255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P6)

Đáp án C

$$\begin{gathered} Đặt 6^{\left|x\right|}=t \iff \left|x\right|={\log }_{6}t \\ \Rightarrow ĐK: {\log }_{6}t\ge 0\iff t\ge 1 \\ PT trở thành t^2-(m-2)t-2m=0 \\ \iff (t-m)(t+2)=0 \\ \iff t=m hoặc t=-2 \left(L\right) \\ Vậy PT\hspace{0.17em}có nghiệm \iff m\ge 1 \end{gathered}$$

Đáp án B

A chỉ đúng khi x > 0

$B: 4^x-3^x+1>0 đúng với mọi x$

$$\begin{gathered} {81}^{x-1}>3^{x^2} \\ \iff 3^{4x-4}>3^{x^2} \\ \iff 4x-4>x^2 \\ \iff x^2-4x+4<0 \\ \iff {(x-2)}^2<0 ( vô lý ) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Đặt 2^x=a (a>0); 2^y=b (b>0) \\ \Rightarrow a^2+b^2\le 2ab \\ \iff {(a-b)}^2\le 0 ( sai ) \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 3^{x^3}=8 \\ \iff x^3={\log }_{3}8 \\ \iff x=\sqrt[3]{{\log }_{3}8} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} ĐK: \left\{\begin{array}{l}1-2x>0\\ x>0\end{array}\iff 0<x<\frac{1}{2}\right. \\ BPT\iff 1-2x<x\iff x>\frac{1}{3} \\ Kết hợp điều kiện: \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} 4^x-2^{x+1}-1=0 \\ \iff 4^x-2.2^x-1=0 \\ \iff 2^x=1+\sqrt{2} hoặc 2^x=1-\sqrt{2} \left(VN\right) \\ \iff x={\log }_2\left(1+\sqrt{2}\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} a<b \\ \iff {\log }_3(x^2+1)<{\log }_3(x^2+2) \\ \iff x^2+1<x^2+2 ( luôn đúng ) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} Nghiệm của hệ thỏa mãn phương trình: \\ {T}^2-\frac{8}{3}T-1=0 \\ \iff T=3 hoặc T=\frac{-1}{3} \\ TH1: \\ \left\{\begin{array}{l}{5}^y=3\\ {\log }_{4}x=\frac{-1}{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y={\log }_{5}3\\ x=4^{\frac{-1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\end{array}\right.\right. \\ TH2: \\ \left\{\begin{array}{l}{5}^y=\frac{-1}{3}\\ {\log }_{4}x=3\end{array}\right.( VN) \end{gathered}$$

Đáp án C

$2^x.3^{x^2-x}=2^x.{\left(3^{x-1}\right)}^x={\left(2.3^{x-1}\right)}^x$

Đáp án B

$$\begin{gathered} ĐK: x\ne 0 \\ BPT\iff \frac{-1}{x}>1 \\ \iff \frac{x+1}{x}<0 \\ \iff -1<x<0 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} PT\iff 3x-1=\frac{-1}{2} \\ \iff x=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} ĐK: \left\{\begin{array}{l}3x-2>0\\ 2x-1>0\end{array}\iff x>\frac{2}{3}\right. \\ BPT\iff 3x-2<2x-1 \\ \iff x<1 \\ Kết hợp điều kiện: \frac{2}{3}<x<1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\log }_3\left(\cos x\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\sin x}{\cos x.\ln 3}=\frac{-\tan x}{\ln 3} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} 3^{x^3}=2^x \\ \iff {\log }_3\left(3^{x^3}\right)={\log }_3\left(2^x\right) \\ \iff x^3=x{\log }_{3}2 \\ \iff x(x^2-{\log }_{3}2)=0 \\ \iff x=0 hoặc x=\pm \sqrt{{\log }_{3}2} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} {\log }_{4}x=t\iff \frac{1}{2}{\log }_{2}x=t \\ \iff {\log }_{2}x=2t \\ M={\log }_4\left({\log }_{x}2\right)={\log }_4\left(\frac{1}{{\log }_{2}x}\right)={\log }_4\left(\frac{1}{2t}\right) \\ M=-{\log }_{4}2-{\log }_{4}t=\frac{-1}{2}.{\log }_{2}2-\frac{1}{2}{\log }_{2}t \\ M=\frac{-1}{2}(1+{\log }_{2}t) \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=3^{{\log }_{4}5} \\ \iff {\log }_3\mathrm{M}={\log }_{4}5 \\ \iff {\log }_3\mathrm{M}=\frac{1}{{\log }_{5}4} \\ \iff {\log }_3\mathrm{M}.{\log }_{5}4=1 \\ \iff {\log }_3\mathrm{M}.{\log }_{5}3.{\log }_{3}4=1 \\ \iff {\log }_5\mathrm{M}=\frac{1}{{\log }_{3}4}={\log }_{4}3 \\ \iff \mathrm{M}=5^{{\log }_{4}3} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} ĐK: 2x-1>0\iff x>\frac{1}{2} \\ PT\iff 2x-1=3^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \iff x=\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+1}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{6} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} BPT\iff \frac{-1}{x}>1 \\ \iff \frac{x+1}{x}<0 \\ \iff -1<x<0 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 3^{{\mathrm{x}}^2}=4^{\mathrm{x}} \\ \iff {\log }_3{3}^{{\mathrm{x}}^2}={\log }_3{4}^{\mathrm{x}} \\ \iff {\mathrm{x}}^2={\mathrm{xlog}}_{3}4 \\ \iff \mathrm{x}(\mathrm{x}-{\log }_{3}4)=0 \\ \iff \mathrm{x}=0 \mathrm{hoặc} \mathrm{x}={\log }_{3}4 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} Đặt {\log }_{3}x=t\iff x=3^t \\ PT trở thành {\log }_3{\left(3^t\right)}^2+t-2=0 \\ \iff 2t+t-2=0 \\ \iff t=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow x=3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9} \end{gathered}$$

Đáp án D

$ĐK: {\log }_{\frac{1}{2}}x>0\iff 0<x<1$

Đáp án A

${\log }_9^2 ( x^2 )={\left[{\log }_9\left(x^2\right)\right]}^2={\left({\log }_{3}x\right)}^2$

Đáp án D

$$\begin{gathered} Đặt {\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}^x=t\iff {\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}^x=\frac{1}{t} \\ với x\ge 0\Rightarrow t\ge 1 \\ BPT\hspace{0.17em}trở thành t-(2a+1)\frac{1}{t}-2a\le 0 \\ \iff t^2-2at-(2a+1)\le 0 \\ \iff (t+1)(t-1-2a)\le 0 (*) \\ do t\ge 1\Rightarrow t+1>0 \\ \Rightarrow (*)\iff t\le 2a+1 \\ Để BPT có nghiệm với \forall x\ge 0 thì hệ \left\{\begin{array}{l}t\ge 1\\ t\le 2a+1\end{array}\right.phải có nghiệm \\ \Rightarrow 2a+1\ge 1\iff a\ge 0 \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{ĐK}: \left\{\begin{array}{l}0<1-3\mathrm{x}\ne 1\\ \mathrm{x}>0\\ 2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<\frac{1}{3}\\ \mathrm{x}>0\\ \mathrm{x}<\frac{-1-\sqrt{3}}{2} \mathrm{hoặc} \mathrm{x}>\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right. \\ \iff \mathrm{x}\in \varnothing \mathrm{hay} \mathrm{PT}\hspace{0.17em}\mathrm{không} \mathrm{có} \mathrm{nghiệm} \mathrm{do} \mathrm{không} \mathrm{xác} \mathrm{định} \mathrm{được} \mathrm{điều} \mathrm{kiện} \end{gathered}$$

Đáp án D

$$\begin{gathered} y\text{'}=2x.\ln 4.4^{x^2-1} \\ y\text{'}=0\iff x=0 \\ ta thấy y\text{'}>0 khi x>0 và y\text{'}<0 khi x<0 \\ \Rightarrow HSĐB trên khoảng \left(0;+\infty \right) vag HSNB trên \left(-\infty ;0\right) \end{gathered}$$