Tính:
150 : 2.
Ta có:150 : 2 = 75.
Tìm 30% của 150.
30% của 150 là:
150 × 30 : 100 = 45.
Để đánh số trang 1 cuốn từ điển có 1500 trang cần bao nhiêu chữ số?
Các trang từ 1 đến 9 có 9 trang. Mỗi trang viết 1 chữ số.
Các trang từ 10 đến 99 có 90 trang. Mỗi trang viết 2 chữ số.
Các trang từ 100 đến 999 có 900 trang. Mỗi trang viết 3 chữ số.
Các trang từ 1000 đến 1500 có :
(1500 ‒ 1000) + 1 = 501 (trang)
Mỗi trang viết 4 chữ số.
Vậy phải viết tất cả là:
9 ×1 + 90 × 2 + 900 × 3 + 501 × 4 = 4893 (chữ số).
Đáp số: 4893 chữ số.
3 tạ 2kg + 1500 dag = ? kg.
Ta có: 3 tạ 2kg+1500 dag=302 kg+15 kg=317 kg.
156 cm = ? m.
Ta có: 156 cm = 1,56 m.
15 m 3 cm = ... m.Chỗ chấm là số gì?
Ta có: 15 m 3 cm = 15 m + 0,03 m = 15,03 m.
Chỗ chấm điền số 15,03.
Phân tích đa thức thành nhân tử: 15x ‒ 30y + 20z.
Ta có:
15x ‒ 30y + 20z
= 5(3x ‒ 6y + 4z).
Tính: 16 × 5.
Ta có: 16 × 5 = 80.
Tìm x:
(17x ‒ 25) : 8 + 65 = 92.
(17x ‒ 25) : 8 + 65 = 92
(17x−25):8=81−65
(17x−25):8=16
17x−25=16 ×8
17x−25=128
17x=128+25
17x=153
x =153:17
x=9
Vậy x = 9.
Viết phân số dưới dạng số thập phân?
Ta có: \[\frac{{17}}{8} = \frac{{17 \cdot 125}}{{8 \cdot 125}} = \frac{{2125}}{{1000}} = 2,125.\]
Vì sao 170 chia 3 bằng 1703?
Vì phân số được viết dựa trên phép chia
170 : 3 = 56 (dư 2).
Phép chia 170 : 3 đã được chuyển thành \[\frac{{170}}{3}\].
Tính 1700 : 100.
Ta có: 1700 : 100 = 17.
18 giờ trong hệ 24 giờ là mấy giờ trong hệ 12 giờ?
18 giờ trong hệ 24 giờ là 6 giờ trong hệ 12 giờ.
Chuyển các phân số sau thành số thập phân: 1845,1560,4956 .
Ta có:
\[\frac{{18}}{{45}} = 0,4\]
\[\frac{{15}}{{60}} = 0,25\]
\[\frac{{49}}{{56}} = 0,875\]
Giải phương trình vô tỉ:
18x2−15x+2x=5x+121−x.
Điều kiện: x > 0.
\[18{x^2} - 15x + \frac{2}{x} = \frac{5}{{\sqrt x }} + 12\left( {1 - \sqrt x } \right)\]
\[36{x^2} - 30x + \frac{4}{x} = \frac{{10}}{{\sqrt x }} + 24\left( {1 - \sqrt x } \right)\]
\({\left( {6x} \right)^2} + 2 \cdot 6x \cdot \frac{2}{{\sqrt x }} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)
\({\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)
Đặt \(t = 6x + \frac{2}{{\sqrt x }}\,\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trên trở thành:
\({t^2} - 5t - 24 = 0\)
\({t^2} - 8t + 3t - 24 = 0\)
\(t\left( {t - 8} \right) + 3\left( {t - 8} \right) = 0\)
\(\left( {t - 8} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\)
\(t - 8 = 0\) hoặc \(t + 3 = 0\)
\(t = 8\) (thỏa mãn). hoặc \(t = - 3\) (loại).
Với \(t = 8\) ta có \(6x + \frac{2}{{\sqrt x }} = 8,\) suy ra \(6x\sqrt x - 8\sqrt x + 2 = 0.\)
\(6x\sqrt x - 6\sqrt x - 2\sqrt x + 2 = 0\)
\(6\sqrt x \left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\)
\(6\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x - 2} \right) = 0\)
\(\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x - 2} \right) = 0\)
\(\sqrt x - 1 = 0\) hoặc \(6x + 6\sqrt x - 2 = 0\)
\(\sqrt x = 1\) hoặc \(\sqrt x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{6}\) hoặc \(\sqrt x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{6}\) (loại).
\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}.\)
Tính: 19.63 +36.19+ 19.
19.63 + 36.19 + 19
= 19.(63+36+1)
= 19.100 = 1900.
Tính: 195 × 2.
Ta có: 195 × 2 = 370.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 1983 ‒ x2 ‒ 3y2 + 2xy ‒ 10x + 14y.
B = 1983 ‒ x2 ‒ 3y2 + 2xy ‒ 10x + 14y
= [‒(x ‒y)2 ‒10(x ‒y) ‒25] ‒ 2(y ‒1)2 + 2010
= ‒[(x ‒y) + 5]2 ‒2(y ‒1)2 + 2010
1 cm3 bằng bao nhiêu m3?
Ta có: 1 cm3 =0,000001 m3.
Một cuốn sách khi lưu vào máy tính 4MB. Hỏi 1USB có dung lượng 1GB thì chứa được bao nhiêu cuốn sách như thế?
Đổi 1GB = 1024MB
Cứ 4MB = 1 cuốn thì 10244 MB = 256 cuốn
1 giờ 10 phút bằng bao nhiêu giờ?
Ta có : 10 phút \[ = \frac{{10}}{{60}}\] giờ \[ = \frac{1}{6}\]giờ
1 giờ 10 phút = 1 giờ + \[\frac{1}{6}\]giờ \[ = \frac{7}{6}\]giờ
Vậy 1 giờ 10 phút \[ = \frac{7}{6}\]giờ.
Tính: 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + 7 × 8 + 9 × 10 + 11 × 12 + 13 × 14 + 15 × 16.
1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + 7 × 8 + 9 × 10 + 11 × 12 + 13 × 14 + 15 × 16
= 1 × 2 + 3 × 2 × 2 + 5 × 3 × 2 + 7 × 4 × 2 + 9 × 5 × 2 + 11 × 6 × 2 + 13 × 7 × 2 + 15 × 8 × 2
=1 × 2 + 6 × 2 + 15 × 2 + 28 × 2 + 45 × 2 + 66 × 2 + 91 × 2 + 120 × 2
= 2 × (1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120)
= 2 × 370
= 740.
Tính: 2 : 0 bằng bao nhiêu?
Ta có: 2 : 0 không tính được vì số bị chia phải khác 0.
Tính: B = 2 + 22 + 23 + ... + 2n.
Ta có B = 2 + 22 + 23 + ... + 2n.
Suy ra 2B = 22 + 23 + 24 + … + 2n+1
Do đó 2B – B = (22 + 23 + 24 + … + 2n+1) – (2 + 22 + 23 + ... + 2n)
Nên B = 2n+1 – 2.
2,3 tấn = ? kg.
1 tấn = 1000kg
Vậy 2,3 tấn = 2300 kg.
2 điểm phân biệt là gì?
Hai điểm phân biệt là 2 điểm không trùng nhau.
Thế nào là hai góc phụ nhau?
Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 90°.
Hai góc so le trong là gì?
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm A và B tạo thành 4 góc đỉnh A và 4 góc đỉnh B được đánh số như trên hình vẽ:
Mỗi cặp góc: A3 và B1; A4 và B2 là hai góc so le trong.
Góc trong cùng phía và góc ngoài cùng phía là gì?
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm A và B tạo thành 4 góc đỉnh A và 4 góc đỉnh B được đánh số như trên hình vẽ:
Mỗi cặp góc: A3 và B2; A4 và B1 là hai góc trong cùng phía.
Mỗi cặp góc A1 và B4; A2 và B3 là hai góc ngoài cùng phía.
2 lũy thừa 3 tính như thế nào?
Ta có: 23 = 2.2.2 = 8.
Tính: 210.
Ta có: 210 = 1024.
Tính: 2100.
Ta có: 2100 = (210)10 = 102410.
Tính: 220.
Ta có: 220 = (22)10 = 410.
Tính: 23.
Ta có: 23 = 2.2.2 = 8.
Viết phép tính dưới dạng lũy thừa: 24.43.
24.43 = 24.(22)3 = 24.26 = 210.
Tìm n:
2n ‒ 2 × 3n ‒ 2 = 36.
2n ‒ 2 × 3n ‒ 2 = 36
(2 × 3)n−2 = 36
6n ‒2 = 36
6n ‒2 = 62
n ‒ 2 = 2
n = 4
Vậy n = 4.
Tìm x, biết:
2x . 25 = 32.
2x . 25 = 32
2x . 25 = 25
2x = 1
2x = 20
x = 0
Vậy x = 0.
Giải phương trình:
2x16=2.
\[\frac{{{2^x}}}{{16}} = 2\]
2x : 16 = 2
2x = 2.16
2x = 32
2x = 25
x = 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5.
Giải phương trình:
2x = 2.
2x = 2
2x = 21
x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
Hai người thợ cùng làm chung 1 công việc thì sẽ xong trong 3 giờ. Nếu 1 mình người thứ nhất làm công việc đó thì sẽ xong trong 5 giờ. Hỏi 1 mình người thứ hai làm thì bao nhiêu lâu sẽ xong công việc?
Trong 1 giờ hai người cùng làm được \[\frac{1}{3}\]công việc
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \[\frac{1}{5}\] công việc
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: \[\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}\] công việc.
Người thứ hai làm 1 mình thì sẽ xong công việc trong:
\[1:\frac{2}{{15}} = 7,5\]giờ = 7 giờ 30 phút.
Giải phương trình:
2x2+2x+1=2x+3x2+x+2−1.
Xét phương trình \[2{x^2} + 2x + 1 = \left( {2x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - 1} \right)\] (*)
Đặt \[t = \sqrt {{x^2} + x + 2} \] (t > 1).
Suy ra x2 = t2 ‒ x ‒ 2, thay vào phương trình (*) ta có:
x2 + 2x + 1 + t2 ‒ x ‒ 2 = (2x + 3)(t ‒ 1)
t2 – (2x + 3)(t ‒ 1) + x2 + x – 1 = 0
t2 – (2x + 3)t + x2 + 3x + 2 = 0
t2 ‒ (2x + 3)t + (x + 1)(x + 2) = 0
t = x + 1 hoặc t = x + 2
⦁ Với t = x + 1 ta có:
\[\sqrt {{x^2} + x + 2} = x + 1\]
x ≥ ‒1 và x2 + x + 2 = (x + 1)2
x ≥ ‒1 và x2 + x + 2 = x2 + 2x + 1
x ≥ ‒1 và x = 1
x = 1
⦁ Với t = x + 1 ta có phương trình:
\[\sqrt {{x^2} + x + 2} = x + 2\]
x ≥ ‒2 và x2 + x + 2 = (x + 2)2
x ≥ ‒2 và x2 + x + 2 = x2 + 4x + 4
x ≥ ‒2 và 3x = ‒2
\[x = - \frac{2}{3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, \[x = - \frac{2}{3}\].
Giải phương trình:
2(x+1)2 ‒ (x ‒ 3)(x+3) ‒ (x ‒ 4)2 = 0.
2(x+1)2 ‒ (x ‒ 3)(x+3) ‒ (x ‒ 4)2 = 0
2.(x2+2x+1) ‒ (x2 ‒ 9) ‒ (x2 ‒ 8x+16) = 0
2x2+4x+2 ‒ x2+9 ‒ x2+8x‒16 = 0
12x ‒ 5 = 0
12x = 0+5
12x = 5
X= 5:12
\[x = \frac{5}{{12}}\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = \frac{5}{{12}}\].
Tìm x thuộc ℕ để: 2(x ‒ 3) chia hết cho 2(x ‒ 1).
Ta có 2(x ‒ 3) = 2x – 6 chia hết cho 2(x ‒ 1) = 2x – 2.
Do đó 2x– 2 ‒ 4 chia hết cho 2x – 2.
Suy ra ‒4 chia hết cho 2x – 2.
Nên2x– 2 là ước của ‒4
Mà 2x– 2 là số chẵn và Ư(–4) = {1;–1; 2; –2; 4; –4}.
Suy ra 2x– 2 ∈ {2; –2; 4; –4}.
Ta có bảng sau:
2x – 2 | 2 | –2 | 4 | –4 |
x | 4 | 0 | 6 | –2 |
Mà x là số tự nhiên nên ta có x ∈ {0; 4; 6}.
Vậy x ∈ {0; 4; 6} thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tìm các số nguyên x, biết:
2(x – 3) chia hết cho x ‒ 1.
Ta có:
2(x–3)⋮x−1
2(x−1)−5⋮x−1
Suy ra −5⋮x−1hay x−1∈Ư(−5)={1;−1; 5; −5}.
Ta có bảng giá trị:
x ‒ 1 | ‒5 | ‒1 | 1 | 5 |
x | ‒4 | 0 | 2 | 6 |
Vậy x ∈ {‒4; 0; 2; 6}.
Viết dạng tổng quát của dãy số sau: 2, 8, 18, 32, 50,...
Số hạng thứ nhất (n = 1) là 2: u1 = 2 × 12 = 2;
Số hạng thứ hai (n = 2) là 8: u2 = 2 × 22 = 8;
Số hạng thứ ba (n = 2) là 18: u3 = 2 × 32 = 18;
...........................
Dạng tổng quát: un = 2 × n2 (với n là số hạng đứng thứ n).
Tìm x:
2.3x ‒ 5 = 72.
2.3x ‒ 5 = 72
2.3x = 49 + 5
2.3x = 54
3x = 54 : 2
3x = 27
3x = 33
x = 3
Vậy x = 3.
Tính tổng:
A=23×5+25×7+27×9+...+297×99.
\[A = \frac{2}{{3 \times 5}} + \frac{2}{{5 \times 7}} + \frac{2}{{7 \times 9}} + ... + \frac{2}{{97 \times 99}}\]
\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{97}} - \frac{1}{{99}}\]
\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{{99}}\]
\[ = \frac{{32}}{{99}}.\]
25 của 100m bằng bao nhiêu?
\[\frac{2}{5}\] của 100 m là:
\[\frac{2}{5} \cdot 100 = 40{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Chứng minh: 2ab+3a2+b2≥14 với a, b > 0 và a + b = 1.
Ta có: \[\frac{2}{{ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{1}{{2ab}} + \frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}}\]
Áp dụng bất đẳng thức: Với x, y > 0 ta có \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\], ta có:
\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = 4\]
Suy ra\[\frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 3 \cdot 4 = 12\] (1)
Ta lại có: 12 = (a + b)2 ≥ 4ab. Suy ra \[\frac{1}{2} \ge 2ab\]hay \[\frac{1}{{2ab}} \ge 2\] (2)
Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm.
Rút gọn:
210⋅310−210⋅3929⋅310.
\[\frac{{{2^{10}} \cdot {3^{10}} - {2^{10}} \cdot {3^9}}}{{{2^9} \cdot {3^{10}}}}\]
\[ = \frac{{{2^{10}} \cdot {3^9}\left( {3 - 1} \right)}}{{{2^9} \cdot {3^{10}}}}\]
\[ = \frac{{2 \cdot 2}}{3} = \frac{4}{3}\]
Tính nhanh tổng sau:
S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 264.
Ta có S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 264.
Suy ra 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 265.
2S – S = (2 + 22 + 23 + 24 + ... + 265) ‒ (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 264) = 265 ‒ 1.
Vậy S = 265 ‒ 1.
Cho n thuộc ℕ*, chứng minh rằng các số sau là hợp số: C=226n+2+13.
26n=82n≡1(mod7)
Suy ra 26n=7k+1
26n+2=4(7k+1)=28k+ 24
C=228k+4+13
Mặt khác theo định lý Fermat nhỏ:
(2;29)=1, Suy ra 228−1⋮29, suy ra 228≡1(mod29)
228k≡1(mod29) suy ra 228k+4=16.228k≡16(mod29)
228k+4+13⋮29
Hay C⋮29, suy raC là hợp số.
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 23n + 1 + 23n ‒ 1 + 1 là hợp số.
Ta có: 23 ≡ 1 (mod7) nên (23)n ≡ 1 (mod7).
Suy ra 23n + 1 = 2.(23)n ≡ 2 (mod7) và 23n ‒ 1 = 22.(23)n-1 ≡ 4 (mod7)
Do đó A = 23n + 1 + 23n ‒ 1 + 1 = 2 + 4 + 1 (mod7) ≡ 0 (mod7) nên A ⋮ 7.
Mà n ∈ℕ* nên A > 7.
Vậy 23n + 1 + 23n ‒ 1 + 1 là hợp số.
Tìm 2 chữ số tận cùng của: 2999.
Ta có: \[{2^{999}} = {2^{19}} \cdot {\left( {{2^{20}}} \right)^{49}} = \left( {\overline {...88} } \right) \cdot \left( {\overline {...76} } \right) = \overline {...88} \]
Vậy 2 chữ số tận cùng của 2999 là 88.
Tìm số nguyên p sao cho 2p + 1 chia hết cho p.
Từ giả thiết suy ra p là số nguyên tố lẻ.
Theo Định lí Fermat nhỏ thì 2p − 2 chia hết cho p.
Kết hợp với giả thiết, ta suy ra
3=(2p+1)−(2p−2) chia hết cho p.
Suy ra p = 3.
Tính: 20 × 15
Ta có: 20 × 15 = 300.
Tính nhanh:
20,19 : 0,5 + 20,19 : 0,25 + 20,19 × 4.
20,19 : 0,5 + 20,19 : 0,25 + 20,19 × 4
= 20,19 : [0,5 + 0,25] + 80,76
= 20,19 : 0,75 + 80,76
= 26,92 + 80,76
= 107,68.
Tìm x, biết:
200 ‒ (2x + 6) = 64.
200 ‒ (2x + 6) = 64
2x + 6 = 200 – 64
2x + 6 = 136
x + 6 = 136 : 2
x + 6 = 68
x = 68 ‒ 6
x = 62
Vậy x = 62.
Tính:
2000 : 600.
2000 : 600 = 3,333...
So sánh:
20182019 và 20192020.
\[1 - \frac{{2018}}{{2019}} = \frac{1}{{2019}}\]
\[1 - \frac{{2019}}{{2020}} = \frac{1}{{2020}}\]
Ta có 2019 < 2020, suy ra \[\frac{1}{{2019}} > \frac{1}{{2020}}\]
Suy ra \[ - \frac{1}{{2019}} < - \frac{1}{{2020}}\]
Suy ra \[1 - \frac{1}{{2019}} < 1 - \frac{1}{{2020}}\]
Vậy \[\frac{{2018}}{{2019}} < \frac{{2019}}{{2020}}\].
Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn:
2018x = 2017y + 2016z.
2016z + 2017y = 2018x
Trường hợp 1: Nếu z = 0thì 20160+2017y= 2018x
Hay 1+2017y=2018xsuy ra y=1;x=1.
Trường hợp 2: Nếu y = 0 thì 2016z+20170=2018x
Hay 2016z+1=2018x
Vế trái là số lẻ khi x ≥ 1
Vế phải là số chẵn khi x ≥ 1
Suy ra TH2 bị loại.
Trường hợp 3: Nếu x,y,z≠0
2016z+2017y là số lẻ
2018x là số chẵn
Suy ra TH3 bị loại
Vậy z = 0; y = 1; x = 1.
Kết quả của phép tính:
20212022 : 20212021.
Ta có: 20212022 : 20212021 = 20212022 ‒ 2021 = 20211 = 2021.
Tìm x:
2023 + 2022 + 2021 + 2020 + ... + x = 2023.
2023 + 2022 + 2021 + 2020 + ... + x = 2023
2022+2021+....+x=2023 ‒ 2023
2022+2021+...+x=0
Tính:
208 : 6 = ?
Ta có: 208 : 6 = 34 dư 4.
Tìm các cặp số nguyên (p; q) thỏa mãn phương trình sau: 20p3 = 1 + q3.
20p3 = 1 + q3
20p3 ‒ q3 = 1
Nếu p = 0, thì q3 = ‒1 nên q = ‒1
Vậy (0, ‒1) là một cặp nghiệm.
Tiếp tục thử nghiệm các giá trị khác của p, không có giá trị của p, q thỏa mãn.
Vậy cặp số nguyên (p, q) thỏa mãn phương trình (0, ‒1).
Tính: 210 + 12.
Ta có: 210 + 12 = 222.
213 : 6 dư mấy?
213 : 6 = 35 dư 3.
Tính: 21 × 7.
Ta có: 21 × 7 = 147.
Tính: 220 − [32.33 − (12 − 70)2].
220−[32.33−(12−70)2]
=220−[35−112]
=220−[243−121]
=220−122=98.
Một siêu thị điện máy nhập về một lô hàng gồm 120 chiếc máy giặt với giá 8 triệu đồng một chiếc. Sau khi bán 80 chiếc với giá bằng 120% giá vốn, số máy còn lại cửa hàng bán với giá chỉ bằng 60% giá đã bán trước đó.
a) Tính tổng số tiền thu được khi bán 80 chiếc máy giặt lúc đầu.
b) Sau khi bán hết lô hàng thì siêu thị lời hay lỗ bao nhiêu phần trăm? (làm tròn đến hàng phần mười).
120% giá vốn là:
8 000 000 . 120% = 9 600 000 (đồng)
a) Số tiền thu được khi bán 80 chiếc máy giặt với giá bằng 120% giá vốn:
9 600 000 . 80 = 768 000 000 (đồng)
b) Số máy giặt còn lại:
120 – 80 = 40 (máy)
Giá mỗi máy bán lúc sau:
9 600 000 . 60% = 5 760 000 (đồng)
Số tiền bán 40 máy giặt lúc sau:
5 760 000 . 40 = 230 400 000 (đồng)
Tổng số tiền thu được sau khi bán hết máy giặt:
768 000 000 + 230 400 000 = 998 400 000 (đồng)
Số tiền vốn mua 120 máy giặt:
8 000 000 . 120 = 960 000 000 (đồng)
Do 998 400 000 > 960 000 000 nên cửa hàng lãi số tiền là:
998 400 000 – 960 000 000 = 38 400 000 (đồng)
Số phần trăm tiền lãi so với vốn:
38 400 000 . 100% : 960 000 000 = 4%.
Chu vi của một đa giác là 158 cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3 cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Số các cạnh của đa giác đó là:
5.
3.
4.
6.
Đáp án đúng là: C
Gọi số cạnh của đa giác đó là n (n ∈ ℕ*).
Số đo các cạnh của đa giác lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3 cm, chu vi của đa giác là 158 cm nên Sn = 158.
Cạnh lớn nhất là 44 cm ⇒ un = 44 ⇒ u1 + (n – 1).3 = 44 ⇒ u1 = 47 – 3n
⇒ \[{S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\]
⇔ \(158 = \frac{{n\left( {47 - 3n + 44} \right)}}{2}\)
⇔ 316 = 91n – 3n2
Suy ra: n = 4 vì n ∈ ℕ*
Vậy đa giác đó có 4 cạnh.
Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?
Trong hình vẽ trên, quy ước:
Cặp thỏ nhỏ là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
Cặp thỏ to hơn là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Quan sát hình vẽ trên ta thấy:
Tháng giêng và tháng hai: Chỉ có 1 cặp thỏ.
Tháng Ba: Cặp thỏ này sẽ đẻ ra một cặp thỏ con, do đó trong tháng này có 2 cặp thỏ.
Tháng Tư: Chỉ có cặp thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 cặp thỏ.
Tháng Năm: Có hai cặp thỏ (cặp thỏ đầu và cặp thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 cặp thỏ.
Tháng Sáu: Có ba cặp thỏ (2 cặp thỏ đầu và cặp thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 cặp thỏ.
…
Quá trình này có thể được khái quát như sau:
Nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số cặp thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Với n = 1 ta được f(1) = 1.
Với n = 2 ta được f(2) = 1.
Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 3 ta được: f(n) = f(n - 1) + f(n – 2).
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các cặp thỏ sinh ra ở tháng n - 1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này cặp thỏ tháng thứ n–2 sinh ra một cặp thỏ con nên số cặp thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n – 2).
Một đơn vị bộ đội dự trữ đủ gạo cho 150 người ăn trong 25 ngày nhưng đơn vị phải chuyển 25 người đi nơi khác hỏi số gạo dự trữ đủ cho số người còn lại ăn trong bao nhiêu ngày?
Sau khi chuyển đi số người còn lại là:
150 – 25 = 125 (người)
Số gạo dự trữ đủ cho số ngày ăn là:
150 : 125 . 25 = 30 (ngày)
Đáp số: 30 ngày.
Một hình bình hành ABCD có AB = 71 cm. Người ta thu hẹp hình bình hành đó thành hình bình hành AEGD có diện tích nhỏ hơn diện tích hình bình hành ban đầu là 6550 m2 và EB = 19 cm. Tính diện tích hình bình hành ban đầu.
Phần diện tích giảm đi khi thu hẹp hình bình hành ABCD thành hình bình hành AEGD chính là diện tích hình bình hành EBCG và bằng 665cm2
Chiều cao của hình bình hành EBCG hay ABCD là:
665 : 19 = 35 (cm)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
71 . 35 = 2485 (cm2)
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 2485 cm2.
Một hình chữ nhật có chu vi 160m, nếu cắt chiều dài đi 8m và kéo chiều rộng thêm 8m thì hình mới là hình vuông. So sánh:
a) Chu vi hình chữ nhật và hình vuông.
b) Diện tích hình vuông và hình chữ nhật.
a) Nửa chu vi hình chữ nhật là: 160 : 2 = 80 (m).
Nếu cắt chiều dài đi 8m và kéo chiều rộng thêm 8m thì nửa chu vi hình vuông là:
80 – 8 + 8 = 80 (m)
Vì nửa chu vi hình chữ nhật bằng nửa chu vi hình vuông bằng nhau nên chu vi của chúng cũng bằng nhau.
Vậy chu vi hình chữ nhật và chu vi hình vuông bằng nhau.
b) Diện tích hình vuông là: (80 : 2) . (80 : 2) = 1600 (m2)
Chiều dài hình chữ nhật là: (80 + 8 + 8) : 2 = 48 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 80 – 48 = 32 (m)
Diện tích hình chữ nhật là: 48 . 32 = 1536 (m2)
Vì 1600m2 > 1536m2 nên diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật.
Một hình thang có diện tích là 207 cm2, chiều cao là 9 cm. Tính độ dài mỗi đáy, biết đáy lớn hơn đáy bé là 10 cm.
Tổng độ dài 2 đáy là:
207 . 2 : 9 = 46 (cm)
Đáy lớn hình thang là:
(46 + 10) : 2 = 28 (cm)
Đáy bé là:
46 – 28 = 18 (cm).
Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3.000.000 đồng trên 100m2, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180. Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau:
Trồng 600m2 đậu, 200m2 cà.
Trồng 500m2 đậu, 300m2 cà.
Trồng 300m2 đậu, 500m2 cà.
Trồng 200m2 đậu, 600m2 cà.
Đáp án đúng là: A
Gọi x là diện tích trồng đậu, y là diện tích để trồng cà (0 ≤ x ≤ 800, 0 ≤ y ≤ 800)
Vì số công nhân không quá 180 người
⇒ 20x + 30y ≤ 180 hay 2x + 3y ≤ 18
Diện tích trồng đậu, cà chỉ là 800m2
⇒ 100x + 100y ≤ 800 hay x + y ≤ 8
Biểu thức F(x; y) cho số tiền lãi được là 3x + 4y
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 800\\0 \le y \le 800\\2x + 3y \le 18\\x + y \le 8\end{array} \right.\)
Miền nghiệm là miền tam giác với các điểm O(0; 0), C(0; 6), B(6; 2), A(8; 0).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác không bị gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên).
Ta cần tìm x và y sao cho 3x + 4y lớn nhất
Khi đó:
F(0; 0) = 3.0 + 4.0 = 0
F(0; 6) = 3.0 + 4.6 = 24
F(6; 2) = 3.6 + 4.2 = 26
F(8; 0) = 3.8 + 4.0 = 24
Vì F(6; 2) = 26 ⇒ max F(x; y) = 26 khi x = 6 và y = 2
Tức là phải trồng 600m2 đậu, 200m2 cà.
Một học sinh đo chiều dài của bàn học, kết quả thu được như sau d = 120 ± 1 cm. Sai số tỉ đối của phép đo là:
0,83%.
8,3%.
0,38%.
3,8%.
Sai số tỉ đối của phép đo là:
\[\varepsilon = \frac{1}{{120}}.100 = 0,83\% \]
Đáp án đúng là: A
Một hộp đựng đồ dạng khối lập phương có độ dài cạnh là 25 cm. Tính thể tích hình lập phương?
Thể tích hình lập phương là:
25 . 25 . 25 = 15625 (cm3)
Một khu vườn hình chữ nhật được xây bên cạnh một ngôi nhà. Chiều dài của khu vườn gấp 2 lần chiều rộng. Chủ nhà muốn xây một hàng rào bao quanh 3 cạnh của khu vườn (không cần rào cạnh giáp với nhà).
Nếu tổng chiều dài hàng rào cần xây là 24m, hãy tính:
a) Chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
b) Diện tích của khu vườn.
Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m).
Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng, nên chiều dài là 2x (m).
Khu vườn có 3 cạnh cần rào, gồm:
+)2 cạnh chiều rộng (x+x)
+)1 cạnh chiều dài (2x)
Tổng chiều dài hàng rào là 24m, nên ta có phương trình:
x+x+2x=24
4x = 24
x = 6
a) Chiều rộng khu vườn là: 6m
Chiều dài khu vườn là: 6.2 = 12 (m)
b) Diện tích khu vườn là:
12 . 6 = 72 (m2).
Một lớp có 17 học sinh đăng kí tham gia một trong ba câu lạc bộ của trường là: câu lạc bộ Cầu lông, câu lạc bộ Sách và câu lạc bộ Tình nguyện, trong đó có 9 em tham gia câu lạc bộ Cầu Lông, 9 em tham gia Câu lạc bộ Tình nguyện, ở em tham gia câu lạc bộ Sách. Biết có 3 em tham gia cả hai câu lạc bộ Câu lông và câu lạc bộ Sách, 3 em tham gia cả hai câu lạc bộ Cầu lông và câu lạc bộ Tình nguyện, 4 em tham gia cả hai câu lạc bộ Tình nguyện và câu lạc bộ Sách. Hỏi có bao nhiêu em chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ Cầu lông?
Để tìm số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông (A), ta sẽ tính số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ liên quan đến Cầu lông và loại bỏ những học sinh này từ tập hợp A.
Số học sinh tham gia cả Câu lạc bộ Cầu lông và Tình nguyện (A ∩ B): Có 3 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ này.
Số học sinh tham gia cả Câu lạc bộ Cầu lông và Sách (A ∩ C): Có 3 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ này.
Số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông:
Số học sinh chỉ tham gia Cầu lôngSố học sinh chỉ tham gia Cầu lông
= |A| − |A ∩ B| − |A ∩ C| = 9 − 3 − 3 = 3 = 3
Vậy có 3 học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 144m, chiều rộng bằng 35 chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Nửa chu vi mảnh vườn là:
144 : 2 = 72 (m)
Chiều rộng mảnh vườn là:
72 : (3 + 5) . 3 = 27 (m)
Chiều dài mảnh vườn là:
72 – 27 = 45 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
45 . 27 = 1215 (m2)
Một mảnh đất hình vuông có diện tích là 81m2. Tính chu vi mảnh đất.
Cạnh mảnh đất hình vuông là 9 m vì 9 . 9 = 81.
Chu vi mảnh đất là:
9.4 = 36 (m).
Một mảnh vườn dạng hình chữ nhật có chiều dài 20 m, chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Ở giữa mảnh vườn theo chiều dài, người ta làm một lối đi rộng 1 m. Phần đất còn lại để trồng cây. Diện tích đất trồng cây là?
Chiều rộng mảnh vườn là:
20 : 2 = 10 (m)
Diện tích lối đi là:
1 . 20 = 20 (m2)
Diện tích mảnh vườn là:
20 . 10 = 200 (m2)
Diện tích đất trồng cây là:
200 – 20 = 180 (m2)
Đáp số: 180 m2
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 23 chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn đó, biết rằng chiều dài hơn chiều rộng 9 m.
Hiệu số phần bằng nhau là:
3 – 2 = 1 (phần)
Chiều dài hình chữ nhật là:
9 : 1 . 3 = 27 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
9 : 1 . 2 = 18 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
27 . 18 = 486 (m2)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng 35 m, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đó?
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là:
35 . 2 = 70 (m)
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:
70 . 35 = 2450 (m2)
Một hình vuông có cạnh là 8,5 m. Tính chu vi và diện tích hình vuông.
Chu vi hình vuông là:
8,5 . 4 = 34 (m)
Diện tích hình vuông là:
8,5 . 8,5 = 72,25 (m2)
Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh 8,5 m. Dọc theo một cạnh của mảnh vườn, người ta muốn xây một lối đi rộng 1,5 m.
a) Tính diện tích ban đầu của mảnh vườn.
b) Tính diện tích lối đi.
a) Diện tích mảnh vườn là:
8,5 . 8,5 = 72,25 (m2)
b) Lối đi được xây dọc theo một cạnh của mảnh vườn và có chiều rộng 1,5m.
Lối đi có hình chữ nhật, với:
Chiều dài = 8,5m (bằng cạnh của vườn)
Chiều rộng = 1,5m
Diện tích lối đi là:
8,5 . 1,5 = 12,75 (m2)
Một người đi du lịch bằng xe đạp, xuất phát lúc 5h30 với vận tốc 15km/h. người đó dự định đi được nửa quảng đường sẽ nghỉ 30 phút và đến 10h sẽ tới nơi. Nhưng sau khi nghỉ 30 phút thì xe bị hỏng và phải sửa xe mất 20 phút. Hỏi trên đoạn đường còn lại người đó phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến đích đúng dự định?
Đổi: 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ; 20 phút = \(\frac{1}{3}\)giờ
Thời gian người đó dự định đi là :
t1 = 10 – \(\frac{1}{2}\) − 5,5 = 4 (h)
Quãng đường người đó đi là:
s1 = v1 . t1 = 15 . 4 = 60 (km)
Thời gian đi nửa quãng đường còn lại:
\({t_2} = \frac{{{s_1}}}{{2{v_1}}} = \frac{{60}}{{2.15}} = 2\left( h \right)\)
Thời gian người đó đi đúng theo dự định là:
\({t_3} = {t_2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\left( h \right)\)
Vận tốc trên quãng đường còn lại người đó phải đi để đến đích đúng dự định là :
\({v_2} = \frac{{{s_1}}}{{{t_3}}} = \frac{{60}}{{\frac{5}{3}}} = 36\left( {km/h} \right)\).
Một người đi làm với mức lương khởi điểm là 6 triệu đồng một tháng. Cứ sau 6 tháng, lượng người đó tăng thêm 5%. Tính tổng số lương người đó nhận được sau mười năm đi làm.
Tổng lương trong 6 tháng đầu tiên (chưa tăng lương):
S1=6×6=36 (triệu)
Tổng lương trong 6 tháng tiếp theo (sau khi tăng 5%):
S2=(6×1.05)×6=37,8 (triệu)
Đổi 10 năm = 120 tháng = 20 lần . 6 tháng
Suy ra: tổng số lương người đó nhận được sau mười năm đi làm là:
\(36.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^{20}}}}{{1 + \left( {1 + 5\% } \right)}} = 1190,4\)(triệu).
Một người đi xe máy đi thẳng 6 km theo hướng Đông, sau đó rẽ trái đi thẳng theo hướng Bắc 3 km rồi quay sang hướng Tây đi 3 km. Tính quãng đường đi được của xe máy.
Quãng đường đi được là:
6 km (Đông) + 3 km (Bắc) + 3 km (Tây) = 12 km.
Một người đi xe máy giờ thứ nhất đi được 37 quãng đường giờ thứ hai đi được 13 quãng đường giờ thứ ba người đó đi nốt 60 km thì hết quãng đường. Hỏi quãng đường dài bao nhiêu mét?
Phân số chỉ 60 km còn lại là:
\(1 - \frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{{21}}\)(quãng đường)
Độ dài quãng đường đó là:
\(60:\frac{5}{{21}} = 252\left( {km} \right) = 252000\left( m \right)\).
Một người quản lí của một khu chung cư có 80 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 7 triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Gọi x là số lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng. Giá thuê mỗi căn hộ sẽ là 7.000.000 + 100.000x (đồng)
Số căn hộ cho thuê sẽ là 80 - x (căn hộ)
Doanh thu R(x) sẽ là tích của giá thuê mỗi căn hộ và số căn hộ cho thuê:
R(x) = (7.000.000 + 100.000x)(80 - x)
Để tìm giá trị x làm cho doanh thu lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm số R(x). Ta có thể khai triển biểu thức R(x) và tìm đạo hàm:
R(x) = 560.000.000 + 8.000.000x - 7.000.000x - 100.000x²
= -100.000x² + 1.000.000x + 560.000.000
R'(x) = -200.000x + 1.000.000
Xét R'(x) = 0 ⇔-200.000x + 1.000.000 = 0⇔x = 5
Giá thuê mỗi căn hộ để doanh thu lớn nhất là:
7.000.000 + 100.000 * 5 = 7.500.000 (đồng)
Vậy với giá thuê 7.500.000 đồng để doanh thu lớn nhất.
Một người thợ cần làm một cái thùng hình lập phương để chứa đựng đúng 125 lít nước. Hai người thợ đó phải làm thùng có cạnh bao nhiêu?
Ta có: 125 lít = 125dm3
Cạnh của thùng hình lập phương đó là:
\(\sqrt[3]{{125}} = 5\left( {dm} \right)\)
Đáp số: 5dm.
Một ô tô chạy trong giờ đầu được 14 quãng đường, giờ thứ hai ô tô chậy được 25 quãng đường , giờ thứ ba ô tô chạy được 28km thì hết quãng đường. Hỏi quãng đường đó dài bao nhiêu ki lô mét?
Trong 2 giờ đầu, ô tô đi được:
\(\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{{13}}{{20}}\)(quãng đường)
Phân số chỉ 28km là:
\(1 - \frac{{13}}{{20}} = \frac{7}{{20}}\)(quãng đường)
Quãng đường đó dài số km là:
\(28:\frac{7}{{20}} = 80\left( {km} \right)\)
Một sân bay có dịch vụ gửi hành lí với 150 tủ chứa đồ cho thuê với giá mỗi tủ là 200 nghìn đồng một ngày. Với giá hiện tại, tất cả các ngày đều được thuê kín chỗ. Do chi phí vận hành tăng nên giá cho thuê đang được xem xét điều chỉnh. Theo quy định, mức tăng giá là bội số của 10 nghìn đồng và sẽ được thí điểm lần lượt các mức trong một thời gian nhất định. Sau một thời gian thí điểm, nhà quản lý nhận thấy với mỗi 10 nghìn đồng tăng thêm, có 5 tủ bị bỏ trống không có người thuê trong ngày tương ứng. Hỏi mức giá chính thức mới cần được tăng lên bao nhiêu để doanh thu một ngày là lớn nhất?
Gọi x là số lần tăng giá 10.000 đồng.
Giá thuê mới:
P(x) = 200.000 + 10.000x
Số tủ có người thuê:
N(x)=150−5x
Doanh thu mỗi ngày:
R(x)=P(x)×N(x)
=(200.000+10.000x)×(150−5x)
= 30.000.000 + 500.000x – 50.000x2
Doanh thu được biểu diễn dưới dạng R(x) là một hàm số bậc hai, có hệ số
a = -50.000 nên parabol có đỉnh là điểm cực đại, ứng với mức doanh thu lớn nhất.
Cực đại của R(x) đạt tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 500.000}}{{2.\left( { - 50.000} \right)}} = 5\)
Số lần tăng giá 10.000 đồng tối ưu là x = 5, tức mức giá mới là:
200.000 + 10.000 × 5 = 250.000 (đồng)
Vậy với mức giá mới 250.000 đồng thì doanh thu mỗi ngày là lớn nhất.
Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 16m. Hai lần chiều dài kém 5 lần chiều rộng 28m. Tính chiều dài và chiều rộng.
Gọi chiều dài sân trường là x (m) (x > 16)
Thì chiều rộng sân trường là x – 16 (m)
Theo bài ra ta có:
2x + 28 = 5(x – 16)
2x + 28 = 5x – 80
3x = 108
x = 108 : 3
x = 36
Vậy chiều dài sân trường là 36m
Chiều rộng sân trường là:
36 – 16 = 20 (m)
Trong các số sau, số nào viết được viết dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với mũ số lớn hơn 1:
15.
16.
17.
18
Đáp án đúng là B
Vì 16 = 42 = 24
Một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi là 38cm. Người ta cắt bớt chiều dài tấm bìa đi 3cm thì tấm bìa còn lại thành hình vuông. Tính diện tích tấm bìa hình vuông?
Người ta cắt bớt chiều dài tấm bìa đi 3cm thì tấm bìa còn lại thành hình vuông tức là chiều dài hơn chiều rộng 3cm
Nửa chu vi tấm bìa là:
38 : 2 = 19 (cm)
Chiều rộng tấm bìa hay cạnh hình vuông là:
(19 – 3) : 2 = 8 (cm)
Diện tích tấm bìa hình vuông sau khi cắt là:
8 . 8 = 64 (cm2)
Một tấm bìa (phần kẻ) là một phần của hình tròn. Bạn Bình đo được độ dài đoạn thẳng AD = 10cm, khoảng cách IE = 3cm với I là trung điểm của AD và IE ⊥ AD. Hỏi độ dài cung tròn AD bằng bao nhiêu?
Nối A với E, D với E ta được hình vẽ:
Vì IE là đường cao của tam giác vuông AIE nên áp dụng định lý Pytago ta có:
AI2 + IE2 = AE2 ⇒ \(AI = \sqrt {A{E^2} - I{E^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {3^2}} = \sqrt {91} \left( {cm} \right)\)
Suy ra độ dài cung tròn AD là: 2𝛑.AI = \(2\pi \sqrt {91} \left( {cm} \right)\)
Một thợ lặn có vị trí cách mặt nước 8m, 1 con tàu đắm ở góc 70 độ. Sau khi cùng xuống tới 1 điểm cao hơn 14m so với đáy đại dương, thợ lặn nhìn thấy con tàu đắm ở góc 57 độ. Tính chiều sâu con tàu đắm.
AC là khoảng cách từ mặt nước đến đáy con tàu bị đắm dưới nước.
Gọi B là vị trí mà người đó lặng xuống sao cho khoảng cách từ điểm đó đến vị trí con tàu đắm là 14m, CD là độ dài của con tàu
Đặt CD = x; AB = y
Tam giác BCD vuông tại C có \(\tan \widehat {CBD} = \frac{x}{{14}} \Rightarrow x = 14.\tan \widehat {CBD} = 14.\tan 33^\circ \)(1)
Có: \(\widehat {CAD} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \)
Tam giác ACD vuông tại C có:
\(\tan \widehat {CAD} = \frac{x}{{y + 14}} \Rightarrow x = 14.\tan \widehat {CAD} = \left( {y + 14} \right).\tan 20^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 14.tan33° = (y + 14).tan20°
⇒ y ≈ 10,979 (m)
Chiều sâu con tàu đắm là: 8 + 14 + 10,979 ≈ 32,979 (m).
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60m. Chiều rộng bằng 14 chiều dài.Trung bình cứ 100m2 thì thu hoạch được 50kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng người ta thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?
Chiều rộng hình chữ nhật là:
60 : 4 = 15 (m)
Diện tích thửa ruộng là:
60 . 15 = 900 (m2)
Người ta thu hoạch được số kg thóc là:
900 : 100 . 50 = 450 (kg)
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 160m . Chiều rộng bằng 58 chiều dài . Diện tích thửa ruộng đó là?
Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật là:
160.58=100m
Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật là:
160 × 100 = 16000 (m2)
Đáp số: 16000m2
Một trường bán trú dự trữ số gạo đủ cho 150 học sinh ăn trong 124 ngày . Nếu trường nhận thêm 36 học sinh nữa thì số gạo trên dùng đủ ăn trong bao nhiêu ngày?
1 học sinh ăn hết số gạo đó trong:
150 . 124 =18600 (ngày)
Nếu nhận thêm 36 học sinh nữa thì có tất cả:
150 + 36 = 186 (học sinh)
Số gạo đó đủ ăn trong:
18600 : 186 = 100 (ngày)
Đáp số: 100 ngày
Một vườn hoa hình vuông có diện tích là 81cm2. Tính chu vi vườn hoa?
Ta có: 9 . 9 = 81
Nên cạnh của vườn hoa hình vuông là 9cm
Chu vi vườn hoa là:
9.4 = 36 (cm).
Đáp số: 36cm.
Một xe tải có thùng xe dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 5,6m, chiều rộng 2m và chiều cao 2m.
a) Tính thể tích thùng xe tải.
b) Người ta chất lên thùng xe tải những gói hàng đóng theo dạng hình lập phương cạnh 0,5m. Hỏi có thể chất lên thùng xe tải tối đa bao nhiêu gói hàng
a) Thể tích thùng xe tải:
5,6 . 2 . 2 = 22,4 (m³)
b) Thể tích gói hàng:
0,5³ = 0,125 (m³)
Số gói hàng tối đa thùng xe có thể chở:
22,4 : 0,125 = 179,2 (gói) ≈ 179 (gói)
Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao hàng là ít nhất?
Gọi chu kỳ sản xuất là x ngày, x ∈ ℕ*
Gọi số đơn vị nguyên liệu cần mua một lần là x đơn vị, x > 0
Chi phí lưu trữ x đơn vị nguyên liệu mỗi ngày là 10x (USD)
Chi phí trung bình hằng ngày là: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n}\)
Do xưởng sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày: \(\frac{x}{n} = 5 \Rightarrow x = 5n\)
Ta có: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n} = \frac{{5000}}{n} + 10x\)
⇒ \(C = \frac{{5000}}{n} + 10.5n = \frac{{5000}}{n} + 50n \ge 2\sqrt {\frac{{5000}}{n}.50n} = 1000\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{5000}}{n} = 50n \Rightarrow n = 100\)
Vậy cần đặt 5.100 = 500 đơn vị nguyên liệu sau mỗi 100 ngày để chi phí trung bình hằng ngày là ít nhất.
Tìm số tự nhiên n để n2 + 4n + 96 chia hết cho n + 1
Ta có: n2 + 4n + 96
= n2 + n + 3n + 96
= n(n + 1) + 3(n + 1) + 93
Vì n(n + 1) ⋮ n + 1 và 3(n + 1) ⋮ n + 1
Nên để n2 + 4n + 96 ⋮ n + 1 thì 93 ⋮ n + 1
Hay n + 1 ∈ Ư(93)
Vì n là số tự nhiên nên n + 1 ∈ {1; 3; 31; 93}
⇒ n ∈ {0; 2; 30; 92}
Vậy n ∈ {0; 2; 30; 92}.
Chứng minh: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi n thuộc ℕ, n khác 0
Ta có: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ ℕ)
A = t(t + 2) = t2 + 2t
Ta thấy: t2 < t2 + 2t < t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
Mà t2 và (t + 1)2 là 2 số chính phương liên tiếp nên t2 + 2t không phải là số chính phương
Vậy A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương.
Chứng minh công thức nn−12 là công thức tìm số cặp góc đối đỉnh
Nếu có n đường thẳng bất kỳ (không song song, không trùng nhau), thì mỗi cặp đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Vì mỗi cặp đường thẳng tạo đúng 1 cặp góc đối đỉnh, số cặp góc đối đỉnh được tính bằng số giao điểm của n đường thẳng, chính là số cách chọn 2 đường thẳng bất kỳ trong n đường thẳng là:
\(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{1.2.3...n}}{{2.\left[ {1.2.3....\left( {n - 2} \right)} \right]}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
Vậy công thức \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) có thể sử dụng để tính số cặp góc đối đỉnh nếu xét trong hệ thống gồm n đường thẳng bất kỳ.
a) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Đặt n2 + 2006 = a2 (a ∈ ℤ)
⇒ 2006 = a2 - n2 = (a - n)(a + n) (1)
Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2
⇒a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ
+) TH1: a + n và a - n cùng lẻ ⇒ (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)
+) TH2: a + n và a - n cùng chẵn ⇒ (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)
Vậy không có n thỏa mãn n2+2006 là số chính phương
b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ n không chia hết cho 3
⇒ n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∈N*)
+) n = 3k + 1 thì n2 + 2006 = (3k + 1)2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
⇒ n2 + 2006 là hợp số
+) n = 3k + 2 thì n2 + 2006 = (3k + 2)2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
⇒ n2 + 2006 là hợp số
Vậy n2 + 2006 là hợp số.
Chứng minh rằng n2 + n + 1 không chia hết cho 4.
Ta có n2 + n +1 = n(n+1) +1
Nếu n lẻ ⇒ n+1 chẵn ⇒ n(n+1) chẵn ⇒ n(n+1) +1 lẻ
⇒ n(n+1) không chia hết cho 4
Nếu n chẵn ⇒ n(n+1) chẵn ⇒ n(n+1) +1 lẻ
⇒ n(n+1) +1 không chia hết cho 4
Vậy với mọi n thì n2 + n +1 không chia hết cho 4
Năm 1968 thuộc thế kỷ bao nhiêu?
Năm 1968 thuộc thế kỷ 20, là khoảng thời gian tính từ năm 1901 đến hết năm 2000
Năm 938 thuộc thế kỷ bao nhiêu?
Năm 938 thuộc thế kỉ nào X, là khoảng thời gian tính từ năm 901 đến năm 1000.
Nam có 18 viên bi. Tùng có 22 viên bi. Hùng có số bi bằng trung bình cộng của ba bạn và ít hơn 2 viên bi. Tính thử xem số bi của Hùng là bao nhiêu?
Trung bình cộng số bi của ba bạn là:
(18 + 22 – 2 ) : 2 = 19 (viên)
Số bi của Hùng là:
19 – 2 = 17 (viên)
Đáp số: 17 viên.
Thế kỉ XX có bao nhiêu năm nhuận?
Dãy số các năm nhuận của thế kỉ XX là: 1904, 1908, 1912, ..., 1996, 2000.
Đây là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu là 1904, số hạng cuối là 2000
Gọi số năm nhuận của thế kỉ XX là n
Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
2000 = 1904 + (n – 1).4
Suy ra: n = 25
Vậy thế kỉ XX có 25 năm nhuận.
Thế nào là nằm cùng phía, khác phía?
- Hai điểm cùng phía có nghĩa là hai điểm cùng nằm một phía bên trái hay bên phải.
- Hai điểm khác phía là hai điểm không cùng một bên mà bị tách ra hai bên khác nhau bởi một điểm khác.
Ví dụ: Chỉ ra các điểm nằm cùng phía, nằm khác phía đối với điểm A trên hình vẽ?
Ta thấy điểm E và B nằm cùng phía đối với điểm A, điểm C và D nằm khác phía đối với A
Nếu a2 chia hết cho b2 thì a có chia hết cho b không? Vì sao?
Giả sử a2 chia hết cho b2 nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên aaa và b sao cho: a2 = kb2 (với k là số nguyên)
Nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên dương r sao cho:
a = qb + r, 0 < r < b với q là số nguyên.
Từ giả thiết a2 = kb2 , ta xét đồng dư của a2 theo b:
a2 ≡ 0 (modb2)
Tuy nhiên, nếu a không chia hết cho b, thì viết lại dưới dạng chuẩn Euclid:
a = qb + r
Bình phương hai vế:
a2 = (qb + r)2 = q2b2 + 2qbr + r2
Lấy đồng dư theo b2: a2 ≡ 2qbr + r2 (modb2)
Vì a2 ≡ 0 (modb2)
Nên: 2qbr + r2 ≡ 0(modb2)
Do 0 < r < b, ta thấy r2 < b2, nên r2 không thể chia hết cho b2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a2 chia hết cho b2
Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết a không chia hết cho b là sai.
Vậy nếu a2 chia hết cho b2 thì a có chia hết cho b.
Nếu bớt chiều dài một khu vườn hình chữ nhật đi 8m thì được một hình vuông có diện tích 121m2. Người ta đóng cọc xung quanh khu vườn đó chỉ để cửa ra vào rộng 2m và 2 cọc liền nhau cách nhau 1m. Hỏi cần bao nhiêu cái cọc? ( hai bên cửa ra vào cũng có cọc)
Cạnh khu vườn lúc sau là 11m ( vì 121 = 11 . 11)
Chiều dài khu vườn là :
11 + 8 = 19( m)
Chu vi khu vườn là :
(19 + 11) . 2 = 60 (m)
Có số cọc là :
(60 + 2) : 1 + 1 = 63 ( cọc)
Đáp số : 63 cọc
Nếu cot1,25.tan4π+1,25−sinx+π2.cos6π−x=0 thì tan x bằng?
\(\cot 1,25.\tan \left( {4\pi + 1,25} \right) - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).\cos \left( {6\pi - x} \right) = 0\)
⇔ cot1,25 . tan1,25 – cosx.cos(-x) = 0
⇔ 1 – cos2x = 0
⇔ sin2x = 0
⇔ sinx = 0
Suy ra: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\)
Vậy tan x = 0.
Nếu dùng 2 máy bơm cùng loại để bơm nước chống hạn cho một cánh đồng thì phải bơm nước trong vòng 10 ngày. Hỏi nếu có 5 máy bơm như thế thì chỉ cần bơm nước trong mấy ngày?
Nếu chỉ có 1 máy bơm thì phải bơm nước trong số ngày là:
2 . 10 = 20 (ngày)
5 máy bơm như thế thì chỉ cần bơm trong số ngày là:
20 : 5 = 4 (ngày)
Đáp số : 4 ngày
Hôm nay là ngày thứ 3. Hỏi 100 ngày sau vào thứ mấy của tuần lễ?
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có: 100 : 7 = 14 (dư 2).
Sau đúng 14 tuần lại đến ngày thứ ba và hai ngày sau là ngày thứ năm.
Vậy 100 ngày sau là ngày thứ năm trong tuần lễ.
Đáp số: ngày thứ năm
Nếu ngày mai là chủ nhật thì 100 ngày trước là thứ mấy?
Nếu ngày mai là chủ nhật thì hôm nay là thứ bảy
Ta có: 100 : 7 = 14 (dư 2).
Vậy trước đúng 14 tuần là ngày thứ bảy và trừ hai ngày trước là ngày thứ năm.
Vậy 100 ngày trước là thứ năm.
Chứng minh rằng: Nếu x3 – y3 chia hết cho 3 thì x3 – y3 chia hết cho 9.
x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
Ta thấy: x3 – y3 ⋮ 3 và 3xy(x – y) ⋮ 3 nên (x – y)3 ⋮ 3
Suy ra: x – y ⋮ 3 (1) hay x ≡ y(mod3)
Lại có: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) (*)
· Xét: x2 + xy + y2
Mỗi số nguyên x có thể có một trong ba dạng sau khi chia cho 3:
x ≡ 0, 1, hoặc 2(mod3)
Tương tự, y cũng có thể chia 3 dư 0, 1, 2
Vì ở trên ta đã có x ≡ y(mod3)
Nên ta xét 3 trường hợp:
+ TH1: x, y ≡ 0 (mod3) tức: x, y ⋮ 3 ⇒ x2 + xy + y2 ⋮ 3
+ TH2: x, y ≡ 1 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)
⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3
+ TH3: x, y ≡ 2 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)
⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3
Vậy với x ≡ y(mod3) thì x2 + xy + y2 ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (*) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \vdots 3\\{x^2} + xy + {y^2} \vdots 3\end{array} \right.\)⇒ (x – y)(x2 + xy + y2) ⋮ 9
Vậy nếu x3 – y3 chia hết cho 3 thì x3 – y3 chia hết cho 9.
Chứng minh rằng nếu z ≥ x và z ≥ y thì z > xy
TH1: Nếu x và y đều dương (x, y > 0)
Vì theo giả thiết z ≥ x và z ≥ y , nên z là số lớn nhất trong ba số.
Tuy nhiên, xy có thể lớn hơn nếu cả x và y đều lớn hơn 1.
Ví dụ: x = 3, y = 4, z = 5 ⇒ xy = 3 × 4 = 12 > 5
Suy ra: Mệnh đề sai trong trường hợp này.
TH2: Nếu x hoặc y bằng 0:
Khi x = 0 hoặc y = 0, ta có xy = 0
Vì z ≥ x và z ≥ y nên z ≥ 0
Do đó, z > xy không hoàn toàn đúng trong trường hợp này (đúng 1 phần)
TH3: Nếu x, y cùng âm hoặc x và y trái dấu:
Ví dụ: x = −3, y = −2, z = −1
ta có xy = (−3)(−2) = 6 > -1 tức là z < xy, suy ra mệnh đề sai.
Vậy mệnh đề cần chứng minh không đúng với mọi trường hợp x, y, z.
Trong một năm (nhuận) có bao nhiêu ngày?
356 ngày
366 ngày
365 ngày
395 ngày
Đáp án đúng là B
Năm nhuận là năm có 366 ngày, còn năm không nhuận là năm có 365 ngày.
Ngày 20/11/2019 là thứ 4. Vậy ngày 20/11/2000 là thứ mấy?
Ta có: Từ 20/11/2019 đến 20/11/2020 Có 366 ngày.
Số tuần là: 366 : 7 = 52 dư 2
⇒ 20/11/2020 là thứ sáu
Ta có: Từ 20/11/2020 đến 20/11/2021 Có 365 ngày.
Số tuần là: 365 : 7 = 52 dư 1
⇒ 20/11/2021 là thứ bảy
Đáp số: Thứ bảy
Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km?
Ta có: \(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\)(vì \(\widehat {MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây TA chắn ; \(\widehat {TBA}\)là góc nội tiếp chắn )
Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:
\(\widehat M\) chung
\(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\)
⇒ ∆MAT ~ ∆MTB (g.g)
⇒ \(\frac{{MA}}{{MT}} = \frac{{MT}}{{MB}}\) hay MA.MB = MT2
MA = 40m = 0,04km ;
MB = MA + AB = MA + 2R = 12800,04 km.
⇒ MT ≈ 22,63 km
+ M’T2 = M’A’.M’B’
M’A’ = 10m = 0,01km ;
M’B’ = M’A’ + A’B’ = M’A’ + 2R = 12800,01 km
⇒ M’T ≈ 11,31 km
⇒ MM’ = MT + M’T = 33,94 ≈ 34 km .
Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.
Từ trên tháp quan sát của một ngọn hải đăng cao 28m, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền cứu hộ với góc hạ 20⁰. Tính khoảng cách từ chân tháp đến thuyền.
Mô tả bài toán như hình vẽ.
Vì tầm nhìn thẳng của người đó song song với mặt nước biển
⇒ AD // BC
⇒ \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\)(2 góc so le trong)
Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\)
⇒ \(AC = \frac{{AB}}{{\tan C}} = \frac{{28}}{{\tan 20^\circ }} \approx 77\left( m \right)\)
Vậy khoảng cách từ chân tháp đến thuyền khoảng 77m.
Nhất là 1 , Nhị là 2, Tam là 3 , Tứ là 4 , Ngũ là 5. Vậy 6 , 7 , 8 , 9 , 10 là gì?
1: nhất 2: nhị 3: tam
4: tứ 5: ngũ 6: lục
7: thất 8: bát 9: cửu 10: thập
Một người quản lí của một khu chung cư có 80 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 7 triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Gọi x là số lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng. Giá thuê mỗi căn hộ sẽ là 7.000.000 + 100.000x (đồng)
Số căn hộ cho thuê sẽ là 80 - x (căn hộ)
Doanh thu R(x) sẽ là tích của giá thuê mỗi căn hộ và số căn hộ cho thuê:
R(x) = (7.000.000 + 100.000x)(80 - x)
Để tìm giá trị x làm cho doanh thu lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm số R(x). Ta có thể khai triển biểu thức R(x) và tìm đạo hàm:
R(x) = 560.000.000 + 8.000.000x - 7.000.000x - 100.000x²
= -100.000x² + 1.000.000x + 560.000.000
R'(x) = -200.000x + 1.000.000
Xét R'(x) = 0 ⇔-200.000x + 1.000.000 = 0⇔x = 5
Giá thuê mỗi căn hộ để doanh thu lớn nhất là:
7.000.000 + 100.000 * 5 = 7.500.000 (đồng)
Vậy với giá thuê 7.500.000 đồng để doanh thu lớn nhất.
Người ta dùng 18 quyển sách gồm 7 quyển sách toán, 6 quyển sách lý, 5 quyển sách hóa để làm phần thưởng cho 9 học sinh và mỗi học sinh nhận được 2 quyển sách khác nhau. Tên của 9 học sinh theo thứ tự là A, B, C, D, E, F, G, H, K. Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau.
Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành ba loại: Toán + Lý, Lý + Hóa; Toán + Hóa
Gọi x, y, z (x, y, z ∈ ℕ) lần lượt là số học sinh nhận được bộ phần thưởng Toán + Lý; Toán + Hóa; Lý + Hóa. Khi đó ta có hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\z + x = 6\\y + z = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 2\end{array} \right.\)
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: \(C_9^4.C_5^3.1\)
Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_9^4.C_5^3\)
Gọi S là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”
TH1: A và B cùng nhận bộ Toán + Lý có \(C_7^2.C_5^3\) cách phát
TH2: A và B cùng nhận bộ Toán + Hóa có \(C_7^1.C_6^4\) cách phát
TH3: A và B cùng nhận bộ Lý + Hóa có \(C_7^4\) cách phát
Suy ra: \(n\left( S \right) = C_7^2.C_5^3 + C_7^1.C_6^4 + C_7^4\)
Vậy xác suất của biến cố S là: \(\frac{{n\left( S \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^2.C_5^3 + C_7^1.C_6^4 + C_7^4}}{{C_9^4.C_5^3}} = \frac{5}{{18}}\)
Người ta dùng các tấm gỗ hình chữ nhật có chiều dài 8dm, chiều rộng 2dm để lát nền căn phòng hình chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 3m. Hỏi cần bao nhiêu tâm gỗ loại đó để vừa đủ lát kín nền căn phòng?
Diện tích phòng là:
4 . 3 = 12 (m²) = 1200dm2
Diện tích của mỗi tấm gỗ hình chữ nhật là:
8. 2 = 16 (dm²)
Số tấm gỗ cần là:
1200 : 16 = 75 (tấm)
Vậy, cần 75 tấm gỗ hình chữ nhật để lát kín nền căn phòng.
Có một khối lượng gạo đủ cho 18 người ăn trong 10 ngày. Nếu số người thực ăn giảm đi 6 người thì số gạo đó đủ ăn trong bao nhiêu ngày?
Tổng số suất ăn mà lượng gạo có thể phục vụ là:
18 × 10 = 180 (suất)
Nếu số người ăn giảm đi 6 người thì số gạo đó đủ ăn trong số ngày là :
180 : (18 - 6) = 15 (ngày)
Đáp số : 15 ngày.
Một nhà bếp dự trữ đủ lượng gạo để 18 người ăn trong 15 ngày. Sau 5 ngày, có thêm 6 người đến ở và cùng ăn với nhóm ban đầu. Hỏi số ngày còn lại mà lượng gạo trong bếp có thể đủ dùng?
Tổng số suất ăn mà lượng gạo có thể phục vụ là:
18 × 15 = 270 (suất)
Trong 5 ngày đầy, chí có 18 người ăn nên số gạo còn lại là:
270 – 18 . 5 = 180 (suất)
Số người sau khi đến thêm là:
18 + 6 = 24(người)
Số ngày còn lại mà lượng gạo có thể đủ dùng là:
180 : 24 = 7,5 (ngày)
Nhà bác An xây bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước đo được bên ngoài bể nước lần lượt là: chiều dài 5m. chiều rộng 3,5 m, chiều cao 1,5 m (Không tính độ dày của đáy bể)
a) Bác An thuê thợ sơn xung quanh bốn mặt ngoài của bể nước (Không sơn phần độ dày đáy bế) giá 20.000 đồng/m².
Trả lời 2 câu hỏi sau:
i) Tính diện tích cần sơn.
ii) Khi tính tiền sơn, người thợ giảm giá cho bác An 20% so với giá ban đầu, tính số tiền bác cần để trả cho thợ sơn?
b) Biết độ dày thành bể ở mỗi mặt xung quanh là 25cm. Hỏi bể nước chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? (Biết 1dm² = 1 lít nước)
a)
i) Diện tích cần sơn là:
2.(5 + 3,5) . 1,5 = 25,5 (m2)
ii) Số tiền bác cần để trả cho thợ sơn là:
25,5 . 20000 . (100% − 20%) = 408000 (đồng)
b. Đổi 25cm = 0,25m
1,5m = 15dm
Chiều dài phần đáy bể chứa nước là:
5 – 2 . 0,25 = 4,5 (m) = 45 (dm)
Chiều rộng phần đáy bể chứa nước là:
3,5 – 2 . 0,25 = 3 (m) = 30 (dm)
Thể tích nước trong bể là:
45 . 30 . 15 = 20250 (dm3) = 20250 (lít)
Nhân dịp khai trương cửa hàng, người ta giảm giá 20% các loại sách. Bạn An mua 1 quyển sách Toán hay và khó lớp 5 có giá bìa là 21000 đồng. Vậy bạn An trả bao nhiêu tiền cho cô bán hàng?
20% của quyển sách là số tiền là:
21000. 20% = 4200 (đồng)
Vậy quyển sách có giá là hay bạn An phải trả cô bán hàng số tiền là:
21000 - 4200 = 16800 (đồng)
Tìm số lớn nhất có 6 chữ số và có tổng các chữ số của nó bằng 50.
Ta có số lớn nhất có 6 chữ số là 999999, tổng các chữ số là: 9 . 6 = 54
Vì theo giả thiết tổng các chữ số cần tìm bằng 50 nên số cần tìm bé hơn số lớn nhất có 6 chữ số là:
54 – 50 = 4 (đơn vị)
Vậy số đó là:
999999 – 4 = 999995.
Nhóm các bạn học sinh lớp 6A cần chia 48 quyển vở, 40 chiếc bút bi vào trong các túi quà để mang tặng các bạn ở trung tâm trẻ mồ côi sao cho số quyển vở, bút bi ở mỗi túi đều như nhau. Tính số lượng túi quà nhiều nhất mà nhóm các bạn có thể chia được. Khi đó, số lượng vở, bút bi trong mỗi túi là bao nhiêu?
Gọi số túi quà nhiều nhất có thể chia được là: x( túi; x ∈ N∗N∗).
Theo đề bài ta có:
48 ⋮ x; 40 ⋮ x ⇒ x ∈ ƯCLN(48;40)
Ta có: (phân tích ra thừa số nguyên tố)
48 = 24.3; 40 = 2³.5 ⇒ x ∈ ƯCLN(48;40) = 2³ = 8 (thỏa mãn)
Vậy số túi quà nhiều nhất mà nhóm các bạn có thể chia được là 8 túi.
Số lượng vở trong mỗi túi là: 48 : 8 = 6 (quyển)
Số lượng bút bi trong mỗi túi là: 40 : 8 = 5 (chiếc)
Đáp số: 8 túi; 6 quyển vở và 5 chiếc bút bi.
Ghi giả thiết kết luận và chứng minh định lí: nếu hai đường thẳng a, b cùng cắt đường thẳng c và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau thì a và b song song.
Giả thiết | Nếu hai đường thẳng a, b cùng cắt đường thẳng c và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau |
Kết luận | a // b |
Chứng minh:
Ta có theo giả thiết có một cặp góc trong cùng phía bù nhau tức là: \(\widehat {A{}_2} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {B{}_1} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
Nên: \(\widehat {B{}_1} = \widehat {A{}_2}\)
Mà \(\widehat {B{}_1},\widehat {A{}_2}\) ở vị trí so le trong nên a // b.
Có bao nhiêu tháng có 28 ngày?
Tháng có 28 (hoặc 29) ngày là Tháng 2
Cho đa thức P(1) = 1; P1x=1x2. P(x), với mọi x khác 0 và P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) với mọi x1, x2 ∈ ℝ. Tính P37
\[P\left( {\frac{3}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7} + \frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right)\]
Lại có:
\(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{{7^2}}}.P\left( 7 \right) = \frac{1}{{49}}.P\left( {3 + 4} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {P\left( 3 \right) + P\left( 4 \right)} \right]\)
P(3) = P(1 + 2) = P(1) + P(2) = P(1) + P(1 + 1) = 3P(1) = 3
P(4) = 4P(1) = 4
Suy ra: \(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {3 + 4} \right] = \frac{1}{7}\)
Vậy \(P\left( {\frac{3}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{3}{7}\)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kỳ thì P(x) là một số chính phương. Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.
· Chứng minh a, b, c là số nguyên
+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)
Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:
P(0) = c là số chính phương
P(1) = a + b + c là số chính phương
+ Xét tính chính phương của P(2)
P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.
Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.
Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên
· Chứng minh b là số chẵn
- Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x2 ≡ 0 hoặc 1(mod4)
- Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k ∈ Z
Từ phương trình:
P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
Ta trừ hai phương trình này:
(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)
Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:
b ≡ 0 (mod 2)
Nghĩa là b là số chẵn.
Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.
Tìm p nguyên tố sao cho p2+12;p+12 đều là số chính phương.
Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]
Suy ra: p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2
⇒ p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2 nên p là số lẻ
Ta dễ thấy rằng 2x2 ≡ 2y2 (modp) mà p lẻ x2 ≡ y2 (modp)
Mặt khác ta có: x2 – y2 = (x – y)(x + y) ⋮ p
⇒ x + y = p (vì x < y < p)
Từ đó ta dễ có rằng p2 + 1 = 2(p – x)2 = 2p2 – 4px + 2x2 = 2p2 – 4px + p + 1
⇒ 4px = p2 + p
⇒ 4x = p + 1
⇒ 2x2 = 4x
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.\)
Mà p là số nguyên tố nên p = 7.
Vậy p = 7.
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60.
Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5
⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12
⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11
⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5
+ Với p ≡ ±1 (mod5)
⇒ p2016 ≡ 1 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
+ Với p ≡ ±2 (mod5)
⇒p4 ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)
(p4)504 = p2016 ≡ 1 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
⇒p2016 – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)
+ Với p ≡ ±1 (mod12)
⇒p2016 ≡ 1 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12)
+ Với p chia 12 dư ±3
⇒p ⋮ 3.
Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)
+ Với p ≡ ±5 (mod12)
⇒p2 ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)
⇒(p2)1008 = p2016 ≡ 1 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)
Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p,q sao cho p và q thỏa mãn: p3 − q5 = (p + q)2
Đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.
Khi đó, p ≡ 1, 2 (mod3), và q ≡ 1, 2 (mod3).
Nếu q ≡ p (mod3) thì vế trái chia hết cho 3, mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p = 3 thì q5 < 27, điều đó là không thể
Nếu q = 3 , ta được p3 – 35 = (p + 3)2
⇔ p3 – 243 = (p + 3)2
⇔ p3 – 243 = p2 + 6p + 9
⇔ p3 – p2 – 6p – 252 = 0
⇔ p = 7
Vậy p = 7 và q = 3.
Chứng minh rằng A = p8n + 3p4n - 4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.
A = p8n + 3p4n - 4
= p8n – p4n + 4p4n – 4
= p4n(p4n - 1) + 4 (p4n - 1)
= (p4n - 1)(p4n + 4)
= (p2n - 1)(p2n + 1)(p4n + 4)
Ta đã biết tính chất của số chính phương chia 5 được dư là 0, 1 hoặc 4
Vì p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 nên p2n chia 5 dư 1 hoặc 4
Nếu p2n chia 5 dư 1 thì p2n – 1 ⋮ 5 ⇒ p8n + 3p4n - 4 ⋮ 5
Nếu p2n chia 5 dư 4 thì p2n + 1 ⋮ 5 ⇒ p8n + 3p4n - 4 ⋮ 5
Vậy A = p8n + 3p4n - 4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.
Tính P = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 1225
P = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 1225
2P = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + … + 2450
2P = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + 49.50
6P = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 49.50.3
6P = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3. 4 + … + 49.50.51 – 48.49.50
6P = 49.50.51
P = 20825
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của P = xy+1xy
Ta có: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)
Xét \(P = xy + \frac{1}{{xy}} = {\left( {\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16xy}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{15}}{{16}}.4 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{4}\)
Vậy GTNN của P là \(\frac{{17}}{4}\) khi \(\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }} = 0 \Leftrightarrow xy = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Phân số thập phân bằng 1812 và có mẫu số là số có ba chữ số là?
\(\frac{{18}}{{12}} = \frac{{3.6}}{{2.6}} = \frac{3}{2} = \frac{{3.50}}{{2.50}} = \frac{{150}}{{100}}\)
Vậy phân số cần tìm là \(\frac{{150}}{{100}}.\)
Phân số có tử số là 0 thì bằng 0, đúng hay sai?
Xét 2 trường hợp:
+ Nếu mẫu số khác 0, tử số bằng 0 thì khẳng định trên là đúng. Ví dụ: \(\frac{0}{5} = \frac{0}{2} = 0\)
+ Nếu mẫu số và tử số đều bằng 0 thì khẳng định trên sai
Phân số nào có thể viết thành số thập phân:
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{{19}}{{25}}\)
\(\frac{5}{7}\)
\(\frac{1}{6}\)
Đáp án đúng là B
\(\frac{{19}}{{25}} = \frac{{76}}{{100}} = 0,76\)
Do đó phân số \(\frac{{19}}{{25}}\) có thể viết thành số thập phân là 0,76.
Phân số tối giản của 9654 là bao nhiêu?
\(\frac{{96}}{{54}} = \frac{{96:6}}{{54:6}} = \frac{{16}}{9}\)
Vậy phân số tối giản của \(\frac{{96}}{{54}}\) là \(\frac{{16}}{9}\).
Phân tích 240 ra thừa số nguyên tố.
Ta có:
Suy ra: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24 . 3 . 5
Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y)2 – 4(x + y)z + 4z2
(x + y)2 – 4(x + y)z + 4z2
= (x + y)2 – 2.(x + y).2z + (2z)2
= (x + y – 2z)2
Phân tích đa thức thành nhân tử: 6x2 + 7x – 3
6x2 + 7x – 3
= 6x2 + 9x – 2x – 3
= 3x(2x + 3) – (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 1)
Phân tích đa thức thành nhân tử: 6x2 + 7x – 3
6x2 + 7x – 3
= 6x2 + 9x – 2x – 3
= 3x(2x + 3) – (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 1)
Phân tích đa thức thành nhân tử: 6x3y2 – 12x3y4 + 18x3y5
6x3y2 – 12x3y4 + 18x3y5
= 6x3y2(1 – 2y2 + 3y3)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2a + b - c\\y = 2b + c - a\\z = 2c + a - b\end{array} \right.\)
⇒ x + y + z = 2a + b – c + 2b + c – a + 2c + a – b = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c)
A = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3
= (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3
= (x + y + z − x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z ) + x2] − (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + x2 + xy + xz + x2 − y2 + yz − z2)
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3xz)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
= 3(2a + b – c + 2b + c − a)(2b + c – a + 2c + a − b)(2a + b – c + 2c + a − b)
=3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a)
Tìm x biết: x3 + 3x2 + 3x + 28 = 0
x3 + 3x2 + 3x + 28 = 0
x3 + 3x2 + 3x + 1 + 27 = 0
(x + 1)3 = -27
(x + 1)3 = (-3)3
x + 1 = -3
x = -4
Vậy x = -4.
Số tập con có 3 phần tử của tập {21;22;...;22020} sao cho ba phần tử đó có thể xếp thành 1 cấp số nhân tăng bằng?
Gọi 3 phần tử là 2x < 2y < 2z
⇒ 1 ≤ x < y < z ≤ 2020
3 phần tử lập thành cấp số nhân nên 22y = 2x . 2z = 2x + z
⇒ 2y = x + z
⇒ x + z chẵn
⇒ x; z cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Từ 1 đến 2020 có 1010 số lẻ và 1010 số chẵn
⇒ C10102+C10102=2C10102 tập con thỏa mãn
Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Cho ví dụ?
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c (1), trong đó a; b; c là các số đã biết; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0
Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Có bao nhiêu nghiệm của phương trình sin3x = sin2x trên [0;π]
sin3x = sin2x
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\)
Vì x ∈ [0;π] nên \[x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{5};\frac{{3\pi }}{5};\pi } \right\}\]
Vậy có tất cả 4 nghiệm.
Tìm tất cả 3 số nguyên tố (q; p; r) sao cho pqr = p + q + r + 160
Không mất tính tổng quát giả sử p ≤ q ≤ r
Với p = 2q; 2qr = q + r + 162
⇔ 4qr − 2q − 2r = 324
⇔ 2q(2r − 1) − (2r − 1) = 325
⇔ (2q − 1)(2r − 1) = 52 . 13
3 ≤ 2q – 1 ≤ 2r – 1
⇒ 9(2q − 1)2 ≤ (2r−1)(2q−1)
⇔ 9 ≤ (2q−1)2 ≤ 325
⇔ 3 ≤ 2q – 1 ≤ 18
Do 2q - 1 là ước của 52.13 nên 2q - 1 ∈{5;13}
Nếu 2q – 1 = 5 ⇔ q = 3 ⇒ r = 33 (loại)
Nếu 2q – 1 = 13 ⇔ q = 7 ⇒ r = 13 (thỏa mãn)
pqr = p + q + r + 160
⇔ p(qr - 1) – q – r = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + pr – 1 – q – r = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + q(r - 1) - (r - 1) – 2 = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + (q - 1)(r - 1) = 162
Nếu p lẻ ⇒ q, r lẻ ⇒ (qr - 1)(p - 1)(r - 1) chia hết cho 4
mà 162 không chia hết cho 4 ⇒ Vô lý
Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là (2;7;13) và các hoán vị
Tìm số nghiệm thuộc đoạn [-π; π] của phương trình sinx = cosx?
Ta có:
sinx = cosx
⇔ sinx = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \left( L \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà x ∈ [-π; π] nên \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \)
Hay: \[ - \frac{{5\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = - 1\\k = 0\end{array} \right.\]
Suy ra ta có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)
Tam giác ABC có G là trọng tâm, qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AG cắt BC tại N. Tính BNBC?
Gọi H là trung điểm BC
G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra: \(\frac{{AG}}{{GH}} = 2\)
Xét tam giác ABH có: GM // BC hay GM // BH
⇒\(\frac{{AG}}{{GH}} = \frac{{AM}}{{BM}} = 2 \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)
Xét tam giác ABH có NM // AG hay NM // AH
⇒\(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{BN}}{{NH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BN}}{{BH}} = \frac{1}{3}\)
Mà \(BH = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{6}\)
Quãng đường AB dài 18km. Một ô tô đi từ A đến B. Khi ô tô đi được 6km thì một người đi xe đạp từ B về A với vận tốc ít hơn vận tốc của ô tô là 38km/h. Ô tô đến B thì quay lại ngay và về đến A trước người đi xe đạp là 54 phút. Tính vận tốc của ô tô và vận tốc của người đi xe đạp.
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (x > 38)
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe đạp khởi hành đến khi về A là:
18 + 18 – 6 = 30 (km)
Thời gian ô tô đi hết và về tính từ lúc khởi hành là \(\frac{{30}}{x}\) giờ
Vận tốc của xe đạp là: \(x - 38\left( {km/h} \right)\)
Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB là \(\frac{{18}}{{x - 38}}\) giờ
Vì tổng thời gian cả đi lẫn về của ô tô ít hơn xe đạp là 54 phút = \(\frac{9}{{10}}\) giờ nên ta có:
\(\frac{{18}}{{x - 38}} - \frac{{30}}{x} = \frac{9}{{10}}\)
⇔ 9x2 – 222x – 11400 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = \frac{{ - 76}}{3}\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc xe đạp là: 50 – 38 = 12 (km/h)
Rô-bốt xếp 9 tấm thẻ để được số 118 252 018
a) Lấy ra một tấm thẻ để được số lẻ. Số đó là?
b) Lấy ra một tấm thẻ để được một số mà khi làm tròn tới hàng trăm nghìn thì được 11 900 000. Số đó là?
a) Để tạo thành một số lẻ, chữ số cuối cùng phải là số lẻ. Trong số 118252018, chữ số cuối cùng là 8 (số chẵn). Do đó, ta cần thay thế chữ số 8 bằng một trong các chữ số lẻ có trong tập hợp thẻ: 1, 2, 5. Chỉ có chữ số 1, 5 và 3 là số lẻ. Vì vậy, ta có thể lấy ra tấm thẻ số 8 và thay thế bằng tấm thẻ số 1, 3 hoặc 5 để tạo thành số lẻ.
Đáp án: 118252011, 118252013, 118252015
b) Để làm tròn số đến hàng trăm nghìn và được 11 900 000, ta cần xem xét chữ số ở hàng chục nghìn. Nếu chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 5, ta giữ nguyên chữ số hàng trăm nghìn và thay các chữ số phía sau bằng 0. Nếu chữ số hàng chục nghìn lớn hơn hoặc bằng 5, ta tăng chữ số hàng trăm nghìn lên 1 đơn vị và thay các chữ số phía sau bằng 0.
Số ban đầu là 118252018. Chữ số hàng chục nghìn là 2 (nhỏ hơn 5). Để làm tròn lên 11 900 000, ta cần thay chữ số 8 ở hàng đơn vị bằng một chữ số sao cho khi làm tròn đến hàng trăm nghìn, kết quả là 11 900 000. Điều này có nghĩa là chữ số ở hàng chục nghìn phải tăng lên thành 5 hoặc lớn hơn. Do đó, ta cần thay thế thẻ số 2 bằng thẻ số 5 hoặc lớn hơn. Tuy nhiên, trong các thẻ chỉ có số 5.
Đáp án: 118552018
Rút gọn phân số 6590?
6590=65:590:5=1318
Cho hình vuông ABCD, và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh lần lượt thuộc 4 cạnh của hình vuông ABCD.
a) Chứng minh rằng: SABCD ≤ AC4(MN + NP + PQ + QM)
b) Xác định vị trí điểm M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.
a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ
Khi đó: \(BJ = \frac{{MN}}{2}\)
Tương tự: \(DK = \frac{{PQ}}{2};IJ = \frac{{QM}}{2};IK = \frac{{PN}}{2}\)
Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD
Do đó:
SABCD = \(\frac{{AC}}{2}.BD \le \frac{{AC}}{2}\left( {BJ + JI + IK + KD} \right) = \frac{{AC}}{4}\left( {MN + NP + PQ + QM} \right)\)
b) Chu vi tứ giác MNPQ là: MN + NP + PQ + QM
= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)
Dấu “=” xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ // NP, MN // PQ, MN = PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau)
Khi đó MNPQ là hình chữ nhật.
Giải phương trình sin4x = – cos2x
sin4x = – cos2x
⇔ sin4x + cos2x = 0
⇔ 2sin2xcos2x + cos2x = 0
⇔ cos2x(2sin2x + 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\\sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)
Tìm m để phương trình sin2x = 7m + 3 có nghiệm x∈ 0;7π12
Ta có: x∈\(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)
⇒ \(0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6}\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}\)
Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{2}{7}} \right]\)
Cho tam giác ABC không nhọn. Tìm GTLN của A = sinA + sinB + sinC
Ta có: \(\sin A + \sin B = 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\)
Ta dễ dàng chứng minh được: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right);\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ge 0\)
Suy ra: \(\sin A + \sin B \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\)
Xét: \(A + \sin \frac{\pi }{3} = \sin A + \sin B + \sin C + \sin \frac{\pi }{3}\)
\( \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{C + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right) \le 4\sin \left( {\frac{{A + B + C + \frac{\pi }{3}}}{4}} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \)
Vậy \(A \le 2\sqrt 3 - \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
GTLN của A là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) khi tam giác ABC vuông cân.
Số 0 vừa là số hữu tỉ vừa là số vô tỉ đúng hay sai?
Khẳng định “Số 0 vừa là số hữu tỉ vừa là số vô tỉ” là sai
Số 0 là số hữu tỉ và không là số vô tỉ.
Cho các chữ số:1,2,3,4,5. Hỏi từ các chữ số trên lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau?
Vì đề bài yêu cầu lập số chẵn lên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn
+ Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)
+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn 1,3,5 hoặc chữ số chẵn còn lại)
+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là chọn 1 trong những số còn lại)
Vậy có tất cả: 2 . 4 . 3 = 24 (số)
Cho các số sau: 16; 20; 24; 64. Trong các số trên, số có thể viết được dưới dạng lập phương của một số tự nhiên là?
Ta có: 64 = 43
Nên số có thể viết được dưới dạng lập phương của một số tự nhiên là 64.
53 chia hết cho số nào?
53 là số nguyên tố nên nó chia hết cho 1 và chính nó.
Có bao nhiêu số có 2 chữ số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3?
Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Do đó số chia hết cho 3 và 5 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Vậy một số có hai chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 3 và 5 là: 15; 30; 45; 60; 75; 90. Có tổng cộng 6 số.
Một số chẵn khi chia 3 dư 1 vậy cho số đó chia 6 dư bao nhiêu?
Vì số đó chia 3 dư 1 nên ta giả sử số đó có dạng 3k + 1 (k là số nguyên)
Mà số đó là số chẵn nên k lẻ
Gọi k = 2m + 1 (m là số nguyên)
Ta có: 3k + 1 = 3(2m + 1) + 1 = 6m + 3 + 1 = 6m + 4
Vậy số đó chia 6 dư 4
Nêu dấu hiệu của số chia hết cho 7.
- Dấu hiệu 1: Phương pháp cắt giảm
Để nhận biết một số có thể chia hết cho 7, ta cắt giảm chữ số cuối cùng đi một số, nhân đôi số đó và lấy số đã cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Tiếp tục lặp lại quá trình này cho đến khi thu được một số có thể chia hết cho 7 (như 14, 7, 0, -7, v.v…). Nếu số gốc sau các bước trên chia hết cho 7, thì số đó cũng chia hết cho 7.
- Dấu hiệu 2: Phương pháp nhân và cộng:
Lấy chữ số đầu tiên của số gốc nhân với 3, sau đó cộng thêm chữ số tiếp theo. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.
- Dấu hiệu 3: Phương pháp nhân và trừ
Lấy chữ số đầu tiên bên phải của số gốc nhân với 5, sau đó cộng với chữ số thứ hai và trừ đi một bội số của 7. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 5, cộng với chữ số tiếp theo và trừ đi một bội số của 7. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.
Viết các số chính phương nhỏ hơn 200 và có 3 chữ số
Ta có:
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
Các số chính phương có 3 chữ số < 200 là: 100; 121; 144; 169; 196
Tìm số dư của phép chia 245 cho 13
Ta có: 245 = 13 . 18 + 11
Phép tính này cho thấy khi chia 245 cho 13, ta được thương là 18 và số dư là 11.
Đáp số: 11
Biết hàm số fx=x+ax+1 (a là số thực cho trước và a khác 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) f’(x) > 0, ∀x ≠ -1 và hàm số không có điểm cực trị
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I(-1;1)
c) max0;3fx=13 khi x = 3
d) Số đường thẳng cắt đồ thị f(x) tại những điểm tọa độ nguyên là 6.
Ta có ĐTHS f(x) đi qua (1;0) suy ra a = -1.Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\) suy ra hàm số đồng biến trên [0;3]
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{3}\) khi x = 3
d) Đúng
Ta đi tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số f(x)
Do x nguyên nên f(x) = \(1 - \frac{2}{{x + 1}} \in \mathbb{Z}\) khi x + 1 ∈ {-2;-1;1;2}
Ta có bảng:
Suy ra ĐTHS f(x) có 4 điểm có tọa độ nguyên
Vậy có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng cắt ĐTHS f(x) tại điểm có tọa độ nguyên.
Số học sinh khối lớp 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 300 học sinh, khi xếp thành các hàng 10; 12 và 15 người đều thừa 5 em. Tính số học sinh khối lớp 6.
Gọi x là số học sinh khối lớp 6 của trường (học sinh; x ∈ N, 200 ≤ x ≤ 300)
Khi xếp thành hàng 10 thừa 5 em thì x chia 10 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 10
Khi xếp thành hàng 12 thừa 5 em thì x chia 12 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 12
Khi xếp thành hàng 15 thừa 5 em thì x chia 15 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 15
Do đó (x – 5) là bội chung của 10; 12 và 15
Ta có: 10 = 2. 5; 12 = 22.3; 15 = 3. 5
BCNN(10; 12; 15) = 22.3.5 = 60
Khi đó (x – 5) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;…}
Ta có bảng sau:
x – 5 | 0 | 60 | 120 | 240 | 300 | 360 |
x | 5 | 65 | 125 | 245 | 305 | 365 |
Vì số học sinh trong trường khoảng từ 200 đến 300 học sinh nên 200 ≤ x ≤ 300.
Do đó x = 245
Vậy số học sinh trong trường là 245 em.
Số học sinh khối 6 của trường khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng, hay 18 hàng đều dư ra 9 học sinh. Hỏi số học sinh khối 6 trường đó là bao nhiêu? biết rằng số đó lớn hơn 300 và nhỏ hơn 400.
Gọi số học sinh là a (bạn)
Vì a chia cho 12;15;18 đều dư 9 nên a - 9 chia hết cho 12;15;18 suy ra a - 9 thuộc BC(12,15,18)
Ta có: 12 = 22 . 3
15 = 3 . 5
18 = 2 . 32
⇒ BCNN(12, 15, 18) = 22 . 32 . 5 = 180
⇒ BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540;...}
Mà số học sinh 300 < a < 400 nên a - 9 = 360
Vậy a = 360 + 9 = 369 (bạn)
Số nào không có căn bậc hai?
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.
Tức số âm sẽ không có căn bậc hai.
Giá trị tương ứng trong hệ thập phân của số La Mã XIX là bao nhiêu?
XIX = X + IX = 10 + 9 = 19
Vậy XIX = 19.
Tính hiệu của số liền trước số 900 và số lớn nhất có hai chữ số.
Số liền trước số 900 là: 899
Số lớn nhất có 2 chữ số là: 99
Hiệu 2 số là:
899 – 99 = 800
Đáp số: 800
Giải thích giúp mình số nguyên tố khác nhau đôi một là gì? Cho ví dụ hai số?
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1.
Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3.
Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.
Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt, hợp số là số nguyên tố cùng nhau.
VD: 6 và 25 tuy là hợp số nhưng chúng có Ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những số nguyên tố cùng nhau
Phân biệt với chữ số đôi một khác nhau là một nhóm các chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại. Ví dụ: 123456.
Số nguyên là gì?
- Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.
Kí hiệu là: ℤ
Các số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 thì có dư là bao nhiêu?
Các số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 thì có dư là 1 hoặc 2
Ví dụ: 5 : 3 dư 2
7 : 3 dư 1.
So sánh A=102024+1102023+1 và B=102023+1102022+1
\(A = \frac{{{{10}^{2024}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2023}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}}\)
\[A = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2022}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2022}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\]
Vì \(\frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} < \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) nên \(1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} > 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) hay A > B
Vậy A > B
So sánh A = 10.398 và B = 3100
Ta có: B = 3100 = 398+2 = 398 . 32 = 398 . 9
Vì 10 > 9 nên 10.398 > 9.398
Vậy A > B.
So sánh 210 và 1000.
210 = 1024 > 1000
So sánh 2019.2021 và 20202
2019.2021 = (2020 + 1). 2019 = 2019.2010 + 2019
20102 = (2019 + 1) . 2020 = 2019 . 2020 + 2020
2019.2020 + 2019 < 2019.2020 + 2020
Nên: 2019 . 2021 < 20202
So sánh 2115 và 275 . 498
2115 = 315 . 715
275 . 498 = (33)5 . (72)8 = 315 . 716
Vì 716 > 715 nên 315 . 716 > 315 . 715 hay 275 . 498 > 2115
So sánh 399 và 1121
Ta có: 399 = (333)3 = [(33)11]3 = (2711)3.
Lại có: 1121 = (117)3
Vì 2711 > 277 > 117
Suy ra: 2711 > 117
Do đó (2711)3 > (117)3
Vậy 399 > 1121.
So sánh 31994 + 31993 – 31992 với 9996
31994 + 31993 – 31992 = 31992 (32 + 3 – 1) = 31992. 11
9996 = (32)996 = 31992
Vì 31992. 11 > 31992 nên 31994 + 31993 – 31992 > 9996
So sánh 5300 và 3453
5300 = (52)150 = 25150 < 27150 = (33)150 = 3450 < 3453
Vậy 5300 < 3453
So sánh 536 và 1124
536 = 53.12 = (53)12 = 12512
1124 = 112.12 = (112)12 = 12112
Ta thấy 12512 > 12112 nên 536 > 1124
So sánh 9999 – 9998 với 99100 – 9999
9999 – 9998 = 9998(9 – 1) = 9998.8
99100 – 9999 = 9998(92 – 9) = 9998.72
Vì 72 > 8 nên 9998.72 > 9998.8
Vậy 99100 – 9999 > 9999 – 9998
Cho B=14−119−1...1100−1. So sánh B với −1121
\(B = \left( {\frac{1}{4} - 1} \right)\left( {\frac{1}{9} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{{100}} - 1} \right)\)
\(B = - \frac{3}{4}. - \frac{8}{9}... - \frac{{99}}{{100}}\)
\(B = - \frac{{3.8...99}}{{4.9...100}}\)
\(B = - \frac{{1.3.2.4...9.11}}{{2.2.3.3...10.10}}\)
\(B = - \frac{{\left( {1.2.3...9} \right).\left( {3.4....11} \right)}}{{\left( {2.3...10} \right).\left( {2.3...10} \right)}}\)
\(B = - \frac{{1.11}}{{10.2}} = - \frac{{11}}{{20}} < - \frac{{11}}{{21}}\)
Vậy \(B < - \frac{{11}}{{21}}\)
So sánh n+1n+2 và n+3n+4
\(\frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
\(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} = \frac{{n + 4 - 1}}{{n + 4}} = 1 - \frac{1}{{n + 4}}\)
Vì \(\frac{1}{{n + 4}} < \frac{1}{{n + 2}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 4}} > 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
Vậy \(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} > \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
Cho biểu thức P=1a−1−1a:a+1a−2−a+2a−1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 13
ĐKXĐ: a > 0; a ≠ 1.
a) \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{{a - 1 - a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{3}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}.\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{3}\)
\(P = \frac{{\sqrt a - 2}}{{3\sqrt a }}\)
b) Xét
Vậy \(P < \frac{1}{3}\)
Số số hạng là gì?
Số số hạng là số lượng các số xuất hiện trong một dãy số hoặc một tổng.
Ví dụ: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Thì cách giải như sau:
Số số hạng của dãy số = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Áp dụng vào bài toán ta được:
Số số hạng của dãy số đó là
(2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số hạng)
Công thức tính số tập con của tập hợp?
Công thức tinh số tập hợp con :
+) Tập hợp chính gồm n phần tử
Số tập hợp con gồm : 2n tập hợp
+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 24 = 16 ( tập hợp )
+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên.
Mệnh đề sau đúng hay sai: “Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số vô tỉ”
Đúng
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ) là số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của chúng không có một chu kì, quy luật nào cả.
Viết tất cả các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau. Biết tổng các chữ số của số đó bằng 6.
Các số tròn trục có 4 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 6 là:
1050; 1140; 1230; 1320; 1410; 1500; 2040
2130; 2220; 2310; 2400; 3030; 3120; 3210
3300; 4020; 4110; 4200; 5010; 5100; 6000
Viết tất cả các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau. Biết tổng các chữ số của số đó bằng 6.
Các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 6 là:
1320, 1230, 2130, 2310, 3120, 3210
a) Viết và đọc các số tròn chục nghìn trong bảng dưới đây.
b) Viết và đọc các số tròn chục nghìn từ 10 000 đến 100 000.
a)
b) Mười nghìn: 10 000
Hai mươi nghìn: 20 000
Ba mươi nghìn: 30 000
Bốn mươi nghìn: 40 000
Năm mươi nghìn: 50 000
Sáu mươi nghìn: 60 000
Bảy mươi nghìn: 70 000
Tám mươi nghìn: 80 000
Chín mươi nghìn: 90 000
Một trăm nghìn: 100 000
Hãy viết số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau.
Số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau là : 1023456789
Số tự nhiên nhỏ nhất có 9 chữ số mà tổng các chữ số bằng 9 là?
Để được số bé nhất thì chữ số hàng chục nghìn bằng 1, chữ số hàng đơn vị là 8
Số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 100 000 008.
Viết số thích hợp vào chỗ trống
a) Số tự nhiên bé nhất mà lớn hơn 2024,09 là.....
b) Số tự nhiên lớn nhất mà bé hơn 2024,99 là.....
a) Số tự nhiên bé nhất mà lớn hơn 2024,09 là: 2025
b) Số tự nhiên lớn nhất mà bé hơn 2024,99 là: 2024
Số 0 có phải là số tự nhiên không?
Số 0 là số tự nhiên.
Tìm số tự nhiên x biết x3 = 53
x = 5
x = 3
x = 25
x = 12
Đáp án đúng là A
Theo giả thiết có: x3 = 53 ⇒ x = 5
Tìm số ước dương của 756.
Ta có: 756 = 22 . 32 . 7
Số ước dương của 756 là:
(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 (ước)
Cho hệ phương trình m+1x+8y=4mmx+m+3y=3m−1
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta có: D=m+1 8m m+3=m+1m+3−8m=m2−4m+3
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0
⇒ m2 – 4m + 3 ≠ 0
⇒ m ≠ 1 và m ≠ 3
Một tấm bìa hình vuông cạnh 1m được cắt thành những hình tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông lần lượt 10cm và 20cm. Tính số hình tam giác vuông cắt được?
Diện tích tấm bìa hình vuông là:
1 . 1 = 1(m2)
Diện tích những tam giác vuông nhỏ khi được cắt là:
10.20 = 200(cm2) = 0,02 (m2)
Số hình tam giác vuông cắt được là:
1 : 0,02 = 50 (hình)
Cho tam giác ABC vuông tại A có ACAB=43, đường cao AH = 4,8. Tính các cạnh AB, AC, BC, HB, HC.
\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB}}{3} = x \Rightarrow AC = 4x,AB = 3x\left( {x > 0} \right)\)
Áp dụng định lí Pytago ta có:
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 9x2 + 16x2 = BC2
⇔ 25x2 = BC2
Suy ra: BC = 5x
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AH.BC = AB.AC
⇔ 4,8.5x = 3x.4x
⇔ x = 2
Vậy AB = 6; AC = 8; BC = 10
Lại có AB2 = HB.BC ⇒ \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = 3,6\)
HC =BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4
Tam giác ABC có sin A = 2sinB = 3sinC . Chứng minh a = 2b = 3c.
Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
⇒ \(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = 2;\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{b}{c} = \frac{3}{2}\)
Hay a = 2b; 2b = 3c
Suy ra: a = 2b = 3c
Vậy a = 2b = 3c.
Cho tanα = 2. Tính sinα, cosα?
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2 \Rightarrow \sin \alpha = 2\cos \alpha \)
Mà sin2α + cos2α = 1
Khi đó ta có:
(2cosα)2 + cos2α = 1
⇔ 5cos2α = 1
⇔ \[co{s^2}\alpha = \frac{1}{5}\]
⇔ \[cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
Suy ra: \(\sin \alpha = 2\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Nghiệm của phương trình tanx=−33 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
\(\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
⇔ \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Với 0 < x < 2π thì \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3}\\x = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy các điểm trên đường tròn thỏa mãn là F và D
Tính tan82°.cot82°
Ta có công thức: tanx . cotx = 1
Suy ra: tan82°.cot82° = 1
Tính giá trị lượng giác của biểu thức : tana + tanb, tana, tanb , khi 0 < a, b < π2, a + b = π4, và tana.tanb=3−22. Từ đó tính a, b
\(\tan \left( {a + b} \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1\)
⇒ \(\frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 1\)
⇔ \(\tan a + \tan b = 1 - \tan a.\tan b = 1 - \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = - 2 + 2\sqrt 2 \)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = - 2 + 2\sqrt 2 \\\tan a.\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Áp dụng Viet đảo ta có tana, tan b là nghiệm của phương trình
\({X^2} + \left( {2 - 2\sqrt 2 } \right)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)
Giải ra ta được tana = tanb = \( - 1 + \sqrt 2 \)
Suy ra: \(a = b = 22,5^\circ \)
Lũy thừa tầng là gì?
Lũy thừa tầng (còn gọi là tetration) là một phép toán lũy thừa được lặp lại nhiều lần theo cấp số mũ, thay vì nhân hoặc cộng lặp đi lặp lại.
Ví dụ: 223=223=28
Điều kiện có nghiệm của phương trình tanx = m?
phương trình tanx = m, chúng ta phải chú ý đến điều kiện để hàm số có nghĩa. Sau khi giải ra nghiệm của phương trình, chúng ta cần phải xét với điều kiện ban đầu. Chính vì thế, việc kết hợp nghiệm là một việc mà chúng ta thường xuyên phải thực hiện.
Để hàm số tanx = m có nghĩa thì cosx ≠ 0 hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Tính giá trị biểu thức T = tanα.5cotα
T = tanα.5cotα
T = 5.(tanα.cotα)
T = 5.1
T = 5
Tìm tập giá trị của hàm số y=2sinx+cosxsinx+2cosx+4
\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)
⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y
⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y
⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)
Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)2 + (2y – 1)2 ≥ 16y2
⇔ 16y2 – 8y + 5 ≤ 0
⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)
Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)
Viết tập hợp các số tự nhiên khác 0 và không vượt quá 12 bằng 2 cách
A = {x ∈ ℕ*| x < 12}
A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}
Tham số là gì?
Trong toán học, tham số là các giá trị có thể giữ nguyên hoặc thay đổi trong các công thức và hàm số, ảnh hưởng đến cách mà các biến tương tác và kết quả của các phép toán. Chúng cho phép chúng ta điều chỉnh và nghiên cứu các hình dạng và đặc điểm của các biểu thức toán học.
Ví dụ, xét phương trình đường thẳng y = mx + b:
- m là tham số xác định độ nghiêng của đường thẳng, biểu thị mức độ thay đổi của y khi x thay đổi. Giá trị của m quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng.
- b là tham số thể hiện điểm giao của đường thẳng với trục tung (trục y). Giá trị của b xác định vị trí mà đường thẳng cắt trục y, tức là giá trị của y khi x=0
Khi thay đổi giá trị của m và b, hình dạng và vị trí của đường thẳng sẽ thay đổi theo, tạo ra nhiều khả năng khác nhau.
Nêu công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật.
Với hình hộp chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b, chiều cao là h. Công thức tính thể tích là: V = a . b . h
Nếu một cục nước đá được thả nổi trong một cốc đựng nước, khi nước đá tan hết thì mực nước trong cốc có thay đổi hay không?
Thể tích của phần nước đá chiếm chỗ đúng bằng thể tích của nước trong cốc nhận được khi nước đá tan hết.
Do đó mực nước trong cốc không thay đổi.
Hai thùng đựng tất cả 280 lít dầu. Nếu rót từ thùng 1 sang thùng 2 25 lít dầu thì thùng 2 hơn thùng 1 16 lít. vậy lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?
Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít
Số lít dầu thùng 2 lúc này:
(280 + 16) : 2 = 148 (lít)
Số lít dầu thùng 2 ban đầu:
148 – 25 = 123 (lít)
Số lít dầu thùng 1 ban đầu:
280 – 123 = 157 (lít)
Tích 8 số lẻ liên tiếp có tận cùng là bao nhiêu?
Giả sử 8 số đó là: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15
Tích 8 chữ số đó là: 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 15 = 2027025
Vậy chữ số tận cùng là 5.
Tìm tích của tất cả số tự nhiên bé hơn 1000.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là 0; 1; 2; ...; 999
Tích các số đó là 0 . 1 . 2 . ... . 999 = 0 (vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0)
Nêu cách giải các bài toán về phép nhân khi các tích riêng đặt thẳng cột với nhau.
- Cần nắm thế nào là tích riêng thứ nhất, thứ hai …..
- Khi đặt các tích riêng sai vị trí thì mỗi tích riêng thay đổi ra sao bị lệch 1,2,3… hàng so với tích đúng về bên nào:
- Lệch sai 1, 2, 3 … hàng về bên trái thì tích riêng gấp 10, 100, 1000…. lần
- Lệch sai 1, 2, 3 …. hàng về bên phải thì tích riêng giảm 10, 100, 1000…. lần. Sau đó dựa vào kết quả để tính toán.
Ví dụ 1:
Khi nhân một số tự nhiên với 98, một bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột với nhau. Vì vậy tìm được kết quả là 4709. Tìm phép tính đúng.
Phân tích: Cần nắm thế nào là tích riêng
Tích riêng thứ nhất: Thừa số thứ nhất × 8
Tích riêng thứ hai: Thừa số thứ nhất × 9
Khi thực hiện phép tính đúng là tích riêng thứ hai phải đặt lùi vào một hàng. Khi đặt thẳng cột tức là đã làm một phép cộng thông thường, hay là đã lấy thừa số thứ nhất × 8 + thừa số thứ nhất × 9 được kết quả là 4709.
Bài giải:
Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau tức là lấy số thứ nhất nhân với 8 và 9 rồi cộng hai kết quả với nhau. Hay là bạn đó đã nhân thừa số thứ nhất với: 9 + 8 = 17
Thừa số thứ nhất là: 4709 : 17 = 277
Tích đúng là: 277 x 98 = 27146
Đáp số: 27146
Nêu tiên đề Euclid.
Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ:
+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì b đi qua M và song song với a là duy nhất.
Chú ý: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
Tìm giá trị của m để phương trình sinx−m2cosx+3=0 có đúng hai nghiệm thuộc 0;5π2
ĐKXĐ: \(2\cos x + \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{\sin x - m}}{{2\cos x + \sqrt 3 }} = 0\)
⇔ sinx – m = 0
⇔ sinx = m (*)
Để \(x \in \left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) thì sin\(x \in \left( {0;1} \right]\) suy ra m ∈ (0;1]
Tuy nhiên với m = 1 thì phương trình sinx = 1 chỉ có 1 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\) trong khoảng \(\left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\), nên ta loại m = 1
Vậy giá trị cần tìm của m là 0 < m < 1.
Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng a. Gọi E là trung điểm AB, F là điểm thuộc BC sao cho BF = 2FC, G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG = 2GD. Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng (EFG) với mặt phẳng (ACD) theo a?
Trong mp(BCD) gọi I = FG ∩ BD
Trong mp (ADB) gọi H = IE ∩ AD
Khi đó HG = (EFG) ∩ (ACD)
Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I, G, F thẳng hàng ta có:
\(\frac{{ID}}{{IB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{GC}}{{GD}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IB}} = \frac{1}{4}\)
Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I, H, E thẳng hàng ta có:
\(\frac{{HD}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{ID}} = 1 \Rightarrow \frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HD = \frac{a}{5}\)
Xét tam giác HDG:
\(H{G^2} = H{D^2} + D{G^2} - 2.DH.DG.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{{15}} = \frac{{19{a^2}}}{{225}}\)
Suy ra: \(HG = \frac{{\sqrt {19} }}{{15}}a\)
Tính giá trị biểu thức A=3x2+4x2yx2−10xy+15xy25y tại x = 2; y = -5.
\(A = \frac{{3{x^2} + 4{x^2}y}}{{{x^2}}} - \frac{{10xy + 15x{y^2}}}{{5y}}\)
\(A = 3 + 4y - \left( {2x + 3xy} \right)\)
A = 3 + 4y – 2x – 3xy
A = 3 + 4.(-5) – 2.2 – 3.2.(-5)
A = 9
Tính nhanh: 23+215+235+263
\(\frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}}\\ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}\\ = 1 - \frac{1}{9}\\ = \frac{8}{9}\end{array}\)
Công thức tính số tập con của tập hợp?
Công thức tinh số tập hợp con :
+) Tập hợp chính gồm n phần tử
Số tập hợp con gồm : 2n tập hợp
+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 24 = 16 ( tập hợp )
+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên.
Tìm các số nguyên tố a, b, c, d, e sao cho: a4 + b4 + c4 + d4 + e4 = abcde
Có: p2 ≡ ±1 (mod5)
⇒ p4 ≡ 1 (mod5)
Gọi n là số các số 5 ở VT. Xét các trường hợp sau:
+ Nếu n = 0 thì VT ≡ 1 + 1 + ... + 1 ≡ 5 (mod5)
Mà VP ⋮̸ 5
⇒ VT = VP (vô lí)
+ Nếu n = 5 thì a = b = c = d = e = 5. Thử lại thì hoàn toàn đúng
Nếu 1 ≤ n ≤ 4 thì VP ⋮ 5 và VT ≡ 5−n (mod5)
Do 1 ≤ n ≤ 4 ⇒ 5 – n ≢ 0 (mod5)
Vậy a = b = c = d = e = 5
Tìm 5 số thập phân x, sao cho: 1,2 < x < 1, 3
5 số thập phân x thỏa mãn điều kiện trên là:
1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25.
Tìm a, b ∈ ℤ biết 1a−1b=1a−b
\(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{{a - b}}\)
⇔ \(\frac{{b - a}}{{ab}} = - \frac{1}{{b - a}}\)
⇔ (b – a)2 = –ab
⇔ a2 – ab + b2 = 0
⇔ \({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} = 0\) (*)
Ta thấy \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{Z}\] nên để (*) xảy ra thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}a - \frac{b}{2} = 0\\\frac{{3{b^2}}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 0\)
Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A 1 đơn vị thì ta được số chính phương B. Tìm A và B
Gọi \(A = \overline {abcd} = {k^2}\)
Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta có số:
\(B = \overline {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\left( {d + 1} \right)} = {m^2}\left( {k,m \in \mathbb{N};32 < k < m < 100;0 < a,b,c,d < 10} \right)\)
\[\left\{ \begin{array}{l}A = \overline {abcd} = {k^2}\\B = \overline {abcd} + 1111 = {m^2}\end{array} \right.\]
Suy ra: m2 – k2 = 1111 ⇔ (m – k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là hai số nguyên dương
Vì m – k < m + k < 200 nên (*) có thể biết (m – k)(m + k) = 11.101
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}m - k = 11\\m + k = 101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 56\\k = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = {56^2} = 3136\\A = {k^2} = 2025\end{array} \right.\)
Vậy A = 2025; B = 3136.
Tìm các hệ số a, b, c thỏa mãn (ax + b)(x2 – 2cx + abc) = x3 – 4x2 + 3x + 95 với mọi x.
(ax + b)(x2 – 2cx + abc) = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
⇔ ax3 + 2acx2 + bx2 - 2bcx + ab2c = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
⇔ ax3 + (2ac + b2)x2 + (a2bc – 2bc)x + ab2c = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
Đồng nhất hệ số ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2ac + {b^2} = - 4\\{a^2}bc - 2b = 3\\a{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\]⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2c + {b^2} = - 4\\bc - 2b = 3\\{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\]⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{3}{5}\\c = 5\end{array} \right.\]
Vậy \(a = 1;b = \frac{3}{5};c = 5\)
Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225
225 là số lẻ nên 100a + 3b + 1 ; 2a + 10a + b cũng là các số lẻ
Do 100a + 3b + 1 là số lẻ mà 100a là số chẵn
⇒ 3b là số chẵn
⇒ b là só chẵn
Kết hợp với 2a + 10a + b là số lẻ có 2a là số lẻ
⇔ 2a = 1 ⇔ a = 0
Lúc đó:
(3b +1)(b +1) = 225
⇔ (b - 8)(3b - 28) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}b = 8\\b = \frac{{28}}{3}\end{array} \right.\)
Vì b là số tự nhiên ⇒ a = 0; b = 8
Vậy a = 0; b = 8.
Tìm a, b, c biết 2009abc¯⋮315
Ta có: 315 = 5 . 7 . 9
Vì \(\overline {2009abc} \vdots 315\) tức \(\overline {2009abc} \vdots 5\) nên c = 0 hoặc c = 5
TH1: Với c = 0 ta có số \(\overline {2009ab0} \)
Để \(\overline {2009ab0} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 0) ⋮ 9 tức (11 + a + b) ⋮ 9
Suy ra: a = 0, b = 7 hoặc a = 7, b = 0
TH2: Với c = 5 ta có số \(\overline {2009ab5} \)
Để \(\overline {2009ab5} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 5) ⋮ 9 tức (16 + a + b) ⋮ 9
Suy ra: a = 3, b = 8 hoặc a = 8, b = 3.
Vậy (a;b;c) ∈ {(0;7;0), (7;0;0), (3;8;5), (8;3;5)}.
Tìm điều kiện của các số hữu tỉ a,b,c sao cho đa thức ax19 + bx94 + cx1994 chia hết cho da thức x2 + x+1
ax19 + bx94 + cx1994
= a(x19 – x) + b(x94 – x) + c(x1994 – x) + ax + bx + cx2
= ax(x18 − 1) + bx(x93 − 1) + cx2(x1992 − 1) + c(x2 + x + 1) – cx – c + ax + bx
Dễ thấy:
x18 – 1 ⋮ x2 + x + 1
x93 – 1 ⋮ x2 + x + 1
x1992 – 1 ⋮ x2 + x + 1
Do đó –cx – c + ax + bx = x(a + b − c) – c chính là đa thức dư khi thực hiện phép chia.
Để phép chia là chia hết thì x(a + b − c) – c = 0 với mọi x
⇔ a + b – c = 0 và c = 0
⇔ a + b = c = 0
Tìm 3 cạnh của tam giác vuông biết ba cạnh có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là n – 1, n, n + 1 (n là số tự nhiên)
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
(n – 1)2 + n2 = (n + 1)2
⇔ 2n2 – 2n + 1 = n2 + 2n + 1
⇔ n2 – 4n = 0
⇔ n(n – 4) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 4\end{array} \right.\)
Mà n là số tự nhiên nên n = 4
Vậy 3 cạnh của tam giác vuông lần lượt là: 3, 4, 5.
Tìm giá trị biểu thức A = x6 – 20x5 – 20x4 – 20x3 – 20x2 – 20x + 3 tại x = 21.
Ta có: x = 21 nên x – 1 = 20
A = x6 – 20x5 – 20x4 – 20x3 – 20x2 – 20x + 3
A = x6 – x5(x – 1) – x4(x – 1) – x3(x – 1) – x2(x – 1) – x(x – 1) + 3
A = x6 – x6 + x5 – x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 3
A = x + 3
A = 21 + 3
A = 24.
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau mang giá trị nguyên: C=3x+1
Để C mang giá trị nguyên thì 3 chia hết cho x + 1
Suy ra: x + 1 ∈ {-3; -1; 1; 3}
⇒ x ∈ {-4; -2; 0; 2}
Vậy x ∈ {-4; -2; 0; 2}
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến 15,18, 27.
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c
Giả sử ma = 15; mb = 18; mc = 27
Theo công thức trung tuyến:
\({m_a} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\); \({m_b} = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}\); \({m_c} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\)
Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:
\(\frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4} = {m_a} + {m_b} + {m_c} = 15 + 18 + 27 = 60\)
Suy ra: a2 + b2 + c2 = 80
⇒ b2 + c2 = 80 – a2
Thay vào \(15 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\) ta được:
\(15 = \frac{{2\left( {80 - {a^2}} \right) - {a^2}}}{4} \Rightarrow a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra: \(b = \frac{{2\sqrt {66} }}{3};c = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\)
Tìm hai số a và b (a < b), biết: ƯCLN(a, b) = 10 và BCNN(a , b) = 900.
Vì ƯCLN(a,b) = 10, suy ra : a = 10x ; b = 10y
(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)
Ta có : a.b = 10x . 10y = 100xy (1)
Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)
a.b = 10 . 900 = 9000 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: xy = 90
Ta có các trường hợp sau:
x | 1 | 2 | 3 | 5 | 9 |
y | 90 | 45 | 30 | 18 | 10 |
Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:
a | 10 | 20 | 30 | 50 | 90 |
b | 900 | 450 | 300 | 180 | 100 |
Vậy (a;b) ∈ {(10;900), (20;450), (30;300), (50;180), (90;100)}
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 2x + 17 = y4
+ Nếu x = 0 thì có: 20 + 17 = y4 ⇔ 18 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x = 1 thì có: 21 + 17 = y4 ⇔ 19 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x = 2 thì có: 22 + 17 = y4 ⇔ 21 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x > 2 thì x có dạng x = 2k hoặc x = 2k + 1 (k là số nguyên)
- Với x = 2k ta có: 22k + 17 = y4
⇔ y4 – 22k = 17
⇔ (y2)2 – (2k)2 = 17
⇔ (y2 – 2k)(y2 + 2k) = 17
Mà 17 = 17.1 và y2 + 2k > y2 - 2k nên
\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {2^k} = 17\\{y^2} - {2^k} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 9\\{2^k} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2k = 6\end{array} \right.\)
- Với x = 2k + 1 ta có: 22k + 1 + 17 = y4
⇔ 22k+1 + 17 = y4
⇔ y4 – 16 = 22k+1 + 1
⇔ (y2 – 4)(y2 + 4) = 22k+1 + 1
Ta thấy 22k+1 + 1 chia hết cho 3
Mà y2 chia 3 luôn dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên y2 + 4 chia 3 dư 2
y2 – 4 chia 3 cũng dư 2
Nên (y2 – 4)(y2 + 4) không chia hết cho 3
Suy ra: (y2 – 4)(y2 + 4) = 22k+1 + 1 vô nghiệm.
Vậy x = 6 và y = 3.
Tìm các số tự nhiên x và y thỏa mãn 2x + 624 = 5y
Vì x, y là số tự nhiên nên 2x + 624 > 624 ⇒ 5y > 624
Mà 5y có tận cùng là 5
Nên 2x + 624 cũng có tận cùng là 5
Xét x = 0 thì: 2x + 624 = 625 = 5y ⇒ y = 4
Xét x >0 thì 2x có tận cùng là chữ số chẵn nên 2x + 624 có tận cùng khác 5.
Vậy x = 0; y = 4.
Tìm các số x, y, z nguyên dương biết 2xyz = x + y + z + 16
Vì vai trò x, y, z như nhau và x, y, z nguyên dương nên để bài toán không mất tính tổng quát ta giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z
x + y + z ≤ z + z + z + 16 = 3z + 16
⇒ 2xyz ≤ 3z + 16
⇒ 2xy ≤ 3z + 16z
⇒ 2xy ≤ 3 + 16z ≤ 3 + 16 = 19
⇒ xy ≤ \(\frac{{19}}{2}\) = 9,5
Mà x ≤ y nên:
x2 ≤ 9,5 ⇒ x ∈ {1, 2, 3}
TH1: x = 1
⇒ 2yz = y + z + 17
⇔ 2yz − y − z = 17
⇔ y( z − 1) − z = 17
⇔ 2y( 2z −1) − (2z 1) == 17. 2 + 1 = 35
⇔ (2y − 1)(2z − 1) = 35 = 35. 1 = 5. 7
Mà y ≤ z nên ta có bảng:
2y – 1 | 1 | 5 |
2z – 1 | 35 | 7 |
y | 1 | 3 |
z | 18 | 4 |
TH2: x = 2
⇒ 4yz = y + z + 18
⇔ 16yz − 4y − 4z – 1 = 73
⇔ (4z − 1)(4y − 1) = 73 = 1.73
Suy ra: 4z – 1 = 73 (loại vì z nguyên dương)
TH3: x = 3
⇒ 6yz = y + z + 19
⇔ 36yz = 114 + 6y + 6z
⇔ 36yz – 6y – 6z = 114
⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 114 + 1
⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 115 = 115.1 = 23.5
Ta có bảng:
6y – 1 | 1 | 5 |
6z – 1 | 115 | 23 |
y | 0,33 | 1 |
z | 19,33 | 4 |
Trường hợp này loại vì y, z nguyên dương
Vậy (x, y, z) ∈ {(1;3;4), (1;1;18)} và các hoán vị.
Tìm các ước lớn hơn 10 của 115
Các ước của 115 là 1;5; 23; 115.
Nên các ước lớn hơn 10 của 115 là 23; 115.
Nêu cách tìm chiều rộng hình chữ nhật.
Có nhiều cách để tính chiều rộng hình chữ nhật trong một bài toán, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho.
Dưới đây là một số cách:
* Công thức tính chiều rộng khi biết chu vi khi biết chiều dài:
- Ta lấy chu vi chia 2, ra nửa chu vi
- Lấy nửa chu vi trừ chiều dài, ta được chiều rộng
* Công thức tính chiều rộng khi biết diện tích và chiều dài :
Diện tích : chiều dài = chiều rộng
Tìm đa thức A biết: 5x2 – 2A + 4x – 5 = A + 4x2 – 6x + 7
5x2 – 2A + 4x – 5 = A + 4x2 – 6x + 7
3A = 5x2 + 4x – 5 – 4x2 + 6x – 7
3A = x2 + 10x – 12
\(A = \frac{{{x^2} + 10x - 12}}{3}\)
Tìm GTLN của P = a2b + b2c + c2a biết a + b + c = 3; a, b, c ≥ 0.
Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:
+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:
P = a2b + abc + c2b = b(a2 + ac + c2) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)
+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:
P = a2c + b2c + abc = c(a2 + ab + b2) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.
Tìm GTLN của biểu thức A=5−x2x2+3
\(A = \frac{{5 - {x^2}}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{ - \left( {{x^2} + 3} \right) + 8}}{{{x^2} + 3}} = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}}\)
Mà x2 ≥ 0 nên x2 + 3 ≥ 3 ⇒ \(\frac{8}{{{x^2} + 3}} \le \frac{8}{3}\)
\(A = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}} \le - 1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}\)
Vậy GTLN của A bằng \(\frac{5}{3}\)
Dấu “=” khi x = 0.
Tìm GTLN của M=4aa2+4
\(M = \frac{{4a}}{{{a^2} + 4}} = \frac{{\left( {{a^2} + 4} \right) - \left( {{a^2} - 4a + 4} \right)}}{{{a^2} + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}}\)
Vì (a – 2)2 ≥ 0 và a2 + 4 > 0 với mọi a nên \(\frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \ge 0,\forall a\)
Suy ra: \(M = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \le 1\)
Vậy GTLN của M là 1 khi a = 2.
Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A=2x−6x2−9 nguyên
\(A = \frac{{2x - 6}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x + 3}}\)
Để A nguyên thì 2 chia hết x + 3
Hay x + 3 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}
⇒ x ∈ {-5; -4; -2; -1}
Vậy x ∈ {-5; -4; -2; -1}.
Tìm GTLN của biểu thức B=4x2–6x+12x−12
Đặt 2x – 1 = a nên \(x = \frac{{a + 1}}{2}\)
⇒ \(B = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3\left( {a + 1} \right) + 1}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} - a - 1}}{{{a^2}}}\)
\(B = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{{{a^2}}}\)
\(B = - \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 2.\frac{1}{a}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{5}{4} = - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4}\)
Vì \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0,\forall a\) suy ra: \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}\)
Vậy max B = \(\frac{5}{4}\) khi a = -2 hay \(x = - \frac{1}{2}\)
Cho số thực x thỏa mãn 0 < x < 3. Tìm GTNN của biểu thức A=43−x+100x+2024
\(A = \frac{4}{{3 - x}} + \frac{{100}}{x} + 2024\)
\(A = \frac{{{2^2}}}{{3 - x}} + \frac{{{{10}^2}}}{x} + 2024\)
\(A \ge \frac{{{2^2} + {{10}^2}}}{{3 - x + x}} + 2024\)
\(A \ge 2072\)
Vậy GTNN của A là 2072 khi \(\frac{2}{{3 - x}} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)
Tìm GTNN của biểu thức A = x2 – 4x + 9
A = x2 – 4x + 9
A = x2 – 4x + 4 + 5
A = (x – 2)2 + 5
Vì (x – 2)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 với mọi x
Vậy GTNN của A là 5 khi x – 2 = 0 hay x = 2.
Tìm GTNN của biểu thức A = x2 – 4x + 3
A = x2 – 4x + 3
A = x2 – 4x + 4 – 1
A = (x – 2)2 – 1
Vì (x – 2)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 – 1 ≥ –1 với mọi x
Vậy GTNN của A là –1 khi x – 2 = 0 hay x = 2.
Tìm GTNN của biểu thức A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
A = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt x2 + 3x = t
Ta có: A = t(t + 2) = t2 + 2t = (t + 1)2 – 1
Vì (t + 1)2 ≥ 0, ∀t nên (t + 1)2 – 1 ≥ –1 với mọi t
Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1
⇒ x2 + 3x = –1
⇔ x2 + 3x + 1 = 0
⇔ \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên âm: A=x−2x+1
ĐKXĐ: x ≠ -1
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)
Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} > 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 < 3\)
Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 < 3
⇒ x + 1 = 1
⇒ x = 0
Vậy x = 0 thì A nhận giá trị nguyên âm và A = -2.
Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên dương: A=x−2x+1
ĐKXĐ: x ≠ -1
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)
Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} < 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 > 3\)
Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 > 3
⇒ Không tồn tại x phù hợp
Vậy không tồn tại x để A nguyên dương.
Cho biểu thức P = 2x - 2xy - 2x2 - y2. Tìm GTLN của biểu thức P, khi P đạt GTLN thì x, y bằng mấy?
P = 2x - 2xy - 2x2 - y2
P = -(x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2x + 1) + 1
P = -(x + y)2 – (x – 1)2 + 1
Vì -(x + y)2 – (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y nên P = -(x + y)2 – (x – 1)2 + 1 ≥ 1
Vậy GTLN của P là 1 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Tìm GTNN của biểu thức B=2x2−3x+1
\(B = 2{x^2} - 3x + 1\)
\(B = 2\left( {{x^2} - 2.\frac{3}{4}.x + \frac{9}{{16}}} \right) - \frac{1}{8}\)
\(B = 2{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{1}{8} \ge - \frac{1}{8}\)
Vậy GTNN của B là \( - \frac{1}{8}\) khi \(x = \frac{3}{4}\)
Cho x, y, z ≥ 0, thỏa mãn: 12x + 10y + 15z ≤ 60.
12x + 10y + 15z ≤ 60
⇒ \(\frac{x}{5} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} \le 1\)
Đặt \(\frac{x}{5} = a;\frac{y}{6} = b;\frac{z}{4} = c\left( {0 \le a,b,c \le 1} \right),a + b + c \le 1\)
Khi đó T = 25a2 + 36b2 + 16c2 – 20a – 24b – 4c
\(25a\left( {a - \frac{{32}}{{25}}} \right) \le 0\)⇒ 25a2 ≤ 32a
36b(b – 1) ≤ 0 ⇒ 36b2 ≤ 36b
16c(c – 1) ≤ 0 ⇒ 16c2 ≤ 16c
Suy ra: T ≤ 32a + 36b + 16c – 20a – 24b – 4c = 12(a + b + c) ≤ 12
Vậy Tmax = 12 khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 0\end{array} \right.\)
Tìm GTNN của G = x2 – x + 2y2 – 4y + 3
G = x2 – x + 2y2 – 4y + 3
G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)
Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)
Tìm GTNN của A = x2 – x + 1
A = x2 – x + 1
\(A = {x^2} - 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\)
Tìm GTNN của A = x2 + 12x + 39
A = x2 + 12x + 39
A = x2 + 2.6x + 62 + 3
A = (x + 6)2 + 3
Vì (x + 6)2 ≥ 0 với mọi x nên (x + 6)2 + 3 ≥ 3 với mọi x
Vậy GTNN của A là 3 khi x = -6.
Tìm GTNN của biểu thức B=x2−2x+2006x2
ĐKXĐ: x ≠ 0
\(B = \frac{{{x^2} - 2x + 2006}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 + 2005}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2005}}{{{x^2}}}\)
Vì x2 ≥ 1 và (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 2005 ≥ 2005
Vậy GTNN của B là 2005 khi x = 1.
Tìm GTNN của M = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1
M = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1
M = x3(x – 1) – x2(x – 1) + (x – 1)2
M = (x – 1)(x3 – x2) + (x – 1)2
M = (x – 1)2x2 + (x – 1)2
M = (x – 1)2(x2 + 1)
Vì (x – 1)2 ≥ 0, x2 + 1 ≥ 1 nên (x – 1)2(x2 + 1) ≥ 1 với mọi x
Do đó GTNN của M là 1 khi x = 0.
Tìm bội của 36.
B(36) = {0; 36; 72; 108; …}
Tìm chữ số tận cùng của S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n , n thuộc {2, 3, ..., 2004}).
Mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4
= 200(1 + 2 + ... + 9) + 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Tìm hai số có một chữ số biết tổng hai số là 12 và tích của chúng là 42
Gọi 2 số cần tìm là a, b
Theo bài ra ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\ab = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\\left( {13 - b} \right)b = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Vậy (a;b) ∈ {(6;7), (7;6)}.
Tìm hai số lẻ có tổng là 186. Biết giữa chúng có 5 số lẻ?
Hiệu hai số đó là:
5 × 2 + 2 = 12
Số thứ nhất là:
(186 + 12) : 2 = 99
Số thứ hai là:
186 – 99 = 87
Đáp số: 99; 87.
Tìm 2 số nguyên tố, biết rằng hiệu của chúng là 507.
Vì hiệu của 2 số đó là 507, là số lẻ nên một trong hai số là số chẵn
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2
Nên số còn lại là:
507 + 2 = 509.
Vậy 2 số nguyên tố cần tìm là 509 và 2.
Tìm hiệu của hai số, biết rằng nếu số lớn thêm 15,4; số bé thêm 7,8 thì được hiệu hai số mới là 20,8
Nếu số lớn thêm 15,4 thì hiệu hai số mới sẽ tăng thêm 15,4.
Nếu số bé thêm 7,8 thì hiệu hai số mới sẽ giảm 7,8.
Vì hiệu hai số mới là 20,8 nên hiệu của hai số ban đầu là :
20,8 + 7,8 − 15,4 = 13,2
Đáp số : 13,2.
Tìm m biết 15.m=67
\(\frac{1}{5}.m = \frac{6}{7}\)
⇔ \(m = \frac{6}{7}:\frac{1}{5} = \frac{{30}}{7}\)
Tìm m để A = (m + 1; m + 4) giao B = [2m – 1; 3m] khác rỗng.
Để A ∩ B ≠ ∅ thì đầu tiên B ≠ ∅ hay 2m – 1 < 3m, tức là m > -1
Để A ∩ B ≠ ∅ thì \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > m + 1\\2m - 1 < m + 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m < m + 4\\3m > m + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l}2 < m < 5\\\frac{1}{2} < m < 2\end{array} \right.\)
Vậy m ∈ \(\left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {2;5} \right)\)
Cho hàm số y = -x³ + 3(m + 1)x² - (3m² + 7m - 1)x + m² - 1 có điểm cực tiểu tại 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
y′ = −3x2 + 6(m + 1)x − 3m2 − 7m + 1
Hàm có cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ′ = 9m2 + 18m + 9 + 3(−3m2 − 7m + 1) > 0
⇔ −3m + 12 > 0
⇒ m < 4
Giả sử x1 < x2 là 2 nghiệm, khi đó a = -1 < 0 nên x1 là điểm cực tiểu
Suy ra: \(\frac{{ - 3\left( {m + 1} \right) - \sqrt {12 - 4m} }}{{ - 3}} < 1\)
⇔ \(3m + 3 + \sqrt {12 - 4m} > 3\)
⇔ \(\sqrt {12 - 4m} > 3\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\12 - 4m > 9{m^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 2 - 4\sqrt 7 }}{9} < m < 4\)
Tìm giá trị của m để hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = (m - 1)x + 2 song song.
Để hai đường thẳng song song thì 2 = m – 1
Suy ra: m = 3
Vậy m = 3.
Cho (d): 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2. Tìm m để (d) cách gốc tọa độ 1 khoảng lớn nhất
Nếu m = 1 thì (d): y = −2 cách O một khoảng d = 2
Nếu m = 2 thì (d): x = 1 cách O một khoảng d = 1
Nếu m ≠ 1; 2
Gọi A và B là giao điểm của (d) với trục Ox, Oy
\({y_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = \frac{1}{{m - 1}}\)
\({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = \frac{2}{{m - 2}}\)
Gọi khoảng cách từ O đến (d) là hh thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\)
Để hmax thì \(\frac{1}{{{h^2}}}\) min hay \({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\) min
Dễ thấy:
\({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}{m^2} - 4m + 3 = \frac{3}{2}{\left( {m - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} \ge \frac{1}{3},\forall m\)
Khi đó h = 3
Thông qua các TH trên thì thấy m = 1 thì thỏa mãn đề.
Tìm GTNN, GTLN của D=4x+3x2+1
\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1\)
Vì \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x \Rightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1 \ge - 1\)
Vậy GTNN của D là -1 khi x = -2
\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - 4{x^2} + 4x - 1 + 4{x^2} + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4\)
Vì \( - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0,\forall x \Rightarrow - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4 \le 4\)
Vậy GTLN của D là 4 khi x = \(\frac{1}{2}\)
Tìm một số biết số đó chia cho 7 được kết quả là 42.
Số cần tìm là:
42.7 = 294
Đáp số: 294.
Tìm một số biết rằng lấy số đó cộng với 42 trừ đi 35 thì được kết quả bằng 31.
Số cần tìm là:
31 + 35 – 42 = 24
Đáp số: 24.
Tìm một số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho 7 được bao nhiêu cộng với 24 thì được kết quả là 44.
Số cần tìm là:
(44 – 24) . 7 = 140
Đáp số: 140.
Tìm một số, biết số đó cộng với 12 thì bằng 15 cộng với 27?
Số cần tìm là:
15 + 27 – 12 = 30.
Đáp số: 30
Tìm n ∈ ℕ để 3n + 4 chia hết cho 2n + 1
Ta có: 3n + 4 ⋮ 2n + 1
⇒ 2(3n + 4) ⋮ 2n + 1
⇔ 6n + 8 ⋮ 2n + 1
⇔ 6n + 3 + 5 ⋮ 2n + 1
⇔ 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1
Vì 3(2n + 1) ⋮ 2n + 1 nên để 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1 thì 5 ⋮ 2n + 1
Hay 2n + 1 ∈ Ư(5)
Vì n là số tự nhiên nên 2n + 1 = 1 hoặc 2n + 1 = 5
⇒ n = 0 hoặc n = 2.
Vậy n = 0 hoặc n = 2.
Tìm số nguyên n sao cho (n - 6) chia hết cho (n - 1)
Ta có: n – 6 = n – 1 – 5
Vì (n – 1) ⋮ (n – 1) nên để (n - 6) ⋮ (n - 1) thì 5 ⋮ n – 1
Hay n – 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5 }
Suy ra: n ∈ {-4; 0; 2; 6}
Vậy n ∈ {-4; 0; 2; 6}
Tìm phân số có mẫu số là 6 và bé hơn 38
Gọi phân số cần tìm là \(\frac{x}{6}\)
Ta có: \(\frac{x}{6} < \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{8x}}{{48}} < \frac{{3.6}}{{8.6}} = \frac{{18}}{{48}} \Rightarrow 8x < 18 \Rightarrow x < \frac{9}{4}\)
Vì x nguyên nên x = 0, 1, 2
Suy ra có 3 phân số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\frac{0}{6};\frac{1}{6};\frac{2}{6}\)
Tìm 4 phân số nằm giữa 2 phân số 56 và 57
Ta gọi các phân số đó là x, y, z, t
Ta có:
\(\frac{5}{7} < x < y < z < t < \frac{5}{6}\)
\(\frac{{30}}{{42}} < x < y < z < t < \frac{{35}}{{42}}\)
Suy ra: \(x = \frac{{31}}{{42}};y = \frac{{32}}{{42}} = \frac{{16}}{{21}};z = \frac{{33}}{{42}};t = \frac{{34}}{{42}} = \frac{{17}}{{21}}\)
Tìm số bị chia, biết thương là 14 và số dư lớn nhất của phép chia là 5.
Số dư lớn nhất của phép chia trên là 5 nên số chia là 6.
Số bị chia là:
14 . 6 + 5 = 89
Tìm số có dạng 5a38b¯ chia hết cho 2, 9 và chia cho 5 dư 1.
Để \(\overline {5a38b} \) chia 5 dư 1 thì b = 1 hoặc b = 6
Mà \(\overline {5a38b} \vdots 2\)nên b = 6
Ta được số: \(\overline {5a386} \)
Để \(\overline {5a38b} \vdots 9\)thì (5 + a + 3 + 8 + 6) ⋮ 9 hay 22 + a ⋮ 9
Mà a < 10 nên a = 5
Vậy \(\overline {5a38b} = 55386\)
Tìm số đối của các số sau: 45;−3;−47;2−5;511;0,123
Các số đối lần lượt là: \( - \frac{4}{5};3;\frac{4}{7};\frac{2}{5}; - \frac{5}{{11}}; - 0,123\)
Một lớp học có 40 học sinh trong đó có 30 học sinh giỏi toán, 25 học sinh giỏi giỏi tiếng việt, 2 học sinh không giỏi môn nào. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi cả toán và tiếng việt?
Số học sinh học giỏi ít nhất 1 môn toán hoặc tiếng việt là:
40 - 2 = 38 (học sinh)
Nếu mỗi bạn chỉ thích 1 môn thì có tất cả số học sinh là:
30 + 25 = 55 (học sinh)
Vậy thì thừa ra số học sinh chính là số học sinh giỏi cả toán và tiếng việt là:
55 - 38 = 17 (học sinh)
Tìm số nguyên n để 2025n - 2024 là tích của 2 số nguyên liên tiếp
Giả sử tích của 2025n – 2024 là k(k + 1) (k là số nguyên)
Ta có: 2025n – 2024 = k(k + 1)
\(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\)
Vì n nguyên nên k(k + 1) + 2024 chia hết cho 2025
Lại có: 2025 = 52.34 = 25 . 81
Mà k(k + 1) luôn chia hết cho 2 và 2024 ⋮ 2
Nhưng \(2025\cancel{ \vdots }2\) nên biểu thức \(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\) sẽ luôn có số dư
Mà n là số nguyên nên không thể tồn tại n thỏa mãn
Vậy không có giá trị n.
Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy - x + y = 6
xy - x + y = 6
⇔ x(y – 1) + y – 1 = 5
⇔ (y – 1)(x + 1) = 5
Ta có bảng:
y – 1 | 5 | 1 | -5 | -1 |
x + 1 | 1 | 5 | -1 | -5 |
y | 6 | 2 | -4 | 0 |
x | 0 | 4 | -2 | -6 |
Vậy (x;y) ∈ {(0;6), (4;2), (-2;-4), (-6;0)}.
Tìm số nhỏ nhất có ba chữ số mà tổng bằng 20.
Ta thấy các chữ số đều < 10 nên chữ số bé nhất là 2.
Ta có: 20 = 9 + 9 + 2
Vậy số cần tìm là 299.
Tìm số tiếp theo trong dãy số sau: 2, 11, 25, 44, 68, …
Ta thấy:
11 – 2 = 9
25 – 11 = 14
44 – 25 = 19
68 – 44 = 24
Các hiệu giữa 2 số kề nhau tăng với công sai d = 5
Vậy số tiếp theo là:
68 + (24 + 5) = 97
Đáp số: 97.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên phải và một chữ số 2 vào bên trái của nó thì số ấy tăng gấp 36 lần.
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \), ta có số mới là \(\overline {2ab2} \)
Ta có: \(\overline {2ab2} = \overline {ab} .36\)
2002 + \(\overline {ab} \). 10 = \(\overline {ab} \) . 36
2002 = \(\overline {ab} \) . 26
\(\overline {ab} \) = 2002 : 26
\(\overline {ab} \) = 77
Vậy số cần tìm là 77.
Tìm số tự nhiên n để 2n + 7 chia hết cho n + 2
Ta có: 2n + 7 = 2(n + 2) + 3
Vì 2(n + 2) ⋮ (n + 2) nên để 2n + 7 ⋮ n + 2 thì 3 ⋮ n + 2
Hay n + 2 ∈ Ư(3)
Vì n là số tự nhiên nên n + 2 ≥ 0 + 2 = 2
⇒ n + 2 = 3
⇒ n = 1
Vậy n = 1.
Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho n200 < 7300
7300 = (73)100 = 343100
n200 = (n2)100
Vì n200 < 7300 ⇒ (n2)100 < 343100 ⇒ n2 < 343
⇒ n < 18,5202
Vậy giá trị lớn nhất của n thỏa mãn đề bài là n = 18.
Tìm số tự nhiên n sao cho (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố
Để (n+1)(n+3) là số nguyên tố thì nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó
Mà (n+1)(n+3) là tích hai số nên n + 1 hoặc n + 3 bằng 1
Nếu n > 2 thì n+1 và n+ 3 sẽ luôn có một số không phải là số nguyên tố
⇒ Tích (n+1)(n+3) sẽ không phải số nguyên tố
Nếu n = 2 thì (n+1)(n+3) = 15 ⇒ Không phải số nguyên tố
Nếu n = 1 thì (n+1)(n+3) = 8 ⇒ Không phải số nguyên tố
Nếu n = 0 thì (n+1)(n+3) = 3 ⇒ Là số nguyên tố
Vậy với n = 0 thì (n+1)(n+3) là số nguyên tố
Tìm tất cả các số nguyên dương n để 1 + n2017 + n2018 là số nguyên tố
Đặt A = 1 + n2017 + n2018
Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn)
Với n > 1ta có:
A = 1 + n2017 + n2018
= n2018 – n2 + n2017 – n + (n2 + n + 1)
= n2(n2016 – 1) + n(n2016 – 1) + (n2 + n + 1)
= (n2016 – 1)(n2 + n) + (n2 + n + 1)
Mà : n2016−1 = (n3)672 – 1 = (n3 − 1)[(n3)671 + (n3)670 + ... + n3 + 1] ⋮ n3 − 1
⇒ (n2016−1) ⋮ (n2 + n + 1)
⇒A ⋮ (n2 + n + 1)
Ta lại có : 1 < (n2 + n + 1) < Anên A là số nguyên tố
Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài
Tìm số tự nhiên n sao cho 25 < 3n < 260
Ta có: 25 < 3n ⇒ n > 2 vì 32 = 9 < 25
36 = 729 > 260 ⇒ n < 6
Kết hợp ta có: 2 < n < 6
Mà n là số tự nhiên nên n = 3; 4; 5
Vậy n ∈ {3; 4; 5}.
Tìm số tự nhiên x biết rằng: x + 15 và x - 74 là 2 số chính phương
ĐK: x ≥ 74
Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 15 = {m^2}\\x - 74 = {n^2}\end{array} \right.\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Suy ra: m2 – n2 = x + 15 – x + 74 = 89
⇔ (m – n)(m + n) = 89
Do m và n là số tự nhiên và 89 = 89.1; m + n > m – 1=n nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 89\\m - n = 1\end{array} \right.\)
⇒ m = 45; n = 44
Thay vào: x + 15 = 452 ⇒ x = 452 – 15 = 2010
Vậy x = 2010.
Tìm x biết: (2x – 3)2 – (x + 5)2 = 0
(2x – 3)2 – (x + 5)2 = 0
⇔ (2x – 3 – x – 5)(2x – 3 + x + 5) = 0
⇔ (x – 8)(3x + 2) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Vậy x = 8 hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Tìm số tự nhiên x thỏa mãn 8 và 9 đều chia hết cho x.
Ta có: 8 ⋮ x; 9 ⋮ x nên x ∈ ƯC(8;9) = ±1
Mà x tự nhiên nên x = 1.
Tìm số tự nhiên x biết: (x2 – 4)(2x + x + 3) = 0
(x2 – 4)(2x + x + 3) = 0
⇔ (x2 – 4)(3x + 3) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(3x + 3) = 0
⇔ x=2x=−2x=−1
Vậy x ∈ {-2;-1;2}
Tìm số tự nhiên x biết: 5x + 5x+1 + 5x+2 = 31
5x + 5x+1 + 5x+2 = 31
⇔ 5x + 5x . 5 + 5x . 52 = 31
⇔ 5x ( 1 + 5 + 52) = 31
⇔ 5x = 1
⇔ x = 0
Vậy x = 0.
Tìm số tự nhiên x biết: 5x + 3x = 88
5x + 3x = 88
8x = 88
x = 88 : 8
x = 11
Vậy x = 11.
Tìm số tự nhiên x biết x ∈ Ư(18) và x ∈ B(4)
x ∈ Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
x ∈ B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; …}
Do đó không tìm được x thỏa mãn.
Tìm số ước dương của 450.
Ta có: 450 = 2.32.52
Số ước dương của 450 là:
(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 (ước)
Tìm tập giá trị của hàm số y = sin2x + 4sinx – 1
y = sin2x + 4sinx – 1
y = (sinx – 1)(sinx + 5) + 4
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x - 1 \le 0\\\sin x + 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \le 4\)
y = sin2x + 4sinx + 3 – 4 = (sinx + 1)(sinx + 3) – 4
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + 1 \ge 0\\\sin x + 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \ge - 4\)
Vậy tập giá trị là [-4;4].
Tìm tập xác định hàm số y=3tan3x+π4
ĐKXĐ: \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\)
⇒ \(3x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)
⇒ \(x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\)
Cho A = (5;7] ; B = [m; m + 3). Tìm m để:
a) A tập hợp con của B
b) B tập hợp con của A
a) A ⊂ B ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m + 3 < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 5\)
b) B ⊂ A ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m + 3 \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m \le 4\end{array} \right.\) (không tồn tại m thỏa mãn)
Tìm giá trị của m để (m -7 ; m) là tập con của (-4 ; 3)
Để (m - 7; m) là tập con của (-4;3) thì m - 7 > -4 và m < 3
Suy ra: m > -3 và m < 3
Vậy -3 < m < 3.
Tìm ƯCLN(18; 36; 30)
Ta có: 18 = 32.2
36 = 22.32
30 = 2.3.5
⇒ ƯCLN(18; 36; 30) = 2.3 = 6
Tìm x biết: (3x – 7)2 – 4(x + 1)2 = 0
(3x – 7)2 – 4(x + 1)2 = 0
⇔ (3x – 7)2 – [2(x + 1)]2 = 0
⇔ (3x – 7)2 – (2x + 2)2 = 0
⇔ (3x – 7 + 2x + 2)(3x – 7 – 2x – 2) = 0
⇔ (5x – 5)(x – 9) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)
Vậy x = 1 hoặc x = 9.
Tìm x biết: (3x – 5)2 – (1 – 2x)2 = 0
(3x – 5)2 – (1 – 2x)2 = 0
⇔ (3x – 5 + 1 – 2x)(3x – 5 – 1 + 2x) = 0
⇔ (x – 4)(5x – 6) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)
Tìm x biết: (x + 5)2 - (x - 5)2 - 2x + 1 = 0
(x + 5)2 - (x - 5)2 - 2x + 1 = 0
⇔ x2 + 10x + 25 – (x2 – 10x + 25) – 2x + 1 = 0
⇔ x2 + 10x + 25 – x2 + 10x – 25 – 2x + 1 = 0
⇔ 20x – 2x + 1 = 0
⇔ 18x + 1 = 0
⇔ \(x = - \frac{1}{{18}}\)
Vậy \(x = - \frac{1}{{18}}\)
Tìm x biết: x+56=4.512
\(x + \frac{5}{6} = 4.\frac{5}{{12}}\)
\(x + \frac{5}{6} = \frac{5}{3}\)
\(x = \frac{5}{3} - \frac{5}{6}\)
\(x = \frac{5}{6}\)
Vậy \(x = \frac{5}{6}\).
Tìm x biết: (x + 1)(6x + 8)(6x + 7)2 = 12
(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)2 = 12
6(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)2 = 12.6
(6x + 6)(6x + 8)(6x + 7)2 = 72
(36x2 + 84x + 48)(36x2 + 84x + 49) – 72 = 0
Đặt 36x2 + 84x = a
Ta có:
a(a + 1) – 72 = 0
⇔ a2 + a – 72 = 0
⇔ (a – 8)(a + 9) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 8\\a = - 9\left( L \right)\end{array} \right.\)
Suy ra: 36x2 + 84x = 8
⇒ 36x2 + 84x – 8 = 0
⇔ \(x = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {57} }}{6}\)
Tìm x ∈ ℤ biết 2x + 7 chia hết x + 1
2x + 7 = 2(x + 1) + 5
Vì 2(x + 1) ⋮ x + 1 nên để 2x + 7 ⋮ x + 1 thì 5 ⋮ x + 1
Hay x + 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}
⇒ x ∈ {-6; -2; 0; 4}.
Vậy x ∈ {-6; -2; 0; 4}.
Tìm số nguyên x thỏa mãn (5x - 1) chia hết cho (x + 2)
Ta có: 5x – 1 = 5(x + 2) – 11
Vì 5(x + 2) ⋮ (x + 2) mà 5x – 1 ⋮ (x + 2)
Suy ra: 11 ⋮ (x + 2)
Hay x + 2 ∈ Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}
⇒ x ∈ {-13; -3; -1; 9}.
Vậy x ∈ {-13; -3; -1; 9}.
Tìm các số tròn chục x, biết :
a) x < 50
b) 33< x< 77
a) Các số tròn chục đó là: 10, 20, 30, 40
Vậy x là: 10, 20, 30, 40
b) Các số tròn chục đó là: 40, 50, 60, 70
Vậy x là: 40 , 50 , 60 , 70
Tìm số tự nhiên x, y biết 7(x - 2004)2 = 23 - y2
7(x - 2004)2 = 23 - y2
Vì y2 ≥ 0, ∀y nên 23 – y2 ≤ 23, ∀y
Suy ra: 7(x - 2004)2 ≤ 23
⇒ (x - 2004)2 ≤ 237<4
Mà (x - 2004)2 ≥ 0, Trong đoạn [0;4) chỉ có 2 số chính phương là 0 và 1 nên:
+ Nếu x – 2004 = 0 ⇒ y2 = 23 - không có y thuộc N thỏa mãn.
+ Nếu (x - 2004)2 = 1 thì x = 2005 hoặc x = 2003.
Khi đó y2 = 16 mà y thuộc ℕ nên y = 4.
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn phương trình là (x ; y) ∈ {(2003;4), (2005;4)}.
Tìm x để xx−1>1
\(\frac{x}{{\sqrt x - 1}} > 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
Vì \(\sqrt x \ge 0\) nên để \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\) thì \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
Vậy x > 1.
Tìm số tự nhiên x để biểu thức sau là số nguyên tố: P = x4 + x2 + 1
P = x4 + x2 + 1
P = (x2 + 1)2 – x2
P = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Do x là số tự nhiên nên x2 + x + 1 > x2 - x + 1
Để x4 + x2 + 1 là số nguyên tố thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 = 1\\{x^2} + x + 1 \in P\end{array} \right.\)
Suy ra: x2 – x = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Với x = 0 thì P = x4 + x2 + 1 = 1 (loại)
Với x = 1 thì P = x4 + x2 + 1 = 3 (chọn)
Vậy x = 1.
Tìm x biết: (x + 7) chia hết cho (x + 1)
Ta có: (x + 7) = (x + 1) + 6
Mà (x + 1) + 6 chia hết cho x + 1 và x + 1 chia hết cho x + 1
⇒ 6 phải chia hết cho x + 1
⇒ x + 1 = {1 ; 2 ; 3 ; 6}
Nếu x + 1 = 1 thì x = 1 - 1 = 0 (được)
Nếu x + 1 = 2 thì x = 2 - 1 = 1 (được)
Nếu x + 1 = 3 thì x = 3 - 1 = 2 (được)
Nếu x + 1 = 6 thì x = 6 - 1 = 5 (được)
Vậy x = {0 ; 1 ; 2 ; 5}
Tìm x1, x2,…, xn thỏa mãn
x12−12+2x22−22+...+nxn2−n2=12x12+x22+...+xn2
Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
\(1.\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} \le \frac{{{1^2} + {x_1}^2 - {1^2}}}{2} = \frac{{{x_1}^2}}{2}\)
\(2.\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} \le \frac{{{2^2} + {x_2}^2 - {2^2}}}{2} = \frac{{{x_2}^2}}{2}\)
….
\(n.\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{n^2} + {x_n}^2 - {n^2}}}{2} = \frac{{{x_n}^2}}{2}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{x_1}^2}}{2} + \frac{{{x_2}^2}}{2} + ... + \frac{{{x_n}^2}}{2}\)
\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right)\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} = 1\\\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} = 2\\....\\\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 \\{x_2} = 2\sqrt 2 \\....\\{x_n} = n\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Tìm tập xác định y=x−2x2+7x+62x+4
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 7x + 6 \ne 0\\\sqrt {2x + 4} \ne 0\\2x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x \ne - 2\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x > - 2\end{array} \right.\)
Tính 35.10+310.15+315.20+320.25+...+395.100
Lời giải:
\(\frac{3}{{5.10}} + \frac{3}{{10.15}} + \frac{3}{{15.20}} + \frac{3}{{20.25}} + ... + \frac{3}{{95.100}}\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{5}{{5.10}} + \frac{5}{{10.15}} + \frac{5}{{15.20}} + \frac{5}{{20.25}} + ... + \frac{5}{{95.100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\frac{{19}}{{100}}\)
\( = \frac{{57}}{{500}}\)
Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 31.33
A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 31.33
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 31.33.6
6A = 1.3(5 + 1) + 3.5(7 – 1) + … + 31.33.(35 – 29)
6A = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 – 1.3.5 + 5.7.9 – 3.5.7 + … + 31.33.35 – 29.31.33
6A = 1.3 + 31.33.35
6A = 3 + 35805
6A = 35808
A = \(\frac{{11935}}{2}\)
Tính A = 1 + 3 + 32 + … + 320
A = 1 + 3 + 32 + … + 320
3A = 3 + 32 + … + 321
3A – A = (3 + 32 + … + 321) – (1 + 3 + 32 + … + 320)
2A = 321 – 1
\(A = \frac{{{3^{21}} - 1}}{2}\)
Tính A=23+133+1...1003+123−133−1...1003−1
Lời giải:
\(A = \frac{{\left( {{2^3} + 1} \right)\left( {{3^3} + 1} \right)...\left( {{{100}^3} + 1} \right)}}{{\left( {{2^3} - 1} \right)\left( {{3^3} - 1} \right)...\left( {{{100}^3} - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{\left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} - 2 + 1} \right)\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} - 3 + 1} \right)...\left( {100 + 1} \right)\left( {{{100}^2} - 100 + 1} \right)}}{{\left( {2 - 1} \right)\left( {{2^2} + 2 + 1} \right)\left( {3 - 1} \right)\left( {{3^2} + 3 + 1} \right)...\left( {100 - 1} \right)\left( {{{100}^2} + 100 + 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{3.3.4.7...101.9901}}{{1.7.2.13.3.21...99.10101}}\)
\(A = \frac{{\left( {3.4.5...101} \right).\left( {3.7.13...9901} \right)}}{{\left( {1.2.3...99} \right).\left( {7.13.21...10101} \right)}}\)
\(A = \frac{{3.100.101}}{{1.2.10101}} = \frac{{30300}}{{20202}}\)
Tính diện tích mảnh đất hình ABCDE có kích thước như hình vẽ bên.
Diện tích mảnh đất hình thang ABCE là:
(10 + 8) × 5 : 2 = 45 (m2)
Tính diện tích mảnh đất hình tam giác vuông ECD:
6 × 8 : 2 = 24 (m2)
Tính diện tích mảnh đất hình ABCDE:
45 + 24 = 69 (m2)
Tính diện tính phần màu đỏ của hình tròn (như hình vẽ ), biết hình tròn đó có đường kính 50cm, diện tích của hình chữ nhật bằng 20% diện tích hình tròn.
Bán kính hình tròn là:
50 : 2 = 25(cm)
Diện tích hình tròn là:
π.252 = 625π (cm2)
Diện tích phần màu đỏ của hình tròn chiếm:
1 – 20% = 80% (diện tích cả hình tròn)
Diện tích phần màu đỏ của hình tròn là:
80% . 625π = 500π (cm2)
Một cửa hàng sau khi hạ giá 10%. Tính ra cửa hang vẫn còn lãi 8% giá vốn. Hỏi nếu không hạ giá thì cửa hàng còn lãi bao nhiêu phần trăm giá vốn?
Coi giá bán khi không hạ giá là 100% thì giá bán khi hạ giá là:
100% - 10% = 90%
Cửa hàng vẫn còn lãi 8% tức là cửa hàng bán được:
100% + 8% = 108% (giá vốn)
Số tiền lãi tính theo giá vốn là:
100 : 90 . 108 = 120% (giá vốn)
Vậy ngày thường thì cửa hàng lãi được:
120% - 100% = 20%
Tính giá trị biểu thức 2 + 4 + 6 + 8 + … + 40
Tổng trên có số số hạng là:
(40 - 2) : 2 + 1 = 20 (số)
Giá trị của tổng trên là:
(40 + 2) . 20 : 2 = 420
Đáp số: 420
Tính giá trị biểu thức A=x2x4+x+1 với x=122
\(A = {x^2}\sqrt {{x^4} + x + 1} \)
\(A = {\left( {12\sqrt 2 } \right)^2}\sqrt {{{\left( {12\sqrt 2 } \right)}^4} + 12\sqrt 2 + 1} \)
\(A = 288.\sqrt {82944 + 12\sqrt 2 + 1} \)
\(A \approx 82953\)
Tính giá trị biểu thức B=1−121−131−14...1−12022
\(B = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{2022}}} \right)\)
\(B = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{{2021}}{{2022}}\)
\(B = \frac{1}{{2022}}\)
Tính bằng cách hợp lý: 2020 . 39 + 2020 . 64 – 2020
2020 . 39 + 2020 . 64 – 2020
= 2020 . (39 + 64 – 1)
= 2020 . 102
= 206040
Tính bằng cách hợp lý: 526 – 131 – 326 + 321
526 – 131 – 326 + 321
= (526 – 326) + (321 – 131)
= 200 + 200
= 400
Tính nhanh 115+135+163+199+1143+1195+1255+1323
\(S = \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}} + \frac{1}{{255}} + \frac{1}{{323}}\)
\(2S = \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + \frac{2}{{9.11}} + \frac{2}{{11.13}} + \frac{2}{{13.15}} + \frac{2}{{15.17}} + \frac{2}{{17.19}}\)
\(2S = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{17}} + \frac{1}{{17}} - \frac{1}{{19}}\)
\(2S = \frac{1}{3} - \frac{1}{{19}}\)
\(2S = \frac{{16}}{{57}}\)
\(S = \frac{8}{{57}}\)
Tính nhanh: 197 . 203
197 . 203
= (200 – 3)(200 + 3)
= 2002 – 32
= 40000 – 9
= 39991
Tính thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài 5dm , biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2dm thì thể tích hình hộp đó giảm đi 12dm3
Gọi 2 cạnh còn lại của hình hộp chữ nhật là b, c
Ta có: thể tích ban đầu của hình hộp chữ nhật là 5 × b × c
Thể tích sau khi giảm chiều dài là: 3 × b × c
Theo bài ra ta có:
5 × b × c – 3 × b × c = 12
2 × b × c = 12
b × c = 6
Vậy thể tích ban đầu của hình hộp chữ nhật là:
5 × b × c = 5 × 6 = 30 (dm3)
Tính tổng 15+152+153+...+15100
\(S = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}\)
\(5S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}\)
\(5S - S = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}} \right)\)
\(4S = 1 - \frac{1}{{{5^{100}}}}\)
\(4S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{5^{100}}}}\)
\(S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{{4.5}^{100}}}}\)
Tính tổng 1 + 3 + 5 + … + 99
Ta thấy 2 số liền kề hơn kém nhau 2 đơn vị
Dãy số đo có số số hạng là :
(99 - 1 ) : 2 + 1 = 50 (số)
Tổng của dãy số đó là :
(99 + 1) . 50 : 2 = 2500
Cho Sn=12+13+...+1n. Tính S4?
\[{S_4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\]
\[{S_4} = \frac{5}{6} + \frac{9}{{20}}\]
\[{S_4} = \frac{{100 + 54}}{{120}} = \frac{{154}}{{120}} = \frac{{77}}{{60}}\]
Cho dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …. Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Dãy số trên là dãy số cách đều, số hạng sau hơn số hạng trước 3 đơn vị.
Số hạng thứ 50 của dãy là:
1 + 3 × (50 − 1) = 148
Tổng của 5 0số hạng đầu tiên của dãy là:
(148 + 1) × 50 : 2 = 3725
Tính tổng các phân số nhỏ hơn 15 có mẫu là 100.
\(\frac{1}{5} = \frac{{20}}{{100}}\)
Các phân số nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) có mẫu là 100 là \(\frac{0}{{100}};\frac{1}{{100}};\frac{2}{{100}};...\frac{{19}}{{100}}\)
Tổng của các phân số đó là:
\(\frac{0}{{100}} + \frac{1}{{100}} + \frac{2}{{100}} + ... + \frac{{19}}{{100}} = \frac{{0 + 1 + 2 + ... + 19}}{{100}} = \frac{{\left( {19 + 0} \right).20:2}}{{100}} = \frac{{190}}{{100}}\)
Tính nhanh: 2 + 5 + 8 + 11 + … + 2003 + 2006
Ta thấy đây là dãy số cách đều 3 đơn vị nên số số hạng của dãy số là:
(2006 - 2) : 3 +1 = 669 (số hạng)
Tổng của dãy số là:
(2006 + 2) . 699 : 2 = 671676
Tính tổng: 2 + 5 + 8 + 11 + … + 2003
Tổng đó có số số hạng là:
(2003 – 2) : 3 + 1 = 668 (số hạng)
Giá trị tổng là:
(2 + 2003) . 668 : 2 = 669670
Cho tam giác ABC có AB = 7; AC = 5; A^=120°. Tính AB→.AC→;AB→.BC→
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 7.5.\cos 120^\circ = - \frac{{35}}{2}\)
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = - 49 + - \frac{{35}}{2} = \frac{{ - 133}}{2}\]
Chứng minh định lí Menelaus
+) Phần thuận
Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng
Từ các đỉnh A, B, C dựng các mặt phẳng (α), (β), (γ) theo thứ tự song song với (MNPQ).
Từ D dựng đường thẳng d cắt (α), (β), (γ) theo thứ tự A’, B’, C’ và cắt (MNPQ) tại O
Ta có: \(\frac{{OA'}}{{OB'}}.\frac{{OB'}}{{OC'}}.\frac{{OC'}}{{OD}}.\frac{{OD}}{{OA'}} = 1\)
Theo định lý Thales thì: \(\frac{{OA'}}{{OB'}} = \frac{{MA}}{{MB}};\frac{{OB'}}{{OC'}} = \frac{{NB}}{{NC'}};\frac{{OC'}}{{OD}} = \frac{{PC}}{{PD'}};\frac{{OD}}{{OA'}} = \frac{{QD}}{{QA}}\)
Vậy \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{OA'}}{{OB'}}.\frac{{OB'}}{{OC'}}.\frac{{OC'}}{{OD}}.\frac{{OD}}{{OA'}} = 1\)
+) Phần đảo
Giả sử: \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{QD}}{{QA}} = 1\)
Gọi E là giao của AD với mặt phẳng (MNP)
Do M, N, P, E đồng phẳng nên \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{ED}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{ED}}{{EA}} \Rightarrow E \equiv Q\)
Vậy M, N, P, Q đồng phẳng.
Chứng tỏ rằng đa thức: P = x2 – 2x + 2 > 0 với mọi x.
P = x2 – 2x + 2
P = x2 – 2x + 1 + 1
P = (x – 1)2 + 1
Vì (x – 1)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 1)2 + 1 ≥ 1 > 0, ∀x
Vậy P > 0 với mọi x.
Tìm x biết: 23−−12−x=−45
\(\frac{2}{3} - \left( { - \frac{1}{2} - x} \right) = - \frac{4}{5}\)
⇔ \(\left( { - \frac{1}{2} - x} \right) = - \frac{4}{5} - \frac{2}{3}\)
⇔ \( - \frac{1}{2} - x = - \frac{{22}}{{15}}\)
⇔ \(x = - \frac{1}{2} - \left( { - \frac{{22}}{{15}}} \right)\)
⇔ \(x = - \frac{1}{2} + \frac{{22}}{{15}}\)
⇔ \(x = \frac{{29}}{{30}}\)
Vậy \(x = \frac{{29}}{{30}}\)
Một người đi xe máy trong 3 giờ đi được 126,54km. Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu ki-lô-mét?
Trung bình mỗi giờ người đó đi được số ki-lô-mét là:
126,54 : 3 = 42,18 (km)
Đáp số: 42,18 (km).
Tìm a, b ∈ ℕ thỏa mãn 3a + 3b = ab
3a + 3b = ab
⇔ ab – 3a – 3b = 0
⇔ a(b – 3) – 3(b – 3) = 9
⇔ (b – 3)(a – 3) = 9
Mà 9 = 1.9 = 3.3
Ta có bảng:
b - 3 | 1 | 9 | 3 |
a – 3 | 9 | 1 | 3 |
b | 4 | 12 | 6 |
a | 12 | 4 | 6 |
Vậy (a;b) ∈ {(12;4) , (4;12), (6;6)}.
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Ta có: a + b + c = 0
⇒ (a + b + c)3 = 0
⇔ a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3b2c + 3bc2 + 3a2c + 3ac2 + 6abc = 0
⇔ a3 + b3 + c3 + (3a2b + 3ab2 + 3abc) + (3b2c + 3bc2 + 3abc) + (3a2c + 3ac2 + 3abc) – 3abc = 0
⇔ a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c) = 3abc
⇔ a3 + b3 + c3 + (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 3abc
Do a + b + c = 0 nên (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 0
Vậy a3 + b3 + c3 = 3abc
Tổng của 9 số tự nhiên liên tiếp đầu tiên từ 1 đến 9 là số nào trong 3 số sau:
40
45
50
55
Đáp án đúng là B
Tổng của 9 số tự nhiên liên tiếp là:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Tổng bình phương của hai số là gì?
Tổng bình phương của hai số là phép toán thực hiện bình phương của từng số trong tổng, sau đó cộng các kết quả lại với nhau.
Ví dụ: a2 + b2
Tính tổng các phân số nhỏ hơn 57 có mẫu số bằng 70 và tử số là số có 2 chữ số.
\(\frac{5}{7} = \frac{{5.10}}{{7.10}} = \frac{{50}}{{70}}\)
Các phân số nhỏ hơn 5/7, có mẫu số là 70 và tử số là số có 2 chữ số là:
\(\frac{{10}}{{70}};\frac{{11}}{{70}};...;\frac{{49}}{{70}}\)
Tổng các phân số đó là: \(\frac{{10 + 11 + 12 + ... + 49}}{{70}} = \frac{{\left( {10 + 49} \right).\frac{{40}}{2}}}{{70}} = \frac{{118}}{7}\)
Tổng của 5 số nguyên tố là 142. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong 5 số đó.
Tổng của 5 số nguyên tố là 142, là một số chẵn
Suy ra: phải có ít nhất 1 số trong 5 số là số chẵn (vì nếu cả 5 số là lẻ thì tổng của chúng là số lẻ)
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 5 số đó là 2.
Tổng của các số nguyên lẻ trong các số nguyên từ 25 đến 85 là bao nhiêu?
Mỗi số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
Số các số lẻ từ 25 đến 85 là:
(85 – 25) : 2 + 1 = 31 (số)
Tổng các số lẻ từ 25 đến 85 là:
(25 + 85) . 31 : 2 = 1705
Tổng của hai số thập phân là 16,26. Nếu tăng số thứ nhất lên 5 lần và tăng số thứ hai lên 2 lần thì ta được tổng mới là 43,2. Tìm hai số thập phân đó.
Gọi 2 số thập phân là A và B
Ta có :
A + B = 16,26 ⇒ A = 16,26 - B
A . 5 + B . 2 = 43,2
(16,26 – B) . 5 + 2B = 43,2
81,3 – 5B + 2B – 43,2 = 0
38,1 – 3B = 0
3B = 38,1
B = 38,1 : 3
B = 12,7
Suy ra: A = 16,26 – 12,7 = 3,56
Tìm tổng của hai số tròn chục nhỏ nhất có tổng các chữ số là 10
Lời giải:
Ta có: 1 + 9 + 0 = 10 và 190 là số tròn chục
Mà 190 là nhỏ nhất nên tổng của 2 số đó 190.
Tính tổng của tất cả các số lẻ có 3 chữ số?
Số các số lẻ có 3 chữ số là:
( 999 - 1 ) : 2 + 1 = 500 (số)
Tổng của các số đó là:
(999 + 1) . 500 : 2 = 250 000
Tính tổng của tất cả chữ số của số nguyên âm có 2 chữ số
Tổng các số nguyên âm 2 chữ số là (-10) + (-11) + (-12) + ... + (-99)
= –(10 + 11 + 12 + ... + 99)
= –[(99 + 10) . 90 : 2]
= –4905
Tìm 2 số là B(9) biết tổng của chúng là 513*¯ và số lớn gấp đôi số bé
Vì 2 số là B(9) nên 2 số đó đều chia hết cho 9
Vì \(\overline {513*} \vdots 9\) nên (5 + 1 + 3 + *) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9
Mà 0 < * < 9 nên * = 0 hoặc * = 9
Nếu * = 0 thì số lớn là: 5130 : 3 . 2 = 3420
Số bé là: 5130 – 3420 = 1710
Nếu * = 9 thì số lớn là: 5139 : 3 . 2 = 3426 (loại)
Vậy 2 số đó là 3420 và 1710.
Người ta để diện tích mảnh vườn để trồng rau. Mảnh vườn hình vuông có chu vi là 120m. Cứ 1m2 thu hoạch được 5 kg rau. Hỏi người ta thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam rau trên mảnh vườn đó?
Độ dài cạnh của mảnh vườn đó là:
120 : 4 = 30 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
30 . 30 = 900 (m2)
Số kg rau thu hoạch được là:
900 : 1 . 5 = 4500 (kg)
Tìm giao điểm của hàm số y = cot(sinx) với trục hoành
Xét phương trình hoành độ giao điểm
cot(sinx) = 0 (sin(sinx) ≠ 0)
⇔ cos(sinx) = 0
⇔ \(\sin x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1
⇔ \( - 1 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 1\)
⇔ \(\frac{{ - 2 - \pi }}{{2\pi }} \le k \le \frac{{2 - \pi }}{{2\pi }}\)
Suy ra: k ∈∅ do k nguyên
Vậy số giao điểm là 0.
Giá trị nguyên là gì?
Giá trị nguyên là giá trị thuộc tập hợp số nguyên
Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.
Kí hiệu là: ℤ
Tìm x, y biết: |x – 2| = 2; |y – 1| = 9
|x – 2| = 2
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 2\\x - 2 = - 2\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy x = 0 hoặc x = 4
|y – 1| = 9
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y - 1 = 9\\y - 1 = - 9\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 10\\y = - 8\end{array} \right.\)
Vậy y = -8 hoặc y = 10.
Trong một vườn thú có số sư tử bằng 23 số hổ, trung bình mỗi con một ngày ăn hết 0,09 tạ thịt. Trong một đợt 20 ngày, người ta đã cho sư tử và hổ ăn hết 2,7 tấn thịt. Hỏi vườn thú có bao nhiêu con hổ, sư tử?
2,7 tấn = 27 tạ thịt
Mỗi ngày số thịt được ăn hết là:
27 : 20 = 1,35 (tạ)
Tổng số sư tử và hổ là:
1,35 : 0,09 = 15 (con)
Số hổ là:
15 : 5 . 3 = 9 (con)
Số sư tử là:
15 : 5 . 2 = 6 (con)
Cho Parabol(P): y=−14x2 và đường thẳng (d): y = mx - 2m - 1. Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{ - 1}}{4}{x^2} = mx - 2m - 1\)
⇔ x2 = -4mx + 8m + 4
⇔ x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (*)
(d) tiếp xúc với (P) khi (*) có 1 nghiệm duy nhất, hay ∆ = 0
⇔ 16m2 + 32m + 16 = 0
⇔ 16(m + 1)2 = 0
⇔ m + 1 = 0
⇔ m = -1
Vậy m = -1
Trong một hộp kín có ba quả bóng: một đỏ (Đ), một xanh (X), một vàng (V). Lấy ngẫu nhiên một bóng, xem màu, ghi kết quả rồi trả bóng vào hộp. Lặp lại các thao tác trên nhiều lần, kết quả ghi trong bảng sau:
Loại bóng Đ X V
Số lượng 15 15 20
a) Tính xác suất thực nghiệm của khả năng chọn được bóng của mỗi loại màu.
b) Khả năng chọn được bóng của màu nào cao hơn?
a) Tổng số lượt bóng trúng là:
15 + 15 + 20 = 50 (lượt)
Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu đỏ là
15 : 50 = 0,3
Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu vàng là
20 : 50 = 0,42
Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu xanh là
15 : 50 = 0,3
b) Dựa vào kết quả phần a) ta kết luận: Khả năng chọn được bóng của màu vàng cao hơn các bóng màu khác
Cho tam giác ABC có A^=60°;B^=45° ; b = 8. Tính độ dài c.
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \)
Áp dụng công thức: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Suy ra: \(\frac{8}{{\sin 45^\circ }} = \frac{c}{{\sin 75^\circ }}\)
⇒ \(c = \frac{{8.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{8.\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 4 + 4\sqrt 3 \)
Trong tháng 9 nhà bạn An dùng hết 197 số điện. Hỏi nhà bạn An phải trả bao nhiêu tiền điện, biết đơn giá điện như sau:
Giá tiền điện cho 50 số điện đầu tiên là 1700 đồng/số
Giá tiền điện cho 50 số điện tiếp theo (từ số 51 đến số 100) là 1800 đồng/số
Giá tiền điện cho 100 số điện tiếp theo (từ số 101 đến số 200) là 2000 đồng/số
Số tiền điện cho 50 số đầu tiên:
50 . 1 700 = 85 000 (đồng)
Số tiền điện cho 50 số tiếp theo:
50 . 1 800 = 90 000 (đồng)
Số tiền điện cho 97 số tiếp theo:
97 . 2 000 = 194 000 (đồng)
Tổng số tiền điện:
85 000 + 90 000 + 194 000 = 369 000 (đồng)
Một cây cảnh trung bình mỗi tháng cao thêm 2cm. Cứ 4 tháng một lần người làm vườn cắt đi 5cm. Sau 2 năm người đó đã cắt đi 6 lần nhưng cây vẫn cao gấp đôi. Hỏi sau hai năm cây cao bao nhiêu xăng ti mét?
4 tháng cây cao thêm được là:
2 . 4 - 5 = 3 (cm)
Sau 2 năm cây cao thêm được là:
3 . 6 = 18 (cm)
Coi chiều cao của cây lúc đầu là 1 phần thì chiều cao của cây sau 2 năm là 2 phần như thế.
Sau 2 năm cây cao là:
18 : (2 - 1) . 2 = 36 (cm)
Một đội bóng đá ra trận có 11 cầu thủ có tuổi trung bình của các cầu thủ là 24 tuổi. Nếu không kể thủ môn thì tuổi trung bình của các cầu thủ là 22,5 tuổi. Tính tuổi của thủ môn.
Tổng số tuổi của 11 cầu thủ là:
24.11 = 264 (tuổi)
Nếu ko kể thủ môn thì tổng số tuổi của 10 cầu thủ là:
22,5.10 = 225 (tuổi)
Tuổi thủ môn là:
264 - 225 = 39 (tuổi)
Trung bình cộng của 3 số là 76. Vậy tổng của 3 số là bao nhiêu?
Vậy tổng của 3 số đó là:
76 × 3 = 228
Đáp số: 228
Một quán phở bò trong một tháng bán được tổng cộng 9.000 bát phở. Hãy tính trung bình mỗi ngày quán bán được bao nhiêu bát phở?
Số ngày trong 1 tháng trung bình là 30 ngày
Trung bình mỗi ngày quán bán được số bát phở là:
9000 : 30 = 300 (bát phở)
Đáp số: 300 bát.
Từ 0 đến 0,125, viết 1 số chia hết cho 3.
Ta có: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2
Do đó số thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể là:
0,111 hoặc 0,120; 0,102; 0,012; 0,021
Từ 1 đến 99, có bao nhiêu chữ số?
Các số hạng có 1 chữ số bắt đầu từ 1 đến 9 là:
(9 − 1) : 1 + 1 = 9 (số hạng)
Vì có một chữ số nên 9 số hạng này có 9 chữ số.
Các số hạng có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 là:
(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số hạng)
Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:
90 × 2 = 180 (chữ số)
Tổng các chữ số bắt đầu từ 1 đến 99 là:
9 + 180 = 189 (chữ số)
Đáp số: 189 chữ số
Từ 1 đến 999, có bao nhiêu chữ số?
Các số hạng có 1 chữ số bắt đầu từ 1 đến 9 là:
(9 − 1) : 1 + 1 = 9 (số hạng)
Vì có một chữ số nên 9 số hạng này có 9 chữ số.
Các số hạng có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 là:
(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số hạng)
Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:
90 × 2 = 180 (chữ số)
Các số hạng có 3 chữ số bắt đầu từ 100 đến 999 là:
(999 − 10) : 1 + 1 = 900 (số hạng)
Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:
900 × 3 = 270 (chữ số)
Tổng các chữ số bắt đầu từ 1 đến 999 là:
9 + 180 + 2700 = 2889 (chữ số)
Từ 2 đến 2023 có bao nhiêu số?
Từ 2 đến 2023 có số các số hạng là:
(2023 – 2) : 1 + 1 = 2022 (số hạng)
Từ 21 đến 40 có bao nhiêu số chẵn?
Ta thấy mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị
Từ 21 đến 40 có số số chẵn là:
(40 – 22) : 2 + 1 = 10 (số)
Từ 7 giờ sáng đến 10 giờ sáng cùng ngày là mấy giờ?
Từ 7 giờ sáng đến 10 giờ sáng cùng ngày là:
10 – 7 = 3 (giờ)
Từ 9 đến 17 có bao nhiêu số?
Từ 9 đến 17 có:
(17 – 9) : 1 + 1 = 9 (số)
Từ 21 đến 40 có bao nhiêu số chẵn và lẻ?
Ta thấy mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị
Từ 21 đến 40 có số số chẵn là:
(40 – 22) : 2 + 1 = 10 (số)
Số các số hạng từ 21 đến 40 là:
(40 – 21) : 1 + 1 = 20 (số)
Từ 21 đến 40 có số số lẻ là:
20 – 10 = 10 (số)
Từ tháng 1 đến tháng 9 có bao nhiêu ngày?
Các tháng có 31 ngày là: Tháng 1, 3, 5, 7, 8
Các tháng có 30 ngày là: Tháng 4, 6, 9
Tháng có 28 (hoặc 29) ngày là Tháng 2
Từ tháng 1 đến tháng 9 có số ngày là (nếu tháng 2 có 28 ngày)
31 . 5 + 30 . 3 + 28 = 273 (ngày)
Nếu tháng 2 có 29 ngày thì có 274 ngày.
Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)
- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.
- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.
Tuổi em hiện nay gấp 4 lần tuổi em khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay. Đến khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51 tuổi. Tính tuổi anh hiện nay.
Giả sử tuổi em trước đây là 1 thì hiện tuổi em là:
1 . 4 = 4 (tuổi)
Đúng lúc đó tuổi của anh 3 năm trước vì 4 - 1 = 3 (tuổi)
Số tuổi của anh hiện nay là:
4 + 3 = 7 (tuổi)
Khi tuổi của em bằng tuổi anh (7 tuổi) thì tuổi anh lúc đó là:
7 + 3 = 10 (tuổi)
Tổng số tuổi của hai anh em lúc này là:
10 + 7 = 17 (tuổi)
Theo đề bài thì tổng số tuổi của hai anh em, khi tuổi em bằng tuổi anh thì tổng là 51
Tổng số tuổi của hai anh em giảm đi số lần là:
51 : 17 = 3 (lần)
Vậy tuổi em hiện nay là:
3 . 4 = 12 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
7 . 3 = 21 (tuổi)
Từ 1 đến 6 cách nhau mấy số?
Từ 1 đến 6 cách nhau 4 số vì ta có các số từ 1 đến 6 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Đúng ghi Đ, sai ghi S.
Biểu đồ hình bên ghi lại kết quả điều tra 140 người về sự ham thích các môn thể thao.
a) Số người thích môn cầu lông là 28 người ▢.
b) Số người thích môn bóng bàn là 20 người ▢.
c) Số người thích môn bóng đá là 56 người ▢.
d) Số người thích môn cờ vua là 36 người ▢.
a) Số người thích cầu lông là:
20% × 140 = 28 (người)
Nên: Số người thích cầu lông là 28 người (ĐÚNG)
b) Số người thích bóng bàn là:
15% × 140 = 21 (người)
Nên: Số người thích bóng bàn là 20 người (SAI)
c) Số người thích bóng đá là:
40% × 140 = 56 (người)
Nên: Số người thích bóng đá là 56 người (ĐÚNG)
d) Số người thích cờ vua là:
25% × 140 = 35 (người)
Nên: Số người thích môn cờ vua là 36 người (SAI)
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2021un+1=unnn≥1. Giá trị u2022 là?
\({u_1} = 2021;{u_2} = \frac{{2021}}{1};{u_3} = \frac{{2021}}{2};...\)
Dự đoán \({u_n} = \frac{{2021}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)
Với n = 1 thì \({u_1} = \frac{{2021}}{{\left( {1 - 1} \right)!}} = 2021\)
Giả sử n = k thì \({u_k} = \frac{{2021}}{{\left( {k - 1} \right)!}}\) đúng
Ta đi chứng minh n = k + 1 thì \({u_{k + 1}} = \frac{{2021}}{{k!}}\) đúng
Thật vậy ta có: \({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k}}}{k} = \frac{{2021}}{{\left( {k - 1} \right)!}}.\frac{1}{k} = \frac{{2021}}{{k!}}\)
Vậy \({u_n} = \frac{{2021}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)
Suy ra: \({u_{2022}} = \frac{{2021}}{{\left( {2022 - 1} \right)!}} = \frac{1}{{2020!}}\)
Xét tính đúng sai
Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2un+1−un=2n−1. Khi đó:
a) u2 = 3
b) u4 = 11
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} - {u_1} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.\)
Vậy u2 = 3 là đúng
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_4} - {u_3} = 2.3 - 1 = 5\end{array} \right.\)
mà u3 – u2 = 2.2 – 1 = 3
Suy ra: u3 = 3 + 3 = 6
u4 = 5 + u3 = 5 + 6 = 11
Vậy u4 = 11 là đúng
Tìm ƯCLN và BCNN của 40; 75 và 106
40 = 23.5
75 = 52.3
106 = 2.53
ƯCLN(40;75;106) = 2.5 = 10
BCNN(40;75;106) = 23.3.52.53 = 31800
Tìm ƯC (54; 112)
54 = 2.33
112 = 24.7
ƯCLN(54;112) = 2
ƯC (54;112) = Ư(2) = {1, 2}.
Tìm hai số a và b (a < b), biết: ƯCLN(a, b) = 3 và BCNN(a , b) = 90.
Vì ƯCLN(a,b) = 3, suy ra : a = 3x ; b = 3y
(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)
Ta có : a.b = 3x . 3y = 9xy (1)
Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)
a.b = 3 . 90 = 270 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: xy = 270 : 9 = 30
Ta có các trường hợp sau:
x | 30 | 1 | 2 | 15 | 5 | 6 | 10 | 3 |
y | 1 | 30 | 15 | 2 | 6 | 5 | 3 | 10 |
Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:
a | 90 | 3 | 6 | 45 | 15 | 18 | 30 | 9 |
b | 3 | 90 | 45 | 6 | 18 | 15 | 9 | 30 |
Vậy (a;b) ∈ {(90 ; 3) ; (3 ; 90) ; (6 ; 45) ; (45;6) ; (15;18) ; (18;15) ; (30;9) ; (9; 30)}
Xét tính tăng giảm của dãy số un với un=3nn2
\({u_1} = \frac{{{3^1}}}{{{1^2}}} = 3\)
\({u_2} = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} = \frac{9}{4}\)
Xét: \({u_2} - {u_1} = \frac{9}{4} - 3 < 0\) nên u2 < u1
Suy ra dãy số un giảm
Nêu các ước của 14.
Các ước của 14 là ±1; ±2; ±7; ±14.
Cuối học kì 1, cô chủ nhiệm lớp 6A mua 252 quyển vở, 108 bút bi và 72 bút chì chia đều thành các phần quà để tặng cho học sinh của lớp. Tính số phần quà nhiều nhất có thể được chia.
Gọi số phần quà nhiều nhất có thể được chia là x (phần quà) (x ∈ ℕ*)
Ta có:
252 ⋮ x
108 ⋮ x
72 ⋮ x
Và x là nhiều nhất
⇒ x ∈ ƯCLN (252,108,72)
Ta có:
252 = 22.32.7
108 = 22.33
72 = 23.32
⇒ x = ƯCLN(252,108,72) = 22.32 = 36
Vậy chia được nhiều nhất 36 phần quà.
Tìm ƯCLN (16;17;29)
16 = 24
17 = 17
29 = 29
Suy ra không tồn tại ƯCLN (16;17;29)
Tìm ước của 105
Phân tích 105 ra thừa số nguyên tố: 105 = 3. 5. 7
Vì 105 chia hết cho các số: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105
Do đó: Ư(105) = {±1; ±3; ±5; ±7; ±15; ±21; ±35; ±105}
Tìm ước của 14
Các ước của 14 là: ‒14; ‒7; ‒2; ‒1; 1; 2; 7; 14.
Tìm ước của 14
Các ước của 14 là: ±1; ±2; ±7; ±14
Cho số 18
a) Tìm ước của 18
b) Tìm các ước nguyên tố của 18
a) Ư(18) = {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18}
b) Các ước nguyên tố của 18 là 2, 3.
Số 210 có tất cả bao nhiêu ước?
Ta có 210 = 2.3.5.7
Vậy 210 có (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 (ước dương)
Nếu tính cả ước nguyên âm thì 210 có 32 ước.
Ước của 280 là bao nhiêu?
Ta có: 280 = 23 . 5 . 7
Số ước của 280 là: (3 + 1 )(1 + 1)(1 + 1) = 4.2.2 = 16 (ước)
Ư(280) = {1;2;4;5;7;8;10;14;20;28;35;40;56;70;140;280}
Tìm ước của 57.
Ư(57) = {±1; ±3; ±19; ±57}
Ước là gì?
Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
Tập hợp các bội của a được kí hiệu bởi B(a).
Tập hợp các ước của a được kí hiệu bởi Ư(a).
Ví dụ: 21 chia hết cho 7 nên 21 là bội của 7 và 7 là ước của 21
Vẽ 1 nét bút đi qua 9 điểm.
Gọi từng chấm là 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ta có ma trận sau:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Nối lần lượt theo thứ tự sau:
1⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 6 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 7 ⇒ 8 ⇒ 9
Gọi từng chấm là 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ta có ma trận sau:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Nối lần lượt theo thứ tự sau:
1⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 6 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 7 ⇒ 8 ⇒ 9
Tổng số sách của 3 ngăn là 840 cuốn sách . Biết rằng, 47 số sách của ngăn thứ 1 bằng 45 số sách của ngăn thứ 2 và bằng 35 số sách của ngăn thứ 3. Tìm số sách của mỗi ngăn
Ta quy đồng tử số chung: \(\frac{4}{7} = \frac{{12}}{{21}};\frac{4}{5} = \frac{{12}}{{15}};\frac{3}{5} = \frac{{12}}{{20}}\)
⇒ Số phần ngăn:
- Ngăn thứ nhất:21 phần
- Ngăn thứ hai:15 phần
- Ngăn thứ ba:20 phần
Tổng số phần bằng nhau là:
20 + 15 + 21 = 56 (phần)
Ngăn thứ nhất có số cuốn sách là:
840 : 56 . 21 = 315 (cuốn)
Ngăn thứ hai có số cuốn sách là:
840 : 56 . 15 = 225 (cuốn)
Ngăn thứ ba có số cuốn sách là:
840 : 56 . 20 = 300 (cuốn)
Đáp số: Ngăn thứ nhất: 315 cuốn
Ngăn thứ hai: 225 cuốn
Ngăn thứ ba: 300 cuốn
Viết 1216 dưới dạng phân số thập phân
\(\frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4} = \frac{{75}}{{100}} = 0,75\)
Viết tập hợp B các số tự nhiên khác 0 và không lớn hơn 112?
Tập hợp B gồm các số tự nhiên khác 0 và không lớn hơn 112, tức là các số từ 1 đến 112.
Cách viết tập hợp:
B = {1,2,3,…,112}
Hoặc sử dụng ký hiệu khoảng:
B = {x ∈ N ∣ 1 ≤ x ≤ 112}
Trong đó, N là tập hợp các số tự nhiên.
Viết tập hợp B các tháng dương lịch có ít hơn 30 ngày
Chỉ có tháng 2 có số ngày ít hơn 30 ngày
Nên B = {tháng 2}
Viết tất cả các số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện:
a) Chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục nhân với 2 và hơn chữ số hàng đơn vị là 1
b) Có tổng các chữ số bằng 3 và hiệu của chữ số hàng trăm và hàng chục bằng 1
c) Có tổng các chữ số bằng 5 và hiệu của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 3
a) Các số đó là: 211, 423, 635, 847
b) Các số đó là: 210, 102
c) Các số đó là: 401, 320
Vụ này ông bà nội Nam trồng lúa trên thửa ruộng đó cứ 1m² thu hoạch được 65 kg thóc. Hỏi ông bà nội Nam thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc trên thửa ruộng đó?
Để chuyển từ kg sang tạ, ta biết 1 tạ = 100 kg.
Số tạ thóc thu hoạch được từ 1m2 ruộng lúa
\(\frac{6}{5}:100 = \frac{6}{{500}}\)(tạ)
Vậy, ông bà nội Nam thu hoạch được \(\frac{6}{{500}}\) tạ thóc trên thửa ruộng đó.
Tìm x biết : x + 2x + 3x + ... + 2011x = 2012.2013
x + 2x + 3x + ... + 2011x = 2012.2013
⇔ x(1 + 2 + 3 + ... + 2001) = 2012.2013
⇔ \(x.\frac{{\left( {2011 + 1} \right).2011}}{2} = 2012.2013\)
⇔ \(x = \frac{{2012.2013.2}}{{\left( {2011 + 1} \right).2011}} = \frac{{4026}}{{2011}}\)
Tìm số nguyên x sao cho x + 6 chia hết cho x + 1.
Ta có: x + 6 = (x + 1) + 5
Vì x + 1 chia hết cho x + 1, nên để x + 6 chia hết cho x + 1
Thì 5 ⋮ x + 1
⇔ x + 1 ∈ Ư(5) = {±1; ±5}
Suy ra: x ∈ {-2;0;-6;4}
Vậy x ∈{-2;0;-6;4}
Tìm nghiệm nguyên dương x, y biết: x2 + y2 + 2(1 + y)x = 14y – 1
x2 + y2 + 2(1 + y)x = 14y – 1
⇔ x2 + y2 + 2x + 2xy – 14y + 1 = 0
⇔ (x + y)2 + 2x – 14y + 1 = 0
⇔ (x + y)2 + 2(x + y) + 1 = 16y
⇔ (x + y + 1)2 = 16y
Vì (x + y + 1)2 là số chính phương, mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.
Mà 16 chia hết cho 4
Nên y chia 4 dư 0 hoặc 1 và y là số chính phương, y ≥ 0 vì (x + y + 1)2 ≥ 0
Đặt y = k2 (k là số nguyên) (k ≥ 0)
Ta có: (x + y + 1)2 = 16k2 = (4k)2
⇔ (x + k2 + 1)2 – (4k)2 = 0
⇔ (x + k2 + 1 + 4k)(x + k2 + 1 – 4k) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - \left( {{k^2} + 4k + 1} \right) = - {\left( {k + 2} \right)^2} + 3\\x = - \left( {{k^2} - 4k + 1} \right) = - {\left( {k - 2} \right)^2} + 3\end{array} \right.\)
Ta thấy trong cả 2 trường hợp thì x ≤ 3
Suy ra: x = 1, 2, 3
Với x = 1, có (y + 2)2 = 16y ⇒ không có y thỏa mãn
Với x = 2, có (y + 3)2 = 16y ⇒ y2 – 10y + 9 = 0 ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\)
Với x = 3, có (y + 4)2 = 16y ⇒ y2 – 8y + 16 = 0 ⇒ y = 4.
Vậy (x ; y) ∈ {(2;1) , (3;4) , (2;9)}.
Tìm x: x + 3 - 3.(x + 5) = x - 9
x + 3 - 3.(x + 5) = x – 9
⇔ x + 3 – 3x – 15 – x + 9 = 0
⇔ -3x = 3
⇔ x = -1
Vậy x = -1.
Tìm x để x + 4 là số nguyên dương nhỏ nhất
số nguyên dương nhỏ nhất là 1
Suy ra: x + 4 = 1
⇔ x = 1 – 4
⇔ x = –3
Vậy x = –3
Giải phương trình: x+4x+3+23−2x=11
ĐKXĐ: x ≥ -3; \[x \le \frac{3}{2} \Rightarrow - 3 \le x \le \frac{3}{2}\left( 1 \right)\]
\(\left( {x - 1} \right) + \left( {4\sqrt {x + 3} - 8} \right) + \left( {2\sqrt {3 - 2x} - 2} \right) = 0\)
⇔ \(\left( {x - 1} \right) + \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}} = 0\)
⇔ \(\left( {x - 1} \right)\left( {1 + \frac{4}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{4}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}}} \right) = 0\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\1 + \frac{4}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{4}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}} = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Ta thấy (2) khác 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ
Vậy x = 1.
Tìm x biết: x+52015+x+62014+x+72013+x+82012+x+92011=−5
\(\frac{{x + 5}}{{2015}} + \frac{{x + 6}}{{2014}} + \frac{{x + 7}}{{2013}} + \frac{{x + 8}}{{2012}} + \frac{{x + 9}}{{2011}} = - 5\)
⇔ \(\frac{{x + 5}}{{2015}} + \frac{{x + 6}}{{2014}} + \frac{{x + 7}}{{2013}} + \frac{{x + 8}}{{2012}} + \frac{{x + 9}}{{2011}} + 5 = 0\)
⇔ \(\left( {\frac{{x + 5}}{{2015}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 6}}{{2014}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 7}}{{2013}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 8}}{{2012}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 9}}{{2011}} + 1} \right) = 0\)
⇔ \(\frac{{x + 2020}}{{2015}} + \frac{{x + 2020}}{{2014}} + \frac{{x + 2020}}{{2013}} + \frac{{x + 2020}}{{2012}} + \frac{{x + 2020}}{{2011}} = 0\)
⇔ \(\left( {x + 2020} \right)\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2011}}} \right) = 0\)
⇔ x + 2020 = 0
⇔ x = -2020
Vậy x = -2020
Tìm x biết x chia hết cho 6 và 6 ≤ x ≤ 35
Ta có: x ⋮ 6 nên x ∈ {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …}
Vì 6 ≤ x ≤ 35 nên x ∈ {6; 12; 18; 24; 30}
Tìm x biết x + 10 chia hết cho x + 1.
x + 10 chia hết cho x + 1
Suy ra: x + 1 + 9 chia hết cho x + 1
Mà x + 1 chia hết cho x + 1
Nên 9 chia hết cho x + 1
⇒ x + 1 ∈ Ư(9) = {1; 3; 9}
Xét 3 trường hợp , ta có:
x + 1 = 1 ⇒ x = 0
x + 1 = 3 ⇒ x = 2
x + 1 = 9 ⇒ x = 8
Vậy x ={0;2;8}
Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 – x4 + x3 – x2
x5 – x4 + x3 – x2
= (x5 – x4) + (x3 – x2)
= x4(x – 1) + x2(x – 1)
= (x – 1)(x4 + x2)
= (x – 1)x2(x2 + 1)
Cho hệ phương trình tham số m: x+my=3mx+y=2m+1
Biết hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tìm giá trị nhỏ nhất P = x2 + 3y2
\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\{m^2}x + my = 2{m^2} + m\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} + m - 3\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
Khi đó P = x2 + 3y2 =
\({\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} + 3.{\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} = 4 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\)
Vậy Pmin = 3 khi m = -3
Giải hệ phương trình: x+y+1x+1y=9214+32x+1y=xy+1xy
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {y + \frac{1}{x}} \right) = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\end{array} \right.\)
Đặt \(x + \frac{1}{y} = a;y + \frac{1}{x} = b\)
Khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}a = ab\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{2} - b} \right) = \left( {\frac{9}{2} - b} \right)b\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\7 - 6b + {b^2} = 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{2}\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)
+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{7}{2}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + 1 = \frac{7}{2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2} - \frac{7}{{2x}}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{7}{{2x}} - \frac{7}{2} = 0\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 7 - 2x = 0\left( {VN} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]
+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{ - 7 - \frac{1}{x}}} = \frac{{23}}{2}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = \frac{{161x}}{{2x}} + \frac{{23}}{{2x}}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49{x^2} - 161x - 23 = 0\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 + 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 - 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 - 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 + 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Tính số đo của góc x và góc y trong hình 9, biết 2x = 3y
Theo hình vẽ ta có: a ⊥ c; b ⊥ c nên a // b
Suy ra: x + y = 180°
Mà 2x = 3y nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{180^\circ }}{5} = 36^\circ \)
⇒ x = 36° . 3 = 108°
y = 36° . 2 = 72°
Giải hệ phương trình x+y+xy+1=0x2+y2−x−y=22
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - x - y = 22\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)
+ Nếu x = -1 thì: y2 – y + 1 + 2 – 22 = 0
⇔ y2 – y – 20 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = - 4\end{array} \right.\)
+ Nếu y = -1 thì x2 – x – 20 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1;5};{−1;−4};{5;−1};{−4;−1}
Cho x + y + z = 1. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến, P=x+y2xy+z.y+z2yz+x.x+z2zx+y
Ta có: x + y + z = 1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y - z\\y = 1 - z - x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1 - z\\y + z = 1 - x\\z + x = 1 - y\end{array} \right.\)
\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)
\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + 1 - x - y}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + 1 - y - z}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + 1 - z - x}}\)
\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)
\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\)
\[P = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\]
P = 1
Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Giải hệ phương trình: x+y+z=1x4+y4+z4=xyz
Xét x4 + y4 + z4 =
\[\frac{{{x^4} + {y^4}}}{2} + \frac{{{y^4} + {z^4}}}{2} + \frac{{{z^4} + {x^4}}}{2} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = \frac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2} + {x^2}{z^2}}}{2}\]
\( \ge x{y^2}z + xy{z^2} + {x^2}yz = xyz\left( {x + y + z} \right) = xyz\)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Mà x + y + z = 1 nên \(x = y = z = \frac{1}{3}\)
Tìm số hữu tỉ x, y biết: x + y = 3(x - y) = 2xy
Xét x + y = 3(x – y)
Ta có: x + y = 3(x – y)
⇔ x + y – 3x + 3y = 0
⇔ 4y – 2x = 0
⇔ 2(2y – x) = 0
⇔ 2y = x
Thay vào ta được:
2y + y = 3(2y – y) = \(\frac{{4y}}{y} = 4\)
Suy ra: \(x = \frac{8}{3};y = \frac{4}{3}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
A = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt x2 + 3x = t
Ta có: A = t(t + 2) = t2 + 2t = (t + 1)2 – 1
Vì (t + 1)2 ≥ 0, ∀t nên (t + 1)2 – 1 ≥ –1 với mọi t
Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1
⇒ x2 + 3x = –1
⇔ x2 + 3x + 1 = 0
⇔ \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
Tìm các số nguyên x sao cho x(x – 1)(x – 7)(x – 8) là số chính phương
Giả sử A = x(x – 1)(x – 7)(x – 8)
A = x(x – 8)(x – 1)(x – 7)
A = (x2 – 8x)(x2 – 8x + 7)
Đặt a = x2 – 8x
Khi đó: A = a(a + 7) = a2 + 7a
Để A là số chính phương thì A = b2 (b nguyên)
⇒ a2 + 7a = b2 ⇒ 4a2 + 28a + 49 - 49 - 4b2 = 0 ⇒ (2a+ 7)2 - (2b)2 = 49
⇒ (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49
Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}
Trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 .
Cộng vế với vế ⇒ 4a + 14 = 50 ⇒ a = 9 ⇒ b = -12 (nhận)
⇒ x2 - 8x = 9
⇒ x2 - 8x - 9 = 0
⇒ x = -1; 9
Xét tương tự cho các trường hợp còn lại.
Tìm x biết: x4,45−2=1,7
\(\frac{x}{{4,45}} - 2 = 1,7\)
\(\frac{x}{{4,45}} = 2 + 1,7\)
\(\frac{x}{{4,45}} = 3,7\)
x = 4,45 . 3,7
x = 16,465
Vậy x = 16,465.
Tìm x, y, z biết: x4=−9y=z8=−2432
\(\frac{x}{4} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow x = \frac{{ - 24.4}}{{32}} = - 3\)
\[\frac{{ - 9}}{y} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow y = \frac{{ - 9.32}}{{ - 24}} = 12\]
\(\frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow z = \frac{{ - 24.8}}{{32}} = - 6\)
Thu gọn S = x0 + x1 + x2 + x3 + … + xn
S = x0 + x1 + x2 + x3 + … + xn
xS = x + x2 + x3 + … + xn+1
xS – S = (x + x2 + x3 + … + xn+1) – (x0 + x1 + x2 + x3 + … + xn)
S(x – 1) = xn+1 – x0
S(x – 1) = xn+1 – 1
\(S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\)
Giải phương trình: x2 + 7x – 18 = 0
x2 + 7x – 18 = 0
⇔ x2 + 2x – 9x – 18 = 0
⇔ x(x + 2) – 9(x + 2) = 0
⇔ (x + 2)(x – 9) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 9\end{array} \right.\)
Vậy x = -2 hoặc x = 9.
Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + x + 1 = 2xy + y
x2 + x + 1 = 2xy + y
⇔ x2 + x + 1 – 2xy – y = 0
⇔ \({x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)
⇔ \(\frac{1}{2}x\left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{4}\left( {2x + 1} \right) - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)
⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y} \right) = - \frac{3}{4}\)
⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1 - 4y} \right) = - 3\)
Ta có bảng:
2x + 1 | -3 | -1 | 3 | 1 |
2x + 1 – 4y | 1 | 3 | -1 | -3 |
x | -2 | -1 | 1 | 0 |
y | -1 | -1 | 1 | 1 |
Vậy (x;y) = (-2;-1) ; (-1;-1); (1;1); (0;1)}
Khai triển hằng đẳng thức x2 – y2
x2 – y2
= (x – y)(x + y)
Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m2 = 0. Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm.
x2 − 2(m + 1)x + m2 = 0
Xét ∆’ = (m + 1)2 – m2 = 2m + 1
Để phương trình có đúng một nghiệm thì ∆’ = 0 hay 2m + 1 = 0
⇒ \(m = - \frac{1}{2}\)
Vậy \(m = - \frac{1}{2}\)
Phân tích đa thức thành nhân tử x2 - y2 - 4x - 2y + 3
x2 - y2 - 4x - 2y + 3
= (x2 – 4x + 4) – (y2 + 2y + 1)
= (x – 2)2 – (y + 1)2
= (x – 2 + y + 1)(x – 2 – y – 1)
= (x + y – 1)(x – y – 3)
Giải hệ phương trình: x2−y2=4x−2y−3x2+y2=5
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4x - 2y - 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 4x + 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y - 3} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3 - y\\x = y + 1\end{array} \right.\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - y} \right)^2} + {y^2} = 5\\{\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 6y + 4 = 0\\2{y^2} + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 1\\y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy (x; y) = {(1;2), (2;1) , (-1; -2)
Tìm x, y là các số nguyên tố sao cho x2 + 3xy + y2 là số chính phương
+, Nếu x,y đều khác 3
⇒ x và y đều ko chia hết cho 3
⇒ x2 và y2 đều chia 3 dư 1
⇒ x2 + y2 chia 3 dư 2
Mà 3xy chia hết cho 3
⇒ x2 + 3xy + y2 chia 3 dư 2
⇒ x2 + 3xy + y2 không phải số chính phương
⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3
Giả sử x chia hết cho 3
⇒ x = 3
⇒ A = x2 + 3xy + y2 = y2 + 9y + 9
Đặt A = k2 (k là số tự nhiên)
⇒ y2 + 9y + 9
⇒ 4y2 + 36y + 36 = (2k)2
⇒ (2y + 9)2 - 45 = (2k)2
⇒ (2y + 9) - (2k)2 = 45
⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45
Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9
Ta có bảng sau:
2y – 2k + 9 | 1 | 3 | 5 |
2y + 2k+ 9 | 45 | 15 | 9 |
y | 7 | 0 | -1 (L) |
k | 11 | 3 | 1 |
Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.
Chứng minh rằng nếu x, y là hai số nguyên dương thoả mãn x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0 thì 2y - x là số chính phương
x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0
⇔ x2 + 4xy – 12y2 + 4y2 – 4y + 1 = 0
⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)2 = 0
⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)2
Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)
Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]
Mà (2y – 1)2 = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d2
Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: d = 1
Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương
Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương
Vậy 2y - x là số chính phương
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + xy + y2 = x – y
x2 + xy + y2 = x – y
⇔ x2 + xy + y2 – x + y = 0
⇔ x2 + x(y – 1) + y2 – y = 0 (*)
Để phương trình (*) có nghiệm x khi ∆ ≥ 0
Hay (y – 1)2 – 4(y2 – y) ≥ 0
⇔ (y – 1)(3y – 1) ≤ 0
⇔ \(\frac{1}{3} \le y \le 1\)
Mà y nguyên nên y = 1
Suy ra: x = 0
Vậy (x;y) = (0;1)
Giải hệ phương trình x2+y2+2xy+3x−y=0x2+y2+4x−2y=0
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0
2xy + 2x = 0
2x(y + 1) = 0
Suy ra: x = 0 hoặc y = -1
+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y2 – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)
+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x2 + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình x2+y2+4x+2y=0x2+7y2−4xy+6y=13
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\)
⇔ (x – 2y)2 + 3(y + 1)2 = 2(x + 2)2 + 2(y + 1)2
⇔ (x – 2y)2 – (x + 2)2 = (x + 2)2 – (y + 1)2
⇔ (2x – 2y + 2)(-2y – 2) = (x – y + 1)(x + y + 3)
⇔ (x – y + 1)(-4y – 4) = (x – y + 1)(x + y + 3)
⇔ (x – y + 1)(-5y – x – 7) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = x + 1\\x = - 5y - 7\end{array} \right.\)
Với y = x + 1 ta có:
(x + 1)2 + x2 + 4x + 2(x + 1) – 3 = 0
⇔ 2x2 + 2x + 1 + 4x + 2x + 2 – 3 = 0
⇔ 2x2 + 8x = 0
⇔ 2x(x + 4) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\)
Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
+ Với x = –5y – 7 ta có:
(-5y – 7)2 + y2 + 4(-5y – 7) + 2y – 3 = 0
⇔ 25y2 + 70y + 49 + y2 – 20y – 28 + 2y – 3 = 0
⇔ 26y2 + 52y + 18 = 0
⇔ \[y = \frac{{ - 13 \pm 2\sqrt {13} }}{{13}}\]
Suy ra: \[x = \frac{{ - 26 \mp 10\sqrt {13} }}{{13}}\]
Vậy (x,y)
= {(0,1);(−4,−3); \[\left( {\frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 + 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right),\left( {\frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 - 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)\]
Trên tập hợp Z các số nguyên. Chứng minh rằng x2 + y2 chia hết cho 5 khi và chỉ khi x và y đồng thời chia hết cho 5
Vì x2 và y2 là số chính phương nên chia 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4
Để x2 + y2 chia hết cho 5 thì x2; y2 cùng chia 5 dư 0 hoặc trong 2 số x2; y2 có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4
+) Nếu x2 và y2 cùng chia 5 dư 0 hay chia hết cho 5
⇒ x2 + y2 chia hết cho 5 (thỏa mãn)
+) Nếu trong 2 số x2; y2 có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4
Giử sử x2 chia 5 dư 1, ta chọn x2 = 1
y2 chia 5 dư 4, ta chọn y2 = 4
Khi đó; x2 + y2 = 1 + 4 = 5 ⋮ 5
Do đó yêu cầu chứng minh của đề bài là chưa đúng.
Cho x2 + y2 – xy = 3; và x + y = 2x2−xy+y2. Chứng minh rằng x3 + y3 = 2
Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
\[{x^3} + {y^3} = \frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 2\]
Vậy x3 + y3 = 2
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20
Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1
Khi đó ta có: x2 + y2 + z2 + xyz = 20 ≥ z3 + 3z2
suy ra z = 1 hoặc z = 2
Với z = 1:
19 = xy + x2 + y2 ≥ y2 + y2 + y2 = 3y2
⇒ y = 1 hoặc y = 2
Với y = 1: x2 + 1 + 1 + x = 20
⇔ x2 + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương.
Với y = 2: x2 + 22 + 12 + 1.2.x = 20
⇔ x2 + 2x − 15 = 0
⇔ (x − 3)(x + 5) = 0
⇒ x = 3 thỏa mãn.
Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị.
Với z = 2:
20 = 2xy + x2 + y2 + 4 ≥ 2y2 + y2 + y2 = 4y2
⇒ y = 2
x2 + 22 + 22 + 2.2.x = 20
⇔ x2 + 4x−12=0
⇔ (x − 2)(x + 6) = 0
⇒ x = 2 thỏa mãn.
Ta có nghiệm là (2,2,2).
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 + 14 = 2x + 4y + 6z
x2 + y2 + z2 + 14 = 2x + 4y + 6z
⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0
Vì (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 ≥ 0, ∀x, y, z ∈ ℤ
Nên dấu “=”xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình x2+x+y2+y=18xyx+1y+1=72
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + {y^2} + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 18\\x\left( {x + 1} \right).y\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 12\\y\left( {y + 1} \right) = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 6\\y\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3;x = - 4\\y = 2;y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = - 3\\y = 3;y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy (x,y) = {(3,2);(3,−3);(−4;2);(−4;−3)} và hoán vị
Cho phương trình x2 + (m – 4)x – m + 3 = 0, m là tham số
Tìm m để phương trình nhận là nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.
x2 + (m – 4)x – m + 3 = 0
Xét ∆ = (m – 4)2 – 4(-m + 3) = m2 – 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với mọi m
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm
Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 4\\{x_1}{x_2} = - m + 3\end{array} \right.\)
Để phương trình nhận \(x = 5 + 6\sqrt 3 \) thì nghiệm còn lại có dạng:
\({x_2} = - m + 4 - \left( {5 + 6\sqrt 3 } \right) = - m - 1 - 6\sqrt 3 \)
Khi đó: -m + 3 = \[ - \left( {m + 1 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 6\sqrt 3 } \right)\]
Giải ra ta được m = -12,4
Nghiệm còn lại là x = 1
Phân tích đa thức thành nhân tử: x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1
x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1
= x2(x2 – 1)(x2 + 1) (x2 + 2) + 1
= (x4 + x2)(x4 + x2 + 2) + 1
= (x4 + x2)2 + 2(x4 + x2) + 1
= (x4 + x2 + 1)2
Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 3xy – 10y2
x2 – 3xy – 10y2
= x2 + 2xy – 5xy – 10y2
= x(x + 2y) – 5y(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 5y)
Giải phương trình x2−6x+2=22−x2x−1
ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)
\({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)
⇔ \({x^2} + 2x\sqrt {2x - 1} + 2x - 1 = 4\left( {2x - 1} \right) + 4\sqrt {2x - 1} + 1\)
⇔ \({\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\) (*)
Do \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x - 1} > 0\\2\sqrt {2x - 1} + 1 > 0\end{array} \right.\)
Nên (*) tương đương: \(x + \sqrt {2x - 1} = 2\sqrt {2x - 1} + 1\)
⇔ \(x - 1 = \sqrt {2x - 1} \)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy \(x = 2 + \sqrt 2 \)
Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x2 – x(y + 5) = –4y – 9
x2 – x(y + 5) = –4y – 9
⇔ x2 – xy – 5x + 4y + 9 = 0
⇔ x(x – y) – 4(x – y) – x + 9 = 0
⇔ (x – 4)(x – y) – (x – 4) = -5
⇔ (x – 4)(x – y – 1) = -5
Ta có bảng sau:
x – 4 | -5 | -1 | 1 | 5 |
x – y – 1 | 1 | 5 | -5 | -1 |
x | -1 | 3 | 5 | 9 |
y | -3 | -3 | 9 | 9 |
Vậy (x;y) = {(-1;-3), (3;-3), (5;9), (9;9)}
Giải phương trình vô tỉ: x2−x−10001+8000x=1000
\({x^2} - x - 1000\sqrt {1 + 8000x} = 1000\)
⇔ \({x^2} - x - 4002000 - \left( {1000\sqrt {1 + 8000x} - 4001000} \right) = 0\)
⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000\left( {x - 2001} \right)}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} = 0\)
⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left[ {\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}}} \right] = 0\)
Dễ thấy \(\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} \ne 0\)
Suy ra: x – 2021 = 0
Hay x = 2021
Vậy x = 2021
Tìm x biết: x3 – 7x – 6 = 0
x3 – 7x – 6 = 0
⇔ x3 – x – 6x – 6 = 0
⇔ x(x2 – 1) – 6(x + 1) = 0
⇔ x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = 0
⇔ (x + 1)(x(x – 1) – 6) = 0
⇔ (x + 1)(x + 2)(x – 3) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\)
Giải phương trình x+3+3x+1=2x+2x+2
ĐKXĐ: x ≥ 0
\(\sqrt {x + 3} + \sqrt {3x + 1} = 2\sqrt x + \sqrt {2x + 2} \)
⇔ \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 2} = 2\sqrt x - \sqrt {x + 3} \)
⇔ 3x + 1 + 2x + 2 - \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4x + x + 3 - 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)
⇔ \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)
⇔ \(\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 2\sqrt {{x^2} + 3x} \)
⇔ 6x2 + 8x + 2 = 4(x2 + 3x)
⇔ 2x2 – 4x + 2 = 0
⇔ x = 1
Vậy x = 1.
Giải hệ phương trình x3+3xy2=6xy−3x−49x2−8xy+y2=10y−25x−9
Nhân phương trình thứ hai với 3 và cộng với phương trình thứ nhất ta được:
(x + 1)3 + 3y2(x + 1) – 30y(x + 1) + 75(x + 1) = 0
⇔ (x + 1)[(x + 1)2 + 3(y – 5)2] = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 5\end{array} \right.\)
Với x = -1 thì ta có: y2 – 2y – 15 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 5\end{array} \right.\)
Với y = 5 thì (x + 1)3 = 0 suy ra x = -1
Vậy (x;y) = {(-1;-3), (-1;5)}
Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x3 + y3 + z3 chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.
Ta có: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)
Lại có:
x3 + y3 + z3 ⋮ 3
3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3
nên (x + y + z)3 ⋮ 3
⇒ x +y + z ⋮ 3
⇒ (x + y + z)3 ⋮ 27
Kết hợp với (*) và x3 + y3 + z3 ⋮ 27
⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27
⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)
+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm
+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3
Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)
Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2
- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3
Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3
Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)
- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z
Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3
Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình x3 + y3 - 3xy + 1 = p có nghiệm nguyên dương.
Giả thiết tương đương với:
(x + y + 1)(x2 + y2 + 1 – xy – x − y) = p
Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và
x2 + y2 + 1 – xy – x – y = 1
⇔ \({\left( {x + y} \right)^2} - \left( {x + y} \right) = 3xy \le \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)
⇒ x + y ≤ 4
⇒ p ≤ 5
Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.
Vậy max p = 5 khi x = y = 2.
Giải hệ phương trình: x3y2+3y+3=3y2y3z2+3z+3=3z2z3x2+3x+3=3x2
Nếu 1 trong 3 số x, y, z có một số bằng 0 thì x = y = z = 0
Nếu xyz khác 0. Ta chia lần lượt các phương trình cho x3y2, y3z2, z3x2
Ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + \frac{3}{y} + 1\\3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + \frac{3}{z} + 1\\3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{3}{x} + 1\end{array} \right.\)
Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y};t = \frac{1}{z}\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3{u^3} = 3{v^2} + 3v + 1\left( 1 \right)\\3{v^3} = 3{t^2} + 3t + 1\left( 2 \right)\\3{t^3} = 3{u^2} + 3u + 1\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1), (2), (3) ta có: u, v, t > 0
Giả sử u ≥ v ≥ t > 0
Vì 3u3 ≥ 3t3 mà 3u2 + 3u + 1 ≥ 3v2 + 3v + 1
Hay 3t3 ≥ 3u3
Suy ra: t = u
Mà u ≥ v ≥ t nên u = v = t hay x = y = z
Thay vào ta được:
3u3 = 3u2 + 3u + 1
⇔ \(u = \frac{1}{{\sqrt[3]{4} - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 1\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z = 0\\x = y = z = \sqrt[3]{4} - 1\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: x3=3x+4+yy3=3y+z−6z3=12z−x+18
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 4 + y\\{y^3} = 3y + z - 6\\{z^3} = 12z - x + 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = y + 2\\\left( {y + 2} \right){\left( {y - 1} \right)^2} = z - 4\\\left( {z - 4} \right){\left( {z + 2} \right)^2} = 2 - x\end{array} \right.\)
Nhân các vế với nhau ta được:
(x – 2)(x + 1)2(y + 2)(y – 1)2(z – 4)(z + 2)2 = (y + 2)(z – 4)(2 – x)
Ta thấy với x = 2; y = -2; z = 4 thì thỏa mãn phương trình
Vì nếu (x;y;z) ≠ (2;-2;4) ta được: [(x + 1)(y − 1)(z + 2)]2 = −1 (vô lý)
Vậy (x; y;
z) = (2;-2;4)
Giải hệ phương trình: x3−9z2+27z−27=0y3−9x2+27x−27=0z3−9y2+27y−27=0
Ta cộng các vế của phương trình ta được:
x3 – 9z2 + 27z – 27 + y3 – 9x2 + 27x – 27 + z3 – 9y2 + 27y – 27 = 0
⇔ (x3 – 9x2 + 27x – 27) + (y3 – 9y2 + 27y – 27) + (z3 – 9z2 + 27z – 27) = 0
⇔ (x – 3)3 + (y – 3)3 + (z – 3)3 = 0
Ta thấy để phương trình xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 3 = 0\\z - 3 = 0\end{array} \right.\)
⇒ x = y = z = 3
Vậy x = y = z = 3.
Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 2x3 + x2 + x + 1
x4 + 2x3 + x2 + x + 1
= x4 + x3 + x3 + x2 + x + 1
= x(x3 + x2 + 1) + (x3 + x2 + 1)
= (x + 1)(x3 + x2 + 1)
Cho các biểu thức A= x4 + x; B = x4 + x + 1. Tìm số tự nhiên x để A và B đều là số nguyên tố.
Ta thấy A và B là hai tự nhiên số liên tiếp nên có 2 trường hợp xảy ra:
- A chẵn thì B lẻ
- A lẻ thì B chẵn
Mà x là số tự nhiên nên x4 + x + 1 > x4 + x hay B > A
Kết hợp với giả thiết A và B là số nguyên tố
Nên A phải là số chẵn, B là số lẻ (B > A)
Do đó: A = 2
⇒ B = A + 1 = 2 + 1 = 3
⇒ x4 + x = 2
⇒ x = 1
Vậy x = 1.
Giải phương trình x4+4x3+6x2+4x+x2+2x+10=2
\({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = 2\)
⇔ \({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} = 3\) (*)
Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 = 3\)
Để (*) xảy ra khi x + 1 = 0 hay x = -1.
Cho đa thức A(x) = x4 + 5x3 – 6x + 2x2 + 10x – 5x3
B(x) = x4 – 2x3 + 2x2 + 6x3 + 1
a) Thu gọn hai đa thức trên và tính M(x) = A(x) – B(x)
b) Tìm nghiệm của M(x) = 0
A(x) = x4 + 5x3 – 6x + 2x2 + 10x – 5x3
A(x) = x4 + 4x + 2x2 + 1
B(x) = x4 – 2x3 + 2x2 + 6x3 + 1
B(x) = x4 + 4x3 + 2x2 + 1
M(x) = A(x) – B(x) = (x4 + 4x + 2x2 + 1) – (x4 + 4x3 + 2x2 + 1) = 4x – 4x3
b) M(x) = 0
⇔ 4x – 4x3 = 0
⇔ 4x(1 – x2) = 0
⇔ 4x(1 – x)(1 + x) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 + x3 – x2 – 1
x6 + x3 – x2 – 1
= x6 – x3 + 2x3 – 2x2 + x2 – 1
= x3(x3 – 1) + 2x2(x – 1) + (x – 1)(x + 1)
= (x – 1)[x3(x2 + x + 1) + 2x2 + x + 1]
= (x – 1)(x5 + x4 + x3 + 2x2 + x + 1)
Xét đa thức g(x) = x5 + x4 + x3 + 2x2 + x + 1 có bậc 5 là số lẻ.
Khi đó giả sử tồn tại 2 đa thức h(x)h(x) và j(x)j(x) hệ số nguyên sao cho: g(x) = h(x).j(x)
Khi đó 1 trong 2 đa thức h(x),j(x)h(x),j(x) phải có bậc lẻ (vì nếu cả 2 đều bậc chẵn thì thành thử bậc của g(x)g(x) phải chẵn, mâu thuẫn theo trên).
Không mất tổng quát, giả sử đa thức h(x)h(x) có bậc lẻ. Khi đó nếu nó có nghiệm hữu tỉ thì gọi nghiệm hữu tỉ này là \(x = \frac{p}{q}\left( {p,q \in \mathbb{Z};\left( {p;q} \right) = 1} \right)\) thì p∣1, q∣1 nên x = ±1. Thử lại, ta thấy 2 nghiệm này đều không thỏa mãn.
Do đó, g(x) không có nghiệm vô tỉ nên ta không thể phân tích tiếp f(x) thành nhân tử được nữa.
Phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x5 + 1
x7 + x5 + 1
= (x7 + x6 + x5) – (x6 – 1)
= x5(x2 + x + 1) – (x3 – 1)(x3 + 1)
= x5(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)
= (x2 + x + 1)[x5 – (x – 1)(x3 + 1)]
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn x=2xx−y+2y−x+2
\(x = \sqrt {2x\left( {x - y} \right) + 2y - x + 2} \)
Bình phương 2 vế ta được: x2 = 2x(x – y) + 2y – x + 2
⇔x2 - 2x2 + 2xy – 2y + x = 2
⇔ (1 – x)(x – 2y) = 2
Do x, y là số nguyên nên ta có bảng sau:
Mà x, y dương nên có các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (2; 2) và (3; 2).
Tìm x−12=8x−1
ĐKXĐ: x ≠ 1.
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)
⇔ (x – 1)2 = 16
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy x = 5 hoặc x = -3.
Tìm x biết: x−12011+x−22010−x−32009=x−42008
\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\)
\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} = \frac{{x - 3}}{{2009}} + \frac{{x - 4}}{{2008}}\)
\(\left( {\frac{{x - 1}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2010}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 4}}{{2008}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2009}} - 1} \right)\)
\(\frac{{x - 2012}}{{2011}} + \frac{{x - 2012}}{{2010}} = \frac{{x - 2012}}{{2009}} + \frac{{x - 2012}}{{2008}}\)
\(\left( {x - 2012} \right)\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}}} \right) = 0\)
Vì \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} \ne 0\)
Suy ra: x – 2012 = 0
Hay x = 2012
Vậy x = 2012
Tìm x biết: x−2=−8x
ĐKXĐ: x ≠ 0
\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{x}\)
⇔ x2 = 16
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)
Vậy x = 4 hoặc x = -4.
Tìm các số nguyên tố x, y sao cho x2 + 45 = y2
x2 + 45 = y2
Vì x2 > 0 với mọi x nên x2 + 45 > 45 ⇒ y2 > 45
Suy ra: y2 là số lẻ
⇒ x2 là số chẵn
Mà x là số nguyên tố nên x = 2
⇒ y2 = x2 + 45 = 49
⇒ y = 7
Vậy x = 2; y = 7.
Tìm các số nguyên x sao cho: 2x - 1 chia hết cho x - 3
Ta có: 2x – 1 = 2(x – 3) + 5
Vì 2(x – 3) ⋮ x – 3 nên để 2x – 1 ⋮ x – 3 thì 5 ⋮ x – 3
Hay x – 3 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1 ;5}
⇒ x ∈ {-2; 2; 4; 8}
Vậy x ∈ {-2; 2; 4; 8}
Tìm x ∈ ℕ biết x + 3 chia hết cho x – 1
Ta có: x + 3 = x – 1 + 4
Vì (x – 1) ⋮ x – 1 nên để x + 3 ⋮ x – 1 thì 4 ⋮ x – 3
Hay x – 3 ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2 ; 4}
⇒ x ∈ {-1; 1; 2; 4; 5; 7}
Vậy x ∈ {-1; 1; 2; 4; 5; 7}
Tìm x nguyên biết x – 3 chia hết cho 2x
(x - 3) ⋮ 2x
⇒ 2(x - 3) ⋮ 2x
⇒ 2x - 6 ⋮ 2x
⇒ 6 ⋮ 2x
⇒ 2x ∈ Ư(6)
⇒ 2x ∈ {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6}
⇒ x ∈ {-3; -3/2; -1; \( - \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\); 1; 3}
Theo đề cho tìm x là số nguyên thì x ∈{-3; -1; 1; 3}
Tính giá trị của biểu thức: T = (3x + 5y).(x - y) khi x = -15; y = -10
T = (3x + 5y).(x − y)
Thay x = -15 và y = -10 vào biểu thức T, ta có
T=[3.(−15) + 5.(−10)].[(−15) − (−10)]
⇔ T = (−45 − 50).(−15 + 10)
⇔ T = −95 . (−5)
⇔ T = 475
Tìm hàm số y = x2 + bx + c biết hàm số có đỉnh I(-2;-1)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2\\\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = b\\\Delta = 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 1\\{b^2} - 4ac - 4a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 1\\c = 3\end{array} \right.\)
Vậy hàm số cần tìm là y = x2 + 4x + 3
Cho tam giác ABC, M thuộc tam giác đó. AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại P, R, Q. Chứng minh:
a) MA.BC + MB.CA + MC .AB ≥ 4SABC
b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất
Kẻ BE, CF vuông góc với AM.
Ta có:
MA.BC = MA.(BP + CP) ≥ MA.(BE + CF) = 2SABM + 2SCAM
Tương tự:
MB.CA ≥ 2SBCM + 2SABM
MC.AB ≥ 2SCAM + 2SBCM
Suy ra:
MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2(2SBCM + 2SABM + 2 SCAM) = 4SABC
Dấu “=” xảy ra khi M là trực tâm
b) SPQR = SABC – SAQR – SBPQ – SCRQ
Đặt \(\frac{{AQ}}{{QB}} = x;\frac{{BP}}{{PC}} = y;\frac{{CR}}{{RA}} = z\)
⇒ \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{x}{{x + 1}};\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{1}{{z + 1}}\)
\[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{{AQ}}{{AB}}.\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]
Tương tự: \[\frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]
\[\frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]
⇒ \[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]
\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{xyz + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]
Theo định lý Ceva có: xyz = 1 nên
\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{1 + 1}}{{1 + xy + yz + zx + x + y + z + 1}}\]
Do xy + yz + zx + x + y + z\( \ge 6\sqrt[6]{{xyz}} = 6\)
Suy ra: \[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} \le \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{PQR}} \le \frac{1}{4}{S_{ABC}}\]
Dấu “=” xảy ra khi M là trọng tâm.
XIX là số mấy?
XIX là số 19.
Thế kỉ XV bắt đầu từ năm nào đến hết năm nào?
Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.
Tìm cặp số nguyên x, y sao cho x – y – 2xy = 3
x – y - 2xy = 3
⇔ 2x - 2y - 4xy = 6
⇔ (2x + 1) - 2y(2x + 1) = 7
⇔ (2x + 1)(1 - 2y) = 7
Suy ra: (2x + 1) và (1 - 2y) phải là ước của 7
Ta có bảng:
2x + 1 | 1 | -1 | 7 | -7 |
1 – 2y | 7 | -7 | 1 | -1 |
x | 0 | -1 | 3 | -4 |
y | -3 | 4 | 0 | 1 |
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: xy + yz + zx = xyz + 2
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z
⇒ xy + yz + zx ≤ 3xy
⇒ xyz + 2 ≤ 3xy
⇒ xy(3 − z) ≥ 2 > 0
⇒ 3 – z > 0
⇒ z < 3
⇒ z ={1;2}
TH1: z = 1
⇒ xy + x + y = xy + 2
⇔ x + y = 2
⇒ x = y = 1
⇒ (x;y;z) = (1;1;1)
TH2: z = 2
⇒xy + 2x + 2y = 2xy + 2
⇒ xy − 2x − 2y + 2 = 0
⇒ xy − 2x − 2y + 4 = 2
⇒x(y−2) − 2(y−2) = 2
⇒(x − 2)(y − 2) = 2 (pt ước số cơ bản)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)
⇒ (x ; y; z) = (4; 3 ;1)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y; z) ∈ {(1;1;1) , (4; 3 ;1)}.
Giải hệ phương trình: xy3x+y=47x3+11=3x+yx+y+1
\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)
Phân tích đa thức thành nhân tử: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 3xyz
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 3xyz
= [xy(x + y) + xyz] + [yz(y + z) + xyz] + [xz(x + z) + xyz]
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z)
= (x + y + z)(xy + yz + zx)
Giải hệ phương trình: xy2−3x3y−4yx2−y+3x2=03x2y−y2+3xy+1=0
\(\left\{ \begin{array}{l}x{y^2} - 3{x^3}y - 4y{x^2} - y + 3{x^2} = 0\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x{y^2} - y} \right) + \left( {3{x^2} - 3{x^3}y} \right) = 4y{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - y} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4y{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)
Xét với y = 0 thay vào ta thấy không là nghiệm của hệ
Với y khác 0, ta biến đổi hệ thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4{x^2}\\3{x^2}y - {y^2} + 3xy + 1 = 0\end{array} \right.\)
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right)\left( {y - 3{x^2}} \right) = 4{x^2}\\3{x^2} - y + \frac{1}{y} - x = - 4x\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = x - \frac{1}{y}\\b = y - 3{x^2}\end{array} \right.\)
Khi đó hệ trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 4{x^2}\\a + b = 4x\end{array} \right.\)
Theo Vi-ét thì ta có 2 số a và b là nghiệm của phương trình t2 – 4xt + 4x2 = 0
⇔ (t – 2x)2 = 0
⇔ t = 2x
⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}2x = x - \frac{1}{y}\\2x = y - 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{x}\\3{x^3} + 2{x^2} + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;1).
Tìm các số tự nhiên x, y, z khác 0 biết xyz = 4(x + y + z)
Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z
Khi đó xyz = 4(x + y + z) ≤ 12x
⇒ yz ≤ 12
z2 ≤ 12 suy ra: z2 ∈ {1;4;9} nên z ∈ {1;2;3}
+) Trường hợp 1: z = 1
thì xy = 4(x + y + 1)
⇔ (x − 4)(y − 4) = 20
Nên x – 4 và y − 4 là ước của 20
với x – 4 ≥ y – 4 ≥ −3
Ta có bảng:
x – 4 | 20 | 10 | 5 | 4 |
y – 4 | 1 | 2 | 4 | 5 |
x | 24 | 14 | 9 | 8 |
y | 5 | 6 | 8 | 9 |
Vậy ta được cặp (x;y) là (24;5); (14;6); (9;8)
Xét tương tự các trường hợp z = 2 và z = 3.
Tìm x, y, z nguyên dương biết xyz = x + y + z + 9
Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z
Chia cả 2 vế cho xyz > 0 ta được:
\(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} = 1\)
Vì 1 ≤ x ≤ y ≤ z nên x2 ≤ xy ≤ xz ≤ yz ≤ xyz
Suy ra: \[1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} \le \frac{{12}}{{{x^2}}}\]
Mà x nguyên nên x ∈ {1; 2; 3}
+ Với x = 1 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{9}{{yz}} = 1\)
⇔ 1 + y + z + 9 = yz
⇔ (z – 1)(y – 1) = 11
Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇒ (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12)}
+ Với x = 2 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{2z}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{9}{{2yz}} = 1\)
⇔ y + z – 2yz + 11 = 0
⇔ 2y + 2z – 4yz + 22 = 0
⇔ (2z – 1)(2y – 1) = 23
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)
⇒ (x;y;z) ∈ {(2;12;1), (2;1;12)}
+ Với x = 3 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{3z}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{9}{{3yz}} = 1\)
⇔ y + z + 3 + 9 = 3yz
⇔ 3y + 3z – 9yx + 36 = 0
⇔ (3z – 1)(3y – 1) = 37
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\\y = \frac{{38}}{3} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Vậy (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12); (2;12;1), (2;1;12)}
Tính ∫0π43sin2x−4cos2xcos2xdx
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3{{\sin }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3 - 3{{\cos }^2}x - 4{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{3 - 7{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 7dx} \)
\[ = \left. {3\tan x - 7x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\]
\[ = \left( {3\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - 7.\frac{\pi }{4}} \right) - 3\tan \left( 0 \right) - 7.0\]
\( = 3 - \frac{{7\pi }}{4}\)
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn y+z−xx=z+x−yy=x+y−zz
Tính giá trị biểu thức P=1+xy1+yz1+zx
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z} = \frac{{\left( {y + z - x} \right) + \left( {z + x - y} \right) + \left( {x + y - z} \right)}}{{x + y + z}} = \frac{{x + y + z}}{{x + y + z}} = 1\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z - x = x\\z + x - y = y\\x + y - z = z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2z\\y + z = 2x\\x + z = 2y\end{array} \right.\)
\(P = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right) = \frac{{x + y}}{y}.\frac{{y + z}}{z}.\frac{{z + x}}{x} = \frac{{2z}}{y}.\frac{{2x}}{z}.\frac{{2y}}{x} = 8\)
Tìm tập xác định của y=x+x2+x+1
ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ge 0\\x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\\x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\end{array} \right.\]
Ta thấy: \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\] luôn đúng với mọi x
Ta xét: \[x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\]
⇒ \[\sqrt {{x^2} + x + 1} \ge - x\]
Với x ≥ 0 thì bất phương trình luôn đúng
Với x < 0 thì x2 + x + 1 ≥ x2 ⇒ x ≥ -1
Vậy hàm số xác định khi x ≥ -1.
Với giá trị nào của m thì hàm số y=mx+3x+m đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞) hay m ≥ -2.
\(y' = \frac{{m\left( {x + m} \right) - \left( {mx + 3} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)
Để y’ ≥ 0 thì m2 ≥ 3
⇒ \[\left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt 3 \\m \le - \sqrt 3 \end{array} \right.\]
Kết hợp ta được: \[\left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt 3 \\ - 2 \le m \le - \sqrt 3 \end{array} \right.\]
Chứng minh rằng nếu x, y là hai số nguyên dương thoả mãn x² + 4xy - 8y²-4y + 1 = 0 thì 2y - x là số chính phương
x² + 4xy - 8y²-4y + 1 = 0
⇔ (x2 + 4xy – 12y2) + (4y2 – 4y + 1) = 0
⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)2 = 0
⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)2
Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\) (1)
Mà (2y – 1)2 = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d2
Suy ra: 2y – 1 ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) ta có: 1 ⋮ d ⇒ d = 1
Mà 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau nên tích 2 số là số chính phương thì 2 số này sẽ là số chính phương
Vậy 2y - x là số chính phương.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xyz+yzx+xzy=3
\(\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{xz}}{y} = 3\)
⇔ \(\frac{{xyz}}{{{z^2}}} + \frac{{yzz}}{{{x^2}}} + \frac{{xzy}}{{{y^2}}} = 3\)
⇔ \(xyz\left( {\frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = 3\)
⇔ x2y2 + y2z2 + z2x2 = 3xyz
Lại có: \[{x^2}{y^2} + {\rm{ }}{y^2}{z^2} + {\rm{ }}{z^2}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^4}}} = 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]
Suy ra: \[3xyz \ge 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]
⇒ \[1 \ge \sqrt[3]{{xyz}} \ge 0\]
Vì x, y, z nguyên nên xyz = 1
Vậy (x; y; z) là hoán vị của (1;1;1) hoặc (-1;-1;1)
ℤ là tập hợp số gì? Tập hợp ℤ gồm những số nào?
ℤ là tập hợp số nguyên
ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
Ẩn số là gì?
Ẩn số là một biến số mà chúng ta cần tìm giá trị của nó trong quá trình giải phương trình hoặc hệ phương trình. Ẩn số thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường (ví dụ: x, y, z) và biểu thị một giá trị không xác định mà chúng ta muốn tìm ra.
An và Bình có 33 viên bi. Biết rằng 13 số viên bi của An thì 25 số viên bi của Bình. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
Bi của An bằng số phần bi của Bình là
\(\frac{2}{5}\) × 3 = \(\frac{6}{5}\)
Tổng số phần bằng nhau là
6 + 5 = 11 (phần)
Số bi của An là
33 : 11 × 6 = 18 (viên bi)
Số bi của Bình là
33 − 18 = 15 (viên bi)
Đáp số: An: 18 viên bi
Bình: 15 viên bi
An và Bình mua chung 54 quyển vở quyền vở và phải trả 135 000 đồng. An trả nhiều Bình 15 000 đồng. Hỏi mỗi bạn mua bao nhiêu quyển vở?
Mỗi quyển vở có giá là:
135 000 : 54 = 2 500 (đồng)
An mua nhiều hơn Bình số vở là:
15000: 2500=6 (quyển)
Vậy An mua số vở là:
(54 + 6) : 2 = 30 (quyển)
Vậy Bình mua số vở là:
54 – 30 = 24 (quyển)
Đáp số: An: 30 quyển
Bình: 24 quyển
Anh hơn em 8 tuổi, tuổi của anh cách đây 5 năm bằng 34 tuổi em sau 8 năm nữa. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Gọi số tuổi của anh là a, em là b
a – b = 8
a = 8 + b
Mà tuổi của anh cách đây 5 năm bằng \(\frac{3}{4}\) tuổi em sau 8 năm nữa.
a – 5 = \(\frac{3}{4}\).(b + 8)
a – 5 = \(\frac{3}{4}\).b + 6
a −\(\frac{3}{4}\)b = 6 + 5
a −\(\frac{3}{4}\)b = 11
Thay a = 8 + b vào ta được
8 + b −\(\frac{3}{4}\)b = 11
\(\frac{1}{4}\).b = 3
b = 12
Suy ra a = 8 + 12 = 20
Vậy anh là 20 tuổi, em 12 tuổi.
Tìm bội của 10
B(10) = { 0, 10, 20, 30, 40, 50,….}
Tìm bội của 3
B(3) = {0, 3, 6, 9, 18,…}
Bà đi chợ mua về một số gạo. Bà đem chia số gạo đó vào 5 thùng bằng nhau mỗi thùng được 13,4 kg. Hỏi bà đã mua về bao nhiêu ki – lô – gam gạo?
Bà đã mua về số kg gạo là:
13,4 × 5 = 67 (kg)
Đáp số: 67 kg
Ba lớp 7a, 7b, 7c có 94 học sinh tham gia trồng cây, mỗi học sinh lớp 7a trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 7b trồng được 4 cây, mỗi học sinh lớp 7c trồng được 5 cây. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây? Biết số cây trồng được là như nhau.
Gọi số học sinh lớp 7a, 7b, 7c lần lượt là a, b , c ta có:
a + b + c = 94
Mà 3a = 4b = 5c
Suy ra
\(\frac{a}{4} = \frac{b}{3}\) và \(\frac{b}{5} = \frac{c}{4}\)
Suy ra \(\frac{a}{{20}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{12}}\)
Áp dụng tính chất tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{{20}} = \frac{b}{{15}} = \frac{c}{{12}}\)
= \(\frac{{a + b + c}}{{20 + 15 + 12}}\)
= \(\frac{{94}}{{47}}\) = 2
Suy ra: a = 2 × 20 = 40
b = 2 × 15 = 30
c = 2 × 12 = 24
Vậy: Lớp 7a có 40 học sinh tham gia trồng cây
Lớp 7b có 30 học sinh tham gia trồng cây
Lớp 7c có 24 học sinh tham gia trông cây
Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp có tích là 315. Số lớn nhất là?
Ta có: 315 = 3.3.5.7 = 5.7.9
Suy ra 3 số đó là 5, 7, 9
Vậy số lớn nhất là 9.
Có ba bình chứa nước, bình 1 đựng 12 lít, bình 2 dung tích 7 lít, bình 3 dung tích 5 lít. (Lưu ý: Bình 2 và 3 không chứa nước). Không dùng thêm một dụng cụ nào khác hãy lấy ra hai phần mỗi phần 6 lít nước.
• Lần 1: Đổ đầy can 7 lít. Từ can 7 lít đổ đầy can 5 lít nên Can 7 lít còn lại 2 lít
• Lần 2: Đổ hết can 5 lít về can 12 lít và đổ 2 lít từ can 7 lít sang can 5 lít. Bây giờ can 5 lít có 2 lít, can 7 lít rỗng và can 12 lít có 10 lít.
• Lần 3: Lấy can 12 lít (có 10 lít) đổ đầy can 7 lít. Sau đo lấy can 7 lít đổ sang can 5 lít (đã có 2 lít) nên Can 7 lít còn lại 4 lít.
• Lần 4: Đổ hết can 5 lít về can 12 lít và đổ 4 lít từ can 7 lít sang can 5 lít. Bây giờ can 7 lít rỗng, can 5 lít có 4 lít
• Lần 5: Lại đổ đầy can 7 lít. Bây giờ có: Can 7 lít đầy, can 5 lít có 4 lít, can 12 lít có 1 lít
Bây giờ ta đổ từ can 7 lít (đầy) sang đầy can 5 lít (đã có 4 lít) nên Can 7 lít còn lại 6 lít. Đổ can 5 lít sang can 12 lít. Bây giờ can 12 lít có 6 lít
Một người hàng vải bán 5 lần, mỗi lần 16 tấm vải thì tấm vải còn lại 7m. Hỏi lúc đầu tấm vải dài bao nhiêu mét?
5 lần bán số vải là:
5 × \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) (mét vải)
Lúc đầu tấm vải còn số mét là:
\(\frac{5}{6}\) + 7 =\(\frac{{47}}{6}\) (mét vải)
Đáp số: \(\frac{{47}}{6}\) mét vải.
Vẽ đường tròn tâm O bán kính 20 mm.
Cách vẽ:
− Bước 1: Chọn một điểm làm tâm O trên giấy.
− Bước 2: Mở compa với khoảng cách 20 mm.
− Bước 3: Đặt mũi nhọn của compa vào điểm O và xoay bút chì một vòng để tạo đường tròn.
Ta có hình vẽ:
Bạn Lan đi xe đạp từ nhà đến trường, đoạn đường dài 2,826 km. Bánh xe có đường kính 60 cm . Hỏi bánh xe phải quay hết bao nhiêu vòng?
Đổi: 2,826 km = 282 600 cm
Chu vi của bánh xe đó là:
60 × 3,14 = 18,4 (cm)
Bánh xe phải quay hết số vòng là:
282 600: 188,4 = 1 500 (vòng)
Đáp số: 1 500 vòng.
Bạn Nam đọc một quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc 13 số trang. Ngày thứ hai đọc 25 số trang còn lại. Ngày thứ ba đọc nốt 36 trang còn lại. Hỏi quyển sách có bao nhiêu trang?
Phân số chỉ số trang còn lại sau ngày thứ nhất đọc là:
1 − \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) (số trang)
Phân số chỉ số trang sách ngày thứ hai đọc là:
\(\frac{2}{5}\). \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{{15}}\) (số trang)
Phân số chỉ số trang sách ngày thứ ba đọc là:
\(1 - \left( {\frac{1}{3} + \frac{4}{{15}}} \right) = \frac{2}{5}\) ( số trang)
Vậy 36 trang tương ứng với \(\frac{2}{5}\) trang sách đó.
Vậy quyển sách đó có số trang là:
36 : \(\frac{2}{5}\)= 90 (trang)
Đáp số: 90 trang
Bạn Nga đọc một cuốn sách trong 3 ngày. Ngày 1 bạn đọc được 15 số trang sách. Ngày thứ 2 bạn đọc được 23 số trang sách còn lại. Ngày 3 bạn đọc nốt 200 trang. Hỏi:
a) Cuốn sách đó có bao nhiêu trang?
b) Số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 1 và ngày 2
c) Ngày 1 bạn đọc được số trang sách chiếm bao nhiêu % của cuốn sách?
a) Phân số chỉ số trang sách còn lại sau ngày 1 là:
\(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) (tổng số trang)
Phân số chỉ số trang sách mà ngày 2 đọc được là:
\(\frac{2}{3}.\frac{4}{5} = \frac{8}{{15}}\) (tổng số trang)
Phân số chỉ số trang sách mà ngày 3 đọc được là:
\(1 - \frac{1}{5} - \frac{8}{{15}} = \frac{4}{{15}}\) ( tổng số trang)
Cuốn sách đó có số trang là:
\(200.\frac{4}{{15}} = 750\) (trang)
b) Số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 1 là:
\(750.\frac{1}{5} = 150\) (trang)
Số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 2 là:
\(750.\frac{8}{{15}} = 400\) (trang)
c) Số trang sách bạn Nga đọc được trong ngày 1 chiếm số % của cuốn sách là:
150 . 100 : 750 = 20% (cuốn sách)
Đáp số: a, 750 trang
b, 150 trang ; 400 trang
c, 20%
Bạn Thành muốn mua một tấm khăn để trải một cái bàn hình tròn có đường kính 1,2m nhưng cô bán hàng chỉ bán khăn trải bàn hình vuông. Bạn Thành phải mua chiếc khăn trải bàn hình vuông có diện tích nhỏ nhất để phủ hết cái bàn đó là?
Bạn Thành cần mua cái khăn trải bàn có cạnh bằng với đường kính của cái bàn.
Vậy diện tích cái khăn đó là:
1,2 x 1,2 = 1,44 (m2)
Đáp số: 1,44m2
Lập bảng bình phương từ 1 đên 100
Từ 0 đến 9
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
x2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
Từ 10 đến 19
x | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
x2 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
Từ 20 đến 29
x | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
x2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
Từ 30 đến 39
x | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 |
x2 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
Từ 40 đến 49
x | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 |
x2 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
Từ 50 đến 59
x | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 |
x2 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
Từ 60 đến 69
x | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 |
x2 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
Từ 70 đến 79
x | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |
x2 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
Từ 80 đến 89
x | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |
x2 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
Từ 90 đến 100
x | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
x2 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | 10000 |
Bảng cửu chương 6, 7, 8, 9.
6 | 7 | 8 | 9 |
6 × 1 =6 | 7 × 1 = 7 | 8 ×1 = 8 | 9 × 1 = 9 |
6 × 2 = 12 | 7 × 2 = 14 | 8 × 2 = 16 | 9 × 2 = 18 |
6 × 3 = 18 | 7 × 3 = 21 | 8 × 3 = 24 | 9 × 3 = 27 |
6 × 4 = 24 | 7 × 4 = 28 | 8 × 4 = 32 | 9 × 4 = 36 |
6 × 5 = 30 | 7 × 5 = 35 | 8 × 5 = 40 | 9 × 5 = 45 |
6 × 6 = 36 | 7 × 6 = 42 | 8 × 6 = 48 | 9 × 6 = 54 |
6 × 7 = 42 | 7 × 7 = 49 | 8 × 7 = 56 | 9 × 7 = 63 |
6 × 8 = 48 | 7 × 8 = 56 | 8 × 8 = 64 | 9 × 8 = 72 |
6 × 9 = 54 | 7 × 9 = 63 | 8 × 9 = 72 | 9 × 9 = 81 |
6 ×10 = 60 | 7 ×10 = 70 | 8 × 10 = 80 | 9 × 10 = 90 |
Lập bảng lập phương từ 1 đến 20
Từ 1 đến 10
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x3 | 3 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1 000 |
Từ 11 đến 20
x | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
x3 | 1331 | 1728 | 2197 | 2744 | 3375 | 4096 | 4913 | 5832 | 6859 | 8000 |
Bảng lũy thừa lớp 6
am . an = am + n
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}\)
\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^{^m}}.{b^m}\)
\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\)
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\)
• Nếu a > 1 thì am > an nên m > n.
• Nếu 0 < a < 1 thì am < an nên m < n.
Lập bảng số nguyên tố nhỏ hơn 1000
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 |
233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 |
353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 |
607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 |
739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 |
811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 |
877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 |
947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
|
|
Cách biến đổi (x12 + x22 ) áp dụng Viète?
x12 + x22
= x12 + 2x1x2 − 2x1x2 + x22
= (x1 + x2)2 − 2x1x2
Biết 25 quãng đường AB dài 36 km . Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu?
Quãng đường AB dài số km là:
\(36 \times \frac{2}{5} = 90\)( km)
Đáp số: 90 km
Bình phương là gì?
Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó. Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số.
Chứng minh bình phương thiếu lớn hơn bằng 0
Bình phương thiếu của 1 tổng: a2 + ab + b2
Bình phương thiếu của 1 hiệu: a2 − ab + b2
Chứng minh: a2 + ab + b2 ≥ 0
Ta có: a2 + ab + b2 = a2 + 2a.\(\frac{1}{2}\).b + \({\left( {\frac{1}{2}b} \right)^2}\)+ \(\frac{3}{4}.{b^2}\)
= \({\left( {a + \frac{1}{2}.{b^2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.{b^2} \ge 0\)
Chứng minh: a2 − ab + b2 ≥ 0
\({a^2} + ab + {b^2} = {a^2} - 2a.\frac{1}{2}.b + {\left( {\frac{1}{2}b} \right)^2} + \frac{3}{4}{b^2}\)
= \({\left( {a - \frac{1}{2}.{b^2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.{b^2} \ge 0\)
Bố hơn con 28 tuổi 3 năm nữa số tuổi của hai bố con tròn 50 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Tổng số tuổi của cả 2 bố con hiện nay là:
50 − 3−3 = 44 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là:
(44 − 28) : 2 = 8 (tuổi)
Tuổi của bố hiện nay là:
44 − 8 = 36 (tuổi)
Đáp số: 8 tuổi, 36 tuổi.
Tìm bội số của 10
Tập hợp các bội của 10 là:
B(10) ={0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80;...}
Tìm bội số của 100
Tập hợp các bội của 100 là:
B(100) ={0; 100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800...}
Tìm bội số của 13
Tập hợp các bội của 13 là:
B(13) = {0; 13; 26; 39; 52; 65; 78; 91; 104; 117; ....}
Tìm bội số của 17
Tập hợp các bội của 17 là:
B(17) ={0; 17; 34; 51; 68,...}
Tìm bội số của 24
Tập hợp các bội của 24 là:
B (24) = {0; 24; 48; 72; 96; 120; 144;...}
Tìm bội số của 60
B (60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360 , . . . . }
Hãy tìm các bội số của 8 nhỏ hơn 100 và lớn hơn 50
Nhân 8 với lần lượt các số 0; 1; 2; 3; 4; … ta được: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; 104; …
Do đó các số 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96; 104; …là bội của 8
Bội số của 8 nhỏ hơn 100 và lớn hơn 50 là: 56; 64; 72; 80; 88; 96
Vậy bội số của 8 nhỏ hơn 100 và lớn hơn 50 là: 56; 64; 72; 80; 88; 96.
Tìm bội số của 3.
B (3) = {0; 3; 6; 9;.......}
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chẵn.
Số các số chẵn từ 1 đến 100 là:
(100− 2) : 2 + 1 = 50 (số chẵn)
Đáp số: 50 số chẵn.
Dấu hiệu các số chia hết cho 6
Có các quy tắc nhận biết một số có chia hết cho 6 gồm:
• Một số chia hết cho 6 khi nó chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Ví dụ: số 12 : 2 = 6 và 12 : 3 = 4 nên 12 chia hết cho 6.
• Nếu kết quả chữ số hàng chục nhân với 4 rồi cộng thêm chữ số hàng đơn vị của một số bất kỳ chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 6.
Ví dụ: Số 30 = 7.4 + 2 = 28 + 2 = 30 : 6 = 5 nên 30 chia hết cho 6.
• Nếu tổng các chữ số là một số chẵn và tổng này chia hết cho 3 thì số đó đó chắc chắn sẽ chia hết cho 6.
Ví dụ: Số 132 có tổng các chữ số = 1 + 3 + 2 = 6 : 3 = 2 nên 132 chia hết cho 6.
Dấu hiệu các số chia hết cho 7
Có các dấu hiệu nhận biết một số bất kỳ có chia hết cho 7 không gồm:
• Nhân đôi chữ số cuối cùng rồi lấy các chữ số còn lại trừ cho phép nhân đó nếu kết quả chia hết cho 7 thì số đã cho sẽ chia hết cho 7.
Ví dụ: số 784 ta thực hiện như sau: lấy số cuối cùng là 4.2 = 8, lấy 2 chữ số còn lại là 78 – 8 = 70 :7 = 10, suy ra được 784 sẽ chia hết cho 7.
• Nếu một số có 2 chữ số và ta lấy chữ số hàng chục nhân với 3 rồi cộng với chữ số hàng đơn vị. Nếu kết quả này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7. Lưu ý rằng cách này chỉ áp dụng với số có 2 chữ số.
Ví dụ: số 98 ta lấy 9.3 + 8 = 27 + 8 = 35 : 7 = 5. Nên 98 sẽ chia hết cho 7.
Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chính phương, đó là những số nào?
Có 11 số chính phương, đó là các số: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100.
Các số có số chục bằng 3?
Các số có số chục bằng 3 là: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.
Cách chia hình tròn thành 3 phần bằng nhau?
Lấy tâm O của hình tròn, nối thành hình chữ "Y" , sao cho mỗi góc trong hình tròn đều bằng nhau và đều bằng 60o (vì 120o . 3 = 360o)
Cách chứng minh đường phân giác
Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau. 1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
- Trên cùng một nủa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có \(\widehat {xOy}\) < \(\widehat {xOz}\) thì tia Oy nằm giữa tia Ox và Oz
- Nếu tia Ox và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oz thì tia Oz nằm giữa tia Ox và Oy
Cách đổi đơn vị vận tốc.
Để đổi đơn vị tốc độ từ một đơn vị sang đơn vị khác, ta cần biết tỷ lệ chuyển đổi giữa hai đơn vị tốc độ đó. Dưới đây là một số cách thường được sử dụng để đổi đơn vị tốc độ:
• Đổi từ km/h sang m/s:
- Tỷ lệ chuyển đổi: 1 km/h = 0,2778 m/s
- Để đổi từ km/h sang m/s, ta nhân tốc độ ban đầu (km/h) cho 0,2778.
• Đổi từ m/s sang km/h:
- Tỷ lệ chuyển đổi: 1 m/s = 3,6 km/h
- Để đổi từ m/s sang km/h, ta nhân tốc độ ban đầu (m/s) cho 3,6.
Cách tìm chiều rộng hình chữ nhật.
Công thức tính chiều rộng khi biết chu vi và chiều dài :
chu vi : 2 – chiều dài = chiều rộng
Công thức tính chiều rộng khi biết diện tích và chiều dài
Diện tích : chiều dài = chiều rộng
Cách tìm ước của một số nhanh nhất.
Phân tích số a ra thừa số nguyên tố:
Lấy số mũ của các thừa số nguyên tố a, b cộng 1 rồi nhân với nhau.
Cách tính chiều cao của hình hộp chữ nhật.
Gọi chiều cao của hình chữ nhật là c
Chiều dài và rộng là a, b
Diện tích xung quanh là S
Chiều cao c = S : (a ×b)
Cách tính chiều cao của hình hộp thang.
Công thức tính chiều cao hình thang bằng diện tích hai đáy nhân 2, chia cho tổng chiều dài 2 đáy.
\(h = \frac{{2 \times S}}{{a + b}}\)
Trong đó
h: Chiều cao hình thang
S: Diện tích hình thang
a: Độ dài đáy lớn
b: Độ dài đáy bé
Cách tính chiều cao của hình tam giác.
Cách tính đường cao trong tam giác sử dụng công thức Heron
ha = \(2\frac{{\sqrt {p(p - a).(p - b).(p - c)} }}{a}\)
Với a, b, c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi
p = \(\frac{{(a + b + c)}}{2}\)
Cách tính chu vi đáy của hình hộp chữ nhật?
Với a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật.
Chu vi đáy của hình hộp chữ nhật là: (a + b) × 2.
Cách tính chu vi nửa hình tròn?
Chu vi hình tròn = 2πR
Nửa chu vi hình tròn = πR
Trong đó: R là bán kính của hình tròn.
Cách tính dãy số có bao nhiêu chữ số?
Cách tính số lượng các chữ số của dãy là:
(số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1.
Cách tính diện tích đáy hình lăng trụ đứng.
Công thức tính diện tích đáy của hình lăng trụ đứng còn tùy thuộc xem đáy của hình lăng trụ đứng đó là hình gì.
+ Nếu đáy là hình tam giác sử dụng công thức tính diện tích hình tam giác.
+ Nếu đáy là hình chữ nhật sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
+ Nếu đáy là hình thang sử dụng công thức tính diện tích hình thang.
+ Nếu đáy là hình tròn sử dụng công thức tính diện tích hình tròn.
+ Nếu đáy là hình vuông sử dụng công thức tính diện tích hình vuông.
+ Nếu đáy là hình thoi sử dụng công thức tính diện tích hình thoi.
+ Nếu đáy là bình hành thì sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành.
+ Nếu đáy là hình khác biệt thì chia đáy đó thành hình thông thường, tính diện tích từng hình, cộng tất cả diện tích các hình thông thường đó ta được diện tích đáy.
Cách tính độ chia nhỏ nhất.
Xác định các vạch nhỏ nhất được chia trên thước từ mm dến cm là bao nhiêu vạch
Sau đó lấy độ dài 1cm làm chuẩn .
Tiếp theo lấy lấy số vạch chia cho 1 cm thì đo đc độ chia nhỏ nhất.
Cách tính độ chia nhỏ nhất của cân.
Xác định độ chia nhỏ nhất ta thực hiện theo các bước sau:
• Xác định đơn vị đo của thước.
• Xác định n là số khoảng cách chia giữa hai số ghi liên tiếp (số bé và số lớn).
• ĐCNN = (số lớn – số bé) : (số vạch chia) (có đơn vị như đơn vị ghi trên thước).
Cách tính số phần tử.
Cách tính số phần tử là: (số cuối – số đầu) : khoảng cách + 1
Cách tính số tập hợp con có n phần tử?
Ta đặt : A là một tập hợp có n phần tử
Số tập hợp con của A gồm n phần tự là 2n
Thật vậy, bằng phương pháp qui nạp ta có :
• Với n = 0, tập hợp rỗng có 20 = 1 tập hợp con (đúng)
• Với n = 1, 21 = 2 tập hợp rỗng và chính nó (đúng)
Giả sử công thức trên đúng với n = k. Tức số tập hợp con của một tập hợp là 2k
Ta phải chứng minh công thức đúng với k + 1
Ngoài 2k tập hợp con vốn có, thêm mỗi tập hợp cũ phần tử thứ k + 1 thì được một tập hợp con mới. Vậy ta được 2k tập hợp con mới.
Tổng số tập hợp con của tập hợp gồm k + 1 phần tử (tức tổng số tập hợp con của tập hợp gồm 2k phần tử và tập hợp con mới tạo thành) là : 2k = 2k .2 = 2k + 1.
Vậy số tập hợp con của tập hợp A gồm n phần tử là 2n.
1=?
Ta có \(\sqrt 1 = 1\).
Tính: 3−23+2+3+23−2
\(\sqrt {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}} + \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}} \)=\(\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{3 - 2}}} + \sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{3 - 2}}} \)
=\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \)=\(\sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 3 \)
Tính x×x=?
\(\sqrt x \times \sqrt x = \sqrt {{x^2}} \)= \(\left| x \right|\)
Cho hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d. Xác định a và b biết (d) cắt trục tụng tại điểm có tung độ bằng 2 và trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −1.
Ta có đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 suy ra x = 0, y = 2
Thay vào hàm số y = ax + b ta có b = 2
đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng −1 suy ra x = −1, y = 0
Thay b = 2, x = −1, y = 0 vào hàm số y = ax + b ta có a = 2.
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 2.
Cấu tạo số là gì?
\(\overline {ab} = a \times 10 + b\)
\(\overline {abc} = a \times 100 + b \times 10 + c = \overline {ab} \times 10 + c = a \times 100 + \overline {bc} \)
\(\overline {abcd} = a \times 1000 + b \times 100 + c \times 10 + d = \overline {abc} \times 10 + d\)
Cách tính chiều cao hình thoi?
Lấy tích hai đường chéo chia cho 2.
Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + …..+ 311 . Chứng minh rằng A chia hết cho 13?
A = 1 + 3 + 32 + 33 + …..+311
A = (1 + 3 + 32 ) + (33 + 34 + 35 ) + (36 + 37 + 38 ) + (39 + 310 + 311 )
A = 1. (1 + 3 + 9) + 33 . (1 + 3 + 9) + 36 . (1 + 3 + 9) + 39 .(1 + 3 + 9)
A= 1.13 + 33 .13 + 36 .13 + 39 .13
A = 13 . (1 + 33 + 36 + 39 )
Mà 13 ⋮ 13
Nên 13 .(1 + 33 + 36 + 39 ) ⋮ 13
Vậy A ⋮ 13
Cho A = 12n+12n+3 . Tìm giá trị n để A là một số nguyên tố.
\(\frac{{12n + 1}}{{2n + 3}}\)
= \(\frac{{12n + 18 - 17}}{{2n + 3}}\)
= \(\frac{{6(2n + 3) - 17}}{{2n + 3}}\)
= \(\frac{{6(2n + 3)}}{{2n + 3}} - \frac{{17}}{{2n + 3}}\)
= 6 −\(\frac{{17}}{{2n + 3}}\)
Để A là số nguyên khi và chỉ khi (2n + 3) ∈ Ư(17) = {1; −17; 17; −1}.
Ta có 2n + 3 = 1 suy ra n = −1;
2n + 3 = −1 suy ra n = −2;
2n + 3 = −17 suy ra n = 7;
2n + 3 = 17 suy ra n = −10.
Mà A là số nguyên tố nên n = {−1; 7}.
Cho A = 2 + 22 + 23 + …..+ 220 . Chứng minh A chia hết cho 3.
A = 2 + 22 + 23 + …..+ 220
= 2. (1 + 2) + 23 .(1 + 2) +….+ 219 .(1 + 2)
= 2.3 + 23 .3 + …+ 219 .3
= 3.( 2 + 23 + …..+ 219)
Mà 3 ⋮ 3 nên 3.( 2 + 23 + …..+ 219) ⋮ 3
Vậy A ⋮ 3
Cho a là chữ số khác 0. Khi đó aaaaaa¯ : (3.a) = ?
= \(\frac{{\overline {aaaaaa} }}{{3a}}\)
= \(\frac{{\overline {aaaaaa} }}{a}.\frac{1}{3}\)
= 111 111 : 3
= 37037
Sửa lại: \[\overline {aaaaaa} :\left( {3a} \right) = \frac{{\overline {aaaaaa} }}{{3a}}\].
Cho các số 27 501; 106 712; 7 110 385; 2 915 404 267. Đọc mỗi số đã cho.
27 501: Hai mươi bảy nghìn năm trăm lẻ một
106 712: Một trăm lẻ sáu nghìn bảy trăm mười hai
7 110 385: Bảy triệu một trăm mười nghìn ba trăm tám mươi lăm
2 915 404 267: Hai tỉ chín trăm mười lăm triệu bốn trăm lẻ bốn nghìn hai trăm sáu mươi bảy.
Cho một hình chữ nhật có diện tích 468 cm2 nếu giảm chiều dài xuống 3 lần, giảm chiều rộng xuống 2 lần thì được hình vuông. Chu vi hình chữ nhật bằng bao nhiêu cm ?
Diện tích hình vuông là:
486 : (3 × 2) = 81 (cm2)
cạnh hình vuông là: 9 cm, vì 81 = 9 × 9
chiều dài hình chữ nhật là:
9 × 3 = 27 (cm)
chiều rộng hình chữ nhật là:
9 ×2 = 18 (cm2)
chu vi hình chữ nhật là:
(27 + 18) × 2 = 90 (cm)
Đáp số: 90 cm.
Cho phân số 77123. Hỏi phải bớt cả mẫu số và tử số đi bao nhiêu đơn vị để phân số mới có giá trị bằng 25.
Hiện giữa mẫu và tử là
123 – 77 = 46
Sau khi bớt ta có
46: (5−3) . 5=115
Cần phải bớt cả tử lẫn mẫu bằng\(\frac{3}{5}\) là
123−115=8
Đáp số : 8 đơn vị
Cho tam giác ABC có CA = CB = 10 cm, AB = 12 cm. Kẻ CI ⊥ AB (I ∈ AB).
a) Chứng minh IA = IB .
b) Tính độ dài IC .
c) Kẻ IH ⊥ AC, IK ⊥ BC (H ∈ AC, K ∈ BC). Chứng minh IH = IK.
a) Ta có tam giác ABC có CA = CB nên tam giác ABC cân tại C.
Mà CI vuông góc AB nên IC là đường trung tuyến.
Vậy IB = IA.
b) Xét tam giác IBC vuông tại I, ta có
BC2 = IC2 + IB2 ( định lý Pythagore)
Mà CB = 10 cm
IB = IA = \(\frac{1}{2}\)AB =\(\frac{1}{2}\). 12 = 6 (cm)
Nên 102 = IC2 + 62
IC2 = 102 − 62 = 64
IC = 8 cm
c) Tam giác ABC cân tại C có IC là đường trung tuyến nên IC cũng là tia phân giác. Suy ra \(\widehat {ACI} = \widehat {ICB}\).
Xét hai tam giác vuông CIK và CIA, ta có
\(\widehat {ACI} = \widehat {ICB}\)
IC cạnh chung
Do đó ∆CIK = ∆CIH (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra IH = IK (hai cạnh tương ứng)
Chữ số 5 trong số 162,57 có giá trị
5 đơn vị.
5 phần trăm.
5 chục.
5 phần mười.
Đáp án đúng là: D
Chữ số 5 trong số 162,57 thuộc hàng phần mười nên có giá trị là 5 phần mười
Cách tính chu vi đáy hình lăng trụ đứng.
Chu vi của đáy là tam giác: Cđáy = a + b + c (với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác)
Chu vi của đáy là tứ giác: Cđáy = a + b + c + d (với a, b, c, d là độ dài bốn cạnh của tứ giác)
Chứng minh 6 là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt 6 \) là số hữu tỉ.
Số\(\sqrt 6 \) viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)
Nên \(\sqrt 6 \) = \(\frac{a}{b}\)
\({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2}\)
\({a^2} = 6{b^2}\)mà (a,b) = 1 suy ra a2 ⋮ 6 mà Ư(6,1) = 1 nên a ⋮ 6. (1)
Đặt a = 6k suy ra a2 = 36k2 và \({a^2} = 6{b^2}\) nên 36k2 = 6b2
Ta có b2 = 6k2 mà Ư(6,1) = 1 nên b2 ⋮ 6 suy ra b ⋮ 6.(2)
Từ (1) và (2) phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) trái với giải thiết (a, b) = 1.
Vậy \(\sqrt 6 \) là số vô tỉ.
Chứng minh tia nằm giữa hai tia
Giả sử chứng minh Oz nằm giữa Oy và Ox
- Cách 1: cho 3 tia Ox, Oy, Oz chung gốc. Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy (A,B ≠ O). Nếu đoạn AB cắt tia Oz tại một điểm bất kì thì Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy.
- Cách 2: cho 2 tia Ox, Oy đối nhau. Bất kì điểm nào chung gốc O đều nằm giữa 2 tia Ox, Oy.
- Cách 3: Cho 2 tia Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox. Mà \(\widehat {xOz} < \widehat {xOy}\) suy ra tia Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy.
- Cách 4: Lấy hai tia Ox, Oy thuộc 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng chứa tia Oz. Mà \(\widehat {xOz} + \widehat {xOy}\) ≤ 180° suy ra tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy.
- Cách 5: Nếu \(\widehat {xOz} + \widehat {zOy} = \widehat {xOy}\) suy ra tia Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy.
