10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 1 (Part 2)

Tổng đó có số số hạng là:

(2003 – 2) : 3 + 1 = 668 (số hạng)

Giá trị tổng là:

(2 + 2003) . 668 : 2 = 669670

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 7.5.\cos 120^\circ = - \frac{{35}}{2}\)

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = - 49 + - \frac{{35}}{2} = \frac{{ - 133}}{2}\]

+) Phần thuận

Giả sử M, N, P, Q đồng phẳng

Từ các đỉnh A, B, C dựng các mặt phẳng (α), (β), (γ) theo thứ tự song song với (MNPQ).

Từ D dựng đường thẳng d cắt (α), (β), (γ) theo thứ tự A’, B’, C’ và cắt (MNPQ) tại O

Ta có: \(\frac{{OA'}}{{OB'}}.\frac{{OB'}}{{OC'}}.\frac{{OC'}}{{OD}}.\frac{{OD}}{{OA'}} = 1\)

Theo định lý Thales thì: \(\frac{{OA'}}{{OB'}} = \frac{{MA}}{{MB}};\frac{{OB'}}{{OC'}} = \frac{{NB}}{{NC'}};\frac{{OC'}}{{OD}} = \frac{{PC}}{{PD'}};\frac{{OD}}{{OA'}} = \frac{{QD}}{{QA}}\)

Vậy \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{OA'}}{{OB'}}.\frac{{OB'}}{{OC'}}.\frac{{OC'}}{{OD}}.\frac{{OD}}{{OA'}} = 1\)

+) Phần đảo

Giả sử: \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{QD}}{{QA}} = 1\)

Gọi E là giao của AD với mặt phẳng (MNP)

Do M, N, P, E đồng phẳng nên \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{ED}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{ED}}{{EA}} \Rightarrow E \equiv Q\)

Vậy M, N, P, Q đồng phẳng.

P = x² – 2x + 2

P = x² – 2x + 1 + 1

P = (x – 1)² + 1

Vì (x – 1)² ≥ 0, ∀x nên (x – 1)² + 1 ≥ 1 > 0, ∀x

Vậy P > 0 với mọi x.

\(\frac{2}{3} - \left( { - \frac{1}{2} - x} \right) = - \frac{4}{5}\)

⇔ \(\left( { - \frac{1}{2} - x} \right) = - \frac{4}{5} - \frac{2}{3}\)

⇔ \( - \frac{1}{2} - x = - \frac{{22}}{{15}}\)

⇔ \(x = - \frac{1}{2} - \left( { - \frac{{22}}{{15}}} \right)\)

⇔ \(x = - \frac{1}{2} + \frac{{22}}{{15}}\)

⇔ \(x = \frac{{29}}{{30}}\)

Vậy \(x = \frac{{29}}{{30}}\)

Trung bình mỗi giờ người đó đi được số ki-lô-mét là:

126,54 : 3 = 42,18 (km)

Đáp số: 42,18 (km).

3a + 3b = ab

⇔ ab – 3a – 3b = 0

⇔ a(b – 3) – 3(b – 3) = 9

⇔ (b – 3)(a – 3) = 9

Mà 9 = 1.9 = 3.3

Ta có bảng:

Vậy (a;b) ∈ {(12;4) , (4;12), (6;6)}.

Ta có: a + b + c = 0

⇒ (a + b + c)³ = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab² + 3abc) + (3b²c + 3bc² + 3abc) + (3a²c + 3ac² + 3abc) – 3abc = 0

⇔ a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c) = 3abc

⇔ a³ + b³ + c³ + (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 3abc

Do a + b + c = 0 nên (a + b + c)(3ab + 3bc + 3ca) = 0

Vậy a³ + b³ + c³ = 3abc

Đáp án đúng là B

Tổng của 9 số tự nhiên liên tiếp là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Tổng bình phương của hai số là phép toán thực hiện bình phương của từng số trong tổng, sau đó cộng các kết quả lại với nhau.

Ví dụ: a² + b²

\(\frac{5}{7} = \frac{{5.10}}{{7.10}} = \frac{{50}}{{70}}\)

Các phân số nhỏ hơn 5/7, có mẫu số là 70 và tử số là số có 2 chữ số là:

\(\frac{{10}}{{70}};\frac{{11}}{{70}};...;\frac{{49}}{{70}}\)

Tổng các phân số đó là: \(\frac{{10 + 11 + 12 + ... + 49}}{{70}} = \frac{{\left( {10 + 49} \right).\frac{{40}}{2}}}{{70}} = \frac{{118}}{7}\)

Tổng của 5 số nguyên tố là 142, là một số chẵn

Suy ra: phải có ít nhất 1 số trong 5 số là số chẵn (vì nếu cả 5 số là lẻ thì tổng của chúng là số lẻ)

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2.

Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 5 số đó là 2.

Mỗi số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ từ 25 đến 85 là:

(85 – 25) : 2 + 1 = 31 (số)

Tổng các số lẻ từ 25 đến 85 là:

(25 + 85) . 31 : 2 = 1705

Gọi 2 số thập phân là A và B 

Ta có :

A + B = 16,26 ⇒ A = 16,26 - B

A . 5 + B . 2 = 43,2

(16,26 – B) . 5 + 2B = 43,2

81,3 – 5B + 2B – 43,2 = 0

38,1 – 3B = 0

3B = 38,1

B = 38,1 : 3

B = 12,7

Suy ra: A = 16,26 – 12,7 = 3,56

Lời giải:

Ta có: 1 + 9 + 0 = 10 và 190 là số tròn chục

Mà 190 là nhỏ nhất nên tổng của 2 số đó 190.

Số các số lẻ có 3 chữ số là:

( 999 - 1 ) : 2 + 1 = 500 (số)

Tổng của các số đó là:

(999 + 1) . 500 : 2 = 250 000

Tổng các số nguyên âm 2 chữ số là (-10) + (-11) + (-12) + ... + (-99)

= –(10 + 11 + 12 + ... + 99)

= –[(99 + 10) . 90 : 2]

= –4905

Vì 2 số là B(9) nên 2 số đó đều chia hết cho 9

Vì \(\overline {513*} \vdots 9\) nên (5 + 1 + 3 + *) ⋮ 9 hay (9 + *) ⋮ 9

Mà 0 < * < 9 nên * = 0 hoặc * = 9

Nếu * = 0 thì số lớn là: 5130 : 3 . 2 = 3420

Số bé là: 5130 – 3420 = 1710

Nếu * = 9 thì số lớn là: 5139 : 3 . 2 = 3426 (loại)

Vậy 2 số đó là 3420 và 1710.

Độ dài cạnh của mảnh vườn đó là:

120 : 4 = 30 (m)

Diện tích mảnh vườn là:

30 . 30 = 900 (m²)

Số kg rau thu hoạch được là:

900 : 1 . 5 = 4500 (kg)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

cot(sinx) = 0 (sin(sinx) ≠ 0)

⇔ cos(sinx) = 0

⇔ \(\sin x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1

⇔ \( - 1 \le \frac{\pi }{2} + k\pi \le 1\)

⇔ \(\frac{{ - 2 - \pi }}{{2\pi }} \le k \le \frac{{2 - \pi }}{{2\pi }}\)

Suy ra: k ∈∅ do k nguyên

Vậy số giao điểm là 0.

Giá trị nguyên là giá trị thuộc tập hợp số nguyên

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

Kí hiệu là: ℤ

|x – 2| = 2

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 2\\x - 2 = - 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = 4

 |y – 1| = 9

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y - 1 = 9\\y - 1 = - 9\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 10\\y = - 8\end{array} \right.\)

Vậy y = -8 hoặc y = 10.

2,7 tấn = 27 tạ thịt

Mỗi ngày số thịt được ăn hết là:

27 : 20 = 1,35 (tạ)

Tổng số sư tử và hổ là:

1,35 : 0,09 = 15 (con)

Số hổ là:

15 : 5 . 3 = 9 (con)

Số sư tử là:

15 : 5 . 2 = 6 (con)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{{ - 1}}{4}{x^2} = mx - 2m - 1\)

⇔ x² = -4mx + 8m + 4

⇔ x² + 4mx – 8m – 4 = 0 (*)

(d) tiếp xúc với (P) khi (*) có 1 nghiệm duy nhất, hay ∆ = 0

⇔ 16m² + 32m + 16 = 0

⇔ 16(m + 1)² = 0

⇔ m + 1 = 0

⇔ m = -1

Vậy m = -1

a) Tổng số lượt bóng trúng là:

15 + 15 + 20 = 50 (lượt)

Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu đỏ là 

15 : 50 = 0,3

Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu vàng là 

20 : 50 = 0,42

Xác suất thực nghiệm của khả năng chọn bóng màu xanh là 

15 : 50 = 0,3

b) Dựa vào kết quả phần a) ta kết luận: Khả năng chọn được bóng của màu vàng cao hơn các bóng màu khác

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \)

Áp dụng công thức: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Suy ra: \(\frac{8}{{\sin 45^\circ }} = \frac{c}{{\sin 75^\circ }}\)

⇒ \(c = \frac{{8.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{8.\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 4 + 4\sqrt 3 \)

Số tiền điện cho 50 số đầu tiên:

50 . 1 700 = 85 000 (đồng)

Số tiền điện cho 50 số tiếp theo:

50 . 1 800 = 90 000 (đồng)

Số tiền điện cho 97 số tiếp theo:

97 . 2 000 = 194 000 (đồng)

Tổng số tiền điện:

85 000 + 90 000 + 194 000 = 369 000 (đồng)

4 tháng cây cao thêm được là:

2 . 4 - 5 = 3 (cm)

Sau 2 năm cây cao thêm được là:

3 . 6 = 18 (cm)

Coi chiều cao của cây lúc đầu là 1 phần thì chiều cao của cây sau 2 năm là 2 phần như thế.

Sau 2 năm cây cao là:

18 : (2 - 1) . 2 = 36 (cm)

Tổng số tuổi của 11 cầu thủ là:

24.11 = 264 (tuổi)

Nếu ko kể thủ môn thì tổng số tuổi của 10 cầu thủ là:

22,5.10 = 225 (tuổi)

Tuổi thủ môn là:

264 - 225 = 39 (tuổi)

Vậy tổng của 3 số đó là:

76 × 3 = 228

Đáp số: 228

Số ngày trong 1 tháng trung bình là 30 ngày

Trung bình mỗi ngày quán bán được số bát phở là:

9000 : 30 = 300 (bát phở)

Đáp số: 300 bát.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2

Do đó số thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể là:

0,111 hoặc 0,120; 0,102; 0,012; 0,021

 Các số hạng có 1 chữ số bắt đầu từ 1 đến 9 là:

(9 − 1) : 1 + 1 = 9 (số hạng)

 Vì có một chữ số nên 9 số hạng này có 9 chữ số.

Các số hạng có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 là:

(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số hạng)

Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:

90 × 2 = 180 (chữ số)

Tổng các chữ số bắt đầu từ 1 đến 99 là:

9 + 180 = 189 (chữ số)

Đáp số: 189 chữ số

Các số hạng có 1 chữ số bắt đầu từ 1 đến 9 là:

(9 − 1) : 1 + 1 = 9 (số hạng)

 Vì có một chữ số nên 9 số hạng này có 9 chữ số.

Các số hạng có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 99 là:

(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số hạng)

Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:

90 × 2 = 180 (chữ số)

Các số hạng có 3 chữ số bắt đầu từ 100 đến 999 là:

(999 − 10) : 1 + 1 = 900 (số hạng)

Tổng các chữ số của 90 số có 2 chữ số là:

900 × 3 = 270 (chữ số)

Tổng các chữ số bắt đầu từ 1 đến 999 là:

9 + 180 + 2700 = 2889 (chữ số)

Từ 2 đến 2023 có số các số hạng là:

(2023 – 2) : 1 + 1 = 2022 (số hạng)

Ta thấy mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị

Từ 21 đến 40 có số số chẵn là:

(40 – 22) : 2 + 1 = 10 (số)

Từ 7 giờ sáng đến 10 giờ sáng cùng ngày là:

10 – 7 = 3 (giờ)

Từ 9  đến 17 có:

(17 – 9) : 1 + 1 = 9 (số)

Ta thấy mỗi số chẵn hơn kém nhau 2 đơn vị

Từ 21 đến 40 có số số chẵn là:

(40 – 22) : 2 + 1 = 10 (số)

Số các số hạng từ 21 đến 40 là:

(40 – 21) : 1 + 1 = 20 (số)

Từ 21 đến 40 có số số lẻ là:

20 – 10 = 10 (số)

Các tháng có 31 ngày là: Tháng 1, 3, 5, 7, 8

Các tháng có 30 ngày là: Tháng 4, 6, 9

Tháng có 28 (hoặc 29) ngày là Tháng 2

Từ tháng 1 đến tháng 9 có số ngày là (nếu tháng 2 có 28 ngày)

31 . 5 + 30 . 3 + 28 = 273 (ngày)

Nếu tháng 2 có 29 ngày thì có 274 ngày.

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là y và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x), trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là x) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là x và thường được biểu diễn dưới dạng y = f(x) , trong đó f(x) là hàm số bậc nhất.

Giả sử tuổi em trước đây là 1 thì hiện tuổi em là:

1 . 4 = 4 (tuổi)

Đúng lúc đó tuổi của anh 3 năm trước vì 4 - 1 = 3 (tuổi)

Số tuổi của anh hiện nay là:

4 + 3 = 7 (tuổi)

Khi tuổi của em bằng tuổi anh (7 tuổi) thì tuổi anh lúc đó là:

7 + 3 = 10 (tuổi) 

Tổng số tuổi của hai anh em lúc này là:

10 + 7 = 17 (tuổi)

Theo đề bài thì tổng số tuổi của hai anh em, khi tuổi em bằng tuổi anh thì tổng là 51 

Tổng số tuổi của hai anh em giảm đi số lần là:

51 : 17 = 3 (lần)

Vậy tuổi em hiện nay là:

3 . 4 = 12 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là:

7 . 3 = 21 (tuổi)

Từ 1 đến 6 cách nhau 4 số vì ta có các số từ 1 đến 6 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6

a) Số người thích cầu lông là:

20% × 140 = 28 (người) 

Nên: Số người thích cầu lông là 28 người (ĐÚNG) 

b) Số người thích bóng bàn là:

15% × 140 = 21 (người) 

Nên: Số người thích bóng bàn là 20 người (SAI) 

c) Số người thích bóng đá là:

40% × 140 = 56 (người)

Nên: Số người thích bóng đá là 56 người (ĐÚNG)

d) Số người thích cờ vua là:

25% × 140 = 35 (người)

\({u_1} = 2021;{u_2} = \frac{{2021}}{1};{u_3} = \frac{{2021}}{2};...\)

Dự đoán \({u_n} = \frac{{2021}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

Với n = 1 thì \({u_1} = \frac{{2021}}{{\left( {1 - 1} \right)!}} = 2021\)

Giả sử n = k thì \({u_k} = \frac{{2021}}{{\left( {k - 1} \right)!}}\) đúng

Ta đi chứng minh n = k + 1 thì \({u_{k + 1}} = \frac{{2021}}{{k!}}\) đúng

Thật vậy ta có: \({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k}}}{k} = \frac{{2021}}{{\left( {k - 1} \right)!}}.\frac{1}{k} = \frac{{2021}}{{k!}}\)

Vậy \({u_n} = \frac{{2021}}{{\left( {n - 1} \right)!}}\)

Suy ra: \({u_{2022}} = \frac{{2021}}{{\left( {2022 - 1} \right)!}} = \frac{1}{{2020!}}\)

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} - {u_1} = 2.1 - 1 = 1\end{array} \right.\)

Vậy u₂ = 3 là đúng

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_4} - {u_3} = 2.3 - 1 = 5\end{array} \right.\)

mà u₃ – u₂ = 2.2 – 1 = 3

Suy ra: u₃ = 3 + 3 = 6

u₄ = 5 + u₃ = 5 + 6 = 11

Vậy u₄ = 11 là đúng

40 = 2³.5

75 = 5².3

106 = 2.53

ƯCLN(40;75;106) = 2.5 = 10

BCNN(40;75;106) = 2³.3.5².53 = 31800

54 = 2.3³

112 = 2⁴.7

ƯCLN(54;112) = 2

ƯC (54;112) = Ư(2) = {1, 2}.

Vì ƯCLN(a,b) = 3, suy ra : a = 3x ;  b = 3y 

(với x < y và ƯCLN(x,y) = 1)                                                        

Ta có : a.b = 3x . 3y = 9xy (1)

Mặt khác: a.b = ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)

 a.b = 3 . 90 = 270 (2)                                         

Từ (1) và (2), suy ra: xy = 270 : 9 = 30

Ta có các trường hợp sau:

 Từ đó suy ra a và b có các trường hợp sau:

Vậy (a;b) ∈ {(90 ; 3) ; (3 ; 90) ; (6 ; 45) ; (45;6) ; (15;18) ; (18;15) ; (30;9) ; (9; 30)}

\({u_1} = \frac{{{3^1}}}{{{1^2}}} = 3\)

\({u_2} = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} = \frac{9}{4}\)

Xét: \({u_2} - {u_1} = \frac{9}{4} - 3 < 0\) nên u₂ < u₁

Suy ra dãy số u_n giảm

Các ước của 14 là ±1; ±2; ±7; ±14.

Gọi số phần quà nhiều nhất có thể được chia là x (phần quà) (x ∈ ℕ*)

Ta có:

252 ⋮ x

108 ⋮ x

72 ⋮ x

Và x là nhiều nhất

⇒ x ∈ ƯCLN (252,108,72)

Ta có:

252 = 2².3².7

108 = 2².3³

72 = 2³.3²

⇒ x = ƯCLN(252,108,72) = 2².3² = 36

Vậy chia được nhiều nhất 36 phần quà.

16 = 2⁴

17 = 17

29 = 29

Suy ra không tồn tại ƯCLN (16;17;29)

Phân tích 105 ra thừa số nguyên tố: 105 = 3. 5. 7 

Vì 105 chia hết cho các số: 1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105

Do đó: Ư(105) = {±1; ±3; ±5; ±7; ±15; ±21; ±35; ±105}

Các ước của 14 là: ‒14; ‒7; ‒2; ‒1; 1; 2; 7; 14.

Các ước của 14 là: ±1; ±2; ±7; ±14

a) Ư(18) = {±1; ±2; ±3; ±6; ±9; ±18}

b) Các ước nguyên tố của 18 là 2, 3.

Ta có 210 = 2.3.5.7

Vậy 210 có (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 (ước dương)

Nếu tính cả ước nguyên âm thì 210 có 32 ước.

Ta có: 280 = 2³ . 5 . 7

Số ước của 280 là: (3 + 1 )(1 + 1)(1 + 1) = 4.2.2 = 16 (ước)

Ư(280) = {1;2;4;5;7;8;10;14;20;28;35;40;56;70;140;280}

Ư(57) = {±1; ±3; ±19; ±57}

Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Tập hợp các bội của a được kí hiệu bởi B(a).

Tập hợp các ước của a được kí hiệu bởi Ư(a).

Ví dụ: 21 chia hết cho 7 nên 21 là bội của 7 và 7 là ước của 21

Gọi từng chấm là 1 2 3 4 5 6  7 8 9

Ta có ma trận sau:

1        2       3

4        5       6

7        8       9

Nối lần lượt theo thứ tự sau:

1⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 6 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 7 ⇒ 8 ⇒ 9

Gọi từng chấm là 1 2 3 4 5 6  7 8 9

Ta có ma trận sau:

1        2       3

4        5       6

7        8       9

Nối lần lượt theo thứ tự sau:

1⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 6 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 7 ⇒ 8 ⇒ 9

Ta quy đồng tử số chung: \(\frac{4}{7} = \frac{{12}}{{21}};\frac{4}{5} = \frac{{12}}{{15}};\frac{3}{5} = \frac{{12}}{{20}}\)

⇒ Số phần ngăn:

- Ngăn thứ nhất:21 phần

- Ngăn thứ hai:15 phần

- Ngăn thứ ba:20 phần

Tổng số phần bằng nhau là:

20 + 15 + 21 = 56 (phần)

Ngăn thứ nhất có số cuốn sách là:

840 : 56 . 21 = 315 (cuốn)

Ngăn thứ hai có số cuốn sách là:

840 : 56 . 15 = 225 (cuốn)

Ngăn thứ ba có số cuốn sách là:

840 : 56 . 20 = 300 (cuốn)

Đáp số: Ngăn thứ nhất: 315 cuốn

Ngăn thứ hai: 225 cuốn

Ngăn thứ ba: 300 cuốn

\(\frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4} = \frac{{75}}{{100}} = 0,75\)

Tập hợp B gồm các số tự nhiên khác 0 và không lớn hơn 112, tức là các số từ 1 đến 112.

Cách viết tập hợp:

B = {1,2,3,…,112}

Hoặc sử dụng ký hiệu khoảng:

B = {x ∈ N ∣ 1 ≤ x ≤ 112}

Trong đó, N là tập hợp các số tự nhiên.

Chỉ có tháng 2 có số ngày ít hơn 30 ngày

Nên B = {tháng 2}

a) Các số đó là: 211, 423, 635, 847

b) Các số đó là: 210, 102

c) Các số đó là: 401, 320

Để chuyển từ kg sang tạ, ta biết 1 tạ = 100 kg.

Số tạ thóc thu hoạch được từ 1m² ruộng lúa

\(\frac{6}{5}:100 = \frac{6}{{500}}\)(tạ)

Vậy, ông bà nội Nam thu hoạch được \(\frac{6}{{500}}\) tạ thóc trên thửa ruộng đó.

x + 2x + 3x + ... + 2011x = 2012.2013

⇔ x(1 + 2 + 3 + ... + 2001) = 2012.2013

⇔ \(x.\frac{{\left( {2011 + 1} \right).2011}}{2} = 2012.2013\)

⇔ \(x = \frac{{2012.2013.2}}{{\left( {2011 + 1} \right).2011}} = \frac{{4026}}{{2011}}\)

Ta có: x + 6 = (x + 1) + 5

Vì x + 1 chia hết cho x + 1, nên để x + 6 chia hết cho x + 1

Thì 5 ⋮ x + 1

⇔ x + 1 ∈ Ư(5) = {±1; ±5}

Suy ra: x ∈ {-2;0;-6;4}

Vậy x ∈{-2;0;-6;4}

x² + y² + 2(1 + y)x = 14y – 1

⇔ x² + y² + 2x + 2xy – 14y + 1 = 0

⇔ (x + y)² + 2x – 14y + 1 = 0

⇔ (x + y)² + 2(x + y) + 1 = 16y

⇔ (x + y + 1)² = 16y

Vì (x + y + 1)² là số chính phương, mà số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1.

Mà 16 chia hết cho 4

Nên y chia 4 dư 0 hoặc 1 và y là số chính phương, y ≥ 0 vì (x + y + 1)² ≥ 0

Đặt y = k² (k là số nguyên) (k ≥ 0)

Ta có: (x + y + 1)² = 16k² = (4k)²

⇔ (x + k² + 1)² – (4k)² = 0

⇔ (x + k² + 1 + 4k)(x + k² + 1 – 4k) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - \left( {{k^2} + 4k + 1} \right) = - {\left( {k + 2} \right)^2} + 3\\x = - \left( {{k^2} - 4k + 1} \right) = - {\left( {k - 2} \right)^2} + 3\end{array} \right.\)

Ta thấy trong cả 2 trường hợp thì x ≤ 3

Suy ra: x = 1, 2, 3

Với x = 1, có (y + 2)² = 16y ⇒ không có y thỏa mãn

Với x = 2, có (y + 3)²  = 16y ⇒ y² – 10y + 9 = 0 ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 9\end{array} \right.\)

Với x = 3, có (y + 4)²  = 16y ⇒ y² – 8y + 16 = 0 ⇒ y = 4.

Vậy (x ; y) ∈ {(2;1) , (3;4) , (2;9)}.

x + 3 - 3.(x + 5) = x – 9

⇔ x + 3 – 3x – 15 – x + 9 = 0

⇔ -3x = 3

⇔ x = -1

Vậy x = -1.

số nguyên dương nhỏ nhất là 1

Suy ra: x + 4 = 1

⇔ x = 1 – 4

⇔ x = –3

Vậy x = –3

ĐKXĐ: x ≥ -3; \[x \le \frac{3}{2} \Rightarrow - 3 \le x \le \frac{3}{2}\left( 1 \right)\]

\(\left( {x - 1} \right) + \left( {4\sqrt {x + 3} - 8} \right) + \left( {2\sqrt {3 - 2x} - 2} \right) = 0\)

⇔ \(\left( {x - 1} \right) + \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}} = 0\)

⇔ \(\left( {x - 1} \right)\left( {1 + \frac{4}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{4}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}}} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\1 + \frac{4}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \frac{4}{{\sqrt {3 - 2x} + 1}} = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta thấy (2) khác 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ

Vậy x = 1.

\(\frac{{x + 5}}{{2015}} + \frac{{x + 6}}{{2014}} + \frac{{x + 7}}{{2013}} + \frac{{x + 8}}{{2012}} + \frac{{x + 9}}{{2011}} = - 5\)

⇔ \(\frac{{x + 5}}{{2015}} + \frac{{x + 6}}{{2014}} + \frac{{x + 7}}{{2013}} + \frac{{x + 8}}{{2012}} + \frac{{x + 9}}{{2011}} + 5 = 0\)

⇔ \(\left( {\frac{{x + 5}}{{2015}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 6}}{{2014}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 7}}{{2013}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 8}}{{2012}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 9}}{{2011}} + 1} \right) = 0\)

⇔ \(\frac{{x + 2020}}{{2015}} + \frac{{x + 2020}}{{2014}} + \frac{{x + 2020}}{{2013}} + \frac{{x + 2020}}{{2012}} + \frac{{x + 2020}}{{2011}} = 0\)

⇔ \(\left( {x + 2020} \right)\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2011}}} \right) = 0\)

⇔ x + 2020 = 0

⇔ x = -2020

Vậy x = -2020

Ta có: x ⋮ 6 nên x ∈ {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; …}

Vì 6 ≤ x ≤ 35 nên x ∈ {6; 12; 18; 24; 30}

x + 10 chia hết cho x + 1

Suy ra: x + 1 + 9 chia hết cho x + 1

Mà x + 1 chia hết cho x + 1

Nên 9 chia hết cho x + 1

⇒ x + 1 ∈ Ư(9) = {1; 3; 9}

Xét 3 trường hợp , ta có:

x + 1 = 1 ⇒ x = 0

x + 1 = 3 ⇒ x = 2

x + 1 = 9 ⇒ x = 8

Vậy x ={0;2;8}

x⁵ – x⁴ + x³ – x²

= (x⁵ – x⁴) + (x³ – x²)

= x⁴(x – 1) + x²(x – 1)

= (x – 1)(x⁴ + x²)

= (x – 1)x²(x² + 1)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\{m^2}x + my = 2{m^2} + m\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} + m - 3\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó P = x² + 3y² =

\({\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} + 3.{\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} = 4 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\)

Vậy P_min = 3 khi m = -3

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {y + \frac{1}{x}} \right) = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{y} = a;y + \frac{1}{x} = b\)

Khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}a = ab\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{2} - b} \right) = \left( {\frac{9}{2} - b} \right)b\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\7 - 6b + {b^2} = 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{2}\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{7}{2}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + 1 = \frac{7}{2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2} - \frac{7}{{2x}}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{7}{{2x}} - \frac{7}{2} = 0\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 7 - 2x = 0\left( {VN} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{ - 7 - \frac{1}{x}}} = \frac{{23}}{2}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = \frac{{161x}}{{2x}} + \frac{{23}}{{2x}}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49{x^2} - 161x - 23 = 0\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 + 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 - 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 - 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 + 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Theo hình vẽ ta có: a ⊥ c; b ⊥ c nên a // b

Suy ra: x + y = 180°

Mà 2x = 3y nên \(\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{180^\circ }}{5} = 36^\circ \)

⇒ x = 36° . 3 = 108°

y = 36° . 2 = 72°

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} - x - y = 22\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\\{y^2} - y + {x^2} - x = 22\end{array} \right.\)

+ Nếu x = -1 thì: y² – y + 1 + 2 – 22 = 0

⇔ y² – y – 20 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = - 4\end{array} \right.\)

+ Nếu y = -1 thì x² – x – 20 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là {−1;5};{−1;−4};{5;−1};{−4;−1}

Ta có: x + y + z = 1 nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y - z\\y = 1 - z - x\\z = 1 - x - y\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1 - z\\y + z = 1 - x\\z + x = 1 - y\end{array} \right.\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + z}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + x}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + y}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy + 1 - x - y}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{yz + 1 - y - z}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{zx + 1 - z - x}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {y + z} \right)}^2}}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {x + z} \right)}^2}}}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{\left( {y + z} \right)}^2}{{\left( {z + x} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\)

\[P = \frac{{{{\left( {z - 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)} \right]}^2}}}\]

P = 1

Vậy giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Xét x⁴ + y⁴ + z⁴ =

\[\frac{{{x^4} + {y^4}}}{2} + \frac{{{y^4} + {z^4}}}{2} + \frac{{{z^4} + {x^4}}}{2} \ge {x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} = \frac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{y^2}{z^2} + {x^2}{z^2}}}{2} + \frac{{{x^2}{y^2} + {x^2}{z^2}}}{2}\]

\( \ge x{y^2}z + xy{z^2} + {x^2}yz = xyz\left( {x + y + z} \right) = xyz\)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Mà x + y + z = 1 nên \(x = y = z = \frac{1}{3}\)

Xét x + y = 3(x – y)

Ta có: x + y = 3(x – y)

⇔ x + y – 3x + 3y = 0

⇔ 4y – 2x = 0

⇔ 2(2y – x) = 0

⇔ 2y = x

Thay vào ta được:

2y + y = 3(2y – y) = \(\frac{{4y}}{y} = 4\)

Suy ra: \(x = \frac{8}{3};y = \frac{4}{3}\)

A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

A = (x² + 3x)(x² + 3x + 2)

Đặt x² + 3x = t

Ta có: A = t(t + 2) = t² + 2t = (t + 1)² – 1

Vì (t + 1)² ≥ 0, ∀t nên (t + 1)² – 1 ≥ –1 với mọi t

Vậy GTNN của A bằng –1 khi t = –1

⇒ x² + 3x = –1

⇔ x² + 3x + 1 = 0

⇔ \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Giả sử A = x(x – 1)(x – 7)(x – 8)

A = x(x – 8)(x – 1)(x – 7)

A = (x² – 8x)(x² – 8x + 7)

Đặt a = x² – 8x

Khi đó: A = a(a + 7) = a² + 7a

Để A là số chính phương thì A = b² (b nguyên)

⇒ a² + 7a = b² ⇒ 4a² + 28a + 49 - 49 - 4b² = 0 ⇒ (2a+ 7)² - (2b)² = 49

⇒ (2a + 7 - 2b).(2a + 7 + 2b) = 49

Vì a, b nguyên nên 2a+ 7 - 2b ; 2a + 7 + 2b thuộc Ư(49) = {49; -49; 1;-1; 7; -7}

Trường hợp: 2a + 7 - 2b = 49 và 2a + 7 + 2b = 1 .

Cộng vế với vế ⇒ 4a + 14 = 50 ⇒ a = 9 ⇒ b = -12 (nhận)

⇒ x² - 8x = 9

⇒  x² - 8x - 9 = 0

⇒ x = -1; 9

Xét tương tự cho các trường hợp còn lại.

\(\frac{x}{{4,45}} - 2 = 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 2 + 1,7\)

\(\frac{x}{{4,45}} = 3,7\)

x = 4,45 . 3,7

x = 16,465

Vậy x = 16,465.

\(\frac{x}{4} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow x = \frac{{ - 24.4}}{{32}} = - 3\)

\[\frac{{ - 9}}{y} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow y = \frac{{ - 9.32}}{{ - 24}} = 12\]

\(\frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}} \Rightarrow z = \frac{{ - 24.8}}{{32}} = - 6\)

S = x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ

xS = x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹

xS – S = (x + x² + x³ + … + xⁿ⁺¹) – (x⁰ + x¹ + x² + x³ + … + xⁿ)

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

S(x – 1) = xⁿ⁺¹ – 1

\(S = \frac{{{x^{n + 1}} - 1}}{{x - 1}}\)

x² + 7x – 18 = 0

⇔ x² + 2x – 9x – 18 = 0

⇔ x(x + 2) – 9(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x – 9) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 9\end{array} \right.\)

Vậy x = -2 hoặc x = 9.

x² + x + 1 = 2xy + y

⇔ x² + x + 1 – 2xy – y = 0

⇔ \({x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\frac{1}{2}x\left( {2x + 1} \right) + \frac{1}{4}\left( {2x + 1} \right) - y(2x + 1) + \frac{3}{4} = 0\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - y} \right) = - \frac{3}{4}\)

⇔ \(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1 - 4y} \right) = - 3\)

Ta có bảng:

Vậy (x;y) = (-2;-1) ; (-1;-1); (1;1); (0;1)}

x² – y²

= (x – y)(x + y)

x² − 2(m + 1)x + m² = 0

Xét ∆’ = (m + 1)² – m² = 2m + 1

Để phương trình có đúng một nghiệm thì ∆’ = 0 hay 2m + 1 = 0

⇒ \(m = - \frac{1}{2}\)

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\)

x² - y² - 4x - 2y + 3

= (x² – 4x + 4) – (y² + 2y + 1)

= (x – 2)² – (y + 1)²

= (x – 2 + y + 1)(x – 2 – y – 1)

= (x + y – 1)(x – y – 3)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 4x - 2y - 3\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} - 4x + 2y + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y - 3} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 3 - y\\x = y + 1\end{array} \right.\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\left( {3 - y} \right)^2} + {y^2} = 5\\{\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}2{y^2} - 6y + 4 = 0\\2{y^2} + 2y - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 1\\y = 1\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 2\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) = {(1;2), (2;1) , (-1; -2)

+, Nếu x,y đều khác 3 

⇒ x và y đều ko chia hết cho 3 

⇒ x² và y² đều chia 3 dư 1

⇒ x² + y² chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

⇒ x² + 3xy + y²  chia 3 dư 2

⇒ x² + 3xy + y² không phải số chính phương

⇒ trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Giả sử x chia hết cho 3

⇒ x = 3

⇒ A = x² + 3xy + y² = y² + 9y + 9

Đặt A = k² (k là số tự nhiên)

⇒ y² + 9y + 9

⇒ 4y² + 36y + 36 = (2k)²

⇒ (2y + 9)² - 45 = (2k)²

⇒ (2y + 9) - (2k)² = 45

⇒ (2y - 2k + 9).(2y + 2k + 9) = 45

Vì y, k > 0 nên 2y + 2k + 9 > 2y – 2k + 9

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) = {(3;7), (3;0)} và hoán vị.

x² + 4xy - 8y²- 4y + 1= 0

⇔ x² + 4xy – 12y² + 4y² – 4y + 1 = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \[\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\left( 1 \right)\]

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1\[ \vdots d\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d = 1

Tức là 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau mà tích của 2 số là số chính phương

Nên 2y - x và x + 6y là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương

x² + xy + y² = x – y

⇔ x² + xy + y² – x + y = 0

⇔ x² + x(y – 1) + y² – y = 0 (*)

Để phương trình (*) có nghiệm x khi ∆ ≥ 0

Hay (y – 1)² – 4(y² – y) ≥ 0

⇔ (y – 1)(3y – 1) ≤ 0

⇔ \(\frac{1}{3} \le y \le 1\)

Mà y nguyên nên y = 1

Suy ra: x = 0

Vậy (x;y) = (0;1)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

 Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 8\\{\left( {x - 2y} \right)^2} + 3{\left( {y + 1} \right)^2} = 16\end{array} \right.\)

⇔ (x – 2y)² + 3(y + 1)² = 2(x + 2)² + 2(y + 1)²

⇔ (x – 2y)² – (x + 2)² = (x + 2)² – (y + 1)²

⇔ (2x – 2y + 2)(-2y – 2) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-4y – 4) = (x – y + 1)(x + y + 3)

⇔ (x – y + 1)(-5y – x – 7) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = x + 1\\x = - 5y - 7\end{array} \right.\)

Với y = x + 1 ta có:

(x + 1)² + x² + 4x + 2(x + 1) – 3 = 0

⇔ 2x² + 2x + 1 + 4x + 2x + 2 – 3 = 0

⇔ 2x² + 8x = 0

⇔ 2x(x + 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)

+ Với x = –5y – 7 ta có:

(-5y – 7)² + y² + 4(-5y – 7) + 2y – 3 = 0

⇔ 25y² + 70y + 49 + y² – 20y – 28 + 2y – 3 = 0

⇔ 26y² + 52y + 18 = 0

⇔ \[y = \frac{{ - 13 \pm 2\sqrt {13} }}{{13}}\]

Suy ra: \[x = \frac{{ - 26 \mp 10\sqrt {13} }}{{13}}\]

Vậy (x,y)

= {(0,1);(−4,−3); \[\left( {\frac{{ - 26 - 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 + 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right),\left( {\frac{{ - 26 + 10\sqrt {13} }}{{13}};\frac{{ - 13 - 2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)\]

Vì x² và y² là số chính phương nên chia 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Để x² + y² chia hết cho 5 thì x²; y² cùng chia 5 dư 0 hoặc trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

+) Nếu x² và y² cùng chia 5 dư 0 hay chia hết cho 5

⇒ x² + y² chia hết cho 5 (thỏa mãn)

+) Nếu trong 2 số x²; y² có 1 số chia 5 dư 1, 1 số chia 5 dư 4

Giử sử x² chia 5 dư 1, ta chọn x² = 1

y² chia 5 dư 4, ta chọn y² = 4

Khi đó; x² + y² = 1 + 4 = 5 ⋮ 5

Do đó yêu cầu chứng minh của đề bài là chưa đúng.

Ta có: x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

\[{x^3} + {y^3} = \frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 2\]

Vậy x³ + y³ = 2

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:  

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. 

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. 

Với z = 2: 

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn. 

Ta có nghiệm là (2,2,2).

x² + y² + z² + 14 = 2x + 4y + 6z

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 0

Vì (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² ≥ 0, ∀x, y, z ∈ ℤ

Nên dấu “=”xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + {y^2} + y = 18\\xy\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = 18\\x\left( {x + 1} \right).y\left( {y + 1} \right) = 72\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 12\\y\left( {y + 1} \right) = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 1} \right) = 6\\y\left( {y + 1} \right) = 12\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3;x = - 4\\y = 2;y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = - 3\\y = 3;y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x,y) = {(3,2);(3,−3);(−4;2);(−4;−3)} và hoán vị

x² + (m – 4)x – m + 3 = 0

Xét ∆ = (m – 4)² – 4(-m + 3) = m² – 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 4\\{x_1}{x_2} = - m + 3\end{array} \right.\)

Để phương trình nhận \(x = 5 + 6\sqrt 3 \) thì nghiệm còn lại có dạng:

\({x_2} = - m + 4 - \left( {5 + 6\sqrt 3 } \right) = - m - 1 - 6\sqrt 3 \)

Khi đó: -m + 3 = \[ - \left( {m + 1 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {5 + 6\sqrt 3 } \right)\]

Giải ra ta được m = -12,4

Nghiệm còn lại là x = 1

x²(x⁴ – 1)(x² + 2) + 1

= x²(x² – 1)(x² + 1) (x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)(x⁴ + x² + 2) + 1

= (x⁴ + x²)² + 2(x⁴ + x²) + 1

= (x⁴ + x² + 1)²

x² – 3xy – 10y²

= x² + 2xy – 5xy – 10y²

= x(x + 2y) – 5y(x + 2y)

= (x + 2y)(x – 5y)

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

⇔ \({x^2} + 2x\sqrt {2x - 1} + 2x - 1 = 4\left( {2x - 1} \right) + 4\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \({\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\) (*)

Do \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x - 1} > 0\\2\sqrt {2x - 1} + 1 > 0\end{array} \right.\)

Nên (*) tương đương: \(x + \sqrt {2x - 1} = 2\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \(x - 1 = \sqrt {2x - 1} \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2 + \sqrt 2 \)

x² – x(y + 5) = –4y – 9

⇔ x² – xy – 5x + 4y + 9 = 0

⇔ x(x – y) – 4(x – y) – x + 9 = 0

⇔ (x – 4)(x – y) – (x – 4) = -5

⇔ (x – 4)(x – y – 1) = -5

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) = {(-1;-3), (3;-3), (5;9), (9;9)}

\({x^2} - x - 1000\sqrt {1 + 8000x} = 1000\)

⇔ \({x^2} - x - 4002000 - \left( {1000\sqrt {1 + 8000x} - 4001000} \right) = 0\)

⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000\left( {x - 2001} \right)}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} = 0\)

⇔ \(\left( {x - 2001} \right)\left[ {\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}}} \right] = 0\)

Dễ thấy \(\left( {x + 2000} \right) - \frac{{1000.8000}}{{1000\sqrt {8000x + 1} + 4001000}} \ne 0\)

Suy ra: x – 2021 = 0

Hay x = 2021

Vậy x = 2021

x³ – 7x – 6 = 0

⇔ x³ – x – 6x – 6 = 0

⇔ x(x² – 1) – 6(x + 1) = 0

⇔ x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)(x(x – 1) – 6) = 0

⇔ (x + 1)(x + 2)(x – 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\\x = 3\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: x ≥ 0

\(\sqrt {x + 3} + \sqrt {3x + 1} = 2\sqrt x + \sqrt {2x + 2} \)

⇔ \(\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 2} = 2\sqrt x - \sqrt {x + 3} \)

⇔ 3x + 1 + 2x + 2 - \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4x + x + 3 - 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \(2\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 4\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \(\sqrt {6{x^2} + 8x + 2} = 2\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ 6x² + 8x + 2 = 4(x² + 3x)

⇔ 2x² – 4x + 2 = 0

⇔ x = 1

Vậy x = 1.

Nhân phương trình thứ hai với 3 và cộng với phương trình thứ nhất ta được:

(x + 1)³ + 3y²(x + 1) – 30y(x + 1) + 75(x + 1) = 0

⇔ (x + 1)[(x + 1)² + 3(y – 5)²] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 5\end{array} \right.\)

Với x = -1 thì ta có: y² – 2y – 15 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y =  - 3\\y = 5\end{array} \right.\)

Với y = 5 thì (x + 1)³ = 0 suy ra x = -1

Vậy (x;y) = {(-1;-3), (-1;5)}

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có: 

x³ + y³ + z³ ⋮ 3

3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3

nên (x + y + z)³ ⋮ 3

⇒ x +y + z ⋮ 3

⇒ (x + y + z)³ ⋮ 27

Kết hợp với (*) và x³ + y³ + z³ ⋮ 27

⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27

⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)

+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3

Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3

Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z

Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3

Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Giả thiết tương đương với:

(x + y + 1)(x² + y² + 1 – xy – x − y) = p

Do x + y + 1 > 1 và p là số nguyên tố nên x + y + 1 = p và

x² + y² + 1 – xy – x – y = 1

⇔ \({\left( {x + y} \right)^2} - \left( {x + y} \right) = 3xy \le \frac{3}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\)

⇒ x + y ≤ 4

⇒ p ≤ 5

Ta thấy 5 là số nguyên tố. Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2.

Vậy max p = 5 khi x = y = 2.

Nếu 1 trong 3 số x, y, z có một số bằng 0 thì x = y = z = 0

Nếu xyz khác 0. Ta chia lần lượt các phương trình cho x³y², y³z², z³x²

Ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + \frac{3}{y} + 1\\3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + \frac{3}{z} + 1\\3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{3}{x} + 1\end{array} \right.\)

Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y};t = \frac{1}{z}\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3{u^3} = 3{v^2} + 3v + 1\left( 1 \right)\\3{v^3} = 3{t^2} + 3t + 1\left( 2 \right)\\3{t^3} = 3{u^2} + 3u + 1\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (2), (3) ta có: u, v, t > 0

Giả sử u ≥ v ≥ t > 0

Vì 3u³ ≥ 3t³ mà 3u² + 3u + 1 ≥ 3v² + 3v + 1

Hay 3t³ ≥ 3u³

Suy ra: t = u

Mà u ≥ v ≥ t nên u = v = t hay x = y = z

Thay vào ta được:

3u³ = 3u² + 3u + 1

⇔ \(u = \frac{1}{{\sqrt[3]{4} - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 1\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z = 0\\x = y = z = \sqrt[3]{4} - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 4 + y\\{y^3} = 3y + z - 6\\{z^3} = 12z - x + 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = y + 2\\\left( {y + 2} \right){\left( {y - 1} \right)^2} = z - 4\\\left( {z - 4} \right){\left( {z + 2} \right)^2} = 2 - x\end{array} \right.\)

Nhân các vế với nhau ta được:

(x – 2)(x + 1)²(y + 2)(y – 1)²(z – 4)(z + 2)² = (y + 2)(z – 4)(2 – x)

Ta thấy với x = 2; y = -2; z = 4 thì thỏa mãn phương trình

Vì nếu (x;y;z) ≠ (2;-2;4) ta được: [(x + 1)(y − 1)(z + 2)]² = −1 (vô lý)

Vậy (x; y;

z) = (2;-2;4)

Ta cộng các vế của phương trình ta được:

x³ – 9z² + 27z – 27 + y³ – 9x² + 27x – 27 + z³ – 9y² + 27y – 27 = 0

⇔ (x³ – 9x² + 27x – 27) + (y³ – 9y² + 27y – 27) + (z³ – 9z² + 27z – 27) = 0

⇔ (x – 3)³ + (y – 3)³ + (z – 3)³ = 0

Ta thấy để phương trình xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 3 = 0\\z - 3 = 0\end{array} \right.\)

⇒ x = y = z = 3

Vậy x = y = z = 3.

x⁴ + 2x³ + x² + x + 1

= x⁴ + x³ + x³ + x² + x + 1

= x(x³ + x² + 1) + (x³ + x² + 1)

= (x + 1)(x³ + x² + 1)

Ta thấy A và B là hai tự nhiên số liên tiếp nên có 2 trường hợp xảy ra:

- A chẵn thì B lẻ

- A lẻ thì B chẵn

Mà x là số tự nhiên nên x⁴ + x + 1 > x⁴ + x hay B > A

Kết hợp với giả thiết A và B là số nguyên tố

Nên A phải là số chẵn, B là số lẻ (B > A)

Do đó: A = 2

⇒ B = A + 1 = 2 + 1 = 3

⇒ x⁴ + x = 2

⇒ x = 1

Vậy x = 1.

\({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + \sqrt {{x^2} + 2x + 10} = 2\)

⇔ \({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} = 3\) (*)

Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^4} + \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 = 3\)

Để (*) xảy ra khi x + 1 = 0 hay x = -1.

A(x) = x⁴ + 5x³ – 6x + 2x² + 10x – 5x³

A(x) = x⁴ + 4x + 2x² + 1

B(x) = x⁴ – 2x³ + 2x² + 6x³ + 1

B(x) = x⁴ + 4x³ + 2x² + 1

M(x) = A(x) – B(x) = (x⁴ + 4x + 2x² + 1) – (x⁴ + 4x³ + 2x² + 1) = 4x – 4x³

b) M(x) = 0

⇔ 4x – 4x³ = 0

⇔ 4x(1 – x²) = 0

⇔ 4x(1 – x)(1 + x) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

x⁶ + x³ – x² – 1

= x⁶ – x³ + 2x³ – 2x² + x² – 1

= x³(x³ – 1) + 2x²(x – 1) + (x – 1)(x + 1)

= (x – 1)[x³(x² + x + 1) + 2x² + x + 1]

= (x – 1)(x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1)

Xét đa thức g(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  có bậc 5 là số lẻ.

Khi đó giả sử tồn tại 2 đa thức h(x)h(x) và j(x)j(x) hệ số nguyên sao cho: g(x) = h(x).j(x)

Khi đó 1 trong 2 đa thức h(x),j(x)h(x),j(x) phải có bậc lẻ (vì nếu cả 2 đều bậc chẵn thì thành thử bậc của g(x)g(x) phải chẵn, mâu thuẫn theo trên).

 Không mất tổng quát, giả sử đa thức h(x)h(x) có bậc lẻ. Khi đó nếu nó có nghiệm hữu tỉ thì gọi nghiệm hữu tỉ này là \(x = \frac{p}{q}\left( {p,q \in \mathbb{Z};\left( {p;q} \right) = 1} \right)\) thì p∣1, q∣1 nên x = ±1. Thử lại, ta thấy 2 nghiệm này đều không thỏa mãn.

 Do đó, g(x) không có nghiệm vô tỉ nên ta không thể phân tích tiếp f(x) thành nhân tử được nữa.

x⁷ + x⁵ + 1

= (x⁷ + x⁶ + x⁵) – (x⁶ – 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x³ – 1)(x³ + 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)

= (x² + x + 1)[x⁵ – (x – 1)(x³ + 1)]

\(x = \sqrt {2x\left( {x - y} \right) + 2y - x + 2} \)

Bình phương 2 vế ta được: x² = 2x(x – y) + 2y – x + 2

⇔x² - 2x² + 2xy – 2y + x = 2

⇔ (1 – x)(x – 2y) = 2

Do x, y là số nguyên nên ta có bảng sau:

Mà x, y dương nên có các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là (2; 2) và (3; 2).

ĐKXĐ: x ≠ 1.

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

⇔ (x – 1)² = 16

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 hoặc x = -3.

\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} - \frac{{x - 3}}{{2009}} = \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

\(\frac{{x - 1}}{{2011}} + \frac{{x - 2}}{{2010}} = \frac{{x - 3}}{{2009}} + \frac{{x - 4}}{{2008}}\)

\(\left( {\frac{{x - 1}}{{2011}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 2}}{{2010}} - 1} \right) = \left( {\frac{{x - 4}}{{2008}} - 1} \right) + \left( {\frac{{x - 3}}{{2009}} - 1} \right)\)

\(\frac{{x - 2012}}{{2011}} + \frac{{x - 2012}}{{2010}} = \frac{{x - 2012}}{{2009}} + \frac{{x - 2012}}{{2008}}\)

\(\left( {x - 2012} \right)\left( {\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}}} \right) = 0\)

Vì \(\frac{1}{{2011}} + \frac{1}{{2010}} - \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} \ne 0\)

Suy ra: x – 2012 = 0

Hay x = 2012

Vậy x = 2012

ĐKXĐ: x ≠ 0

\(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{ - 8}}{x}\)

⇔ x² = 16

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy x = 4 hoặc x = -4.

x² + 45 = y²

Vì x² > 0 với mọi x nên x² + 45 > 45 ⇒ y² > 45

Suy ra: y² là số lẻ

⇒ x² là số chẵn

Mà x là số nguyên tố nên x = 2

⇒ y² = x² + 45 = 49

⇒ y = 7

Vậy x = 2; y = 7.