10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 1
500 câu hỏi
(‒0,25)4.44
\[ = {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^4} \cdot {4^4}\]
\[ = {\left( { - \frac{1}{4} \cdot 4} \right)^4}\]
\[ = {\left( { - \frac{4}{4}} \right)^4}\]
= (‒1)4 = 1.
\[\left( {1 + \frac{7}{9}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{20}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{33}}} \right) \cdot .. \cdot \left( {1 + \frac{7}{{2900}}} \right)\]
\[ = \frac{{16}}{9} \cdot \frac{{27}}{{20}} \cdot \frac{{40}}{{33}} \cdot ... \cdot \frac{{2\,\,907}}{{2\,\,900}}\]
\[ = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10 \cdot ... \cdot 51 \cdot 57}}{{1 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot ... \cdot 50 \cdot 58}}\]
\[ = \frac{{\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot 51} \right)\left( {8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cdot \cdot 57} \right)}}{{\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot 50} \right)\left( {9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot \cdot \cdot 58} \right)}}\]
\[ = \frac{{51 \cdot 8}}{{50 \cdot 58}}\]
\[ = \frac{{51 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{{25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29}}\]
\[ = \frac{{102}}{{725}}.\]
Ta có:
\[\frac{{2013}}{1} + \frac{{2012}}{2} + \frac{{2011}}{3} + ... + \frac{2}{{2012}} + \frac{1}{{2013}}\]
\[ = \left( {1 + \frac{{2012}}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{{2011}}{3}} \right) + ... + \left( {1 + \frac{2}{{2012}}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{{2013}}} \right) + 1\]
\[ = \frac{{2014}}{2} + \frac{{2014}}{3} + ... + \frac{{2014}}{{2012}} + \frac{{2014}}{{2013}} + \frac{{2014}}{{2014}}\]
\[ = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]
Nên từ đề bài, ta có:
\[\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right) \cdot x = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]
Suy ra x = 2014.
(145 × 99 + 145) ‒ (143 × 102 ‒ 143)
= [(145 × (99 + 1)] ‒ [(143 × (102 ‒ 1)]
= (145 × 100) ‒ (143 × 101)
= 14500 ‒ 14443
= 57.
A = (‒2) + (‒59) ‒ (‒22) + 59
= ‒2 ‒ 59 + 22 + 59
= (‒2 + 22) + (‒59 + 59)
= 20.
\[\frac{{{2^{23}} + {\rm{ }}{2^{24}} + {\rm{ }}{2^{25}}}}{{{2^{18}} + {2^{19}} + {2^{20}}}}\]
\[ = \frac{{{2^{18}}\left( {{2^5} + {\rm{ }}{2^6} + {\rm{ }}{2^7}} \right)}}{{{2^{18}}\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2}} \right)}}\]
\[ = \frac{{{2^5}\left( {{2^0} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}{2^2}} \right)}}{{{2^0} + {2^1} + {2^2}}}\]
= 25 = 32.
\[\frac{{{2^3} \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 45}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]
\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 9 \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]
\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^4} \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2} \cdot 1}}\]
\[ = \frac{{{9^4} \cdot \left( {8 + 5} \right)}}{{{9^2} \cdot \left( {10 - 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{{9^4} \cdot 13}}{{{9^3}}}\]
= 9.13 = 117.
Lời giải:
(2x ‒ 1)3 = 27
(2x ‒ 1)3 = 33
2x ‒ 1 = 3
2x = 4
x = 2
Vậy x = 2.
Lời giải:
(3x ‒ 16y ‒24)2 = 9x2 + 16x + 32
[3x ‒ (16y + 24)]2 = 9x2 + 16x + 32
9x2 − 6x(16y + 24) + (16y + 24)2 = 9x2 + 16x + 32
−96xy – 144x + 256y2 + 768y + 576 = 16x + 32
256y2 − 96xy – 160x + 768y + 544 = 0
x(3y + 5) = 8y2 + 24y + 17
\[x = \frac{{8{y^2} + 24y + 17}}{{3y + 5}}\]
\[9x = \frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}}\]
Do x ∈ ℤ nên \[\frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{{72{y^2} + 216y + 153}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Suy ra \[\frac{{24y\left( {3y + 5} \right) + 32\left( {3y + 5} \right) - 7}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Do đó \[24y + 32 - \frac{7}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]
Mà y ∈ ℤ nên 3y + 5 ∈ Ư(7), mà Ư(7) = {‒7; ‒1; 1; 7}.
Ta có bảng giá trị:
|
3y + 5 |
‒7 |
‒1 |
1 |
7 |
|
y |
‒4 |
‒2 |
\( - \frac{4}{3}\) |
\(\frac{2}{3}\) |
Do y ∈ ℤ nên ta chọn y ∈ {‒4; ‒2}.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 500 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Lời giải:
(4x ‒ 3)4 = (4x ‒ 3)2
(4x ‒ 3)4 ‒ (4x ‒ 3)2 = 0
(4x ‒ 3)2.(4x ‒ 3)2 ‒ (4x ‒ 3)2 = 0
(4x ‒ 3)2.[(4x ‒ 3)2 ‒ 1] = 0
(4x ‒ 3)2 = 0 hoặc (4x ‒ 3)2 ‒ 1 = 0
⦁ Với (4x ‒ 3)2 = 0
4x ‒ 3 = 0
\[x = \frac{3}{4}\]
⦁ Với (4x ‒ 3)2 ‒ 1 = 0
4x ‒ 3 = 1 hoặc 4x ‒ 3 = ‒1
x = 1 hoặc \[x = \frac{1}{2}\]
Vậy \[x = \frac{3}{4}\]; x = 1; \[x = \frac{1}{2}\].
\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{3}{4}}}\]
\[ = \frac{{\frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{4}}} = \frac{9}{4} \cdot \left( { - 2} \right) = - \frac{9}{2}.\]
(5x + 1)2 ‒ (5x + 3)(5x ‒ 3) = 30
25x2 + 10x + 1 − (25x2 − 9) = 30
25x2 + 10x + 1 − 25x2 + 9 = 30
10x + 10 = 30
10x = 30 ‒ 10
10x = 20
x = 2
Vậy x = 2.
\[A = \frac{{38}}{{25}} + \frac{9}{{10}} - \frac{{11}}{{15}} + \frac{{13}}{{21}} - \frac{{15}}{{28}} + \frac{{17}}{{36}} - ... + \frac{{197}}{{4851}} - \frac{{199}}{{4950}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{18}}{{20}} - \frac{{22}}{{30}} + \frac{{26}}{{42}} - ... + \frac{{394}}{{9702}} - \frac{{398}}{{9900}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{20}} - \frac{{11}}{{30}} + \frac{{13}}{{42}} - ... + \frac{{197}}{{9702}} - \frac{{199}}{{9900}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{4 \cdot 5}} - \frac{{11}}{{5 \cdot 6}} + \frac{{13}}{{6 \cdot 7}} - ... + \frac{{197}}{{98 \cdot 99}} - \frac{{199}}{{99 \cdot 100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left[ {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) - ... + \left( {\frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)} \right]\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{{25}}{{100}} - \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{{24}}{{100}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{6}{{25}}\]
\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{12}}{{25}}\]
\[ = \frac{{50}}{{25}} = 2\]
Vậy A = 2.
Ta có: a ‒ 3 = a ‒ 14 + 11
Để (a ‒ 3) ⋮ (a ‒14) thì (a ‒ 14 + 11) ⋮ (a ‒ 14)
Mà (a ‒ 14) ⋮ (a ‒ 14) nên 11 ⋮ (a ‒ 14)
Hay a ‒ 14 ∈ Ư(11), mà Ư(11) = {‒11; ‒1; 1; 11}.
Ta có bảng giá trị:
|
a ‒ 14 |
‒11 |
‒1 |
1 |
11 |
|
a |
3 |
13 |
15 |
25 |
Vậy các giá trị của a là a ∈ {3; 13; 15; 25}.
(a + b + c)3
= (a + b)3 + 3(a + b)2.c + 3.(a + b).c2 + c3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a + b)2.c + 3.(a + b).c2 + c3
= a3 + b3 + c3 + [3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3.(a + b).c2]
= a3 + b3 + c3 + [3ab(a + b) + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b)c + c2]
= a3 +b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a.(b + c) + c.(b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c).
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]
Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]
Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]
Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]
Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:
\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]
Ta có: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
32 ≥ 3(ab + bc + ca)
Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.
Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]
Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.
Xét phương trình (m2 + 2m + 2)x2 ‒ (m2 ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0
Ta có: ac = (m2 + 2m + 2).(‒1) = ‒[(m + 1)2 + 1] < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Theo định lí Viète, ta có:
Suy ra S.m2 + 2Sm + 2S = m2 ‒ 2m + 2
Hay (S ‒ 1)m2 + 2(S + 1)m + 2(S ‒ 1) = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆’ = (S + 1)2 ‒ 2(S ‒ 1)2 = ‒S2 + 6S ‒ 1.
Để tồn tại giá trị của S, m thì phương trình (*) phải có nghiệm m hay ∆’ ≥ 0.
Tức là ‒S2 + 6S ‒ 1 ≥ 0 hay
Vậy biểu thức S có GTNN là , GTLN là .
a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y
Thay vào phương trình (1) ta có:
(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37
(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37
(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37
3m2 + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37
3m2 ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37
‒3(m ‒ 1)y = ‒3m2 + 3m ‒ 36
Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:
\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].
Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y
\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]
\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]
\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]
Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).\)
b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]
Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.
Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.
Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.
Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).
Ta tính:
\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].
Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:
Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;
Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;
Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;
Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;
Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;
Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;
Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;
Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;
Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;
Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;
Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;
Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.
Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.
Vậy m = ‒11.
(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)
2(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)
(2n + 10 ) chia hết (2n ‒ 1)
(2n ‒ 1 + 11) chia hết (2n ‒ 1)
11 chia hết (2n ‒ 1)
Nên 2n ‒ 1 ∈ Ư(11)
Vậy 2n ‒ 1 ∈ {‒1; ‒11; 1; 11}.
Nếu: 2n ‒ 1 = ‒1 thì n = 0;
2n ‒ 1 = ‒11 thì n = ‒5;
2n ‒ 1 = 11 thì n = 6;
2n ‒ 1 = 1 thì n = 1.
Vậy các giá trị của n là n ∈ {0; ‒5; 6; 1}.
Ta có: x + 1; 2y + 3 là ước tự nhiên của 12.
Mà 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4.
Do 2y + 3 là số lẻ nên 2y + 3 = 1 hoặc 2y + 3 = 3
⦁ Với 2y + 3 = 2 thì (loại).
⦁ Với 2y + 3 = 3 thì y = 0, suy ra x + 1 = 4 hay x = 3.
Vậy (x; y) = (3; 0).
(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) ‒ 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) ‒ 24
= (x2 + 5x + 5 ‒ 1)(x2 + 5x + 5 + 1) ‒ 24
= (x2 + 5x + 5)2 ‒ 1 ‒ 24
= (x2 + 5x + 5)2 ‒ 25
= x(x + 5)(x2 + 5x + 10).
(x + 2)2 ‒ x + 4 = 0
x2 + 4x + 4 − x + 4 = 0
x2 + 3x + 8 = 0
x2 + 2x.1,5 + 2,25 + 5,75 = 0
(x + 1,5)2 + 5,75 = 0
Ta có: (x + 1,5)2 ≥ 0 với mọi x nên (x + 1,5)2 + 5,75 > 0 với mọi x.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} - xy - 3y + 1 = 0\\x + y = \frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} - 3y + 1 = 0\\x + y - 1 = \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + y - 3} \right) = - \left( {{x^2} + 1} \right)\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}}\left( {x + y - 3} \right) = - 1\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]
Đặt \[\frac{y}{{1 + {x^2}}} = a;\,\,x + y - 3 = b,\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ab = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = a - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Thế (2) vào (1), ta được:
a(a – 2) = –1
a2 – 2a + 1 = 0
(a – 1)2 = 0
a – 1 = 0
a = 1.
Thay a = 1 vào phương trình (2), ta được: b = 1 – 2 = –1.
Với a = 1 và b = –1, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}} = 1\\x + y - 3 = - 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y - 3 = - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]
Thế (3) vào (4), ta được:
x + 1 + x2 – 3 = –1
x2 + x – 1 = 0
\(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)
Với \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\)
Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right).\)
\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
\[{x^4} + 2{x^2} + 1 = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
\[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 4 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \] (1)
Đặt \[t = x\sqrt {2{x^2} + 4} \]
Suy ra t2 = x2(2x2 + 4)
Suy ra \[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}\]
Từ (1) ta có phương trình:
\[\frac{{{t^2}}}{2} = 4 - t\]
t2 + 2t ‒ 8 = 0
t = ‒4 hoặc t = 2
⦁ Với t = ‒4 ta có:
\[x\sqrt {2{x^2} + 4} = - 4\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - x\sqrt {2{x^2} + 4} = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{\left( { - x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {4^2}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} = 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra \[x = - \sqrt 2 \]
⦁ Với t = 2 ta có:
\[x\sqrt {2{x^2} + 4} = 2\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {2^2}\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 4\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^4} + 2{x^2} - 2 = 0\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = \sqrt 3 - 1\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]
Suy ra \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \]
Vậy phương trình có 2 nghiệm \[x = - \sqrt 2 \]; \[x = \sqrt {\sqrt 3 - 1} \].
(x2 + 4y2 + 28)2 = 17(x4 + y4 + 14y2 + 49)
[x2 + 4(y2 + 7)]2 = 17[x4 + (y2 + 7)2]
x4 + 8x2(y2 + 7) + 16(y2 + 7)2 = 17x4 + 17(y2 + 7)2
16x4 − 8x2(y2 + 7) + (y2 + 7)2 = 0
[4x2 − (y2 + 7)]2 = 0
4x2 − y2 − 7 = 0
(2x + y)(2x − y) = 7
Vì x, y nguyên dương nên 2x + y > 0 và 2x + y > 2x − y
Do đó 2x + y = 7 và 2x − y = 1.
Giải hệ phương trình ta được
Vậy x = 2, y = 3.
Gọi ƯCLN(x, y) = d (d ∈ ℕ*).
Khi đó tồn tại số tự nhiên a và b để x = da, y = db và (a, b) = 1.
Ta có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{a^2} + p{d^2}{b^2}}}{{{d^2}ab}} = \frac{{{a^2} + p{b^2}}}{{ab}} \in {\mathbb{N}^ * }\]
Từ đó ta được a2 + pb2 ⋮ ab, suy ra a2 + pb2 ⋮ b, suy ra a2 ⋮ b.
Do (a, b) = 1 nên suy ra ta được b = 1. Suy ra a2 + p ⋮ a, suy ra p ⋮ a.
Do p là số nguyên tố nên ta được a = 1 hoặc a = p.
⦁ Với a = 1, khi đó ta được x = y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2} + p{d^2}}}{{{d^2}}} = p + 1\]
⦁ Với a = p, khi đó ta được a = dp; y = d nên suy ra \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = \frac{{{d^2}{p^2} + p{d^2}}}{{{d^2}p}} = p + 1\]
Vậy ta luôn có: \[\frac{{{x^2} + p{y^2}}}{{xy}} = p + 1\].
(x2 + x ‒ 1)2 + 4x2 + 4x
= x4 + x2 + 1 + 2x3 ‒ 2x ‒ 2x2 + 4x2 + 4x
= x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
\[ = {x^2}\left( {{x^2} + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\]
\[ = {x^2}\left[ {\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 2x + 1 + \frac{2}{x}} \right]\]
\[ = {x^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2 \cdot \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1} \right]\]
\[ = {x^2}{\left( {x + \frac{1}{x} + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2y({x^2} - {y^2}) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 10y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
⦁ Xét trường hợp đặc biệt:
Nếu x = 0, từ phương trình (1) ta có 2y.(‒y2) = 0, suy ra y = 0.
Thay x = 0, y = 0 vào phương trình (2), ta được 0.0 = 0 (luôn đúng).
Như vậy, cặp số (0; 0) là một nghiệm của hệ.
⦁ Xét trường hợp xy ≠ 0.
Chia phương trình (1) cho phương trình (2), ta được:
\[\frac{{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{3x}}{{10y}}\]
20y2(x2 ‒ y2) = 3x2(x2 + y2)
20x2y2 ‒ 20y4 = 3x4 + 3x2y2
3x4 ‒ 17x2y2 + 20y4 = 0
3x4 – 12x2y2 – 5x2y2 + 20y4 = 0
3x2(x2 – 4y2) – 5y2(x2 – 4y2) = 0
(x2 – 4y2)(3x2 – 5y2) = 0
x2 = 4y2 hoặc \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\]
+) Với x2 = 4y2, ta có x = 2y hoặc x = –2y
⦁ Thế x = 2y vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
2y[(2y)2 + y2] = 10y
2y.5y2 = 10y
10y3 = 10y
y3 – y = 0
y(y2 ‒ 1) = 0
y = 0 (loại) hoặc y = 1 (thỏa mãn) hoặc y = ‒1 (thỏa mãn).
Khi y = 1, ta có x = 2.
Khi y = ‒1, ta có x = ‒2.
Do đó (2; 1), (‒2; ‒1) là các nghiệm của hệ phương trình.
⦁ Thế x = ‒2y vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
‒2y[(‒2y)2 + y2] = 10y
‒2y.5y2 = 10y
‒10y3 = 10y
y3 + y = 0
y(y2 + 1) = 0
y = 0 (loại) và y2 + 1 = 0 (vô lí).
Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.
+) Với \[{x^2} = \frac{5}{3}{y^2}\], ta có \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] hoặc \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \].
⦁ Thế \[x = y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
\[y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( {y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]
\[y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]
\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} - 10y = 0\]
\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} - 5} \right) = 0\]
y = 0 (loại) hoặc \[{y^2} = \frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}\]
Suy ra: \[y = \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \] hoặc \[y = - \sqrt {\frac{{45}}{{4\sqrt {15} }}} = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \]
Khi \[y = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].
Khi \[y = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} ,\] ta có \[x = - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} \cdot \sqrt {\frac{5}{3}} = - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} \].
Do đó \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right);\,\,\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\] là hai nghiệm của hệ phương trình.
⦁ Thế \[x = - y\sqrt {\frac{5}{3}} \] vào phương trình x(x2 + y2) = 10y, ta được:
\[ - y\sqrt {\frac{5}{3}} \left[ {{{\left( { - y\sqrt {\frac{5}{3}} } \right)}^2} + {y^2}} \right] = 10y\]
\[ - y\frac{{\sqrt {15} }}{3} \cdot \frac{8}{3}{y^2} = 10y\]
\[\frac{{8\sqrt {15} }}{9}{y^3} + 10y = 0\]
\[2y\left( {\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5} \right) = 0\]
y = 0 (loại) và \[\frac{{4\sqrt {15} }}{9}{y^2} + 5 = 0\] (vô lí).
Như vậy, trong trường hợp này, hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là (0; 0), (2; 1), (‒2; ‒1), \[\left( {\sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\,\sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\], \[\left( { - \sqrt {\frac{{5\sqrt {15} }}{4}} ;\,\, - \sqrt {\frac{{3\sqrt {15} }}{4}} } \right)\].
⦁ Xét vế phải của phương trình:
y4 ‒ 6y5 + 11y2 ‒ 6y
= y(y3 ‒ 6y2 + 11y ‒ 6)
= y(y3 – y2 – 5y2 + 5y + 6y – 6)
= y[y2(y – 1) – 5y(y – 1) + 6(y – 1)]
= y (y – 1)(y2 – 5y + 6)
= y(y – 1)(y2 – 2y – 3y + 6)
= y(y – 1)[y(y – 2) – 3(y – 2)]
= y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).
Vậy ta có (x ‒ 2018)2 = y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒3).
⦁ Tìm giá trị của y:
Vì (x ‒ 2018)2 ≥ 0 là số chính phương, nên y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) cũng là số chính phương không âm. Ta xét các trường hợp:
Nếu y ≤ 0 hoặc y ≥ 3 thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) sẽ không phải là số chính phương.
Nếu y = 1, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018
Nếu y = 2, thì y(y ‒ 1)(y ‒ 2)(y ‒ 3) = 0, suy ra x = 2018.
Vậy ta có hai cặp nghiệm là (2018; 1) và (2018; 2).
(x ‒ 5)(x ‒ 7) = 0
x ‒ 5 = 0 hoặc x ‒ 7 = 0
x = 5 hoặc x = 7
Vậy x = 5, x = 7.
(x + y)3 ‒ x(x + y)2 = (x + y)2(x + y ‒ x) = (x + y)2y.
Vì 3n luôn chia hết cho n nên để 3n + 7 chia hết cho n thì ta cần 7 chia hết cho n.
Suy ra n ∈ Ư(7) = {1; –1; 7; –7}.
Mà n là số tự nhiên nên n ∈ {1; 7}.
Ta có: A∖B = {1; 2} nên tập hợp A có các phần tử 1; 2.
A ∩ B = {3; 4} nên tập hợp A có các phần tử 3; 4.
Suy ra A = {1; 2; 3; 4}.
Vậy A có 4 phần tử.
[504 ‒ (52.8 + 70) : 33 + 6] : 125
= [504 ‒ (25.8 + 70) : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ (200 + 70) : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ 270 : 27 + 6] : 125
= [504 ‒ 10 + 6] : 125
= 500 : 125
= 4.
\[\sqrt {3 - \sqrt 5 } + \sqrt {3 + \sqrt 5 } \]
\[ = \frac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} + \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right| + \left| {\sqrt 5 + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{\sqrt 5 - 1 + \sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 2 }}\]
\[ = \frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {10} .\]
Ta có \[\left| {2x - 1} \right| \ge 0,\,\,\,\,\,\left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0 \ge 0\] với mọi x.
Do đó để \[\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + \frac{1}{3}} \right| = 0\] thì ta cần:
2x ‒ 1 = 0 và \[x + \frac{1}{3} = 0\]
\[x = \frac{1}{2}\] và \[x = - \frac{1}{3}\]
Vậy không có giá trị của x thỏa mãn.
Điều kiện xác định: \(x \ge - \frac{1}{2}.\)
\[\sqrt {2x + 1} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} - \sqrt 2 = 0\]
\[\left( {\sqrt {2x + 1} - \sqrt 2 } \right) + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\frac{{2x - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{{2x - 1}}{{x + 3}} - \left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} } \right) = 0\]
\(2x - 1 = 0\) (1) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\] (2)
¬ Giải phương trình (1):
\(2x - 1 = 0\)
\(2x = 1\)
\(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
¬ Giải phương trình (2):
\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} - \sqrt {{x^2} + 4} = 0\]
\[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} = \sqrt {{x^2} + 4} .\] (3)
Với \(x \ge - \frac{1}{2}\) ta có:
⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{x + 3}} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\frac{5}{2}}} = \frac{{4 + 5\sqrt 2 }}{{10}} < 2.\]
⦁ \[\sqrt {{x^2} + 4} \ge \sqrt 4 = 2.\]
Do đó phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{1}{2}.\)
Điều kiện xác định: 3x ‒ 2 ≥ 0 và x + 3 ≥ 0, hay \[x \ge \frac{2}{3}\] và x ≥ ‒3, tức là \[x \ge \frac{2}{3}\].
\[\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} = {x^3} + 3x - 1\]
\[\sqrt {3x - 2} - 1 + \sqrt {x + 3} - 2 = {x^3} + 3x - 4\]
\[\frac{{3x - 3}}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)\]
\[\left( {x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4} \right) = 0\]
\(x - 1 = 0\) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - x - 4 = 0\]
\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = x + 4\] (*)
Xét phương trình (*): Với \[x \ge \frac{2}{3}\] ta có
⦁ \[\frac{1}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le \frac{1}{1} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{3} + 3} + 2}} = 7 - \sqrt {33} < 2\]
⦁ \(x + 4 \ge \frac{2}{3} + 4 > 4.\)
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1.\)
Ta có: \[0,1 = \frac{1}{{10}}\].
Ta có: \[0,125 = \frac{{125}}{{1000}} = \frac{{125:125}}{{1000:125}} = \frac{1}{8}\].
Ta có: 0,001 tấn = 0,01 tạ.
Ta có: 0,25 × 56 = 14.
70 ‒ 5(x ‒ 3) = 45
5(x ‒ 3) = 25
x ‒ 3 = 5
x = 8
Vậy x = 8.
Ta có: \[0,5 = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}.\]
x × 0,5 = 1,05 − x
x × 0,5 + x = 1,05
x × (0,5 + 1) = 1,05
x × 1,5 = 1,05
x = 1,05 : 1,5
x = 0,7
Vậy x = 0,7.
Ta có: \[0,2 = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.\]
S = 1 × 2 + 2 × 3 + ... + 99 × 100
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + ..... + 99 × 100 × (101 ‒ 98)
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + .... + 99 × 100 × 101 ‒ 98 × 99 × 100
3S = 99 × 100 × 101 = 999900
S = 999900 : 3 = 333300.
Ta có
\[B = 1 + \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 2} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {1 + 2 + 3} \right) + ... + \frac{1}{x}\left( {1 + 2 + 3 + ... + x} \right)\]
\[ = 1 \cdot \left( {\frac{{1 \cdot 2}}{2}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot 3}}{2}} \right) + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{{3 \cdot 4}}{2}} \right) + ... + \frac{1}{x}\left[ {\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{2}} \right]\]
\[ = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + ... + \frac{{x + 1}}{2}\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {2 + 3 + 4 + ... + \left( {x + 1} \right)} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right]\]
Từ B = 115 ta có:
\[\frac{1}{2}\left[ {\frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{2}} \right] = 115\]
x(x + 3) = 460
Mà x là số nguyên dương, x và x + 3 cách nhau 3 đơn vị, lại có 20.23 = 460.
Vậy x = 20.
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương.
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương.
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương.
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0. Do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= (1 + 9) + (2 + 8) + (7 + 3) + (4 + 6) + 5
= 10 + 10 + 10 + 10 + 5
= 10 × 4 + 5
= 40 + 5
= 45.
Đặt A = 1 + 2 ‒ 3 ‒ 4 + 5 + 6 ‒ 7 ‒ 8 + ... + 2013 + 2014 ‒ 2015 ‒ 2016 + 2017 + 2018.
Tổng A có số các số hạng là:
(2018 ‒ 1) : 1 + 1= 2018 (số hạng).
Ta ghép 4 số hạng vào 1 nhóm được tất cả 504 nhóm và còn thừa 2 số hạng.
A = (1 + 2 ‒ 3 ‒ 4) + (5 + 6 ‒ 7 ‒ 8) + ... + (2013 + 2014 ‒ 2015 ‒ 2016) + (2017 + 2018).
A = (‒4) + (‒4) + ... + (‒4) + 4035.
A = (‒4) × 504 + 4035.
A = (‒2016) + 4035.
A = 2019.
1 ‒ 3 + 5 ‒ 7 + 9 ‒ 11 + ... + 97 ‒ 99 (50 số hạng)
= ‒2 + (‒2) + (‒2) + (‒2) + ... + (‒2) (có 25 số ‒2)
= ‒2.25
= ‒50.
⦁ B = 31 + 32 + 33 + 34 + ... + 32010
= (3 + 32) + (33 + 34) + ..... + (32009 + 22010)
= 3(1 + 3) + 33(1 + 3) + ...... + 32009(1 + 3)
= 3.4 + 33.4 +......+ 32009.4
= 4.(3 + 33 + .... + 32009) chia hết cho 4.
⦁ B = 31 + 32 + 33 + 34 + ... + 32010
= (3 + 32 + 33) + ... + (32008 + 32009 + 32010)
= 3(1 + 3 + 9) + ... + 32008(1 + 3 + 9)
= 3.13 + ... + 32008.13
= 13(3 +...+ 32008) chia hết cho 13.
Vậy B chia hết cho 4 và 13.
a) Chiều dài của cái thùng đó là:
1,5 : (7 ‒ 4) × 7 = 3,5 (m).
Chiều rộng của cái thùng đó là:
3,5 ‒ 1,5 = 2 (m).
Diện tích xung quanh của cái thùng đó là:
(3,5 + 2) × 2 × 1,8 = 19,8 (m2).
Diện tích toàn phần của cái thùng là:
19,8 + (3,5 × 2 × 2) = 33,8 (m2).
b) 33,8 m2 gấp 4 m2 số lần là:
33,8 : 4 = 8,45 (lần).
Số kg sơn để sơn thùng là:
1 × 8,45 = 8,45 (kg).
Đáp số: a) 33,8 m2
b) 8,45 kg sơn.
Ta có: 1 giây = 60 tích tắc.
Phân số chỉ diện tích làm lối đi và trồng cây là:
\[1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\] (diện tích khu đất)
Diện tích làm lối đi và trồng cây là:
\[6,5 \times \frac{1}{5} = 1,3\] (ha)
1,3 ha = 13 000 m2.
Đáp số: 13 000 m2.
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần)
Lớp học đó có số học sinh nữ là:
(35 : 7) × 4 = 20 (học sinh nữ)
Lớp học đó có số học sinh nam là:
35 ‒ 20 = 15 (học sinh nam)
Đáp số: 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam.
Mỗi cái áo mất thời gian may là:
10 : 5 = 2 (giờ)
Trong 8 giờ người đó may được số cái áo là:
8 : 2 = 4 (cái áo)
Trong 3 ngày người đó may số cái áo là:
4 × 3 = 12 (cái áo)
\[\frac{1}{4}\]của 8 là: \[8 \cdot \frac{1}{4} = 2.\]
S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 38 × 39 + 39 × 40
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ... + 38 × 39 × 3 + 39 × 40 × 3
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × (4 ‒ 1) + 3 × 4 × (5 ‒ 2) + ... + 38 × 39× (40 ‒ 37) + 39 × 40 × (41 ‒ 38)
3S = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 ‒ 1 × 2 × 3 + 3 × 4 × 5 ‒ 2 × 3 × 4 + ... + 38 × 39 × 40 ‒ 37 × 38 × 39 + 39 × 40 × 41 ‒ 38 × 39 × 40
3S = 39 × 40 × 41
Suy ra S = (39 × 40 × 41) : 3
Vậy S = 21 320.
Ta có 1 + x + x2 + x3 = y3
Suy ra \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} + {x^3} = {y^3}\]
Do đó y3 > x3.
Xét hiệu:
y3 − (x + 2)3 = x3 + x2 + x + 1 − x3 − 6x2 − 12x − 8
= −5x2 − 11x − 7
\[ = - 5{\left( {x + \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} - \frac{{19}}{{20}} < 0\] với mọi x.
Suy ra y3 < (x + 2)3
Tóm lại x3 < y3 < (x + 2)3
Mà x; y nguyên nên y = x + 1.
Thế vào phương trình ban đầu, ta được:
1 + x + x2 + x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Suy ra 2x2 + 2x = 0
2x(x + 1) = 0
x = 0 hoặc x + 1 = 0
x = 0 hoặc x = ‒1
Với x = 0, suy ra y = 1
Với x = ‒1, suy ra y = 0.
Vậy các nghiệm nguyên cần tìm là: (0; 1); (‒1; 0).
a) Quãng đường s1 = 90km, thời gian t1 = 2h
Tốc độ trên đoạn đường đầu là:
\[{v_1} = \frac{{{s_1}}}{{{t_1}}} = \frac{{90}}{2} = 45\](km/h)
Quãng đường s2 = 30km, thời gian t1 = 0,5h
Tốc độ trên đoạn đường thứ hai là:
\[{v_2} = \frac{{{s_2}}}{{{t_2}}} = \frac{{30}}{{0,5}} = 60\](km/h)
b) Thời gian nghỉ sửa xe là 30 phút = 0,5 giờ
Tổng thời gian là:
T = t1 + t2 + tnghỉ = 2h + 0,5h + 0,5h = 3h
Tổng quãng đường là:
S = s1 + s2 = 90 + 30 = 120 km
Tốc độ trung bình trên cả quãng đường là:
\[{v_{tb}} = \frac{S}{T} = \frac{{120}}{3} = 40\] (km/h)
Vậy tốc độ của ô tô trên đoạn đường đầu là 45km/h, tốc độ trên đoạn đường thứ hai là 60km/h.
Tốc độ trung bình của ô tô trên cả quãng đường là 40km/h.
Ta có: \[1,25 = \frac{{125}}{{100}} = \frac{5}{4}.\]
Vậy 1,25 là số hữu tỉ.
Ta có: \[1,4 = \frac{{140}}{{100}} = 14\% .\]
Quy luật của dãy số là số đằng sau bằng gấp đôi số đằng trước rồi cộng thêm với 3.
1 × 2 + 3 = 5
5 × 2 + 3 = 13
13 × 2 + 3 = 29
29 × 2 + 3 = 61
61 × 2 + 3 = 125
Số tiếp theo là 125.
Ta có: 1 ha = 10 000m2
Nên 1,5 ha = 15 000 m2.
Ta có: 1,2 × 5 = 6.
Đặt A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + 98.99.100
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ... + 98.99.100).4
4A = 1.2.3(4 ‒ 0) + 2.3.4(5 ‒ 1) + 3.4.5(6 ‒ 2) + 4.5.6(7 ‒ 3) + ... + 98.99.100(101 ‒ 97)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 ‒ 1.2.3.4 + 3.4.5.6 ‒ 2.3.4.5 + 4.5.6.7 ‒ 3.4.5.6 + ... + 98.99.100.101 ‒ 97.98.99.100
4A = 1.2.3.4 ‒ 1.2.3.4 + 2.3.4.5 ‒ 2.3.4.5 + 3.4.5.6 ‒ 3.4.5.6 + ... + 97.98.99.100 ‒ 97.98.99.100 + 98.99.100.101
4A = 98.99.100.101
Suy ra A = 98.99.100.101 : 4 = 24 497 550.
1,8(3) viết phân số như sau:
\[1,8\left( 3 \right) = 1,8 + \frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3\]
\[ = \frac{9}{5} + \left( {\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9} \times 3} \right)\]
\[ = \frac{9}{5} + \frac{1}{{30}}\]
\[ = \frac{{54 + 1}}{{30}}\]
\[ = \frac{{55}}{{30}} = \frac{{11}}{6}.\]
Với n ∈ ℕ và n > 1, ta có:
\[\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + \frac{1}{{\sqrt n }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} = n \cdot \frac{1}{{\sqrt n }} = \sqrt n .\]
Ta có:
\[\frac{1}{{2\sqrt 2 }} < \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 1 }}{{2 - 1}} = \sqrt 2 - \sqrt 1 .\]
\[\frac{1}{{2\sqrt 3 }} < \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{3 - 2}} = \sqrt 3 - \sqrt 2 .\]
\[\frac{1}{{2\sqrt 4 }} < \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} = \frac{{\sqrt 4 - \sqrt 3 }}{{4 - 3}} = \sqrt 4 - \sqrt 3 .\]
...
\[\frac{1}{{2\sqrt {100} }} = \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} = \frac{{\sqrt {100} - \sqrt {99} }}{{100 - 99}} = \sqrt {100} - \sqrt {99} .\]
Suy ra \[\frac{A}{2} < \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} = \sqrt {100} - \sqrt 1 = 10 - 1 = 9.\]
Do đó A < 18.
Vậy A < 18.
Đặt \[A = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{{y^2} + 4}} + xy\]\[ = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{y}{2}} \right)}^2}}} + xy\]
Đặt x = a; \[\frac{y}{2} = b\] suy ra \[ab = \frac{{xy}}{2} \ge 1\]
\[A = \frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + 2ab\]
\[A \ge \frac{1}{{ab + {a^2}}} + \frac{1}{{ab + {b^2}}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{a\left( {a + b} \right)}} + \frac{1}{{b\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{{a + b}}{{ab\left( {a + b} \right)}} + 2ab\]
\[ = \frac{1}{{ab}} + 2ab = \frac{1}{{ab}} + ab + ab \ge 2 + 1 = 3\]
(Vì \[\frac{1}{{ab}} + ab \ge 2\] với mọi a.b ≥ 1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.
\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}}\]
\[ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\]
\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) \cdot 2\]
\[ = \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{49}} + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{25}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}\]
Vậy \[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{49 \cdot 50}} = \frac{1}{{26}} + \frac{1}{{27}} + \frac{1}{{28}} + ... + \frac{1}{{50}}.\]
\[2A = \frac{2}{{1 \cdot 3}} - \frac{2}{{3 \cdot 5}} - \frac{2}{{5 \cdot 7}} - ... - \frac{2}{{47 \cdot 49}} - \frac{1}{{49 \cdot 51}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{49}}\]
\[ = 1 - \frac{1}{{49}} = \frac{{48}}{{49}}\]
Suy ra \[A = \frac{{48}}{{49}}:2 = \frac{{24}}{{49}}.\]
\[A = \frac{1}{{1 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{1}{{94 \cdot 97}}\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{{1 \cdot 4}} + \frac{3}{{4 \cdot 7}} + \frac{3}{{7 \cdot 10}} + ... + \frac{3}{{94 \cdot 97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{10}} + ... + \frac{1}{{94}} - \frac{1}{{97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{97}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{{96}}{{97}} = \frac{{32}}{{97}}.\]
Ta có: \[S = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2}}}\]
\[S < \frac{1}{{{3^2} - 1}} + \frac{1}{{{5^2} - 1}} + \frac{1}{{{7^2} - 1}} + ... + \frac{1}{{{{2025}^2} - 1}}\]
\[S < \frac{1}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {3 + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right)}} + ... + \frac{1}{{\left( {2025 - 1} \right)\left( {2025 + 1} \right)}}\]
\[S < \frac{1}{{2 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{2024 \cdot 2026}}\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{2}{{2 \cdot 4}} + \frac{2}{{4 \cdot 6}} + ... + \frac{2}{{2024 \cdot 2026}}} \right)\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2026}}} \right)\]
\[S < \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2026}}} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{{4052}} < 1.\]
Vậy S < 1.
Ta có: \[\frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{{49}}{{99}}\]
Suy ra \[\frac{2}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = 2 \cdot \frac{{49}}{{99}}\]
\[1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2x - 1}} - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]
\[1 - \frac{1}{{2x + 1}} = \frac{{98}}{{99}}\]
\[\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{1}{{99}}\]
2x + 1 = 99
2x = 98
x = 98 : 2
x = 49
Vậy x = 49.
Đặt S = 1 + 2 + ...+ n.
Số số hạng của dãy số trên là: (n ‒ 1) : 1 + 1 = n
Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều ta có tổng trên là:
S = (n + 1) × n : 2.
Áp dụng công thức tính tổng S trên vào biểu thức A ta có:
\[A = \frac{1}{{\left( {2 + 1} \right) \times 2:2}} + \frac{1}{{\left( {3 + 1} \right) \times 3:2}} + ... + \frac{1}{{\left( {2020 + 1} \right) \times 2020:2}}\]
\[ = \frac{1}{{2 \times 3:2}} + \frac{1}{{3 \times 4:2}} + \frac{1}{{4 \times 5:2}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021:2}}\]
\[ = \frac{2}{{2 \times 3}} + \frac{2}{{3 \times 4}} + \frac{2}{{4 \times 5}} + ... + \frac{2}{{2020 \times 2021}}\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + \frac{1}{{4 \times 5}} + ... + \frac{1}{{2020 \times 2021}}} \right)\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]
\[ = 2 \times \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{2021}}} \right)\]
\[ = 1 - \frac{2}{{2021}}\]
\[ = \frac{{2021 - 2}}{{2021}} = \frac{{2019}}{{2021}}.\]
Ta có:
\[\frac{1}{2} + \frac{7}{4} = \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{9}{4}.\]
\[1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2023}}{{2025}}\]
\[\frac{2}{2} + \frac{2}{6} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{4048}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + ... + \frac{1}{{x \cdot \left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[1 - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2024}}{{2025}}\]
\[\frac{1}{{x + 1}} = \frac{1}{{2025}}\]
x + 1 = 2025
x = 2025 ‒ 1
x = 2024
Vậy x = 2024.
Ta có: \[1,47 = \frac{{147}}{{100}} \cdot 100\% = 147\% \].
Ta có:
\[5S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}\]
\[5S - S = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}} \right)\]
\[4S = 1 - \frac{1}{{{5^{100}}}} = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{5^{100}}}}\]
Suy ra \[S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{4 \cdot {5^{100}}}}.\]
Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}};\frac{1}{{{6^2}}} < \frac{1}{{5 \cdot 6}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]
Cộng vế với vế ta được:
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{100}} = \frac{6}{{25}} < \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\left( 1 \right)\]
Ta có: \[\frac{1}{{{5^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}};\frac{1}{{{6^2}}} > \frac{1}{{6 \cdot 7}};...;\frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]
Cộng vế với vế ta được:
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{5 \cdot 6}} + \frac{1}{{6 \cdot 7}} + ... + \frac{1}{{100 \cdot 101}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\]
\[\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{{101}} = \frac{{96}}{{505}} > \frac{{96}}{{576}} = \frac{1}{6}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{1}{6} < \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4}\].
\[\frac{1}{9} \times {27^n} = {3^n}\]
\[\frac{1}{9} = \frac{{{3^n}}}{{{{27}^n}}}\]
\[\frac{1}{9} = {\left( {\frac{3}{{27}}} \right)^n} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n}\]
n = 1
Vậy n = 1.
\[\frac{1}{9} \times {3^4} \times {3^n} = {3^7}\]
\[\frac{1}{9} \times 81 \times {3^n} = {3^7}\]
9 × 3n = 37
32 × 3n = 37
32 + n = 37
2 + n = 7
n = 7 ‒ 2
n = 5
Vậy n = 5.
2SABC = ha.a = ha.b = hc.c
Suy ra \[\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{a}{{2S}} + \frac{b}{{2S}} + \frac{c}{{2S}} = \frac{1}{{2S}}\left( {a + b + c} \right)\]
\[ = \frac{1}{{r\left( {a + b + c} \right)}}\left( {a + b + c} \right)\] (vì 2S = r(a + b + c)).
\[ = \frac{1}{r}.\]
Điều kiện xác định:
x – 1 ≥ 0 và \[\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } \ne 0\]
x ≥ 1 và \[x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1 \ne 0\]
x ≥ 1 và \[{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)^2} \ne 0\](luôn đúng với mọi x ≥ 1)
Vậy x ≥ 1.
Xét \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\] (*)
Giả sử: x ≥ y ≥ z > 0
Suy ra \[\frac{1}{x} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{z}\]
\[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{z} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = \frac{3}{z}\], suy ra z ≤ 3, suy ra z ∈ {1; 2; 3}.
¬ Với z = 1 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\] vô lý vì x, y ∈ ℕ*
¬ Với z = 2 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\]
Ta có \[\frac{1}{2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\], suy ra y ≤ 4, suy ra y ∈ {2; 3; 4} (vì y ≥ z).
⦁ y = 2 suy ra \[\frac{1}{x} = 0\] vô lý (loại);
⦁ y = 3 suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\] hay x = 6;
⦁ y = 4 suy ra \[\frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\] hay x = 4.
¬ Với z = 3 suy ra \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]
Ta có \[\frac{2}{3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{2}{y}\] hay y ≤ 3, suy ra y = 3 (vì y ≥ z), suy ra x = 3.
Vậy (*) có nghiệm (6; 3; 2), (4; 4; 2), (3; 3; 3) và các hoán vị của các bộ 3 trên.
Ta có x, y ∈ ℕ, suy ra \[\frac{1}{x} \le 1,\frac{1}{y} \le 1\]
\[z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le 2\]
¬ z = 2, suy ra x = y = 1.
¬ z = 1, suy ra \[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]
⦁ Nếu x = y, suy ra \[\frac{2}{x} = 1\], suy ra x = y = 2.
⦁ Nếu giả sử x > y, suy ra \[1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} < \frac{2}{y}\] hay y < 2
y = 1, suy ra \[\frac{1}{x} = 0\] (vô lý)
Vậy x = y = 2; z = 1 hoặc x = y = 1, z = 2.
Ta có:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{xy}}\]
\[\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{{xy + 3}}{{3xy}}\]
\[\frac{{3x + 3y}}{{3xy}} = \frac{{xy + 3}}{{3xy}}\]
3x + 3y = xy + 3
(x ‒ 3)(y ‒ 3) = 6
Vì x,y là số tự nhiên nên x ‒ 3 và y ‒ 3 thuộc ước của 6 mà ước của 6 là ±1; ±2; ±3; ±6
Ta có bảng:
|
x ‒ 3 |
‒6 |
‒3 |
‒2 |
‒1 |
1 |
2 |
3 |
6 |
|
y ‒ 3 |
‒1 |
‒2 |
‒3 |
‒6 |
6 |
3 |
2 |
1 |
|
x |
‒3 (loại) |
0 (loại) |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
9 |
|
y |
2 |
1 |
0 (loại) |
‒3 (loại) |
9 |
6 |
5 |
4 |
Vậy có 4 cặp số (x, y) thỏa mãn là: (4; 9), (5; 6), (6; 5), (9; 4).
I = 12 + 42 + 72 +...+ 1002
= 1 + 4.(3 + 1) + 7.(3 + 4) + ... + 100.(3 + 97)
= 1 + 3.4 + 1.4 + 3.7 + 4.7 +...+ 3.100 + 97.100
= 3.(4 + 7 + ... + 100) + (1 + 1.4 + 4.7 + ... + 97.100)
Đặt B = 1.4 + 4.7 + ... + 97.100
9B = 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 ‒ 1) + ... + 97.100.(103 ‒ 94)
= 1.4.7 + 1.4.2 + 4.7.10 ‒ 1.4.7 + ... + 97.100.103 ‒ 94.97.100
= 1.4.2 + 97.100.103
Suy ra B = 111012
Do đó I = 3.(100 + 4).33 : 2 + 111012 = 5148 + 111012 = 116160.
10 người câu được 10 con cá trong 5 phút, suy ra trung bình mỗi người sẽ câu được 1 con cá trong 5 phút và trong 50 phút, mỗi người sẽ câu được:
1 : 5 × 50 = 10 (con cá)
Vì có tất cả 50 người nên số cá câu được là:
10 × 50 = 500 (con cá)
Đáp số: 500 con cá.
Khi nhân 10 với chính nó 20 lần, kết quả sẽ là số 1 theo sau 20 chữ số 0. Điều này xảy ra vì mỗi lần nhân với 10 sẽ thêm một chữ số 0 vào sau số 1.
Vậy: 10²⁰ = 100 000 000 000 000 000 000.
(số này có 21 chữ số, gồm số 1 đứng đầu và 20 số 0 đứng sau).
Nếu n = 0 thì 10n + 8 = 1 + 8 = 9 ⋮ 9.
Nếu n ≥ 1 thì 10n + 8 = 100...0 + 8 (n chữ số 0) = 100...08 (n ‒ 1 chữ số 0) có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + ... + 8 = 9 ⋮ 9.
Vậy 10n + 8 chia hết cho 9
1 ngày = 24 giờ = 24 × 60 phút = 1440 phút
10 ngày = 10 × 1440 phút = 14 400 phút
8 giờ = 8 × 60 phút = 480 phút
Vậy 10 ngày 8 giờ = 14 400 phút + 480 phút = 14 880 phút.
Vì có 10 viên thuốc mà một ngày phải uống 1 hoặc 2 viên thuốc nên ta có ít nhất 4 cách.
Cách 1: uống 10 viên thuốc trong 10 ngày mà 1 ngày uống 1 viên.
Cách 2: uống 10 viên thuốc trong 5 ngày mà 1 ngày uống 2 viên.
Cách 3: uống 10 viên thuốc trong 8 ngày mà cứ một ngày trong các ngày thứ nhất, thứ ba, thứ năm, thứ bảy uống 1 viên là 4 viên, cứ một ngày trong các ngày thứ hai, thứ tư, thứ tám uống 2 viên thì tổng là 6 viên mà 4 + 6 = 10 (viên).
Cách 4: Tương tự cách 3 nhưng trái ngược lại, ngày thứ nhất, thứ ba, thứ năm uống 2 viên là 6 viên còn ngày thứ hai, thứ tư, thứ bảy, thứ tám uống 1 viên là 4 viên thì được 10 viên và cũng trong vòng 8 ngày.
Số số hạng của dãy là:
(100 ‒ 1) : 3 + 1 = 34 (số).
Giá trị của dãy số là:
(100 + 1) . 34 : 2 = 1717
Vậy giá trị của dãy số trên là 1717.
Ta có: 100 × 10 000 = 1 000 000.
Ta có: 100 : 6 = 16,666… ≈ 16,7 (làm tròn số).
1 giờ = 60 phút
1000 phút \[ = \frac{{1000}}{{60}}\] giờ ≈ 16,67 giờ.
Ta có: 1 000 × 100 000 = 100 000 000.
Ta có: 1 000 × 2 000 = 2 000 000.
Ta có: 1 000 × 20 000 = 20 000 000.
10000 ‒ 47 × 72 ‒ 47 × 28
= 10000 ‒ 47 × (72 + 28)
= 100 × 100 ‒ 47 × 100
= 100 × (100 ‒ 47)
= 100 × 53
= 5300.
Ta có: \[\frac{{10000}}{5} = 2000\].
Ta có: \[\frac{{10000}}{{5000}} = 20\].
Ta có: \[\frac{{100000}}{5} = 20000\].
Ta có: \[\frac{{1000000}}{{50000}} = 20\].
Ta có: 10 000 cm2 = 1 m2.
Ta có: 1 000 kg = 1 tấn.
100 ‒ 7(x ‒ 5) = 58
7(x ‒ 5) = 42
x ‒ 5 = 6
x =11
Vậy x = 11.
Năm 1010 là thế kỷ XI.
Diện tích nền nhà là:
8 × 6 = 48 (m2) = 480 000 (cm2).
Diện tích một viên gạch hình vuông là:
40 × 40 = 1 600 (cm2).
Cần số viên gạch là:
480 000 : 1 600 = 300 (viên gạch).
\[\frac{{11 \times {3^{22}} \times {3^7} - {9^{15}}}}{{{{\left( {2 \cdot {3^{14}}} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{11 \times {3^{22}} \times {3^7} - {{\left( {{3^2}} \right)}^{15}}}}{{{{\left( {2 \cdot {3^{14}}} \right)}^2}}}\]
\[ = \frac{{11 \times {3^{29}} - {3^{30}}}}{{2{}^2 \cdot {3^{28}}}}\]
\[ = \frac{{{3^{29}} \cdot \left( {11 - 3} \right)}}{{2{}^2 \cdot {3^{28}}}}\]
\[ = \frac{{3 \cdot 8}}{4} = 6\].
\[\frac{{11}}{{15}} - \left( {\frac{7}{9} + x} \right) \cdot \frac{3}{8} = \frac{{61}}{{90}} + \frac{x}{3}\]
\[\frac{{11}}{{15}} - \frac{7}{{24}} - \frac{{3x}}{8} - \frac{{61}}{{90}} - \frac{x}{3} = 0\]
\[\frac{{ - 17}}{{72}} - \left( {\frac{{3x}}{8} + \frac{x}{3}} \right) = 0\]
\[\frac{{17}}{{24}}x = - \frac{{17}}{{72}}\]
\[x = - \frac{1}{3}\]
Vậy \[x = - \frac{1}{3}\]
\[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{100}}} \right)\]
\[ = \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right) - \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{50}}} \right)\]
\[ = \frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}\]
Ta có \(\frac{1}{{51}} > \frac{1}{{100}};\,\,\frac{1}{{52}} > \frac{1}{{100}};\,\,...;\,\,\frac{1}{{99}} > \frac{1}{{100}}.\)
Do đó \[\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}} > \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} + ... + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} = \frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}.\]
Vậy \[\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} > \frac{1}{2}.\]
Ta có: 111 : 3 = 37.
Ta có: 123.33 = (12.3)3 = 363.
Năm 1200 thuộc thế kỉ XII.
Ta có: \[\frac{{1200}}{8} = 150.\]
Ta có \[\frac{{121}}{{111}}\] là phân số tối giản.
Trọng lượng của mỗi bao là:
1260 : 28 = 45 (kg).
Só bao cẩn có để chứa 1665 kg lúa là:
1665 : 45 = 37 (bao).
Ta có: 127 500 cm2 = 12,75 m2.
128 ‒ [68 + 8(37 ‒ 35)2] : 4
128 ‒ [68 + 8(37 ‒ 35)2 ] : 4
= 128 ‒ [68 + 8.22 ] : 4
= 128 ‒ [68 + 32] : 4
= 128 ‒ 100 : 4
= 128 ‒ 25
= 103.
12 m 15 dm = 12 m + 1,5 m = 13,5 m.
12 m 15 dm = 120 dm + 15 dm = 135 dm.
13 ‒ 2(x + 3) = 27
2(x + 3) = 13 ‒ 27
2(x + 3) = ‒14
x + 3 = ‒14 : 2
x + 3 = ‒7
x = ‒7 ‒ 3
x = ‒10
Vậy x = ‒10.
133 : 7 + 154 : 7 + 413 : 7
= (133 + 154 + 413) : 7
= 700 : 7
= 100.
Ta có: 134,65 cm2 = 0,0013465 m2.
Ta có: 135 × 45 = 6075.
1 giờ = 60 phút
135 phút \[ = \frac{{135}}{{60}}\] giờ = 2,25 giờ.
25% của 135 là:
135 × 25 : 100 = 33,75.
Ta có: 13 hm2 24 dam2 = 1 324 dam2.
143 × 25 + 25 × 35 + 75 × 39 + 75 × 139
= [25 × (143 + 35)] + [75 × (39 + 139)]
= 25 × 178 + 75 × 178
= (25 + 75) × 178
= 100 × 178
= 17 800.
Ta có: 144 : 3 = 48.
Ta có: 15 dm2 = 1500 cm2.
Ta có: 15 × 15 = 225.
\[3x - \frac{{15}}{{5 \cdot 8}} - \frac{{15}}{{8 \cdot 11}} - \frac{{15}}{{11 \cdot 4}} - ... - \frac{{15}}{{47 \cdot 50}} = 2\frac{1}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{3}{{5 \cdot 8}} + \frac{3}{{8 \cdot 11}} + \frac{3}{{11 \cdot 14}} + ... + \frac{3}{{47 \cdot 50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{14}} + ... + \frac{1}{{47}} - \frac{1}{{50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{50}}} \right) = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - 5 \cdot \frac{9}{{50}} = \frac{{21}}{{10}}\]
\[3x - \frac{9}{{10}} = \frac{{21}}{{10}}\]
3x = 3
x = 1
Vậy x = 1.
Ta có: 150 : 2 = 75.
30% của 150 là:
150 × 30 : 100 = 45.
Các trang từ 1 đến 9 có 9 trang. Mỗi trang viết 1 chữ số.
Các trang từ 10 đến 99 có 90 trang. Mỗi trang viết 2 chữ số.
Các trang từ 100 đến 999 có 900 trang. Mỗi trang viết 3 chữ số.
Các trang từ 1000 đến 1500 có :
(1500 ‒ 1000) + 1 = 501 (trang)
Mỗi trang viết 4 chữ số.
Vậy phải viết tất cả là:
9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 + 501 × 4 = 4893 (chữ số).
Đáp số: 4893 chữ số.
Ta có: 3 tạ 2kg + 1500 dag = 302 kg + 15 kg = 317 kg.
Ta có: 156 cm = 1,56 m.
Ta có: 15 m 3 cm = 15 m + 0,03 m = 15,03 m.
Chỗ chấm điền số 15,03.
Ta có:
15x ‒ 30y + 20z
= 5(3x ‒ 6y + 4z).
Ta có: 16 × 5 = 80.
(17x ‒ 25) : 8 + 65 = 92
(17x − 25) : 8 = 81 − 65
(17x − 25) : 8 = 16
17x − 25 = 16 × 8
17x − 25 = 128
17x = 128 + 25
17x = 153
x = 153 : 17
x = 9
Vậy x = 9.
Ta có: \[\frac{{17}}{8} = \frac{{17 \cdot 125}}{{8 \cdot 125}} = \frac{{2125}}{{1000}} = 2,125.\]
Vì phân số được viết dựa trên phép chia
170 : 3 = 56 (dư 2).
Phép chia 170 : 3 đã được chuyển thành \[\frac{{170}}{3}\].
Ta có: 1700 : 100 = 17.
18 giờ trong hệ 24 giờ là 6 giờ trong hệ 12 giờ.
Ta có:
\[\frac{{18}}{{45}} = 0,4\]
\[\frac{{15}}{{60}} = 0,25\]
\[\frac{{49}}{{56}} = 0,875\]
Điều kiện: x > 0.
\[18{x^2} - 15x + \frac{2}{x} = \frac{5}{{\sqrt x }} + 12\left( {1 - \sqrt x } \right)\]
\[36{x^2} - 30x + \frac{4}{x} = \frac{{10}}{{\sqrt x }} + 24\left( {1 - \sqrt x } \right)\]
\({\left( {6x} \right)^2} + 2 \cdot 6x \cdot \frac{2}{{\sqrt x }} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)
\({\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} - 5\left( {6x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right) - 24 = 0\)
Đặt \(t = 6x + \frac{2}{{\sqrt x }}\,\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trên trở thành:
\({t^2} - 5t - 24 = 0\)
\({t^2} - 8t + 3t - 24 = 0\)
\(t\left( {t - 8} \right) + 3\left( {t - 8} \right) = 0\)
\(\left( {t - 8} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\)
\(t - 8 = 0\) hoặc \(t + 3 = 0\)
\(t = 8\) (thỏa mãn). hoặc \(t = - 3\) (loại).
Với \(t = 8\) ta có \(6x + \frac{2}{{\sqrt x }} = 8,\) suy ra \(6x\sqrt x - 8\sqrt x + 2 = 0.\)
\(6x\sqrt x - 6\sqrt x - 2\sqrt x + 2 = 0\)
\(6\sqrt x \left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\)
\(6\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2\left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\)
\(\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x - 2} \right) = 0\)
\(\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {6x + 6\sqrt x - 2} \right) = 0\)
\(\sqrt x - 1 = 0\) hoặc \(6x + 6\sqrt x - 2 = 0\)
\(\sqrt x = 1\) hoặc \(\sqrt x = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{6}\) hoặc \(\sqrt x = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{6}\) (loại).
\(x = 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = \frac{{5 - \sqrt {21} }}{6}.\)
19.63 + 36.19 + 19
= 19.(63 + 36 + 1)
= 19.100 = 1900.Ta có: 195 × 2 = 370.
B = 1983 ‒ x2 ‒ 3y2 + 2xy ‒ 10x + 14y
= [‒(x ‒ y)2 ‒ 10(x ‒ y) ‒ 25] ‒ 2(y ‒ 1)2 + 2010
= ‒[(x ‒ y) + 5]2 ‒ 2(y ‒ 1)2 + 2010
Ta có: 1 cm3 = 0,000001 m3.
Đổi 1GB = 1024MB
Cứ 4MB = 1 cuốn thì MB = 256 cuốn
Ta có : 10 phút \[ = \frac{{10}}{{60}}\] giờ \[ = \frac{1}{6}\]giờ
1 giờ 10 phút = 1 giờ + \[\frac{1}{6}\] giờ \[ = \frac{7}{6}\] giờ
Vậy 1 giờ 10 phút \[ = \frac{7}{6}\] giờ.
1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + 7 × 8 + 9 × 10 + 11 × 12 + 13 × 14 + 15 × 16
= 1 × 2 + 3 × 2 × 2 + 5 × 3 × 2 + 7 × 4 × 2 + 9 × 5 × 2 + 11 × 6 × 2 + 13 × 7 × 2 + 15 × 8 × 2
=1 × 2 + 6 × 2 + 15 × 2 + 28 × 2 + 45 × 2 + 66 × 2 + 91 × 2 + 120 × 2
= 2 × (1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120)
= 2 × 370
= 740.
Ta có: 2 : 0 không tính được vì số bị chia phải khác 0.
Ta có B = 2 + 22 + 23 + ... + 2n.
Suy ra 2B = 22 + 23 + 24 + … + 2n+1
Do đó 2B – B = (22 + 23 + 24 + … + 2n+1) – (2 + 22 + 23 + ... + 2n)
Nên B = 2n+1 – 2.
1 tấn = 1000 kg
Vậy 2,3 tấn = 2300 kg.
Hai điểm phân biệt là 2 điểm không trùng nhau.
Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 90°.
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm A và B tạo thành 4 góc đỉnh A và 4 góc đỉnh B được đánh số như trên hình vẽ:
Mỗi cặp góc: A3 và B1; A4 và B2 là hai góc so le trong.
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại hai điểm A và B tạo thành 4 góc đỉnh A và 4 góc đỉnh B được đánh số như trên hình vẽ:
Mỗi cặp góc: A3 và B2; A4 và B1 là hai góc trong cùng phía.
Mỗi cặp góc A1 và B4; A2 và B3 là hai góc ngoài cùng phía.
Ta có: 23 = 2.2.2 = 8.
Ta có: 210 = 1024.
Ta có: 2100 = (210)10 = 102410.
Ta có: 220 = (22)10 = 410.
Ta có: 23 = 2.2.2 = 8.
24.43 = 24.(22)3 = 24.26 = 210.
2n ‒ 2 × 3n ‒ 2 = 36
(2 × 3)n−2 = 36
6n ‒2 = 36
6n ‒2 = 62
n ‒ 2 = 2
n = 4
Vậy n = 4.
2x . 25 = 32
2x . 25 = 25
2x = 1
2x = 20
x = 0
Vậy x = 0.
\[\frac{{{2^x}}}{{16}} = 2\]
2x : 16 = 2
2x = 2.16
2x = 32
2x = 25
x = 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5.
2x = 2
2x = 21
x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
Trong 1 giờ hai người cùng làm được \[\frac{1}{3}\]công việc
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \[\frac{1}{5}\] công việc
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: \[\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{{15}}\] công việc.
Người thứ hai làm 1 mình thì sẽ xong công việc trong:
\[1:\frac{2}{{15}} = 7,5\]giờ = 7 giờ 30 phút.
Xét phương trình \[2{x^2} + 2x + 1 = \left( {2x + 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} - 1} \right)\] (*)
Đặt \[t = \sqrt {{x^2} + x + 2} \] (t > 1).
Suy ra x2 = t2 ‒ x ‒ 2, thay vào phương trình (*) ta có:
x2 + 2x + 1 + t2 ‒ x ‒ 2 = (2x + 3)(t ‒ 1)
t2 – (2x + 3)(t ‒ 1) + x2 + x – 1 = 0
t2 – (2x + 3)t + x2 + 3x + 2 = 0
t2 ‒ (2x + 3)t + (x + 1)(x + 2) = 0
t = x + 1 hoặc t = x + 2
⦁ Với t = x + 1 ta có:
\[\sqrt {{x^2} + x + 2} = x + 1\]
x ≥ ‒1 và x2 + x + 2 = (x + 1)2
x ≥ ‒1 và x2 + x + 2 = x2 + 2x + 1
x ≥ ‒1 và x = 1
x = 1
⦁ Với t = x + 1 ta có phương trình:
\[\sqrt {{x^2} + x + 2} = x + 2\]
x ≥ ‒2 và x2 + x + 2 = (x + 2)2
x ≥ ‒2 và x2 + x + 2 = x2 + 4x + 4
x ≥ ‒2 và 3x = ‒2
\[x = - \frac{2}{3}\]
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, \[x = - \frac{2}{3}\].
2(x + 1)2 ‒ (x ‒ 3)(x + 3) ‒ (x ‒ 4)2 = 0
2.(x2 + 2x + 1) ‒ (x2 ‒ 9) ‒ (x2 ‒ 8x + 16) = 0
2x2 + 4x + 2 ‒ x2 + 9 ‒ x2 + 8x ‒ 16 = 0
12x ‒ 5 = 0
12x = 0 + 5
12x = 5
X = 5:12
\[x = \frac{5}{{12}}\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x = \frac{5}{{12}}\].
Ta có 2(x ‒ 3) = 2x – 6 chia hết cho 2(x ‒ 1) = 2x – 2.
Do đó 2x – 2 ‒ 4 chia hết cho 2x – 2.
Suy ra ‒4 chia hết cho 2x – 2.
Nên 2x – 2 là ước của ‒4
Mà 2x – 2 là số chẵn và Ư(–4) = {1; –1; 2; –2; 4; –4}.
Suy ra 2x – 2 ∈ {2; –2; 4; –4}.
Ta có bảng sau:
|
2x – 2 |
2 |
–2 |
4 |
–4 |
|
x |
4 |
0 |
6 |
–2 |
Mà x là số tự nhiên nên ta có x ∈ {0; 4; 6}.
Vậy x ∈ {0; 4; 6} thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta có:
2(x – 3) ⋮ x − 1
2(x − 1) − 5 ⋮ x − 1
Suy ra −5 ⋮ x − 1 hay x − 1 ∈ Ư(−5) = {1; −1; 5; −5}.
Ta có bảng giá trị:
|
x ‒ 1 |
‒5 |
‒1 |
1 |
5 |
|
x |
‒4 |
0 |
2 |
6 |
Vậy x ∈ {‒4; 0; 2; 6}.
Số hạng thứ nhất (n = 1) là 2: u1 = 2 × 12 = 2;
Số hạng thứ hai (n = 2) là 8: u2 = 2 × 22 = 8;
Số hạng thứ ba (n = 2) là 18: u3 = 2 × 32 = 18;
...........................
Dạng tổng quát: un = 2 × n2 (với n là số hạng đứng thứ n).
2.3x ‒ 5 = 72
2.3x = 49 + 5
2.3x = 54
3x = 54 : 2
3x = 27
3x = 33
x = 3
Vậy x = 3.
\[A = \frac{2}{{3 \times 5}} + \frac{2}{{5 \times 7}} + \frac{2}{{7 \times 9}} + ... + \frac{2}{{97 \times 99}}\]
\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{97}} - \frac{1}{{99}}\]
\[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{{99}}\]
\[ = \frac{{32}}{{99}}.\]
\[\frac{2}{5}\] của 100 m là:
\[\frac{2}{5} \cdot 100 = 40{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]
Ta có: \[\frac{2}{{ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{1}{{2ab}} + \frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}}\]
Áp dụng bất đẳng thức: Với x, y > 0 ta có \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\], ta có:
\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{2ab + {a^2} + {b^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = 4\]
Suy ra \[\frac{3}{{2ab}} + \frac{3}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 3 \cdot 4 = 12\] (1)
Ta lại có: 12 = (a + b)2 ≥ 4ab. Suy ra \[\frac{1}{2} \ge 2ab\] hay \[\frac{1}{{2ab}} \ge 2\] (2)
Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm.
\[\frac{{{2^{10}} \cdot {3^{10}} - {2^{10}} \cdot {3^9}}}{{{2^9} \cdot {3^{10}}}}\]
\[ = \frac{{{2^{10}} \cdot {3^9}\left( {3 - 1} \right)}}{{{2^9} \cdot {3^{10}}}}\]
\[ = \frac{{2 \cdot 2}}{3} = \frac{4}{3}\]
Ta có S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 264.
Suy ra 2S = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 265.
2S – S = (2 + 22 + 23 + 24 + ... + 265) ‒ (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 264) = 265 ‒ 1.
Vậy S = 265 ‒ 1.
26n = 82n ≡ 1(mod7)
Suy ra 26n = 7k + 1
26n + 2 = 4(7k + 1) = 28k + 24
C = 228k + 4 + 13
Mặt khác theo định lý Fermat nhỏ:
(2; 29) = 1, Suy ra 228 − 1 ⋮ 29, suy ra 228 ≡ 1 (mod29)
228k ≡ 1(mod29) suy ra 228k + 4 = 16.228k ≡ 16(mod29)
228k + 4 + 13 ⋮ 29
Hay C ⋮ 29, suy ra C là hợp số.
Ta có: 23 ≡ 1 (mod7) nên (23)n ≡ 1 (mod7).
Suy ra 23n + 1 = 2.(23)n ≡ 2 (mod7) và 23n ‒ 1 = 22.(23)n-1 ≡ 4 (mod7)
Do đó A = 23n + 1 + 23n ‒ 1 + 1 = 2 + 4 + 1 (mod7) ≡ 0 (mod7) nên A ⋮ 7.
Mà n ∈ ℕ* nên A > 7.
Vậy 23n + 1 + 23n ‒ 1 + 1 là hợp số.
Ta có: \[{2^{999}} = {2^{19}} \cdot {\left( {{2^{20}}} \right)^{49}} = \left( {\overline {...88} } \right) \cdot \left( {\overline {...76} } \right) = \overline {...88} \]
Vậy 2 chữ số tận cùng của 2999 là 88.
Từ giả thiết suy ra p là số nguyên tố lẻ.
Theo Định lí Fermat nhỏ thì 2p − 2 chia hết cho p.
Kết hợp với giả thiết, ta suy ra
3 = (2p + 1) − (2p −2) chia hết cho p.
Suy ra p = 3.
Ta có: 20 × 15 = 300.
20,19 : 0,5 + 20,19 : 0,25 + 20,19 × 4
= 20,19 : [0,5 + 0,25] + 80,76
= 20,19 : 0,75 + 80,76
= 26,92 + 80,76
= 107,68.
200 ‒ (2x + 6) = 64
2x + 6 = 200 – 64
2x + 6 = 136
x + 6 = 136 : 2
x + 6 = 68
x = 68 ‒ 6
x = 62
Vậy x = 62.
2000 : 600 = 3,333...
\[1 - \frac{{2018}}{{2019}} = \frac{1}{{2019}}\]
\[1 - \frac{{2019}}{{2020}} = \frac{1}{{2020}}\]
Ta có 2019 < 2020, suy ra \[\frac{1}{{2019}} > \frac{1}{{2020}}\]
Suy ra \[ - \frac{1}{{2019}} < - \frac{1}{{2020}}\]
Suy ra \[1 - \frac{1}{{2019}} < 1 - \frac{1}{{2020}}\]
Vậy \[\frac{{2018}}{{2019}} < \frac{{2019}}{{2020}}\].
2016z + 2017y = 2018x
Trường hợp 1: Nếu z = 0 thì 20160 + 2017y = 2018x
Hay 1 + 2017y = 2018x suy ra y = 1; x = 1.
Trường hợp 2: Nếu y = 0 thì 2016z + 20170 = 2018x
Hay 2016z + 1 = 2018x
Vế trái là số lẻ khi x ≥ 1
Vế phải là số chẵn khi x ≥ 1
Suy ra TH2 bị loại.
Trường hợp 3: Nếu x, y, z ≠ 0
2016z + 2017y là số lẻ
2018x là số chẵn
Suy ra TH3 bị loại
Vậy z = 0; y = 1; x = 1.
Ta có: 20212022 : 20212021 = 20212022 ‒ 2021 = 20211 = 2021.
2023 + 2022 + 2021 + 2020 + ... + x = 2023
2022 + 2021 + .... + x = 2023 ‒ 2023
2022 + 2021 + ... + x = 0
Ta có: 208 : 6 = 34 dư 4.
20p3 = 1 + q3
20p3 ‒ q3 = 1
Nếu p = 0, thì q3 = ‒1 nên q = ‒1
Vậy (0, ‒1) là một cặp nghiệm.
Tiếp tục thử nghiệm các giá trị khác của p, không có giá trị của p, q thỏa mãn.
Vậy cặp số nguyên (p, q) thỏa mãn phương trình (0, ‒1).
Ta có: 210 + 12 = 222.
213 : 6 = 35 dư 3.
Ta có: 21 × 7 = 147.
220 − [32.33 − (12 − 70)2]
= 220 − [35 − 112]
= 220 − [243 − 121]
= 220 − 122 = 98.
120% giá vốn là:
8 000 000 . 120% = 9 600 000 (đồng)
a) Số tiền thu được khi bán 80 chiếc máy giặt với giá bằng 120% giá vốn:
9 600 000 . 80 = 768 000 000 (đồng)
b) Số máy giặt còn lại:
120 – 80 = 40 (máy)
Giá mỗi máy bán lúc sau:
9 600 000 . 60% = 5 760 000 (đồng)
Số tiền bán 40 máy giặt lúc sau:
5 760 000 . 40 = 230 400 000 (đồng)
Tổng số tiền thu được sau khi bán hết máy giặt:
768 000 000 + 230 400 000 = 998 400 000 (đồng)
Số tiền vốn mua 120 máy giặt:
8 000 000 . 120 = 960 000 000 (đồng)
Do 998 400 000 > 960 000 000 nên cửa hàng lãi số tiền là:
998 400 000 – 960 000 000 = 38 400 000 (đồng)
Số phần trăm tiền lãi so với vốn:
38 400 000 . 100% : 960 000 000 = 4%.
5.
3.
4.
6.
Đáp án đúng là: C
Gọi số cạnh của đa giác đó là n (n ∈ ℕ*).
Số đo các cạnh của đa giác lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3 cm, chu vi của đa giác là 158 cm nên Sn = 158.
Cạnh lớn nhất là 44 cm ⇒ un = 44 ⇒ u1 + (n – 1).3 = 44 ⇒ u1 = 47 – 3n
⇒ \[{S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\]
⇔ \(158 = \frac{{n\left( {47 - 3n + 44} \right)}}{2}\)
⇔ 316 = 91n – 3n2
Suy ra: n = 4 vì n ∈ ℕ*
Vậy đa giác đó có 4 cạnh.
Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh?
Trong hình vẽ trên, quy ước:
Cặp thỏ nhỏ là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
Cặp thỏ to hơn là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Quan sát hình vẽ trên ta thấy:
Tháng giêng và tháng hai: Chỉ có 1 cặp thỏ.
Tháng Ba: Cặp thỏ này sẽ đẻ ra một cặp thỏ con, do đó trong tháng này có 2 cặp thỏ.
Tháng Tư: Chỉ có cặp thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 cặp thỏ.
Tháng Năm: Có hai cặp thỏ (cặp thỏ đầu và cặp thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 cặp thỏ.
Tháng Sáu: Có ba cặp thỏ (2 cặp thỏ đầu và cặp thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 cặp thỏ.
…
Quá trình này có thể được khái quát như sau:
Nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số cặp thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Với n = 1 ta được f(1) = 1.
Với n = 2 ta được f(2) = 1.
Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 3 ta được: f(n) = f(n - 1) + f(n – 2).
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các cặp thỏ sinh ra ở tháng n - 1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này cặp thỏ tháng thứ n–2 sinh ra một cặp thỏ con nên số cặp thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n – 2).
Sau khi chuyển đi số người còn lại là:
150 – 25 = 125 (người)
Số gạo dự trữ đủ cho số ngày ăn là:
150 : 125 . 25 = 30 (ngày)
Đáp số: 30 ngày.
Phần diện tích giảm đi khi thu hẹp hình bình hành ABCD thành hình bình hành AEGD chính là diện tích hình bình hành EBCG và bằng 665cm2
Chiều cao của hình bình hành EBCG hay ABCD là:
665 : 19 = 35 (cm)
Diện tích hình bình hành ABCD là:
71 . 35 = 2485 (cm2)
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 2485 cm2.
a) Nửa chu vi hình chữ nhật là: 160 : 2 = 80 (m).
Nếu cắt chiều dài đi 8m và kéo chiều rộng thêm 8m thì nửa chu vi hình vuông là:
80 – 8 + 8 = 80 (m)
Vì nửa chu vi hình chữ nhật bằng nửa chu vi hình vuông bằng nhau nên chu vi của chúng cũng bằng nhau.
Vậy chu vi hình chữ nhật và chu vi hình vuông bằng nhau.
b) Diện tích hình vuông là: (80 : 2) . (80 : 2) = 1600 (m2)
Chiều dài hình chữ nhật là: (80 + 8 + 8) : 2 = 48 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là: 80 – 48 = 32 (m)
Diện tích hình chữ nhật là: 48 . 32 = 1536 (m2)
Vì 1600m2 > 1536m2 nên diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật.
Tổng độ dài 2 đáy là:
207 . 2 : 9 = 46 (cm)
Đáy lớn hình thang là:
(46 + 10) : 2 = 28 (cm)
Đáy bé là:
46 – 28 = 18 (cm).
Trồng 600m2 đậu, 200m2 cà.
Trồng 500m2 đậu, 300m2 cà.
Trồng 300m2 đậu, 500m2 cà.
Trồng 200m2 đậu, 600m2 cà.
Đáp án đúng là: A
Gọi x là diện tích trồng đậu, y là diện tích để trồng cà (0 ≤ x ≤ 800, 0 ≤ y ≤ 800)
Vì số công nhân không quá 180 người
⇒ 20x + 30y ≤ 180 hay 2x + 3y ≤ 18
Diện tích trồng đậu, cà chỉ là 800m2
⇒ 100x + 100y ≤ 800 hay x + y ≤ 8
Biểu thức F(x; y) cho số tiền lãi được là 3x + 4y
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 800\\0 \le y \le 800\\2x + 3y \le 18\\x + y \le 8\end{array} \right.\)
Miền nghiệm là miền tam giác với các điểm O(0; 0), C(0; 6), B(6; 2), A(8; 0).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác không bị gạch chéo trong hình vẽ (kể cả biên).
Ta cần tìm x và y sao cho 3x + 4y lớn nhất
Khi đó:
F(0; 0) = 3.0 + 4.0 = 0
F(0; 6) = 3.0 + 4.6 = 24
F(6; 2) = 3.6 + 4.2 = 26
F(8; 0) = 3.8 + 4.0 = 24
Vì F(6; 2) = 26 ⇒ max F(x; y) = 26 khi x = 6 và y = 2
Tức là phải trồng 600m2 đậu, 200m2 cà.
0,83%.
8,3%.
0,38%.
3,8%.
Sai số tỉ đối của phép đo là:
\[\varepsilon = \frac{1}{{120}}.100 = 0,83\% \]
Đáp án đúng là: A
Thể tích hình lập phương là:
25 . 25 . 25 = 15625 (cm3)
Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m).
Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng, nên chiều dài là 2x (m).
Khu vườn có 3 cạnh cần rào, gồm:
+) 2 cạnh chiều rộng (x + x)
+) 1 cạnh chiều dài (2x)
Tổng chiều dài hàng rào là 24m, nên ta có phương trình:
x + x + 2x = 24
4x = 24
x = 6
a) Chiều rộng khu vườn là: 6m
Chiều dài khu vườn là: 6.2 = 12 (m)
b) Diện tích khu vườn là:
12 . 6 = 72 (m2).
Để tìm số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông (A), ta sẽ tính số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ liên quan đến Cầu lông và loại bỏ những học sinh này từ tập hợp A.
Số học sinh tham gia cả Câu lạc bộ Cầu lông và Tình nguyện (A ∩ B): Có 3 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ này.
Số học sinh tham gia cả Câu lạc bộ Cầu lông và Sách (A ∩ C): Có 3 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ này.
Số học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông:
Số học sinh chỉ tham gia Cầu lôngSố học sinh chỉ tham gia Cầu lông
= |A| − |A ∩ B| − |A ∩ C| = 9 − 3 − 3 = 3 = 3
Vậy có 3 học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ Cầu lông.
Nửa chu vi mảnh vườn là:
144 : 2 = 72 (m)
Chiều rộng mảnh vườn là:
72 : (3 + 5) . 3 = 27 (m)
Chiều dài mảnh vườn là:
72 – 27 = 45 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
45 . 27 = 1215 (m2)
Cạnh mảnh đất hình vuông là 9 m vì 9 . 9 = 81.
Chu vi mảnh đất là:
9.4 = 36 (m).
Chiều rộng mảnh vườn là:
20 : 2 = 10 (m)
Diện tích lối đi là:
1 . 20 = 20 (m2)
Diện tích mảnh vườn là:
20 . 10 = 200 (m2)
Diện tích đất trồng cây là:
200 – 20 = 180 (m2)
Đáp số: 180 m2
Hiệu số phần bằng nhau là:
3 – 2 = 1 (phần)
Chiều dài hình chữ nhật là:
9 : 1 . 3 = 27 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
9 : 1 . 2 = 18 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
27 . 18 = 486 (m2)
Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là:
35 . 2 = 70 (m)
Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:
70 . 35 = 2450 (m2)
Chu vi hình vuông là:
8,5 . 4 = 34 (m)
Diện tích hình vuông là:
8,5 . 8,5 = 72,25 (m2)
a) Diện tích mảnh vườn là:
8,5 . 8,5 = 72,25 (m2)
b) Lối đi được xây dọc theo một cạnh của mảnh vườn và có chiều rộng 1,5m.
Lối đi có hình chữ nhật, với:
Chiều dài = 8,5m (bằng cạnh của vườn)
Chiều rộng = 1,5m
Diện tích lối đi là:
8,5 . 1,5 = 12,75 (m2)
Đổi: 30 phút = \(\frac{1}{2}\) giờ; 20 phút = \(\frac{1}{3}\)giờ
Thời gian người đó dự định đi là :
t1 = 10 – \(\frac{1}{2}\) − 5,5 = 4 (h)
Quãng đường người đó đi là:
s1 = v1 . t1 = 15 . 4 = 60 (km)
Thời gian đi nửa quãng đường còn lại:
\({t_2} = \frac{{{s_1}}}{{2{v_1}}} = \frac{{60}}{{2.15}} = 2\left( h \right)\)
Thời gian người đó đi đúng theo dự định là:
\({t_3} = {t_2} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\left( h \right)\)
Vận tốc trên quãng đường còn lại người đó phải đi để đến đích đúng dự định là :
\({v_2} = \frac{{{s_1}}}{{{t_3}}} = \frac{{60}}{{\frac{5}{3}}} = 36\left( {km/h} \right)\).
Tổng lương trong 6 tháng đầu tiên (chưa tăng lương):
S1 = 6 × 6 = 36 (triệu)
Tổng lương trong 6 tháng tiếp theo (sau khi tăng 5%):
S2 = (6 × 1.05) × 6 = 37,8 (triệu)
Đổi 10 năm = 120 tháng = 20 lần . 6 tháng
Suy ra: tổng số lương người đó nhận được sau mười năm đi làm là:
\(36.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^{20}}}}{{1 + \left( {1 + 5\% } \right)}} = 1190,4\)(triệu).
Quãng đường đi được là:
6 km (Đông) + 3 km (Bắc) + 3 km (Tây) = 12 km.
Phân số chỉ 60 km còn lại là:
\(1 - \frac{3}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{{21}}\)(quãng đường)
Độ dài quãng đường đó là:
\(60:\frac{5}{{21}} = 252\left( {km} \right) = 252000\left( m \right)\).
Gọi x là số lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng. Giá thuê mỗi căn hộ sẽ là 7.000.000 + 100.000x (đồng)
Số căn hộ cho thuê sẽ là 80 - x (căn hộ)
Doanh thu R(x) sẽ là tích của giá thuê mỗi căn hộ và số căn hộ cho thuê:
R(x) = (7.000.000 + 100.000x)(80 - x)
Để tìm giá trị x làm cho doanh thu lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm số R(x). Ta có thể khai triển biểu thức R(x) và tìm đạo hàm:
R(x) = 560.000.000 + 8.000.000x - 7.000.000x - 100.000x²
= -100.000x² + 1.000.000x + 560.000.000
R'(x) = -200.000x + 1.000.000
Xét R'(x) = 0 ⇔ -200.000x + 1.000.000 = 0 ⇔ x = 5
Giá thuê mỗi căn hộ để doanh thu lớn nhất là:
7.000.000 + 100.000 * 5 = 7.500.000 (đồng)
Vậy với giá thuê 7.500.000 đồng để doanh thu lớn nhất.
Ta có: 125 lít = 125dm3
Cạnh của thùng hình lập phương đó là:
\(\sqrt[3]{{125}} = 5\left( {dm} \right)\)
Đáp số: 5dm.
Trong 2 giờ đầu, ô tô đi được:
\(\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{{13}}{{20}}\)(quãng đường)
Phân số chỉ 28km là:
\(1 - \frac{{13}}{{20}} = \frac{7}{{20}}\)(quãng đường)
Quãng đường đó dài số km là:
\(28:\frac{7}{{20}} = 80\left( {km} \right)\)
Gọi x là số lần tăng giá 10.000 đồng.
Giá thuê mới:
P(x) = 200.000 + 10.000x
Số tủ có người thuê:
N(x) = 150 − 5x
Doanh thu mỗi ngày:
R(x) = P(x) × N(x)
= (200.000 + 10.000x) × (150−5x)
= 30.000.000 + 500.000x – 50.000x2
Doanh thu được biểu diễn dưới dạng R(x) là một hàm số bậc hai, có hệ số
a = -50.000 nên parabol có đỉnh là điểm cực đại, ứng với mức doanh thu lớn nhất.
Cực đại của R(x) đạt tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 500.000}}{{2.\left( { - 50.000} \right)}} = 5\)
Số lần tăng giá 10.000 đồng tối ưu là x = 5, tức mức giá mới là:
200.000 + 10.000 × 5 = 250.000 (đồng)
Vậy với mức giá mới 250.000 đồng thì doanh thu mỗi ngày là lớn nhất.
Gọi chiều dài sân trường là x (m) (x > 16)
Thì chiều rộng sân trường là x – 16 (m)
Theo bài ra ta có:
2x + 28 = 5(x – 16)
2x + 28 = 5x – 80
3x = 108
x = 108 : 3
x = 36
Vậy chiều dài sân trường là 36m
Chiều rộng sân trường là:
36 – 16 = 20 (m)
15.
16.
17.
18
Đáp án đúng là B
Vì 16 = 42 = 24
Người ta cắt bớt chiều dài tấm bìa đi 3cm thì tấm bìa còn lại thành hình vuông tức là chiều dài hơn chiều rộng 3cm
Nửa chu vi tấm bìa là:
38 : 2 = 19 (cm)
Chiều rộng tấm bìa hay cạnh hình vuông là:
(19 – 3) : 2 = 8 (cm)
Diện tích tấm bìa hình vuông sau khi cắt là:
8 . 8 = 64 (cm2)
Một tấm bìa (phần kẻ) là một phần của hình tròn. Bạn Bình đo được độ dài đoạn thẳng AD = 10cm, khoảng cách IE = 3cm với I là trung điểm của AD và IE ⊥ AD. Hỏi độ dài cung tròn AD bằng bao nhiêu?
Nối A với E, D với E ta được hình vẽ:
Vì IE là đường cao của tam giác vuông AIE nên áp dụng định lý Pytago ta có:
AI2 + IE2 = AE2 ⇒ \(AI = \sqrt {A{E^2} - I{E^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {3^2}} = \sqrt {91} \left( {cm} \right)\)
Suy ra độ dài cung tròn AD là: 2𝛑.AI = \(2\pi \sqrt {91} \left( {cm} \right)\)
AC là khoảng cách từ mặt nước đến đáy con tàu bị đắm dưới nước.
Gọi B là vị trí mà người đó lặng xuống sao cho khoảng cách từ điểm đó đến vị trí con tàu đắm là 14m, CD là độ dài của con tàu
Đặt CD = x; AB = y
Tam giác BCD vuông tại C có \(\tan \widehat {CBD} = \frac{x}{{14}} \Rightarrow x = 14.\tan \widehat {CBD} = 14.\tan 33^\circ \)(1)
Có: \(\widehat {CAD} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \)
Tam giác ACD vuông tại C có:
\(\tan \widehat {CAD} = \frac{x}{{y + 14}} \Rightarrow x = 14.\tan \widehat {CAD} = \left( {y + 14} \right).\tan 20^\circ \) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 14.tan33° = (y + 14).tan20°
⇒ y ≈ 10,979 (m)
Chiều sâu con tàu đắm là: 8 + 14 + 10,979 ≈ 32,979 (m).
Chiều rộng hình chữ nhật là:
60 : 4 = 15 (m)
Diện tích thửa ruộng là:
60 . 15 = 900 (m2)
Người ta thu hoạch được số kg thóc là:
900 : 100 . 50 = 450 (kg)
Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật là:
Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật là:
160 × 100 = 16000 (m2)
Đáp số: 16000m2
1 học sinh ăn hết số gạo đó trong:
150 . 124 =18600 (ngày)
Nếu nhận thêm 36 học sinh nữa thì có tất cả:
150 + 36 = 186 (học sinh)
Số gạo đó đủ ăn trong:
18600 : 186 = 100 (ngày)
Đáp số: 100 ngày
Ta có: 9 . 9 = 81
Nên cạnh của vườn hoa hình vuông là 9cm
Chu vi vườn hoa là:
9.4 = 36 (cm).
Đáp số: 36cm.
a) Thể tích thùng xe tải:
5,6 . 2 . 2 = 22,4 (m³)
b) Thể tích gói hàng:
0,5³ = 0,125 (m³)
Số gói hàng tối đa thùng xe có thể chở:
22,4 : 0,125 = 179,2 (gói) ≈ 179 (gói)
Gọi chu kỳ sản xuất là x ngày, x ∈ ℕ*
Gọi số đơn vị nguyên liệu cần mua một lần là x đơn vị, x > 0
Chi phí lưu trữ x đơn vị nguyên liệu mỗi ngày là 10x (USD)
Chi phí trung bình hằng ngày là: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n}\)
Do xưởng sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày: \(\frac{x}{n} = 5 \Rightarrow x = 5n\)
Ta có: \(C = \frac{{5000 + 10xn}}{n} = \frac{{5000}}{n} + 10x\)
⇒ \(C = \frac{{5000}}{n} + 10.5n = \frac{{5000}}{n} + 50n \ge 2\sqrt {\frac{{5000}}{n}.50n} = 1000\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{5000}}{n} = 50n \Rightarrow n = 100\)
Vậy cần đặt 5.100 = 500 đơn vị nguyên liệu sau mỗi 100 ngày để chi phí trung bình hằng ngày là ít nhất.
Ta có: n2 + 4n + 96
= n2 + n + 3n + 96
= n(n + 1) + 3(n + 1) + 93
Vì n(n + 1) ⋮ n + 1 và 3(n + 1) ⋮ n + 1
Nên để n2 + 4n + 96 ⋮ n + 1 thì 93 ⋮ n + 1
Hay n + 1 ∈ Ư(93)
Vì n là số tự nhiên nên n + 1 ∈ {1; 3; 31; 93}
⇒ n ∈ {0; 2; 30; 92}
Vậy n ∈ {0; 2; 30; 92}.
Ta có: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ ℕ)
A = t(t + 2) = t2 + 2t
Ta thấy: t2 < t2 + 2t < t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
Mà t2 và (t + 1)2 là 2 số chính phương liên tiếp nên t2 + 2t không phải là số chính phương
Vậy A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương.
Nếu có n đường thẳng bất kỳ (không song song, không trùng nhau), thì mỗi cặp đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Vì mỗi cặp đường thẳng tạo đúng 1 cặp góc đối đỉnh, số cặp góc đối đỉnh được tính bằng số giao điểm của n đường thẳng, chính là số cách chọn 2 đường thẳng bất kỳ trong n đường thẳng là:
\(C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{1.2.3...n}}{{2.\left[ {1.2.3....\left( {n - 2} \right)} \right]}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
Vậy công thức \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\) có thể sử dụng để tính số cặp góc đối đỉnh nếu xét trong hệ thống gồm n đường thẳng bất kỳ.
Đặt n2 + 2006 = a2 (a ∈ ℤ)
⇒ 2006 = a2 - n2 = (a - n)(a + n) (1)
Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2
⇒a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ
+) TH1: a + n và a - n cùng lẻ ⇒ (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)
+) TH2: a + n và a - n cùng chẵn ⇒ (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)
Vậy không có n thỏa mãn n2+2006 là số chính phương
b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ n không chia hết cho 3
⇒ n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∈N*)
+) n = 3k + 1 thì n2 + 2006 = (3k + 1)2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
⇒ n2 + 2006 là hợp số
+) n = 3k + 2 thì n2 + 2006 = (3k + 2)2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
⇒ n2 + 2006 là hợp số
Vậy n2 + 2006 là hợp số.
Ta có n2 + n +1 = n(n+1) +1
Nếu n lẻ ⇒ n+1 chẵn ⇒ n(n+1) chẵn ⇒ n(n+1) +1 lẻ
⇒ n(n+1) không chia hết cho 4
Nếu n chẵn ⇒ n(n+1) chẵn ⇒ n(n+1) +1 lẻ
⇒ n(n+1) +1 không chia hết cho 4
Vậy với mọi n thì n2 + n +1 không chia hết cho 4
Năm 1968 thuộc thế kỷ 20, là khoảng thời gian tính từ năm 1901 đến hết năm 2000
Trung bình cộng số bi của ba bạn là:
(18 + 22 – 2 ) : 2 = 19 (viên)
Số bi của Hùng là:
19 – 2 = 17 (viên)
Đáp số: 17 viên.
Dãy số các năm nhuận của thế kỉ XX là: 1904, 1908, 1912, ..., 1996, 2000.
Đây là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu là 1904, số hạng cuối là 2000
Gọi số năm nhuận của thế kỉ XX là n
Dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:
2000 = 1904 + (n – 1).4
Suy ra: n = 25
Vậy thế kỉ XX có 25 năm nhuận.
- Hai điểm cùng phía có nghĩa là hai điểm cùng nằm một phía bên trái hay bên phải.
- Hai điểm khác phía là hai điểm không cùng một bên mà bị tách ra hai bên khác nhau bởi một điểm khác.
Ví dụ: Chỉ ra các điểm nằm cùng phía, nằm khác phía đối với điểm A trên hình vẽ?
Ta thấy điểm E và B nằm cùng phía đối với điểm A, điểm C và D nằm khác phía đối với A
Giả sử a2 chia hết cho b2 nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên aaa và b sao cho: a2 = kb2 (với k là số nguyên)
Nhưng a không chia hết cho b, tức là tồn tại số nguyên dương r sao cho:
a = qb + r, 0 < r < b với q là số nguyên.
Từ giả thiết a2 = kb2 , ta xét đồng dư của a2 theo b:
a2 ≡ 0 (modb2)
Tuy nhiên, nếu a không chia hết cho b, thì viết lại dưới dạng chuẩn Euclid:
a = qb + r
Bình phương hai vế:
a2 = (qb + r)2 = q2b2 + 2qbr + r2
Lấy đồng dư theo b2: a2 ≡ 2qbr + r2 (modb2)
Vì a2 ≡ 0 (modb2)
Nên: 2qbr + r2 ≡ 0(modb2)
Do 0 < r < b, ta thấy r2 < b2, nên r2 không thể chia hết cho b2. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a2 chia hết cho b2
Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết a không chia hết cho b là sai.
Vậy nếu a2 chia hết cho b2 thì a có chia hết cho b.
Cạnh khu vườn lúc sau là 11m ( vì 121 = 11 . 11)
Chiều dài khu vườn là :
11 + 8 = 19( m)
Chu vi khu vườn là :
(19 + 11) . 2 = 60 (m)
Có số cọc là :
(60 + 2) : 1 + 1 = 63 ( cọc)
Đáp số : 63 cọc
\(\cot 1,25.\tan \left( {4\pi + 1,25} \right) - \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).\cos \left( {6\pi - x} \right) = 0\)
⇔ cot1,25 . tan1,25 – cosx.cos(-x) = 0
⇔ 1 – cos2x = 0
⇔ sin2x = 0
⇔ sinx = 0
Suy ra: \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\)
Vậy tan x = 0.
Nếu chỉ có 1 máy bơm thì phải bơm nước trong số ngày là:
2 . 10 = 20 (ngày)
5 máy bơm như thế thì chỉ cần bơm trong số ngày là:
20 : 5 = 4 (ngày)
Đáp số : 4 ngày
Một tuần lễ có 7 ngày.
Thực hiện phép chia ta có: 100 : 7 = 14 (dư 2).
Sau đúng 14 tuần lại đến ngày thứ ba và hai ngày sau là ngày thứ năm.
Vậy 100 ngày sau là ngày thứ năm trong tuần lễ.
Đáp số: ngày thứ năm
Nếu ngày mai là chủ nhật thì hôm nay là thứ bảy
Ta có: 100 : 7 = 14 (dư 2).
Vậy trước đúng 14 tuần là ngày thứ bảy và trừ hai ngày trước là ngày thứ năm.
Vậy 100 ngày trước là thứ năm.
x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
Ta thấy: x3 – y3 ⋮ 3 và 3xy(x – y) ⋮ 3 nên (x – y)3 ⋮ 3
Suy ra: x – y ⋮ 3 (1) hay x ≡ y(mod3)
Lại có: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) (*)
· Xét: x2 + xy + y2
Mỗi số nguyên x có thể có một trong ba dạng sau khi chia cho 3:
x ≡ 0, 1, hoặc 2(mod3)
Tương tự, y cũng có thể chia 3 dư 0, 1, 2
Vì ở trên ta đã có x ≡ y(mod3)
Nên ta xét 3 trường hợp:
+ TH1: x, y ≡ 0 (mod3) tức: x, y ⋮ 3 ⇒ x2 + xy + y2 ⋮ 3
+ TH2: x, y ≡ 1 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)
⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3
+ TH3: x, y ≡ 2 (mod3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod3); y2 ≡ 1 (mod3); xy ≡ 1 (mod3)
⇒ x2 + xy + y2 ≡ 3 (mod3) tức x2 + xy + y2 ⋮ 3
Vậy với x ≡ y(mod3) thì x2 + xy + y2 ⋮ 3 (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (*) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y \vdots 3\\{x^2} + xy + {y^2} \vdots 3\end{array} \right.\) ⇒ (x – y)(x2 + xy + y2) ⋮ 9
Vậy nếu x3 – y3 chia hết cho 3 thì x3 – y3 chia hết cho 9.
TH1: Nếu x và y đều dương (x, y > 0)
Vì theo giả thiết z ≥ x và z ≥ y , nên z là số lớn nhất trong ba số.
Tuy nhiên, xy có thể lớn hơn nếu cả x và y đều lớn hơn 1.
Ví dụ: x = 3, y = 4, z = 5 ⇒ xy = 3 × 4 = 12 > 5
Suy ra: Mệnh đề sai trong trường hợp này.
TH2: Nếu x hoặc y bằng 0:
Khi x = 0 hoặc y = 0, ta có xy = 0
Vì z ≥ x và z ≥ y nên z ≥ 0
Do đó, z > xy không hoàn toàn đúng trong trường hợp này (đúng 1 phần)
TH3: Nếu x, y cùng âm hoặc x và y trái dấu:
Ví dụ: x = −3, y = −2, z = −1
ta có xy = (−3)(−2) = 6 > -1 tức là z < xy, suy ra mệnh đề sai.
Vậy mệnh đề cần chứng minh không đúng với mọi trường hợp x, y, z.
356 ngày
366 ngày
365 ngày
395 ngày
Đáp án đúng là B
Năm nhuận là năm có 366 ngày, còn năm không nhuận là năm có 365 ngày.
Ta có: Từ 20/11/2019 đến 20/11/2020 Có 366 ngày.
Số tuần là: 366 : 7 = 52 dư 2
⇒ 20/11/2020 là thứ sáu
Ta có: Từ 20/11/2020 đến 20/11/2021 Có 365 ngày.
Số tuần là: 365 : 7 = 52 dư 1
⇒ 20/11/2021 là thứ bảy
Đáp số: Thứ bảy
Trên bờ biển có một ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này, biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400km?
Ta có: \(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\)(vì \(\widehat {MTA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến TM và dây TA chắn ; \(\widehat {TBA}\)là góc nội tiếp chắn )
Xét tam giác MTA và tam giác MTB có:
\(\widehat M\) chung
\(\widehat {MTA} = \widehat {TBA}\)
⇒ ∆MAT ~ ∆MTB (g.g)
⇒ \(\frac{{MA}}{{MT}} = \frac{{MT}}{{MB}}\) hay MA.MB = MT2
MA = 40m = 0,04km ;
MB = MA + AB = MA + 2R = 12800,04 km.
⇒ MT ≈ 22,63 km
+ M’T2 = M’A’.M’B’
M’A’ = 10m = 0,01km ;
M’B’ = M’A’ + A’B’ = M’A’ + 2R = 12800,01 km
⇒ M’T ≈ 11,31 km
⇒ MM’ = MT + M’T = 33,94 ≈ 34 km .
Vậy khi cách ngọn hải đăng khoảng 34km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.
Mô tả bài toán như hình vẽ.
Vì tầm nhìn thẳng của người đó song song với mặt nước biển
⇒ AD // BC
⇒ \(\widehat {DAC} = \widehat {ACB}\)(2 góc so le trong)
Xét tam giác ABC vuông tại B có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\)
⇒ \(AC = \frac{{AB}}{{\tan C}} = \frac{{28}}{{\tan 20^\circ }} \approx 77\left( m \right)\)
Vậy khoảng cách từ chân tháp đến thuyền khoảng 77m.
1: nhất 2: nhị 3: tam
4: tứ 5: ngũ 6: lục
7: thất 8: bát 9: cửu 10: thập
Gọi x là số lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng. Giá thuê mỗi căn hộ sẽ là 7.000.000 + 100.000x (đồng)
Số căn hộ cho thuê sẽ là 80 - x (căn hộ)
Doanh thu R(x) sẽ là tích của giá thuê mỗi căn hộ và số căn hộ cho thuê:
R(x) = (7.000.000 + 100.000x)(80 - x)
Để tìm giá trị x làm cho doanh thu lớn nhất, ta cần tìm cực đại của hàm số R(x). Ta có thể khai triển biểu thức R(x) và tìm đạo hàm:
R(x) = 560.000.000 + 8.000.000x - 7.000.000x - 100.000x²
= -100.000x² + 1.000.000x + 560.000.000
R'(x) = -200.000x + 1.000.000
Xét R'(x) = 0 ⇔ -200.000x + 1.000.000 = 0 ⇔ x = 5
Giá thuê mỗi căn hộ để doanh thu lớn nhất là:
7.000.000 + 100.000 * 5 = 7.500.000 (đồng)
Vậy với giá thuê 7.500.000 đồng để doanh thu lớn nhất.
Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành ba loại: Toán + Lý, Lý + Hóa; Toán + Hóa
Gọi x, y, z (x, y, z ∈ ℕ) lần lượt là số học sinh nhận được bộ phần thưởng Toán + Lý; Toán + Hóa; Lý + Hóa. Khi đó ta có hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7\\z + x = 6\\y + z = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 2\end{array} \right.\)
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: \(C_9^4.C_5^3.1\)
Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_9^4.C_5^3\)
Gọi S là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”
TH1: A và B cùng nhận bộ Toán + Lý có \(C_7^2.C_5^3\) cách phát
TH2: A và B cùng nhận bộ Toán + Hóa có \(C_7^1.C_6^4\) cách phát
TH3: A và B cùng nhận bộ Lý + Hóa có \(C_7^4\) cách phát
Suy ra: \(n\left( S \right) = C_7^2.C_5^3 + C_7^1.C_6^4 + C_7^4\)
Vậy xác suất của biến cố S là: \(\frac{{n\left( S \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^2.C_5^3 + C_7^1.C_6^4 + C_7^4}}{{C_9^4.C_5^3}} = \frac{5}{{18}}\)
Diện tích phòng là:
4 . 3 = 12 (m²) = 1200dm2
Diện tích của mỗi tấm gỗ hình chữ nhật là:
8. 2 = 16 (dm²)
Số tấm gỗ cần là:
1200 : 16 = 75 (tấm)
Vậy, cần 75 tấm gỗ hình chữ nhật để lát kín nền căn phòng.
Tổng số suất ăn mà lượng gạo có thể phục vụ là:
18 × 10 = 180 (suất)
Nếu số người ăn giảm đi 6 người thì số gạo đó đủ ăn trong số ngày là :
180 : (18 - 6) = 15 (ngày)
Đáp số : 15 ngày.
Tổng số suất ăn mà lượng gạo có thể phục vụ là:
18 × 15 = 270 (suất)
Trong 5 ngày đầy, chí có 18 người ăn nên số gạo còn lại là:
270 – 18 . 5 = 180 (suất)
Số người sau khi đến thêm là:
18 + 6 = 24(người)
Số ngày còn lại mà lượng gạo có thể đủ dùng là:
180 : 24 = 7,5 (ngày)
a)
i) Diện tích cần sơn là:
2.(5 + 3,5) . 1,5 = 25,5 (m2)
ii) Số tiền bác cần để trả cho thợ sơn là:
25,5 . 20000 . (100% − 20%) = 408000 (đồng)
b. Đổi 25cm = 0,25m
1,5m = 15dm
Chiều dài phần đáy bể chứa nước là:
5 – 2 . 0,25 = 4,5 (m) = 45 (dm)
Chiều rộng phần đáy bể chứa nước là:
3,5 – 2 . 0,25 = 3 (m) = 30 (dm)
Thể tích nước trong bể là:
45 . 30 . 15 = 20250 (dm3) = 20250 (lít)
20% của quyển sách là số tiền là:
21000. 20% = 4200 (đồng)
Vậy quyển sách có giá là hay bạn An phải trả cô bán hàng số tiền là:
21000 - 4200 = 16800 (đồng)
Ta có số lớn nhất có 6 chữ số là 999999, tổng các chữ số là: 9 . 6 = 54
Vì theo giả thiết tổng các chữ số cần tìm bằng 50 nên số cần tìm bé hơn số lớn nhất có 6 chữ số là:
54 – 50 = 4 (đơn vị)
Vậy số đó là:
999999 – 4 = 999995.
Gọi số túi quà nhiều nhất có thể chia được là: x( túi; x ∈ N∗N∗).
Theo đề bài ta có:
48 ⋮ x; 40 ⋮ x ⇒ x ∈ ƯCLN(48;40)
Ta có: (phân tích ra thừa số nguyên tố)
48 = 24.3; 40 = 2³.5 ⇒ x ∈ ƯCLN(48;40) = 2³ = 8 (thỏa mãn)
Vậy số túi quà nhiều nhất mà nhóm các bạn có thể chia được là 8 túi.
Số lượng vở trong mỗi túi là: 48 : 8 = 6 (quyển)
Số lượng bút bi trong mỗi túi là: 40 : 8 = 5 (chiếc)
Đáp số: 8 túi; 6 quyển vở và 5 chiếc bút bi.
|
Giả thiết |
Nếu hai đường thẳng a, b cùng cắt đường thẳng c và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau |
|
Kết luận |
a // b |
Chứng minh:
Ta có theo giả thiết có một cặp góc trong cùng phía bù nhau tức là: \(\widehat {A{}_2} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {B{}_1} + \widehat {B{}_2} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
Nên: \(\widehat {B{}_1} = \widehat {A{}_2}\)
Mà \(\widehat {B{}_1},\widehat {A{}_2}\) ở vị trí so le trong nên a // b.
Tháng có 28 (hoặc 29) ngày là Tháng 2
\[P\left( {\frac{3}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7} + \frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{2}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{7}} \right) = P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) + P\left( {\frac{1}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right)\]
Lại có:
\(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{{7^2}}}.P\left( 7 \right) = \frac{1}{{49}}.P\left( {3 + 4} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {P\left( 3 \right) + P\left( 4 \right)} \right]\)
P(3) = P(1 + 2) = P(1) + P(2) = P(1) + P(1 + 1) = 3P(1) = 3
P(4) = 4P(1) = 4
Suy ra: \(P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{49}}.\left[ {3 + 4} \right] = \frac{1}{7}\)
Vậy \(P\left( {\frac{3}{7}} \right) = 3P\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{3}{7}\)
· Chứng minh a, b, c là số nguyên
+ Xét tính chính phương của P(0) và P(1)
Vì P(x) luôn là số chính phương với mọi x, ta có:
P(0) = c là số chính phương
P(1) = a + b + c là số chính phương
+ Xét tính chính phương của P(2)
P(2) = 4a + 2b + c và đây cũng phải là một số chính phương.
Do P(x) là một hàm bậc hai với hệ số thực, nếu tồn tại x sao cho P(x) không là số nguyên, thì nó không thể là số chính phương.
Nhưng theo giả thiết, P(x) luôn là số chính phương, điều này có nghĩa là tất cả giá trị của nó đều là số nguyên, tức là: a,b,c đều phải là số nguyên
· Chứng minh b là số chẵn
- Nếu một số nguyên là số chính phương, thì nó đồng dư với 0 hoặc 1 (mod 4), tức là: x2 ≡ 0 hoặc 1(mod4)
- Nghĩa là bất kỳ số chính phương nào cũng phải có dạng 4k hoặc 4k + 1 với k ∈ Z
Từ phương trình:
P(1) = a + b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
P(2) = 4a + 2b + c ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
Ta trừ hai phương trình này:
(4a + 2b + c) − (a + b + c) ≡ 0 hoặc 1 theo (mod4)
Tức 3a + b ≡ 0 hoặc 1 (mod4)
Vì 3a luôn đồng dư với 0 hoặc 3 theo mod 4 (do a là số nguyên), ta suy ra:
b ≡ 0 (mod 2)
Nghĩa là b là số chẵn.
Vậy a, b, c là các số nguyên và b là số chẵn.
Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]
Suy ra: p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2
⇒ p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2 nên p là số lẻ
Ta dễ thấy rằng 2x2 ≡ 2y2 (modp) mà p lẻ x2 ≡ y2 (modp)
Mặt khác ta có: x2 – y2 = (x – y)(x + y) ⋮ p
⇒ x + y = p (vì x < y < p)
Từ đó ta dễ có rằng p2 + 1 = 2(p – x)2 = 2p2 – 4px + 2x2 = 2p2 – 4px + p + 1
⇒ 4px = p2 + p
⇒ 4x = p + 1
⇒ 2x2 = 4x
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.\)
Mà p là số nguyên tố nên p = 7.
Vậy p = 7.
Vì p là số nguyên tố > 5 ⇒ p > 5 ⇒ p lẻ; p ⋮̸ 5
⇒ p ⋮̸ 5; p ⋮̸ 12
⇒ p chia 5 dư 1;2;3;4,, chia 12 dư 1;3;5;7;9;11
⇒ p chia 5 dư ±1; ±2, chia 12 dư ±1;±3:±5
+ Với p ≡ ±1 (mod5)
⇒ p2016 ≡ 1 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
+ Với p ≡ ±2 (mod5)
⇒p4 ≡ 16(mod5) ≡ 1(mod5)
(p4)504 = p2016 ≡ 1 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod5)
⇒p2016 – 1 ⋮ 5, ∀p là số nguyên tố >5(1)
+ Với p ≡ ±1 (mod12)
⇒p2016 ≡ 1 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12)
+ Với p chia 12 dư ±3
⇒p ⋮ 3.
Do p là số nguyên tố ⇒ p = 3 < 5 (L)
+ Với p ≡ ±5 (mod12)
⇒p2 ≡ 25 (mod12) ≡ 1 (mod12)
⇒(p2)1008 = p2016 ≡ 1 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ≡ 0 (mod12)
⇒ p2016 – 1 ⋮ 12∀p là số nguyên tố >5(2)
Từ 1 và 2 kết hợp ƯCLN(5;12) = 1⇒ p ⋮ 60 (đpcm)
Đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.
Khi đó, p ≡ 1, 2 (mod3), và q ≡ 1, 2 (mod3).
Nếu q ≡ p (mod3) thì vế trái chia hết cho 3, mà vế phải lại không chia hết cho 3.
Nếu p = 3 thì q5 < 27, điều đó là không thể
Nếu q = 3 , ta được p3 – 35 = (p + 3)2
⇔ p3 – 243 = (p + 3)2
⇔ p3 – 243 = p2 + 6p + 9
⇔ p3 – p2 – 6p – 252 = 0
⇔ p = 7
Vậy p = 7 và q = 3.
A = p8n + 3p4n - 4
= p8n – p4n + 4p4n – 4
= p4n(p4n - 1) + 4 (p4n - 1)
= (p4n - 1)(p4n + 4)
= (p2n - 1)(p2n + 1)(p4n + 4)
Ta đã biết tính chất của số chính phương chia 5 được dư là 0, 1 hoặc 4
Vì p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên p không chia hết cho 5 nên p2n chia 5 dư 1 hoặc 4
Nếu p2n chia 5 dư 1 thì p2n – 1 ⋮ 5 ⇒ p8n + 3p4n - 4 ⋮ 5
Nếu p2n chia 5 dư 4 thì p2n + 1 ⋮ 5 ⇒ p8n + 3p4n - 4 ⋮ 5
Vậy A = p8n + 3p4n - 4 chia hết cho 5 biết p và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau và p là số nguyên.
P = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + … + 1225
2P = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + … + 2450
2P = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + 49.50
6P = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 49.50.3
6P = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3. 4 + … + 49.50.51 – 48.49.50
6P = 49.50.51
P = 20825
Ta có: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)
Xét \(P = xy + \frac{1}{{xy}} = {\left( {\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16xy}} + \frac{1}{2} \ge \frac{{15}}{{16}}.4 + \frac{1}{2} = \frac{{17}}{4}\)
Vậy GTNN của P là \(\frac{{17}}{4}\) khi \(\sqrt {xy} - \frac{1}{{4\sqrt {xy} }} = 0 \Leftrightarrow xy = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
\(\frac{{18}}{{12}} = \frac{{3.6}}{{2.6}} = \frac{3}{2} = \frac{{3.50}}{{2.50}} = \frac{{150}}{{100}}\)
Vậy phân số cần tìm là \(\frac{{150}}{{100}}.\)
Xét 2 trường hợp:
+ Nếu mẫu số khác 0, tử số bằng 0 thì khẳng định trên là đúng. Ví dụ: \(\frac{0}{5} = \frac{0}{2} = 0\)
+ Nếu mẫu số và tử số đều bằng 0 thì khẳng định trên sai
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{{19}}{{25}}\)
\(\frac{5}{7}\)
\(\frac{1}{6}\)
Đáp án đúng là B
\(\frac{{19}}{{25}} = \frac{{76}}{{100}} = 0,76\)
Do đó phân số \(\frac{{19}}{{25}}\) có thể viết thành số thập phân là 0,76.
\(\frac{{96}}{{54}} = \frac{{96:6}}{{54:6}} = \frac{{16}}{9}\)
Vậy phân số tối giản của \(\frac{{96}}{{54}}\) là \(\frac{{16}}{9}\).
Ta có:
Suy ra: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24 . 3 . 5
(x + y)2 – 4(x + y)z + 4z2
= (x + y)2 – 2.(x + y).2z + (2z)2
= (x + y – 2z)2
6x2 + 7x – 3
= 6x2 + 9x – 2x – 3
= 3x(2x + 3) – (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 1)
6x2 + 7x – 3
= 6x2 + 9x – 2x – 3
= 3x(2x + 3) – (2x + 3)
= (2x + 3)(3x – 1)
6x3y2 – 12x3y4 + 18x3y5
= 6x3y2(1 – 2y2 + 3y3)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2a + b - c\\y = 2b + c - a\\z = 2c + a - b\end{array} \right.\)
⇒ x + y + z = 2a + b – c + 2b + c – a + 2c + a – b = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c)
A = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3
= (x + y + z)3 − x3 − y3 − z3
= (x + y + z − x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z ) + x2] − (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + x2 + xy + xz + x2 − y2 + yz − z2)
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3xz)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
= 3(2a + b – c + 2b + c − a)(2b + c – a + 2c + a − b)(2a + b – c + 2c + a − b)
=3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a)
x3 + 3x2 + 3x + 28 = 0
x3 + 3x2 + 3x + 1 + 27 = 0
(x + 1)3 = -27
(x + 1)3 = (-3)3
x + 1 = -3
x = -4
Vậy x = -4.
Gọi 3 phần tử là 2x < 2y < 2z
⇒ 1 ≤ x < y < z ≤ 2020
3 phần tử lập thành cấp số nhân nên 22y = 2x . 2z = 2x + z
⇒ 2y = x + z
⇒ x + z chẵn
⇒ x; z cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Từ 1 đến 2020 có 1010 số lẻ và 1010 số chẵn
⇒ tập con thỏa mãn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c (1), trong đó a; b; c là các số đã biết; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0
Ví dụ: Các phương trình 2x - y = 1; 3x + 4y = 0; 0x + 2y = 4; x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn.
sin3x = sin2x
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = 2x + k2\pi \\3x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\)
Vì x ∈ [0;π] nên \[x \in \left\{ {0;\frac{\pi }{5};\frac{{3\pi }}{5};\pi } \right\}\]
Vậy có tất cả 4 nghiệm.
Không mất tính tổng quát giả sử p ≤ q ≤ r
Với p = 2q; 2qr = q + r + 162
⇔ 4qr − 2q − 2r = 324
⇔ 2q(2r − 1) − (2r − 1) = 325
⇔ (2q − 1)(2r − 1) = 52 . 13
3 ≤ 2q – 1 ≤ 2r – 1
⇒ 9(2q − 1)2 ≤ (2r−1)(2q−1)
⇔ 9 ≤ (2q−1)2 ≤ 325
⇔ 3 ≤ 2q – 1 ≤ 18
Do 2q - 1 là ước của 52.13 nên 2q - 1 ∈{5;13}
Nếu 2q – 1 = 5 ⇔ q = 3 ⇒ r = 33 (loại)
Nếu 2q – 1 = 13 ⇔ q = 7 ⇒ r = 13 (thỏa mãn)
pqr = p + q + r + 160
⇔ p(qr - 1) – q – r = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + pr – 1 – q – r = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + q(r - 1) - (r - 1) – 2 = 160
⇔ (qr - 1)(p - 1) + (q - 1)(r - 1) = 162
Nếu p lẻ ⇒ q, r lẻ ⇒ (qr - 1)(p - 1)(r - 1) chia hết cho 4
mà 162 không chia hết cho 4 ⇒ Vô lý
Vậy bộ ba số nguyên tố cần tìm là (2;7;13) và các hoán vị
Ta có:
sinx = cosx
⇔ sinx = \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \left( L \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Mà x ∈ [-π; π] nên \( - \pi \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \)
Hay: \[ - \frac{{5\pi }}{4} \le k\pi \le \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow - \frac{5}{4} \le k \le \frac{3}{4} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = - 1\\k = 0\end{array} \right.\]
Suy ra ta có 2 nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4}\\x = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)
Gọi H là trung điểm BC
G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra: \(\frac{{AG}}{{GH}} = 2\)
Xét tam giác ABH có: GM // BC hay GM // BH
⇒ \(\frac{{AG}}{{GH}} = \frac{{AM}}{{BM}} = 2 \Rightarrow \frac{{BM}}{{AM}} = \frac{1}{2}\)
Xét tam giác ABH có NM // AG hay NM // AH
⇒ \(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{BN}}{{NH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{BN}}{{BH}} = \frac{1}{3}\)
Mà \(BH = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{6}\)
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h) (x > 38)
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe đạp khởi hành đến khi về A là:
18 + 18 – 6 = 30 (km)
Thời gian ô tô đi hết và về tính từ lúc khởi hành là \(\frac{{30}}{x}\) giờ
Vận tốc của xe đạp là: \(x - 38\left( {km/h} \right)\)
Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB là \(\frac{{18}}{{x - 38}}\) giờ
Vì tổng thời gian cả đi lẫn về của ô tô ít hơn xe đạp là 54 phút = \(\frac{9}{{10}}\) giờ nên ta có:
\(\frac{{18}}{{x - 38}} - \frac{{30}}{x} = \frac{9}{{10}}\)
⇔ 9x2 – 222x – 11400 = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 50\\x = \frac{{ - 76}}{3}\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy vận tốc xe đạp là: 50 – 38 = 12 (km/h)
a) Để tạo thành một số lẻ, chữ số cuối cùng phải là số lẻ. Trong số 118252018, chữ số cuối cùng là 8 (số chẵn). Do đó, ta cần thay thế chữ số 8 bằng một trong các chữ số lẻ có trong tập hợp thẻ: 1, 2, 5. Chỉ có chữ số 1, 5 và 3 là số lẻ. Vì vậy, ta có thể lấy ra tấm thẻ số 8 và thay thế bằng tấm thẻ số 1, 3 hoặc 5 để tạo thành số lẻ.
Đáp án: 118252011, 118252013, 118252015
b) Để làm tròn số đến hàng trăm nghìn và được 11 900 000, ta cần xem xét chữ số ở hàng chục nghìn. Nếu chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 5, ta giữ nguyên chữ số hàng trăm nghìn và thay các chữ số phía sau bằng 0. Nếu chữ số hàng chục nghìn lớn hơn hoặc bằng 5, ta tăng chữ số hàng trăm nghìn lên 1 đơn vị và thay các chữ số phía sau bằng 0.
Số ban đầu là 118252018. Chữ số hàng chục nghìn là 2 (nhỏ hơn 5). Để làm tròn lên 11 900 000, ta cần thay chữ số 8 ở hàng đơn vị bằng một chữ số sao cho khi làm tròn đến hàng trăm nghìn, kết quả là 11 900 000. Điều này có nghĩa là chữ số ở hàng chục nghìn phải tăng lên thành 5 hoặc lớn hơn. Do đó, ta cần thay thế thẻ số 2 bằng thẻ số 5 hoặc lớn hơn. Tuy nhiên, trong các thẻ chỉ có số 5.
Đáp án: 118552018
a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ
Khi đó: \(BJ = \frac{{MN}}{2}\)
Tương tự: \(DK = \frac{{PQ}}{2};IJ = \frac{{QM}}{2};IK = \frac{{PN}}{2}\)
Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD
Do đó:
SABCD = \(\frac{{AC}}{2}.BD \le \frac{{AC}}{2}\left( {BJ + JI + IK + KD} \right) = \frac{{AC}}{4}\left( {MN + NP + PQ + QM} \right)\)
b) Chu vi tứ giác MNPQ là: MN + NP + PQ + QM
= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)
Dấu “=” xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ // NP, MN // PQ, MN = PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau)
Khi đó MNPQ là hình chữ nhật.
sin4x = – cos2x
⇔ sin4x + cos2x = 0
⇔ 2sin2xcos2x + cos2x = 0
⇔ cos2x(2sin2x + 1) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\\sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\)
Ta có: x∈\(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)
⇒ \(0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6}\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1\)
⇒ \( - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}\)
Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{2}{7}} \right]\)
Ta có: \(\sin A + \sin B = 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)\)
Ta dễ dàng chứng minh được: \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right);\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) \ge 0\)
Suy ra: \(\sin A + \sin B \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\)
Xét: \(A + \sin \frac{\pi }{3} = \sin A + \sin B + \sin C + \sin \frac{\pi }{3}\)
\( \le 2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + 2\sin \left( {\frac{{C + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right) \le 4\sin \left( {\frac{{A + B + C + \frac{\pi }{3}}}{4}} \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \)
Vậy \(A \le 2\sqrt 3 - \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
GTLN của A là \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) khi tam giác ABC vuông cân.
Khẳng định “Số 0 vừa là số hữu tỉ vừa là số vô tỉ” là sai
Số 0 là số hữu tỉ và không là số vô tỉ.
Vì đề bài yêu cầu lập số chẵn lên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số chẵn
+ Chữ số hàng đơn vị có 2 cách chọn (chọn 2 hoặc 4)
+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn chữ số hàng trăm (chọn 1,3,5 hoặc chữ số chẵn còn lại)
+ Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm: có 3 cách chọn chữ số hàng chục (là chọn 1 trong những số còn lại)
Vậy có tất cả: 2 . 4 . 3 = 24 (số)
Ta có: 64 = 43
Nên số có thể viết được dưới dạng lập phương của một số tự nhiên là 64.
53 là số nguyên tố nên nó chia hết cho 1 và chính nó.
Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Do đó số chia hết cho 3 và 5 là số có tổng các chữ số chia hết cho 3 và có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Vậy một số có hai chữ số thỏa mãn số đó chia hết cho 3 và 5 là: 15; 30; 45; 60; 75; 90. Có tổng cộng 6 số.
Vì số đó chia 3 dư 1 nên ta giả sử số đó có dạng 3k + 1 (k là số nguyên)
Mà số đó là số chẵn nên k lẻ
Gọi k = 2m + 1 (m là số nguyên)
Ta có: 3k + 1 = 3(2m + 1) + 1 = 6m + 3 + 1 = 6m + 4
Vậy số đó chia 6 dư 4
- Dấu hiệu 1: Phương pháp cắt giảm
Để nhận biết một số có thể chia hết cho 7, ta cắt giảm chữ số cuối cùng đi một số, nhân đôi số đó và lấy số đã cắt giảm trừ đi số đã nhân đôi. Tiếp tục lặp lại quá trình này cho đến khi thu được một số có thể chia hết cho 7 (như 14, 7, 0, -7, v.v…). Nếu số gốc sau các bước trên chia hết cho 7, thì số đó cũng chia hết cho 7.
- Dấu hiệu 2: Phương pháp nhân và cộng:
Lấy chữ số đầu tiên của số gốc nhân với 3, sau đó cộng thêm chữ số tiếp theo. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 3 và cộng thêm chữ số tiếp theo. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.
- Dấu hiệu 3: Phương pháp nhân và trừ
Lấy chữ số đầu tiên bên phải của số gốc nhân với 5, sau đó cộng với chữ số thứ hai và trừ đi một bội số của 7. Tiếp tục nhân kết quả mới được với 5, cộng với chữ số tiếp theo và trừ đi một bội số của 7. Lặp lại quá trình này cho đến chữ số cuối cùng của số. Nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7, thì số đó chia hết cho 7.
Ta có:
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
Các số chính phương có 3 chữ số < 200 là: 100; 121; 144; 169; 196
Ta có: 245 = 13 . 18 + 11
Phép tính này cho thấy khi chia 245 cho 13, ta được thương là 18 và số dư là 11.
Đáp số: 11
Biết hàm số (a là số thực cho trước và a khác 1) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) f’(x) > 0, ∀x ≠ -1 và hàm số không có điểm cực trị
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I(-1;1)
c) khi x = 3
d) Số đường thẳng cắt đồ thị f(x) tại những điểm tọa độ nguyên là 6.
Ta có ĐTHS f(x) đi qua (1;0) suy ra a = -1.Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\) suy ra hàm số đồng biến trên [0;3]
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{3}\) khi x = 3
d) Đúng
Ta đi tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số f(x)
Do x nguyên nên f(x) = \(1 - \frac{2}{{x + 1}} \in \mathbb{Z}\) khi x + 1 ∈ {-2;-1;1;2}
Ta có bảng:
Suy ra ĐTHS f(x) có 4 điểm có tọa độ nguyên
Vậy có \(C_4^2 = 6\) đường thẳng cắt ĐTHS f(x) tại điểm có tọa độ nguyên.
Gọi x là số học sinh khối lớp 6 của trường (học sinh; x ∈ N, 200 ≤ x ≤ 300)
Khi xếp thành hàng 10 thừa 5 em thì x chia 10 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 10
Khi xếp thành hàng 12 thừa 5 em thì x chia 12 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 12
Khi xếp thành hàng 15 thừa 5 em thì x chia 15 dư 5 hay (x – 5) ⁝ 15
Do đó (x – 5) là bội chung của 10; 12 và 15
Ta có: 10 = 2. 5; 12 = 22.3; 15 = 3. 5
BCNN(10; 12; 15) = 22.3.5 = 60
Khi đó (x – 5) ∈ B(60) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360;…}
Ta có bảng sau:
|
x – 5 |
0 |
60 |
120 |
240 |
300 |
360 |
|
x |
5 |
65 |
125 |
245 |
305 |
365 |
Vì số học sinh trong trường khoảng từ 200 đến 300 học sinh nên 200 ≤ x ≤ 300.
Do đó x = 245
Vậy số học sinh trong trường là 245 em.
Gọi số học sinh là a (bạn)
Vì a chia cho 12;15;18 đều dư 9 nên a - 9 chia hết cho 12;15;18 suy ra a - 9 thuộc BC(12,15,18)
Ta có: 12 = 22 . 3
15 = 3 . 5
18 = 2 . 32
⇒ BCNN(12, 15, 18) = 22 . 32 . 5 = 180
⇒ BC(12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360; 540;...}
Mà số học sinh 300 < a < 400 nên a - 9 = 360
Vậy a = 360 + 9 = 369 (bạn)
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.
Tức số âm sẽ không có căn bậc hai.
XIX = X + IX = 10 + 9 = 19
Vậy XIX = 19.Số liền trước số 900 là: 899
Số lớn nhất có 2 chữ số là: 99
Hiệu 2 số là:
899 – 99 = 800
Đáp số: 800
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1.
Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3.
Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.
Nhưng cũng có những trường hợp đặc biệt, hợp số là số nguyên tố cùng nhau.
VD: 6 và 25 tuy là hợp số nhưng chúng có Ước chung lớn nhất là 1 nên chúng là những số nguyên tố cùng nhau
Phân biệt với chữ số đôi một khác nhau là một nhóm các chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại. Ví dụ: 123456.
- Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.
Kí hiệu là: ℤ
Các số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 thì có dư là 1 hoặc 2
Ví dụ: 5 : 3 dư 2
7 : 3 dư 1.
\(A = \frac{{{{10}^{2024}} + 1}}{{{{10}^{2023}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2023}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2023}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}}\)
\[A = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2022}} + 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^{2022}} + 1} \right)}}{{{{10}^{2022}} + 1}} - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}} = 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\]
Vì \(\frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} < \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) nên \(1 - \frac{9}{{{{10}^{2023}} + 1}} > 1 - \frac{9}{{{{10}^{2022}} + 1}}\) hay A > B
Vậy A > B
Ta có: B = 3100 = 398+2 = 398 . 32 = 398 . 9
Vì 10 > 9 nên 10.398 > 9.398
Vậy A > B.
210 = 1024 > 1000
2019.2021 = (2020 + 1). 2019 = 2019.2010 + 2019
20102 = (2019 + 1) . 2020 = 2019 . 2020 + 2020
2019.2020 + 2019 < 2019.2020 + 2020
Nên: 2019 . 2021 < 20202
2115 = 315 . 715
275 . 498 = (33)5 . (72)8 = 315 . 716
Vì 716 > 715 nên 315 . 716 > 315 . 715 hay 275 . 498 > 2115
Ta có: 399 = (333)3 = [(33)11]3 = (2711)3.
Lại có: 1121 = (117)3
Vì 2711 > 277 > 117
Suy ra: 2711 > 117
Do đó (2711)3 > (117)3
Vậy 399 > 1121.
31994 + 31993 – 31992 = 31992 (32 + 3 – 1) = 31992. 11
9996 = (32)996 = 31992
Vì 31992. 11 > 31992 nên 31994 + 31993 – 31992 > 9996
5300 = (52)150 = 25150 < 27150 = (33)150 = 3450 < 3453
Vậy 5300 < 3453
536 = 53.12 = (53)12 = 12512
1124 = 112.12 = (112)12 = 12112
Ta thấy 12512 > 12112 nên 536 > 1124
9999 – 9998 = 9998(9 – 1) = 9998.8
99100 – 9999 = 9998(92 – 9) = 9998.72
Vì 72 > 8 nên 9998.72 > 9998.8
Vậy 99100 – 9999 > 9999 – 9998
\(B = \left( {\frac{1}{4} - 1} \right)\left( {\frac{1}{9} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{{100}} - 1} \right)\)
\(B = - \frac{3}{4}. - \frac{8}{9}... - \frac{{99}}{{100}}\)
\(B = - \frac{{3.8...99}}{{4.9...100}}\)
\(B = - \frac{{1.3.2.4...9.11}}{{2.2.3.3...10.10}}\)
\(B = - \frac{{\left( {1.2.3...9} \right).\left( {3.4....11} \right)}}{{\left( {2.3...10} \right).\left( {2.3...10} \right)}}\)
\(B = - \frac{{1.11}}{{10.2}} = - \frac{{11}}{{20}} < - \frac{{11}}{{21}}\)
Vậy \(B < - \frac{{11}}{{21}}\)
\(\frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
\(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} = \frac{{n + 4 - 1}}{{n + 4}} = 1 - \frac{1}{{n + 4}}\)
Vì \(\frac{1}{{n + 4}} < \frac{1}{{n + 2}} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n + 4}} > 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
Vậy \(\frac{{n + 3}}{{n + 4}} > \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
ĐKXĐ: a > 0; a ≠ 1.
a) \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right)\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{{a - 1 - a + 4}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}:\frac{3}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\)
\(P = \frac{1}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}.\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{3}\)
\(P = \frac{{\sqrt a - 2}}{{3\sqrt a }}\)
b) Xét
Vậy \(P < \frac{1}{3}\)
Số số hạng là số lượng các số xuất hiện trong một dãy số hoặc một tổng.
Ví dụ: Cho dãy số: 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ….. ; 2018. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Thì cách giải như sau:
Số số hạng của dãy số = (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
Áp dụng vào bài toán ta được:
Số số hạng của dãy số đó là
(2018 – 2) : 2 + 1 = 1009 (số hạng)
Công thức tinh số tập hợp con :
+) Tập hợp chính gồm n phần tử
Số tập hợp con gồm : 2n tập hợp
+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 24 = 16 ( tập hợp )
+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên.
Đúng
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn (số vô tỉ) là số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của chúng không có một chu kì, quy luật nào cả.
Các số tròn trục có 4 chữ số khác nhau có tổng các chữ số bằng 6 là:
1050; 1140; 1230; 1320; 1410; 1500; 2040
2130; 2220; 2310; 2400; 3030; 3120; 3210
3300; 4020; 4110; 4200; 5010; 5100; 6000
Các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 6 là:
1320, 1230, 2130, 2310, 3120, 3210
a) Viết và đọc các số tròn chục nghìn trong bảng dưới đây.
b) Viết và đọc các số tròn chục nghìn từ 10 000 đến 100 000.
a)
b) Mười nghìn: 10 000
Hai mươi nghìn: 20 000
Ba mươi nghìn: 30 000
Bốn mươi nghìn: 40 000
Năm mươi nghìn: 50 000
Sáu mươi nghìn: 60 000
Bảy mươi nghìn: 70 000
Tám mươi nghìn: 80 000
Chín mươi nghìn: 90 000
Một trăm nghìn: 100 000
Số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau là : 1023456789
Để được số bé nhất thì chữ số hàng chục nghìn bằng 1, chữ số hàng đơn vị là 8
Số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 100 000 008.
a) Số tự nhiên bé nhất mà lớn hơn 2024,09 là: 2025
b) Số tự nhiên lớn nhất mà bé hơn 2024,99 là: 2024
Số 0 là số tự nhiên.
x = 5
x = 3
x = 25
x = 12
Đáp án đúng là A
Theo giả thiết có: x3 = 53 ⇒ x = 5
Ta có: 756 = 22 . 32 . 7
Số ước dương của 756 là:
(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 (ước)
Ta có:
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi D ≠ 0
⇒ m2 – 4m + 3 ≠ 0
⇒ m ≠ 1 và m ≠ 3
Diện tích tấm bìa hình vuông là:
1 . 1 = 1(m2)
Diện tích những tam giác vuông nhỏ khi được cắt là:
10.20 = 200(cm2) = 0,02 (m2)
Số hình tam giác vuông cắt được là:
1 : 0,02 = 50 (hình)
\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB}}{3} = x \Rightarrow AC = 4x,AB = 3x\left( {x > 0} \right)\)
Áp dụng định lí Pytago ta có:
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 9x2 + 16x2 = BC2
⇔ 25x2 = BC2
Suy ra: BC = 5x
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AH.BC = AB.AC
⇔ 4,8.5x = 3x.4x
⇔ x = 2
Vậy AB = 6; AC = 8; BC = 10
Lại có AB2 = HB.BC ⇒ \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = 3,6\)
HC =BC – HB = 10 – 3,6 = 6,4
Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
⇒ \(\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{a}{b} = 2;\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{b}{c} = \frac{3}{2}\)
Hay a = 2b; 2b = 3c
Suy ra: a = 2b = 3c
Vậy a = 2b = 3c.
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2 \Rightarrow \sin \alpha = 2\cos \alpha \)
Mà sin2α + cos2α = 1
Khi đó ta có:
(2cosα)2 + cos2α = 1
⇔ 5cos2α = 1
⇔ \[co{s^2}\alpha = \frac{1}{5}\]
⇔ \[cos\alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\]
Suy ra: \(\sin \alpha = 2\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?
\(\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
⇔ \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Với 0 < x < 2π thì \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3}\\x = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)
Vậy các điểm trên đường tròn thỏa mãn là F và D
Ta có công thức: tanx . cotx = 1
Suy ra: tan82°.cot82° = 1
\(\tan \left( {a + b} \right) = \tan \frac{\pi }{4} = 1\)
⇒ \(\frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = 1\)
⇔ \(\tan a + \tan b = 1 - \tan a.\tan b = 1 - \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = - 2 + 2\sqrt 2 \)
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan a + \tan b = - 2 + 2\sqrt 2 \\\tan a.\tan b = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Áp dụng Viet đảo ta có tana, tan b là nghiệm của phương trình
\({X^2} + \left( {2 - 2\sqrt 2 } \right)X + 3 - 2\sqrt 2 = 0\)
Giải ra ta được tana = tanb = \( - 1 + \sqrt 2 \)
Suy ra: \(a = b = 22,5^\circ \)
Lũy thừa tầng (còn gọi là tetration) là một phép toán lũy thừa được lặp lại nhiều lần theo cấp số mũ, thay vì nhân hoặc cộng lặp đi lặp lại.
Ví dụ:
phương trình tanx = m, chúng ta phải chú ý đến điều kiện để hàm số có nghĩa. Sau khi giải ra nghiệm của phương trình, chúng ta cần phải xét với điều kiện ban đầu. Chính vì thế, việc kết hợp nghiệm là một việc mà chúng ta thường xuyên phải thực hiện.
Để hàm số tanx = m có nghĩa thì cosx ≠ 0 hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
T = tanα.5cotα
T = 5.(tanα.cotα)
T = 5.1
T = 5
\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)
⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y
⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y
⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)
Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)2 + (2y – 1)2 ≥ 16y2
⇔ 16y2 – 8y + 5 ≤ 0
⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)
Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)
A = {x ∈ ℕ*| x < 12}
A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}
Trong toán học, tham số là các giá trị có thể giữ nguyên hoặc thay đổi trong các công thức và hàm số, ảnh hưởng đến cách mà các biến tương tác và kết quả của các phép toán. Chúng cho phép chúng ta điều chỉnh và nghiên cứu các hình dạng và đặc điểm của các biểu thức toán học.
Ví dụ, xét phương trình đường thẳng y = mx + b:
- m là tham số xác định độ nghiêng của đường thẳng, biểu thị mức độ thay đổi của y khi x thay đổi. Giá trị của m quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng.
- b là tham số thể hiện điểm giao của đường thẳng với trục tung (trục y). Giá trị của b xác định vị trí mà đường thẳng cắt trục y, tức là giá trị của y khi x=0
Khi thay đổi giá trị của m và b, hình dạng và vị trí của đường thẳng sẽ thay đổi theo, tạo ra nhiều khả năng khác nhau.
Với hình hộp chữ nhật có chiều dài là a, chiều rộng là b, chiều cao là h. Công thức tính thể tích là: V = a . b . h
Thể tích của phần nước đá chiếm chỗ đúng bằng thể tích của nước trong cốc nhận được khi nước đá tan hết.
Do đó mực nước trong cốc không thay đổi.
Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít
Số lít dầu thùng 2 lúc này:
(280 + 16) : 2 = 148 (lít)
Số lít dầu thùng 2 ban đầu:
148 – 25 = 123 (lít)
Số lít dầu thùng 1 ban đầu:
280 – 123 = 157 (lít)
Giả sử 8 số đó là: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15
Tích 8 chữ số đó là: 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 . 15 = 2027025
Vậy chữ số tận cùng là 5.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là 0; 1; 2; ...; 999
Tích các số đó là 0 . 1 . 2 . ... . 999 = 0 (vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0)
- Cần nắm thế nào là tích riêng thứ nhất, thứ hai …..
- Khi đặt các tích riêng sai vị trí thì mỗi tích riêng thay đổi ra sao bị lệch 1,2,3… hàng so với tích đúng về bên nào:
- Lệch sai 1, 2, 3 … hàng về bên trái thì tích riêng gấp 10, 100, 1000…. lần
- Lệch sai 1, 2, 3 …. hàng về bên phải thì tích riêng giảm 10, 100, 1000…. lần. Sau đó dựa vào kết quả để tính toán.
Ví dụ 1:
Khi nhân một số tự nhiên với 98, một bạn học sinh đã sơ ý đặt hai tích riêng thẳng cột với nhau. Vì vậy tìm được kết quả là 4709. Tìm phép tính đúng.
Phân tích: Cần nắm thế nào là tích riêng
Tích riêng thứ nhất: Thừa số thứ nhất × 8
Tích riêng thứ hai: Thừa số thứ nhất × 9
Khi thực hiện phép tính đúng là tích riêng thứ hai phải đặt lùi vào một hàng. Khi đặt thẳng cột tức là đã làm một phép cộng thông thường, hay là đã lấy thừa số thứ nhất × 8 + thừa số thứ nhất × 9 được kết quả là 4709.
Bài giải:
Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau tức là lấy số thứ nhất nhân với 8 và 9 rồi cộng hai kết quả với nhau. Hay là bạn đó đã nhân thừa số thứ nhất với: 9 + 8 = 17
Thừa số thứ nhất là: 4709 : 17 = 277
Tích đúng là: 277 x 98 = 27146
Đáp số: 27146
Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ:
+ Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng a thì b đi qua M và song song với a là duy nhất.
Chú ý: Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
ĐKXĐ: \(2\cos x + \sqrt 3 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\frac{{\sin x - m}}{{2\cos x + \sqrt 3 }} = 0\)
⇔ sinx – m = 0
⇔ sinx = m (*)
Để \(x \in \left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) thì sin\(x \in \left( {0;1} \right]\) suy ra m ∈ (0;1]
Tuy nhiên với m = 1 thì phương trình sinx = 1 chỉ có 1 nghiệm là \(x = \frac{\pi }{2}\) trong khoảng \(\left( {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\), nên ta loại m = 1
Vậy giá trị cần tìm của m là 0 < m < 1.
Trong mp(BCD) gọi I = FG ∩ BD
Trong mp (ADB) gọi H = IE ∩ AD
Khi đó HG = (EFG) ∩ (ACD)
Áp dụng định lí menelaus cho tam giác BCD với 3 giao điểm I, G, F thẳng hàng ta có:
\(\frac{{ID}}{{IB}}.\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{GC}}{{GD}} = 1 \Rightarrow \frac{{ID}}{{IB}} = \frac{1}{4}\)
Xét tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng I, H, E thẳng hàng ta có:
\(\frac{{HD}}{{HA}}.\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{IB}}{{ID}} = 1 \Rightarrow \frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HD = \frac{a}{5}\)
Xét tam giác HDG:
\(H{G^2} = H{D^2} + D{G^2} - 2.DH.DG.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{{25}} + \frac{{{a^2}}}{9} - \frac{{{a^2}}}{{15}} = \frac{{19{a^2}}}{{225}}\)
Suy ra: \(HG = \frac{{\sqrt {19} }}{{15}}a\)
\(A = \frac{{3{x^2} + 4{x^2}y}}{{{x^2}}} - \frac{{10xy + 15x{y^2}}}{{5y}}\)
\(A = 3 + 4y - \left( {2x + 3xy} \right)\)
A = 3 + 4y – 2x – 3xy
A = 3 + 4.(-5) – 2.2 – 3.2.(-5)
A = 9
\(\frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}}\\ = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9}\\ = 1 - \frac{1}{9}\\ = \frac{8}{9}\end{array}\)
Công thức tinh số tập hợp con :
+) Tập hợp chính gồm n phần tử
Số tập hợp con gồm : 2n tập hợp
+) Ví dụ : Tập hợp A = { 1 ; 2; 3; 4 } gồm 4 phần tử nên số tập hợp con có là : 24 = 16 ( tập hợp )
+) Số tập hợp con là số tập hợp được lập mà mỗi tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp chính. Cách tìm như trên.
Có: p2 ≡ ±1 (mod5)
⇒ p4 ≡ 1 (mod5)
Gọi n là số các số 5 ở VT. Xét các trường hợp sau:
+ Nếu n = 0 thì VT ≡ 1 + 1 + ... + 1 ≡ 5 (mod5)
Mà VP ⋮̸ 5
⇒ VT = VP (vô lí)
+ Nếu n = 5 thì a = b = c = d = e = 5. Thử lại thì hoàn toàn đúng
Nếu 1 ≤ n ≤ 4 thì VP ⋮ 5 và VT ≡ 5−n (mod5)
Do 1 ≤ n ≤ 4 ⇒ 5 – n ≢ 0 (mod5)
Vậy a = b = c = d = e = 5
5 số thập phân x thỏa mãn điều kiện trên là:
1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25.
\(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{{a - b}}\)
⇔ \(\frac{{b - a}}{{ab}} = - \frac{1}{{b - a}}\)
⇔ (b – a)2 = –ab
⇔ a2 – ab + b2 = 0
⇔ \({\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} = 0\) (*)
Ta thấy \[{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \ge 0,\forall a,b \in \mathbb{Z}\] nên để (*) xảy ra thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}a - \frac{b}{2} = 0\\\frac{{3{b^2}}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 0\)
Gọi \(A = \overline {abcd} = {k^2}\)
Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta có số:
\(B = \overline {\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\left( {d + 1} \right)} = {m^2}\left( {k,m \in \mathbb{N};32 < k < m < 100;0 < a,b,c,d < 10} \right)\)
\[\left\{ \begin{array}{l}A = \overline {abcd} = {k^2}\\B = \overline {abcd} + 1111 = {m^2}\end{array} \right.\]
Suy ra: m2 – k2 = 1111 ⇔ (m – k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là hai số nguyên dương
Vì m – k < m + k < 200 nên (*) có thể biết (m – k)(m + k) = 11.101
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}m - k = 11\\m + k = 101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 56\\k = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = {56^2} = 3136\\A = {k^2} = 2025\end{array} \right.\)
Vậy A = 2025; B = 3136.
(ax + b)(x2 – 2cx + abc) = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
⇔ ax3 + 2acx2 + bx2 - 2bcx + ab2c = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
⇔ ax3 + (2ac + b2)x2 + (a2bc – 2bc)x + ab2c = x3 – 4x2 + 3x + \(\frac{9}{5}\)
Đồng nhất hệ số ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2ac + {b^2} = - 4\\{a^2}bc - 2b = 3\\a{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\] ⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2c + {b^2} = - 4\\bc - 2b = 3\\{b^2}c = \frac{9}{5}\end{array} \right.\] ⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \frac{3}{5}\\c = 5\end{array} \right.\]
Vậy \(a = 1;b = \frac{3}{5};c = 5\)
225 là số lẻ nên 100a + 3b + 1 ; 2a + 10a + b cũng là các số lẻ
Do 100a + 3b + 1 là số lẻ mà 100a là số chẵn
⇒ 3b là số chẵn
⇒ b là só chẵn
Kết hợp với 2a + 10a + b là số lẻ có 2a là số lẻ
⇔ 2a = 1 ⇔ a = 0
Lúc đó:
(3b +1)(b +1) = 225
⇔ (b - 8)(3b - 28) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}b = 8\\b = \frac{{28}}{3}\end{array} \right.\)
Vì b là số tự nhiên ⇒ a = 0; b = 8
Vậy a = 0; b = 8.
Ta có: 315 = 5 . 7 . 9
Vì \(\overline {2009abc} \vdots 315\) tức \(\overline {2009abc} \vdots 5\) nên c = 0 hoặc c = 5
TH1: Với c = 0 ta có số \(\overline {2009ab0} \)
Để \(\overline {2009ab0} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 0) ⋮ 9 tức (11 + a + b) ⋮ 9
Suy ra: a = 0, b = 7 hoặc a = 7, b = 0
TH2: Với c = 5 ta có số \(\overline {2009ab5} \)
Để \(\overline {2009ab5} \vdots 9\) thì (2 + 0 + 0 + 9 + a + b + 5) ⋮ 9 tức (16 + a + b) ⋮ 9
Suy ra: a = 3, b = 8 hoặc a = 8, b = 3.
Vậy (a;b;c) ∈ {(0;7;0), (7;0;0), (3;8;5), (8;3;5)}.
ax19 + bx94 + cx1994
= a(x19 – x) + b(x94 – x) + c(x1994 – x) + ax + bx + cx2
= ax(x18 − 1) + bx(x93 − 1) + cx2(x1992 − 1) + c(x2 + x + 1) – cx – c + ax + bx
Dễ thấy:
x18 – 1 ⋮ x2 + x + 1
x93 – 1 ⋮ x2 + x + 1
x1992 – 1 ⋮ x2 + x + 1
Do đó –cx – c + ax + bx = x(a + b − c) – c chính là đa thức dư khi thực hiện phép chia.
Để phép chia là chia hết thì x(a + b − c) – c = 0 với mọi x
⇔ a + b – c = 0 và c = 0
⇔ a + b = c = 0
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là n – 1, n, n + 1 (n là số tự nhiên)
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
(n – 1)2 + n2 = (n + 1)2
⇔ 2n2 – 2n + 1 = n2 + 2n + 1
⇔ n2 – 4n = 0
⇔ n(n – 4) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 4\end{array} \right.\)
Mà n là số tự nhiên nên n = 4
Vậy 3 cạnh của tam giác vuông lần lượt là: 3, 4, 5.
Ta có: x = 21 nên x – 1 = 20
A = x6 – 20x5 – 20x4 – 20x3 – 20x2 – 20x + 3
A = x6 – x5(x – 1) – x4(x – 1) – x3(x – 1) – x2(x – 1) – x(x – 1) + 3
A = x6 – x6 + x5 – x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 3
A = x + 3
A = 21 + 3
A = 24.
Để C mang giá trị nguyên thì 3 chia hết cho x + 1
Suy ra: x + 1 ∈ {-3; -1; 1; 3}
⇒ x ∈ {-4; -2; 0; 2}
Vậy x ∈ {-4; -2; 0; 2}
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c
Giả sử ma = 15; mb = 18; mc = 27
Theo công thức trung tuyến:
\({m_a} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\); \({m_b} = \frac{{2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}}}{4}\); \({m_c} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}\)
Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:
\(\frac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4} = {m_a} + {m_b} + {m_c} = 15 + 18 + 27 = 60\)
Suy ra: a2 + b2 + c2 = 80
⇒ b2 + c2 = 80 – a2
Thay vào \(15 = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\) ta được:
\(15 = \frac{{2\left( {80 - {a^2}} \right) - {a^2}}}{4} \Rightarrow a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)
Suy ra: \(b = \frac{{2\sqrt {66} }}{3};c = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\)
Vì ƯCLN(a,b) = 10, suy ra : a = 10x ; b = 10y
(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)
Ta có : a.b = 10x . 10y = 100xy (1)
Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)
a.b = 10 . 900 = 9000 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: xy = 90
Ta có các trường hợp sau:
|
x |
1 |
2 |
3 |
5 |
9 |
|
y |
90 |
45 |
30 |
18 |
10 |
Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:
|
a |
10 |
20 |
30 |
50 |
90 |
|
b |
900 |
450 |
300 |
180 |
100 |
Vậy (a;b) ∈ {(10;900), (20;450), (30;300), (50;180), (90;100)}
+ Nếu x = 0 thì có: 20 + 17 = y4 ⇔ 18 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x = 1 thì có: 21 + 17 = y4 ⇔ 19 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x = 2 thì có: 22 + 17 = y4 ⇔ 21 = y4 ⇒ không có y nguyên thỏa mãn
+ Nếu x > 2 thì x có dạng x = 2k hoặc x = 2k + 1 (k là số nguyên)
- Với x = 2k ta có: 22k + 17 = y4
⇔ y4 – 22k = 17
⇔ (y2)2 – (2k)2 = 17
⇔ (y2 – 2k)(y2 + 2k) = 17
Mà 17 = 17.1 và y2 + 2k > y2 - 2k nên
\(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {2^k} = 17\\{y^2} - {2^k} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 9\\{2^k} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\k = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2k = 6\end{array} \right.\)
- Với x = 2k + 1 ta có: 22k + 1 + 17 = y4
⇔ 22k+1 + 17 = y4
⇔ y4 – 16 = 22k+1 + 1
⇔ (y2 – 4)(y2 + 4) = 22k+1 + 1
Ta thấy 22k+1 + 1 chia hết cho 3
Mà y2 chia 3 luôn dư 1, 4 chia 3 dư 1 nên y2 + 4 chia 3 dư 2
y2 – 4 chia 3 cũng dư 2
Nên (y2 – 4)(y2 + 4) không chia hết cho 3
Suy ra: (y2 – 4)(y2 + 4) = 22k+1 + 1 vô nghiệm.
Vậy x = 6 và y = 3.
Vì x, y là số tự nhiên nên 2x + 624 > 624 ⇒ 5y > 624
Mà 5y có tận cùng là 5
Nên 2x + 624 cũng có tận cùng là 5
Xét x = 0 thì: 2x + 624 = 625 = 5y ⇒ y = 4
Xét x >0 thì 2x có tận cùng là chữ số chẵn nên 2x + 624 có tận cùng khác 5.
Vậy x = 0; y = 4.
Vì vai trò x, y, z như nhau và x, y, z nguyên dương nên để bài toán không mất tính tổng quát ta giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z
x + y + z ≤ z + z + z + 16 = 3z + 16
⇒ 2xyz ≤ 3z + 16
⇒ 2xy ≤ 3z + 16z
⇒ 2xy ≤ 3 + 16z ≤ 3 + 16 = 19
⇒ xy ≤ \(\frac{{19}}{2}\) = 9,5
Mà x ≤ y nên:
x2 ≤ 9,5 ⇒ x ∈ {1, 2, 3}
TH1: x = 1
⇒ 2yz = y + z + 17
⇔ 2yz − y − z = 17
⇔ y( z − 1) − z = 17
⇔ 2y( 2z −1) − (2z 1) == 17. 2 + 1 = 35
⇔ (2y − 1)(2z − 1) = 35 = 35. 1 = 5. 7
Mà y ≤ z nên ta có bảng:
|
2y – 1 |
1 |
5 |
|
2z – 1 |
35 |
7 |
|
y |
1 |
3 |
|
z |
18 |
4 |
TH2: x = 2
⇒ 4yz = y + z + 18
⇔ 16yz − 4y − 4z – 1 = 73
⇔ (4z − 1)(4y − 1) = 73 = 1.73
Suy ra: 4z – 1 = 73 (loại vì z nguyên dương)
TH3: x = 3
⇒ 6yz = y + z + 19
⇔ 36yz = 114 + 6y + 6z
⇔ 36yz – 6y – 6z = 114
⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 114 + 1
⇔ (6y – 1)(6z – 1) = 115 = 115.1 = 23.5
Ta có bảng:
|
6y – 1 |
1 |
5 |
|
6z – 1 |
115 |
23 |
|
y |
0,33 |
1 |
|
z |
19,33 |
4 |
Trường hợp này loại vì y, z nguyên dương
Vậy (x, y, z) ∈ {(1;3;4), (1;1;18)} và các hoán vị.
Các ước của 115 là 1;5; 23; 115.
Nên các ước lớn hơn 10 của 115 là 23; 115.
Có nhiều cách để tính chiều rộng hình chữ nhật trong một bài toán, tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho.
Dưới đây là một số cách:
* Công thức tính chiều rộng khi biết chu vi khi biết chiều dài:
- Ta lấy chu vi chia 2, ra nửa chu vi
- Lấy nửa chu vi trừ chiều dài, ta được chiều rộng
* Công thức tính chiều rộng khi biết diện tích và chiều dài :
Diện tích : chiều dài = chiều rộng
5x2 – 2A + 4x – 5 = A + 4x2 – 6x + 7
3A = 5x2 + 4x – 5 – 4x2 + 6x – 7
3A = x2 + 10x – 12
\(A = \frac{{{x^2} + 10x - 12}}{3}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử a = max (a;b;c) , ta xét 2 trường hợp:
+) –a ≥ b ≥ c dẫn đến kết quả sau:
P = a2b + abc + c2b = b(a2 + ac + c2) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)
+) –a ≥ cb ≥ dẫn đến kết quả sau:
P = a2c + b2c + abc = c(a2 + ab + b2) \( \le b{\left( {a + c} \right)^2} \le \frac{1}{2}{\left[ {\frac{{2b + \left( {a + c} \right) + \left( {a + c} \right)}}{3}} \right]^3} = \frac{4}{{27}}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{4}{{27}}\) khi \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};0} \right)\) và các hoán vị.
\(A = \frac{{5 - {x^2}}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{ - \left( {{x^2} + 3} \right) + 8}}{{{x^2} + 3}} = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}}\)
Mà x2 ≥ 0 nên x2 + 3 ≥ 3 ⇒ \(\frac{8}{{{x^2} + 3}} \le \frac{8}{3}\)
\(A = - 1 + \frac{8}{{{x^2} + 3}} \le - 1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}\)
Vậy GTLN của A bằng \(\frac{5}{3}\)
Dấu “=” khi x = 0.
\(M = \frac{{4a}}{{{a^2} + 4}} = \frac{{\left( {{a^2} + 4} \right) - \left( {{a^2} - 4a + 4} \right)}}{{{a^2} + 4}} = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}}\)
Vì (a – 2)2 ≥ 0 và a2 + 4 > 0 với mọi a nên \(\frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \ge 0,\forall a\)
Suy ra: \(M = 1 - \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{{a^2} + 4}} \le 1\)
Vậy GTLN của M là 1 khi a = 2.
\(A = \frac{{2x - 6}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x + 3}}\)
Để A nguyên thì 2 chia hết x + 3
Hay x + 3 ∈ Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}
⇒ x ∈ {-5; -4; -2; -1}
Vậy x ∈ {-5; -4; -2; -1}.
Đặt 2x – 1 = a nên \(x = \frac{{a + 1}}{2}\)
⇒ \(B = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} - 3\left( {a + 1} \right) + 1}}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} - a - 1}}{{{a^2}}}\)
\(B = 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{{{a^2}}}\)
\(B = - \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + 2.\frac{1}{a}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{5}{4} = - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4}\)
Vì \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0,\forall a\) suy ra: \( - {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}\)
Vậy max B = \(\frac{5}{4}\) khi a = -2 hay \(x = - \frac{1}{2}\)
\(A = \frac{4}{{3 - x}} + \frac{{100}}{x} + 2024\)
\(A = \frac{{{2^2}}}{{3 - x}} + \frac{{{{10}^2}}}{x} + 2024\)
\(A \ge \frac{{{2^2} + {{10}^2}}}{{3 - x + x}} + 2024\)
\(A \ge 2072\)
Vậy GTNN của A là 2072 khi \(\frac{2}{{3 - x}} = \frac{{10}}{x} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\)
A = x2 – 4x + 9
A = x2 – 4x + 4 + 5
A = (x – 2)2 + 5
Vì (x – 2)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5 với mọi x
Vậy GTNN của A là 5 khi x – 2 = 0 hay x = 2.
A = x2 – 4x + 3
A = x2 – 4x + 4 – 1
A = (x – 2)2 – 1
Vì (x – 2)2 ≥ 0, ∀x nên (x – 2)2 – 1 ≥ –1 với mọi x
Vậy GTNN của A là –1 khi x – 2 = 0 hay x = 2.
A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
A = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt x2 + 3x = t
Ta có: A = t(t + 2) = t2 + 2t = (t + 1)2 – 1
Vì (t + 1)2 ≥ 0, ∀t nên (t + 1)2 – 1 ≥ –1 với mọi t
Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1
⇒ x2 + 3x = –1
⇔ x2 + 3x + 1 = 0
⇔ \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
ĐKXĐ: x ≠ -1
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)
Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} > 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 < 3\)
Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 < 3
⇒ x + 1 = 1
⇒ x = 0
Vậy x = 0 thì A nhận giá trị nguyên âm và A = -2.
ĐKXĐ: x ≠ -1
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = 1 - \frac{3}{{x + 1}}\)
Để A nhận giá trị nguyên âm thì \(\frac{3}{{x + 1}} < 1;\frac{3}{{x + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 1 > 3\)
Suy ra: x + 1 ∈ Ư(3) và x + 1 > 3
⇒ Không tồn tại x phù hợp
Vậy không tồn tại x để A nguyên dương.
P = 2x - 2xy - 2x2 - y2
P = -(x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2x + 1) + 1
P = -(x + y)2 – (x – 1)2 + 1
Vì -(x + y)2 – (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y nên P = -(x + y)2 – (x – 1)2 + 1 ≥ 1
Vậy GTLN của P là 1 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = 1\end{array} \right.\)
\(B = 2{x^2} - 3x + 1\)
\(B = 2\left( {{x^2} - 2.\frac{3}{4}.x + \frac{9}{{16}}} \right) - \frac{1}{8}\)
\(B = 2{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{1}{8} \ge - \frac{1}{8}\)
Vậy GTNN của B là \( - \frac{1}{8}\) khi \(x = \frac{3}{4}\)
12x + 10y + 15z ≤ 60
⇒ \(\frac{x}{5} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} \le 1\)
Đặt \(\frac{x}{5} = a;\frac{y}{6} = b;\frac{z}{4} = c\left( {0 \le a,b,c \le 1} \right),a + b + c \le 1\)
Khi đó T = 25a2 + 36b2 + 16c2 – 20a – 24b – 4c
\(25a\left( {a - \frac{{32}}{{25}}} \right) \le 0\) ⇒ 25a2 ≤ 32a
36b(b – 1) ≤ 0 ⇒ 36b2 ≤ 36b
16c(c – 1) ≤ 0 ⇒ 16c2 ≤ 16c
Suy ra: T ≤ 32a + 36b + 16c – 20a – 24b – 4c = 12(a + b + c) ≤ 12
Vậy Tmax = 12 khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\c = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 0\end{array} \right.\)
G = x2 – x + 2y2 – 4y + 3
G = \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\)
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x,y\)
Vậy GTNN của G là \(\frac{3}{4}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\end{array} \right.\)
A = x2 – x + 1
\(A = {x^2} - 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x \Rightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\forall x\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{3}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\)
A = x2 + 12x + 39
A = x2 + 2.6x + 62 + 3
A = (x + 6)2 + 3
Vì (x + 6)2 ≥ 0 với mọi x nên (x + 6)2 + 3 ≥ 3 với mọi x
Vậy GTNN của A là 3 khi x = -6.
ĐKXĐ: x ≠ 0
\(B = \frac{{{x^2} - 2x + 2006}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 1 + 2005}}{{{x^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2005}}{{{x^2}}}\)
Vì x2 ≥ 1 và (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 2005 ≥ 2005
Vậy GTNN của B là 2005 khi x = 1.
M = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1
M = x3(x – 1) – x2(x – 1) + (x – 1)2
M = (x – 1)(x3 – x2) + (x – 1)2
M = (x – 1)2x2 + (x – 1)2
M = (x – 1)2(x2 + 1)
Vì (x – 1)2 ≥ 0, x2 + 1 ≥ 1 nên (x – 1)2(x2 + 1) ≥ 1 với mọi x
Do đó GTNN của M là 1 khi x = 0.
B(36) = {0; 36; 72; 108; …}
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n , n thuộc {2, 3, ..., 2004}).
Mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + ... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4
= 200(1 + 2 + ... + 9) + 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Gọi 2 số cần tìm là a, b
Theo bài ra ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}a + b = 13\\ab = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\\left( {13 - b} \right)b = 42\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13 - b\\13b - {b^2} - 42 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]
Vậy (a;b) ∈ {(6;7), (7;6)}.
Hiệu hai số đó là:
5 × 2 + 2 = 12
Số thứ nhất là:
(186 + 12) : 2 = 99
Số thứ hai là:
186 – 99 = 87
Đáp số: 99; 87.
Vì hiệu của 2 số đó là 507, là số lẻ nên một trong hai số là số chẵn
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2
Nên số còn lại là:
507 + 2 = 509.
Vậy 2 số nguyên tố cần tìm là 509 và 2.
Nếu số lớn thêm 15,4 thì hiệu hai số mới sẽ tăng thêm 15,4.
Nếu số bé thêm 7,8 thì hiệu hai số mới sẽ giảm 7,8.
Vì hiệu hai số mới là 20,8 nên hiệu của hai số ban đầu là :
20,8 + 7,8 − 15,4 = 13,2
Đáp số : 13,2.
\(\frac{1}{5}.m = \frac{6}{7}\)
⇔ \(m = \frac{6}{7}:\frac{1}{5} = \frac{{30}}{7}\)
Để A ∩ B ≠ ∅ thì đầu tiên B ≠ ∅ hay 2m – 1 < 3m, tức là m > -1
Để A ∩ B ≠ ∅ thì \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m - 1 > m + 1\\2m - 1 < m + 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3m < m + 4\\3m > m + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m < 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2 < m < 5\\\frac{1}{2} < m < 2\end{array} \right.\)
Vậy m ∈ \(\left( {\frac{1}{2};2} \right) \cup \left( {2;5} \right)\)
y′ = −3x2 + 6(m + 1)x − 3m2 − 7m + 1
Hàm có cực tiểu khi và chỉ khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔ Δ′ = 9m2 + 18m + 9 + 3(−3m2 − 7m + 1) > 0
⇔ −3m + 12 > 0
⇒ m < 4
Giả sử x1 < x2 là 2 nghiệm, khi đó a = -1 < 0 nên x1 là điểm cực tiểu
Suy ra: \(\frac{{ - 3\left( {m + 1} \right) - \sqrt {12 - 4m} }}{{ - 3}} < 1\)
⇔ \(3m + 3 + \sqrt {12 - 4m} > 3\)
⇔ \(\sqrt {12 - 4m} > 3\)
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\12 - 4m > 9{m^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{ - 2 - 4\sqrt 7 }}{9} < m < 4\)
Để hai đường thẳng song song thì 2 = m – 1
Suy ra: m = 3
Vậy m = 3.
Nếu m = 1 thì (d): y = −2 cách O một khoảng d = 2
Nếu m = 2 thì (d): x = 1 cách O một khoảng d = 1
Nếu m ≠ 1; 2
Gọi A và B là giao điểm của (d) với trục Ox, Oy
\({y_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = \frac{1}{{m - 1}}\)
\({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = \frac{2}{{m - 2}}\)
Gọi khoảng cách từ O đến (d) là hh thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:
\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\)
Để hmax thì \(\frac{1}{{{h^2}}}\) min hay \({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\) min
Dễ thấy:
\({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}{m^2} - 4m + 3 = \frac{3}{2}{\left( {m - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} \ge \frac{1}{3},\forall m\)
Khi đó h = 3
Thông qua các TH trên thì thấy m = 1 thì thỏa mãn đề.
\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1\)
Vì \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x \Rightarrow \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} - 1 \ge - 1\)
Vậy GTNN của D là -1 khi x = -2
\(D = \frac{{4x + 3}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - 4{x^2} + 4x - 1 + 4{x^2} + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4\)
Vì \( - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} \le 0,\forall x \Rightarrow - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 4 \le 4\)
Vậy GTLN của D là 4 khi x = \(\frac{1}{2}\)
Số cần tìm là:
42.7 = 294
Đáp số: 294.
Số cần tìm là:
31 + 35 – 42 = 24
Đáp số: 24.
Số cần tìm là:
(44 – 24) . 7 = 140
Đáp số: 140.
Số cần tìm là:
15 + 27 – 12 = 30.
Đáp số: 30
Ta có: 3n + 4 ⋮ 2n + 1
⇒ 2(3n + 4) ⋮ 2n + 1
⇔ 6n + 8 ⋮ 2n + 1
⇔ 6n + 3 + 5 ⋮ 2n + 1
⇔ 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1
Vì 3(2n + 1) ⋮ 2n + 1 nên để 3(2n + 1) + 5 ⋮ 2n + 1 thì 5 ⋮ 2n + 1
Hay 2n + 1 ∈ Ư(5)
Vì n là số tự nhiên nên 2n + 1 = 1 hoặc 2n + 1 = 5
⇒ n = 0 hoặc n = 2.
Vậy n = 0 hoặc n = 2.
Ta có: n – 6 = n – 1 – 5
Vì (n – 1) ⋮ (n – 1) nên để (n - 6) ⋮ (n - 1) thì 5 ⋮ n – 1
Hay n – 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5 }
Suy ra: n ∈ {-4; 0; 2; 6}
Vậy n ∈ {-4; 0; 2; 6}
Gọi phân số cần tìm là \(\frac{x}{6}\)
Ta có: \(\frac{x}{6} < \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{8x}}{{48}} < \frac{{3.6}}{{8.6}} = \frac{{18}}{{48}} \Rightarrow 8x < 18 \Rightarrow x < \frac{9}{4}\)
Vì x nguyên nên x = 0, 1, 2
Suy ra có 3 phân số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\frac{0}{6};\frac{1}{6};\frac{2}{6}\)
Ta gọi các phân số đó là x, y, z, t
Ta có:
\(\frac{5}{7} < x < y < z < t < \frac{5}{6}\)
\(\frac{{30}}{{42}} < x < y < z < t < \frac{{35}}{{42}}\)
Suy ra: \(x = \frac{{31}}{{42}};y = \frac{{32}}{{42}} = \frac{{16}}{{21}};z = \frac{{33}}{{42}};t = \frac{{34}}{{42}} = \frac{{17}}{{21}}\)
Số dư lớn nhất của phép chia trên là 5 nên số chia là 6.
Số bị chia là:
14 . 6 + 5 = 89
Để \(\overline {5a38b} \) chia 5 dư 1 thì b = 1 hoặc b = 6
Mà \(\overline {5a38b} \vdots 2\) nên b = 6
Ta được số: \(\overline {5a386} \)
Để \(\overline {5a38b} \vdots 9\)thì (5 + a + 3 + 8 + 6) ⋮ 9 hay 22 + a ⋮ 9
Mà a < 10 nên a = 5
Vậy \(\overline {5a38b} = 55386\)
Các số đối lần lượt là: \( - \frac{4}{5};3;\frac{4}{7};\frac{2}{5}; - \frac{5}{{11}}; - 0,123\)
Số học sinh học giỏi ít nhất 1 môn toán hoặc tiếng việt là:
40 - 2 = 38 (học sinh)
Nếu mỗi bạn chỉ thích 1 môn thì có tất cả số học sinh là:
30 + 25 = 55 (học sinh)
Vậy thì thừa ra số học sinh chính là số học sinh giỏi cả toán và tiếng việt là:
55 - 38 = 17 (học sinh)
Giả sử tích của 2025n – 2024 là k(k + 1) (k là số nguyên)
Ta có: 2025n – 2024 = k(k + 1)
\(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\)
Vì n nguyên nên k(k + 1) + 2024 chia hết cho 2025
Lại có: 2025 = 52.34 = 25 . 81
Mà k(k + 1) luôn chia hết cho 2 và 2024 ⋮ 2
Nhưng \(2025\cancel{ \vdots }2\) nên biểu thức \(n = \frac{{k\left( {k + 1} \right) + 2024}}{{2025}}\) sẽ luôn có số dư
Mà n là số nguyên nên không thể tồn tại n thỏa mãn
Vậy không có giá trị n.
xy - x + y = 6
⇔ x(y – 1) + y – 1 = 5
⇔ (y – 1)(x + 1) = 5
Ta có bảng:
|
y – 1 |
5 |
1 |
-5 |
-1 |
|
x + 1 |
1 |
5 |
-1 |
-5 |
|
y |
6 |
2 |
-4 |
0 |
|
x |
0 |
4 |
-2 |
-6 |
Vậy (x;y) ∈ {(0;6), (4;2), (-2;-4), (-6;0)}.
Ta thấy các chữ số đều < 10 nên chữ số bé nhất là 2.
Ta có: 20 = 9 + 9 + 2
Vậy số cần tìm là 299.
Ta thấy:
11 – 2 = 9
25 – 11 = 14
44 – 25 = 19
68 – 44 = 24
Các hiệu giữa 2 số kề nhau tăng với công sai d = 5
Vậy số tiếp theo là:
68 + (24 + 5) = 97
Đáp số: 97.
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \), ta có số mới là \(\overline {2ab2} \)
Ta có: \(\overline {2ab2} = \overline {ab} .36\)
2002 + \(\overline {ab} \). 10 = \(\overline {ab} \) . 36
2002 = \(\overline {ab} \) . 26
\(\overline {ab} \) = 2002 : 26
\(\overline {ab} \) = 77
Vậy số cần tìm là 77.
Ta có: 2n + 7 = 2(n + 2) + 3
Vì 2(n + 2) ⋮ (n + 2) nên để 2n + 7 ⋮ n + 2 thì 3 ⋮ n + 2
Hay n + 2 ∈ Ư(3)
Vì n là số tự nhiên nên n + 2 ≥ 0 + 2 = 2
⇒ n + 2 = 3
⇒ n = 1
Vậy n = 1.
7300 = (73)100 = 343100
n200 = (n2)100
Vì n200 < 7300 ⇒ (n2)100 < 343100 ⇒ n2 < 343
⇒ n < 18,5202
Vậy giá trị lớn nhất của n thỏa mãn đề bài là n = 18.
Để (n+1)(n+3) là số nguyên tố thì nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó
Mà (n+1)(n+3) là tích hai số nên n + 1 hoặc n + 3 bằng 1
Nếu n > 2 thì n+1 và n+ 3 sẽ luôn có một số không phải là số nguyên tố
⇒ Tích (n+1)(n+3) sẽ không phải số nguyên tố
Nếu n = 2 thì (n+1)(n+3) = 15 ⇒ Không phải số nguyên tố
Nếu n = 1 thì (n+1)(n+3) = 8 ⇒ Không phải số nguyên tố
Nếu n = 0 thì (n+1)(n+3) = 3 ⇒ Là số nguyên tố
Vậy với n = 0 thì (n+1)(n+3) là số nguyên tố
Đặt A = 1 + n2017 + n2018
Với n = 1 ⇒ A = 3 là số nguyên tố (chọn)
Với n > 1 ta có:
A = 1 + n2017 + n2018
= n2018 – n2 + n2017 – n + (n2 + n + 1)
= n2(n2016 – 1) + n(n2016 – 1) + (n2 + n + 1)
= (n2016 – 1)(n2 + n) + (n2 + n + 1)
Mà : n2016−1 = (n3)672 – 1 = (n3 − 1)[(n3)671 + (n3)670 + ... + n3 + 1] ⋮ n3 − 1
⇒ (n2016−1) ⋮ (n2 + n + 1)
⇒A ⋮ (n2 + n + 1)
Ta lại có : 1 < (n2 + n + 1) < Anên A là số nguyên tố
Vậy n = 1 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài
Ta có: 25 < 3n ⇒ n > 2 vì 32 = 9 < 25
36 = 729 > 260 ⇒ n < 6
Kết hợp ta có: 2 < n < 6
Mà n là số tự nhiên nên n = 3; 4; 5
Vậy n ∈ {3; 4; 5}.
ĐK: x ≥ 74
Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 15 = {m^2}\\x - 74 = {n^2}\end{array} \right.\left( {m,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Suy ra: m2 – n2 = x + 15 – x + 74 = 89
⇔ (m – n)(m + n) = 89
Do m và n là số tự nhiên và 89 = 89.1; m + n > m – 1=n nên \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 89\\m - n = 1\end{array} \right.\)
⇒ m = 45; n = 44
Thay vào: x + 15 = 452 ⇒ x = 452 – 15 = 2010
Vậy x = 2010.
(2x – 3)2 – (x + 5)2 = 0
⇔ (2x – 3 – x – 5)(2x – 3 + x + 5) = 0
⇔ (x – 8)(3x + 2) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Vậy x = 8 hoặc \(x = - \frac{2}{3}\)
Ta có: 8 ⋮ x; 9 ⋮ x nên x ∈ ƯC(8;9) = ±1
Mà x tự nhiên nên x = 1.
(x2 – 4)(2x + x + 3) = 0
⇔ (x2 – 4)(3x + 3) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2)(3x + 3) = 0
⇔
Vậy x ∈ {-2;-1;2}
5x + 5x+1 + 5x+2 = 31
⇔ 5x + 5x . 5 + 5x . 52 = 31
⇔ 5x ( 1 + 5 + 52) = 31
⇔ 5x = 1
⇔ x = 0
Vậy x = 0.
5x + 3x = 88
8x = 88
x = 88 : 8
x = 11
Vậy x = 11.
x ∈ Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
x ∈ B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; …}
Do đó không tìm được x thỏa mãn.
Ta có: 450 = 2.32.52
Số ước dương của 450 là:
(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 (ước)
y = sin2x + 4sinx – 1
y = (sinx – 1)(sinx + 5) + 4
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x - 1 \le 0\\\sin x + 5 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \le 4\)
y = sin2x + 4sinx + 3 – 4 = (sinx + 1)(sinx + 3) – 4
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + 1 \ge 0\\\sin x + 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow y \ge - 4\)
Vậy tập giá trị là [-4;4].
ĐKXĐ: \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\)
⇒ \(3x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)
⇒ \(x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\)
a) A ⊂ B ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m + 3 < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m \le 5\)
b) B ⊂ A ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m + 3 \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 5\\m \le 4\end{array} \right.\) (không tồn tại m thỏa mãn)
Để (m - 7; m) là tập con của (-4;3) thì m - 7 > -4 và m < 3
Suy ra: m > -3 và m < 3
Vậy -3 < m < 3.
Ta có: 18 = 32.2
36 = 22.32
30 = 2.3.5
⇒ ƯCLN(18; 36; 30) = 2.3 = 6
(3x – 7)2 – 4(x + 1)2 = 0
⇔ (3x – 7)2 – [2(x + 1)]2 = 0
⇔ (3x – 7)2 – (2x + 2)2 = 0
⇔ (3x – 7 + 2x + 2)(3x – 7 – 2x – 2) = 0
⇔ (5x – 5)(x – 9) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)
Vậy x = 1 hoặc x = 9.
(3x – 5)2 – (1 – 2x)2 = 0
⇔ (3x – 5 + 1 – 2x)(3x – 5 – 1 + 2x) = 0
⇔ (x – 4)(5x – 6) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{6}{5}\end{array} \right.\)
(x + 5)2 - (x - 5)2 - 2x + 1 = 0
⇔ x2 + 10x + 25 – (x2 – 10x + 25) – 2x + 1 = 0
⇔ x2 + 10x + 25 – x2 + 10x – 25 – 2x + 1 = 0
⇔ 20x – 2x + 1 = 0
⇔ 18x + 1 = 0
⇔ \(x = - \frac{1}{{18}}\)
Vậy \(x = - \frac{1}{{18}}\)
\(x + \frac{5}{6} = 4.\frac{5}{{12}}\)
\(x + \frac{5}{6} = \frac{5}{3}\)
\(x = \frac{5}{3} - \frac{5}{6}\)
\(x = \frac{5}{6}\)
Vậy \(x = \frac{5}{6}\).
(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)2 = 12
6(x + 1)(6x + 8)(6x + 7)2 = 12.6
(6x + 6)(6x + 8)(6x + 7)2 = 72
(36x2 + 84x + 48)(36x2 + 84x + 49) – 72 = 0
Đặt 36x2 + 84x = a
Ta có:
a(a + 1) – 72 = 0
⇔ a2 + a – 72 = 0
⇔ (a – 8)(a + 9) = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 8\\a = - 9\left( L \right)\end{array} \right.\)
Suy ra: 36x2 + 84x = 8
⇒ 36x2 + 84x – 8 = 0
⇔ \(x = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {57} }}{6}\)
2x + 7 = 2(x + 1) + 5
Vì 2(x + 1) ⋮ x + 1 nên để 2x + 7 ⋮ x + 1 thì 5 ⋮ x + 1
Hay x + 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}
⇒ x ∈ {-6; -2; 0; 4}.
Vậy x ∈ {-6; -2; 0; 4}.
Ta có: 5x – 1 = 5(x + 2) – 11
Vì 5(x + 2) ⋮ (x + 2) mà 5x – 1 ⋮ (x + 2)
Suy ra: 11 ⋮ (x + 2)
Hay x + 2 ∈ Ư(11) = {-11; -1; 1; 11}
⇒ x ∈ {-13; -3; -1; 9}.
Vậy x ∈ {-13; -3; -1; 9}.
a) Các số tròn chục đó là: 10, 20, 30, 40
Vậy x là: 10, 20, 30, 40
b) Các số tròn chục đó là: 40, 50, 60, 70
Vậy x là: 40 , 50 , 60 , 70
7(x - 2004)2 = 23 - y2
Vì y2 ≥ 0, ∀y nên 23 – y2 ≤ 23, ∀y
Suy ra: 7(x - 2004)2 ≤ 23
⇒ (x - 2004)2 ≤
Mà (x - 2004)2 ≥ 0, Trong đoạn [0;4) chỉ có 2 số chính phương là 0 và 1 nên:
+ Nếu x – 2004 = 0 ⇒ y2 = 23 - không có y thuộc N thỏa mãn.
+ Nếu (x - 2004)2 = 1 thì x = 2005 hoặc x = 2003.
Khi đó y2 = 16 mà y thuộc ℕ nên y = 4.
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn phương trình là (x ; y) ∈ {(2003;4), (2005;4)}.
\(\frac{x}{{\sqrt x - 1}} > 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - 1 > 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\)
Vì \(\sqrt x \ge 0\) nên để \(\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0\) thì \(\frac{1}{{\sqrt x - 1}} > 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1\)
Vậy x > 1.
P = x4 + x2 + 1
P = (x2 + 1)2 – x2
P = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Do x là số tự nhiên nên x2 + x + 1 > x2 - x + 1
Để x4 + x2 + 1 là số nguyên tố thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1 = 1\\{x^2} + x + 1 \in P\end{array} \right.\)
Suy ra: x2 – x = 0
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Với x = 0 thì P = x4 + x2 + 1 = 1 (loại)
Với x = 1 thì P = x4 + x2 + 1 = 3 (chọn)
Vậy x = 1.
Ta có: (x + 7) = (x + 1) + 6
Mà (x + 1) + 6 chia hết cho x + 1 và x + 1 chia hết cho x + 1
⇒ 6 phải chia hết cho x + 1
⇒ x + 1 = {1 ; 2 ; 3 ; 6}
Nếu x + 1 = 1 thì x = 1 - 1 = 0 (được)
Nếu x + 1 = 2 thì x = 2 - 1 = 1 (được)
Nếu x + 1 = 3 thì x = 3 - 1 = 2 (được)
Nếu x + 1 = 6 thì x = 6 - 1 = 5 (được)
Vậy x = {0 ; 1 ; 2 ; 5}
Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
\(1.\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} \le \frac{{{1^2} + {x_1}^2 - {1^2}}}{2} = \frac{{{x_1}^2}}{2}\)
\(2.\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} \le \frac{{{2^2} + {x_2}^2 - {2^2}}}{2} = \frac{{{x_2}^2}}{2}\)
….
\(n.\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{n^2} + {x_n}^2 - {n^2}}}{2} = \frac{{{x_n}^2}}{2}\)
Cộng theo vế ta được:
\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{{{x_1}^2}}{2} + \frac{{{x_2}^2}}{2} + ... + \frac{{{x_n}^2}}{2}\)
\(\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} + 2\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} + ... + n\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} \le \frac{1}{2}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right)\)
Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x_1}^2 - {1^2}} = 1\\\sqrt {{x_2}^2 - {2^2}} = 2\\....\\\sqrt {{x_n}^2 - {n^2}} = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 2 \\{x_2} = 2\sqrt 2 \\....\\{x_n} = n\sqrt 2 \end{array} \right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 7x + 6 \ne 0\\\sqrt {2x + 4} \ne 0\\2x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x \ne - 2\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\x \ne - 6\\x > - 2\end{array} \right.\)
Lời giải:
\(\frac{3}{{5.10}} + \frac{3}{{10.15}} + \frac{3}{{15.20}} + \frac{3}{{20.25}} + ... + \frac{3}{{95.100}}\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{5}{{5.10}} + \frac{5}{{10.15}} + \frac{5}{{15.20}} + \frac{5}{{20.25}} + ... + \frac{5}{{95.100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} - \frac{1}{{25}} + ... + \frac{1}{{95}} - \frac{1}{{100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{{100}}} \right)\)
\( = \frac{3}{5}.\frac{{19}}{{100}}\)
\( = \frac{{57}}{{500}}\)
A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 31.33
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 31.33.6
6A = 1.3(5 + 1) + 3.5(7 – 1) + … + 31.33.(35 – 29)
6A = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 – 1.3.5 + 5.7.9 – 3.5.7 + … + 31.33.35 – 29.31.33
6A = 1.3 + 31.33.35
6A = 3 + 35805
6A = 35808
A = \(\frac{{11935}}{2}\)
A = 1 + 3 + 32 + … + 320
3A = 3 + 32 + … + 321
3A – A = (3 + 32 + … + 321) – (1 + 3 + 32 + … + 320)
2A = 321 – 1
\(A = \frac{{{3^{21}} - 1}}{2}\)
Lời giải:
\(A = \frac{{\left( {{2^3} + 1} \right)\left( {{3^3} + 1} \right)...\left( {{{100}^3} + 1} \right)}}{{\left( {{2^3} - 1} \right)\left( {{3^3} - 1} \right)...\left( {{{100}^3} - 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{\left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} - 2 + 1} \right)\left( {3 + 1} \right)\left( {{3^2} - 3 + 1} \right)...\left( {100 + 1} \right)\left( {{{100}^2} - 100 + 1} \right)}}{{\left( {2 - 1} \right)\left( {{2^2} + 2 + 1} \right)\left( {3 - 1} \right)\left( {{3^2} + 3 + 1} \right)...\left( {100 - 1} \right)\left( {{{100}^2} + 100 + 1} \right)}}\)
\(A = \frac{{3.3.4.7...101.9901}}{{1.7.2.13.3.21...99.10101}}\)
\(A = \frac{{\left( {3.4.5...101} \right).\left( {3.7.13...9901} \right)}}{{\left( {1.2.3...99} \right).\left( {7.13.21...10101} \right)}}\)
\(A = \frac{{3.100.101}}{{1.2.10101}} = \frac{{30300}}{{20202}}\)
Tính diện tích mảnh đất hình ABCDE có kích thước như hình vẽ bên.
Diện tích mảnh đất hình thang ABCE là:
(10 + 8) × 5 : 2 = 45 (m2)
Tính diện tích mảnh đất hình tam giác vuông ECD:
6 × 8 : 2 = 24 (m2)
Tính diện tích mảnh đất hình ABCDE:
45 + 24 = 69 (m2)
Tính diện tính phần màu đỏ của hình tròn (như hình vẽ ), biết hình tròn đó có đường kính 50cm, diện tích của hình chữ nhật bằng 20% diện tích hình tròn.
Bán kính hình tròn là:
50 : 2 = 25(cm)
Diện tích hình tròn là:
π.252 = 625π (cm2)
Diện tích phần màu đỏ của hình tròn chiếm:
1 – 20% = 80% (diện tích cả hình tròn)
Diện tích phần màu đỏ của hình tròn là:
80% . 625π = 500π (cm2)
Coi giá bán khi không hạ giá là 100% thì giá bán khi hạ giá là:
100% - 10% = 90%
Cửa hàng vẫn còn lãi 8% tức là cửa hàng bán được:
100% + 8% = 108% (giá vốn)
Số tiền lãi tính theo giá vốn là:
100 : 90 . 108 = 120% (giá vốn)
Vậy ngày thường thì cửa hàng lãi được:
120% - 100% = 20%
Tổng trên có số số hạng là:
(40 - 2) : 2 + 1 = 20 (số)
Giá trị của tổng trên là:
(40 + 2) . 20 : 2 = 420
Đáp số: 420
\(A = {x^2}\sqrt {{x^4} + x + 1} \)
\(A = {\left( {12\sqrt 2 } \right)^2}\sqrt {{{\left( {12\sqrt 2 } \right)}^4} + 12\sqrt 2 + 1} \)
\(A = 288.\sqrt {82944 + 12\sqrt 2 + 1} \)
\(A \approx 82953\)
\(B = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{2022}}} \right)\)
\(B = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{{2021}}{{2022}}\)
\(B = \frac{1}{{2022}}\)
2020 . 39 + 2020 . 64 – 2020
= 2020 . (39 + 64 – 1)
= 2020 . 102
= 206040
526 – 131 – 326 + 321
= (526 – 326) + (321 – 131)
= 200 + 200
= 400
\(S = \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{63}} + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{143}} + \frac{1}{{195}} + \frac{1}{{255}} + \frac{1}{{323}}\)
\(2S = \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + \frac{2}{{9.11}} + \frac{2}{{11.13}} + \frac{2}{{13.15}} + \frac{2}{{15.17}} + \frac{2}{{17.19}}\)
\(2S = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{13}} - \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{17}} + \frac{1}{{17}} - \frac{1}{{19}}\)
\(2S = \frac{1}{3} - \frac{1}{{19}}\)
\(2S = \frac{{16}}{{57}}\)
\(S = \frac{8}{{57}}\)
197 . 203
= (200 – 3)(200 + 3)
= 2002 – 32
= 40000 – 9
= 39991
Gọi 2 cạnh còn lại của hình hộp chữ nhật là b, c
Ta có: thể tích ban đầu của hình hộp chữ nhật là 5 × b × c
Thể tích sau khi giảm chiều dài là: 3 × b × c
Theo bài ra ta có:
5 × b × c – 3 × b × c = 12
2 × b × c = 12
b × c = 6
Vậy thể tích ban đầu của hình hộp chữ nhật là:
5 × b × c = 5 × 6 = 30 (dm3)
\(S = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}\)
\(5S = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}\)
\(5S - S = \left( {1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + ... + \frac{1}{{{5^{99}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{100}}}}} \right)\)
\(4S = 1 - \frac{1}{{{5^{100}}}}\)
\(4S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{5^{100}}}}\)
\(S = \frac{{{5^{100}} - 1}}{{{{4.5}^{100}}}}\)
Ta thấy 2 số liền kề hơn kém nhau 2 đơn vị
Dãy số đo có số số hạng là :
(99 - 1 ) : 2 + 1 = 50 (số)
Tổng của dãy số đó là :
(99 + 1) . 50 : 2 = 2500
\[{S_4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\]
\[{S_4} = \frac{5}{6} + \frac{9}{{20}}\]
\[{S_4} = \frac{{100 + 54}}{{120}} = \frac{{154}}{{120}} = \frac{{77}}{{60}}\]
Dãy số trên là dãy số cách đều, số hạng sau hơn số hạng trước 3 đơn vị.
Số hạng thứ 50 của dãy là:
1 + 3 × (50 − 1) = 148
Tổng của 5 0số hạng đầu tiên của dãy là:
(148 + 1) × 50 : 2 = 3725
\(\frac{1}{5} = \frac{{20}}{{100}}\)
Các phân số nhỏ hơn \(\frac{1}{5}\) có mẫu là 100 là \(\frac{0}{{100}};\frac{1}{{100}};\frac{2}{{100}};...\frac{{19}}{{100}}\)
Tổng của các phân số đó là:
\(\frac{0}{{100}} + \frac{1}{{100}} + \frac{2}{{100}} + ... + \frac{{19}}{{100}} = \frac{{0 + 1 + 2 + ... + 19}}{{100}} = \frac{{\left( {19 + 0} \right).20:2}}{{100}} = \frac{{190}}{{100}}\)
Ta thấy đây là dãy số cách đều 3 đơn vị nên số số hạng của dãy số là:
(2006 - 2) : 3 +1 = 669 (số hạng)
Tổng của dãy số là:
(2006 + 2) . 699 : 2 = 671676
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
