255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải (P3)

Đáp án B

$$\begin{gathered} Nghiệm của hệ thỏa mãn PT: \\ {T}^2-\frac{10}{3}T+1=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}T=3\\ T=\frac{1}{3}\end{array}\right. \\ TH1:\left\{\begin{array}{l}5y^2=3\\ {\log }_{3}x=\frac{1}{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2=\frac{3}{5}\\ x=\sqrt[3]{3}\end{array}\right.\right. \\ TH2:\left\{\begin{array}{l}5y^2=\frac{1}{3}\\ {\log }_{3}x=3\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{y}^2=\frac{1}{15}\\ x=27\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} e^{x^2}={\log }_{\sqrt{2}-1}m \\ \iff x^2=\ln \left({\log }_{\sqrt{2}-1}m\right) \\ PT có nghiệm duy nhất \iff \ln \left({\log }_{\sqrt{2}-1}m\right)=0 \\ \iff {\log }_{\sqrt{2}-1}m=1 \\ \iff m=\sqrt{2}-1 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} Đk: \sin x>0\iff k2\mathrm{\pi }<\mathrm{x}<\mathrm{\pi }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi } \\ \Rightarrow \mathrm{Hàm} \mathrm{số} \mathrm{y}=\ln \left(\mathrm{sinx}\right) \mathrm{có} \mathrm{TCĐ} \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} \underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim }\ln \left(\mathrm{sinx}\right)=\infty \\ \Rightarrow \mathrm{Hàm} \mathrm{số} \mathrm{y}=\ln \left(\mathrm{sinx}\right) \mathrm{không} \mathrm{có} \mathrm{TCN} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{2} \\ \iff 3^{\frac{1}{x}}=2 \end{gathered}$$

Đáp án A

Đáp án D

$$\begin{gathered} TXĐ: D=\mathrm{ℝ} \\ y\text{'}=2x.2^{x^2-1}.\ln 2 \\ y\text{'}=0\iff x=0 \\ Ta dễ thấy rằng HSĐB khi x>0 và HSNB khi x<0 \end{gathered}$$

Trong 4 đáp án ta thấy đáp án D là đúng vì khoảng (-3;0) nằm trong khoảng $\left(-\infty ;0\right)$

Đáp án C

$$\begin{gathered} y={\log }_4\left(x-x^2\right). ĐK: x-x^2>0\iff 0<x<1 \\ \Rightarrow TXĐ: D=\left(0;1\right) \\ y\text{'}=\frac{1-2x}{(x-x^2)\ln 4} \\ y\text{'}=0\iff x=\frac{1}{2} \\ Ta có: \underset{x\to 1}{\lim }{\log }_4\left(x-x^2\right)=\underset{x\to 0}{\lim }{\log }_4\left(x-x^2\right)=-\infty \\ và f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 \\ \Rightarrow TGT của hàm số G=\left(-\infty ;-1\right) \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} {\left[2^{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}\right]}^{\mathrm{x}+1}.3^{\mathrm{x}-1}=1 \\ \iff {\left[2^{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}\right]}^{\mathrm{x}+1}=3^{1-\mathrm{x}} \\ \iff {\log }_3{\left[2^{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}\right]}^{\mathrm{x}+1}=1-\mathrm{x} \\ \iff (\mathrm{x}+1){(\mathrm{x}-1)}^2{\log }_{3}2+\mathrm{x}-1=0 \\ \iff (\mathrm{x}-1)\left[(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-1){\log }_{3}2+1\right]=0 \\ \iff \mathrm{x}=1 \mathrm{hoặc} (\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-1){\log }_{3}2+1=0(*) \\ (*)\iff {\mathrm{x}}^2-1=\frac{-1}{{\log }_{3}2} \\ \iff {\mathrm{x}}^2=\frac{-1}{{\log }_{3}2}+1 \\ \mathrm{Ta} \mathrm{thấy} \frac{-1}{{\log }_{3}2}+1<0 \mathrm{nên} (*) \mathrm{vô} \mathrm{nghiệm} \\ \mathrm{KL}:\hspace{0.17em}\mathrm{PT} \mathrm{có} \mathrm{nghiệm} \mathrm{duy} \mathrm{nhất} \mathrm{x}=1 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt {\sin }^{2}x=t \left(t\in \left[0;1\right]\right) \\ BPT\iff 2^t+3^{1-t}\le m.3^t \\ \iff 2^t+3^{1-t}-m.3^t\le 0 \\ \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}\le m \\ Đặt f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{9^t} với 0\le t\le 1 \\ f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t\ln \frac{2}{3}+3.{\left(\frac{1}{9}\right)}^t.\ln \left(\frac{1}{9}\right)<0 với\forall t \\ Ta có f\left(0\right)=4; f\left(1\right)=1 \\ Để BPT nghệm đúng thì \underset{t\in [0;1]}{max f\left(t\right)}\le m \\ \iff 4\le m\iff m\ge 4 \end{gathered}$$

Đáp án B

Đáp án C

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\mathrm{lnx}-\ln (1-\mathrm{x}) =\ln \left(\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right) \\ \mathrm{ĐK}: \frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}>0\iff 0<\mathrm{x}<1 \\ \mathrm{Xét}: \\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\ln \left(\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)=-\infty \Rightarrow \mathrm{x}=0 \mathrm{là} \mathrm{TCĐ} \\ \underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\ln \left(\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)=+\infty \Rightarrow \mathrm{x}=1 \mathrm{là} \mathrm{TCĐ} \\ \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\ln \left(\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)=+\infty \mathrm{và} \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\ln \left(\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)=-\infty \\ \Rightarrow \mathrm{Hàm} \mathrm{số} \mathrm{không} \mathrm{có} \mathrm{TCN} \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} 2^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ \iff 2^{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=2^{-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0 \end{gathered}$$

Đáp án B

Hướng dẫn: Dùng công thức: ${\log }_{a}b.{\log }_{b}c={\log }_{a}c$

$$\begin{gathered} P={\log }_2\left(\frac{1}{3}\right).{\log }_3\left(\frac{1}{4}\right)...{\log }_{98}\left(\frac{1}{99}\right) \\ P=-{\log }_{2}3.(-{\log }_{3}4)...(-{\log }_{98}99) (có 97 thừa số) \\ \Rightarrow P=-{\log }_{2}99={\log }_2\left(\frac{1}{99}\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} 2{\log }_3\left(cotx\right)={\log }_2\left(\cos x\right) \\ \iff {\log }_3\left(co{t}^{2}x\right)={\log }_2\left(\cos x\right)=t \\ \iff co{t}^{2}x=3^t \\ Với t={\log }_2\left(\cos x\right) \iff \cos x=2^t \\ \iff {\cos }^{2}x={\left(2^t\right)}^2\iff \frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}=\frac{{\left(2^t\right)}^2}{1-{\cos }^{2}x} \\ \iff co{t}^{2}x=\frac{{\left(2^t\right)}^2}{1-{\left(2^t\right)}^2}=\frac{2^{2t}}{1-2^{2t}} \\ \Rightarrow \frac{2^{2t}}{1-2^{2t}}=3^t \\ \iff 2^{2t}=3^t-3^t.2^{2t} \\ \iff 4^t-3^t+3^t.4^t=0 \\ \iff 1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^t+3^t=0 \\ \iff 3^t={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 \\ xét 2 hàm số y=3^t và y={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 \\ Ta thấy hàm số y=3^t đồng biến trên R và y={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 nghịch biến trên R \\ \Rightarrow PT có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất \\ Ta có t=-1 là nghiệm của PT \\ \Rightarrow t=-1 là nghiệm duy nhất \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} ĐK:{\log }_2(x-1)\ge 0\iff x-1\ge 1\iff x\ge 2 \\ \sqrt{{\log }_2(x-1)}\le 10 \\ \iff {\log }_2(x-1)\le 100 \\ \iff x-1\le 2^{100} \\ \iff x\le 2^{100}+1 \\ KHĐK ta được 2\le x\le 2^{100}+1 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} ĐK: m>0 \\ {\log }_4(x^2-2mx+2)>{\log }_{2}m \\ \iff \frac{1}{2}{\log }_2(x^2-2mx+2)>{\log }_{2}m \\ \iff {\log }_2(x^2-2mx+2)>{\log }_2{m}^2 \\ \iff x^2-2mx+2>m^2 \\ \iff x^2-2mx+2-m^2>0(*) \\ Để BPT có nghiệm với mọi x thì (*) phải có nghiệm với mọi x \\ \Rightarrow ∆\text{'}<0 \\ ∆\text{'}=m^2+m^2-2=2m^2-2 \\ \Rightarrow 2m^2-2<0\iff 2m^2-2<0 \\ \iff -1<m<1 \\ Kết hợp ĐK: 0<m<1 \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt 3^x=t \\ x\in (0;2)\Rightarrow t\in (1;9) \\ PT\iff t^2-(m+1)t+m+9=0 (*) \\ PT\hspace{0.17em}có nghiệm khi PT(*) có nghiệm với 1<t<9 \\ (*)\iff t^2-mt-t+m+9=0 \\ \iff t^2-t+9=m(t-1) \\ \iff \frac{t^2-t+9}{t-1}=m \\ Đặt f\left(t\right)=\frac{t^2-t+9}{t-1} \\ f\text{'}\left(t\right)=\frac{(2t-1)(t-1)-(t^2-t+9)}{{(t-1)}^2}=\frac{t^2-2t-8}{{(t-1)}^2} \\ f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}t=4 \left(tm\right)\\ t=-2\left(L\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

BBT:

KL: Phương trình có nghiệm trong khoảng (0;2) khi $7\le m<\frac{81}{8}$

Đáp án B

Đáp án D

$ĐK: \left\{\begin{array}{l}1-x\ne 0\\ 2x-x^2>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ 0<x<2\end{array}\right.\right.$

Đáp án B

$$\begin{gathered} ĐK\left\{\begin{array}{l} 5-x\ne 1\\ 35-x^3>0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x^3<35\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 4\\ x<\sqrt[3]{35}\approx 3,27\end{array}\right.\right.\right. \\ Khi đó 5-x>0 \\ BPT\iff 35-x^3>{(5-x)}^3\iff 35-x^3>125-75x+15x^2-x^3 \\ \iff 15x^2-75x+90<0 \\ \iff x^2-5x+6<0 \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 4^{1-\mathrm{cos\pi }x}=a \\ \iff 1-\mathrm{cos\pi }x={\log }_{4}a \\ \iff \mathrm{cos\pi }x=1-{\log }_{4}a \\ PT có nghiệm\iff -1\le 1-{\log }_{4}a\le 1 \\ \iff -2\le -{\log }_{4}a\le 0 \\ \iff 2\ge {\log }_{4}a\ge 0 \\ \iff 16\ge a\ge 1 \\ \iff 1\le a\le 16 \end{gathered}$$

PT dạng $a^x=b$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$

Đáp án A

Đáp án D

$$\begin{gathered} 3^{\mathrm{lnx}}=4^{\mathrm{lny}} \\ \iff {\log }_3{3}^{\mathrm{lnx}}={\log }_3{4}^{\mathrm{lny}} \\ \iff \mathrm{lnx}={\log }_{3}4.\mathrm{lny} \\ \iff \ln 3.\mathrm{lnx}=\ln 3.{\log }_{3}4.\mathrm{lny} \\ \iff \ln 3.\mathrm{lnx}=\ln 3.{\log }_{3}4.\mathrm{lny} \\ \iff \ln 3.\mathrm{lnx}=\ln 4.\mathrm{lny} \\ \iff \frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{lny}}=\frac{\ln 4}{\ln 3} \mathrm{hay} \frac{\mathrm{lnx}}{\ln 4}=\frac{\mathrm{lny}}{\ln 3} \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt \left\{\begin{array}{l}{3}^x=a (a>0)\\ 9^y=b (b>0)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x={\log }_{3}a\\ y={\log }_{9}b\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ S={\log }_{3}a+{\log }_{9}b={\log }_{3}a+\frac{1}{2}{\log }_{3}b\end{array}\right. \\ Thay b=1-a (0<a<1) ta có: \\ S={\log }_{3}a+\frac{1}{2}{\log }_3(1-a) \\ S\text{'}=\frac{1}{a\ln 3}+\frac{1}{2}.\frac{-1}{(1-a)\ln 3}=\frac{2(1-a)-a}{2a(1-a)\ln 3}=\frac{2-3a}{2a(1-a)\ln 3} \\ S\text{'}=0\iff a=\frac{2}{3} \\ Lập BBT ta thấy S max tại a=\frac{2}{3} \\ S\left(\frac{2}{3}\right)={\log }_3\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2}{\log }_3\left(1-\frac{2}{3}\right)={\log }_{3}2-1+\frac{1}{2}{\log }_3\left(\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{3}2-1-\frac{1}{2}={\log }_{3}2-\frac{3}{2} \\ \Rightarrow S_{max}={\log }_{3}2-\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Đáp án C

Đáp án B

$$\begin{gathered} M=a^{{\log }_{b}c} \\ \iff {\log }_{c}M={\log }_{c}a.{\log }_{b}c={\log }_{b}a \\ \iff M=c^{{\log }_{b}a} \end{gathered}$$

Đáp án B

$$\begin{gathered} 2.9^{{\log }_2\left(\frac{x}{2}\right)}=x^{{\log }_{2}6}-x^2 \\ \iff 2.9^{{\log }_{2}x-1}=x^{{\log }_{2}6}-x^2 (*) \\ Với t={\log }_{2}x \iff x=2^t \\ (*)\iff 2.9^{t-1}={\left(2^t\right)}^{{\log }_{2}6}-{\left(2^t\right)}^2\iff 2.\frac{9^t}{9}=6^t-4^t \\ \iff 9^t=\frac{9}{2}\left(6^t-4^t\right) \end{gathered}$$

Đáp án A

$$\begin{gathered} {\log }_x(x^3+1).{\log }_{x+1}x-2<0 \\ \iff {\log }_{x+1}(x^3+1)-2<0 (*) \\ ĐK: \left\{\begin{array}{l}0<x\ne 1\\ 0<x+1\ne 1\\ x^3+1>0\end{array}\right.\iff x>0 \\ (*)\iff {\log }_{x+1}(x^3+1)<2 \\ \iff x^3+1<{(x+1)}^2\iff (x+1)\left[\left(x^2-x+1\right)-(x+1)\right]<0 \\ \iff (x+1)\left(x^2-2x\right)<0 \\ Giải BPT ta được S_1=(-\infty ;-1)\cup (0;2) \\ {x}^3-3x<0\iff x(x^2-3)<0 \\ Giải ra ta có S_2=(-\infty ;-\sqrt{3})\cup (0;\sqrt{3}) \\ Ta thấy S_1\subset S_2 \end{gathered}$$

Đáp án C

$$\begin{gathered} y={\log }_{\frac{1}{3}}(x^2-2x+4) \\ TXĐ: D=\mathrm{ℝ} \\ y\text{'}=\frac{2x-2}{(x^2-2x+4)\ln \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)} \\ y\text{'}=0\iff x=1 \\ Do (x^2-2x+4)\ln \left(\frac{1}{3}\right)<0 nên y\text{'}>0\iff x<1 và y\text{'}<0\iff x>1 \\ \Rightarrow Hàm số đạt CĐ tại x=1 \\ \Rightarrow y_{max}=y\left(1\right)=-1 \end{gathered}$$