20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
\(\left( { - 1;0; - 2} \right)\).
\(\left( { - 2; - 2;4} \right)\).
\(\left( {2;2; - 4} \right)\).
\(\left( {0;2;2} \right)\).
Đáp án đúng: B
Vì \(\vec c = \vec a - \vec b = \left( { - 2; - 2;4} \right)\).
\(\left( {11;0;1} \right)\).
\(\left( {5; - 1;0} \right)\).
\(\left( {11;0; - 1} \right)\).
\(\left( {5; - 1; - 1} \right)\).
Đáp án đúng: A
Ta có: \(2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \vec i + 2\vec j + \vec k \Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\vec b = \left( {3;6;3} \right)\)
Do đó: \(2\vec a + 3\vec b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)\).
\( - 5\).
\(3\).
\(5\).
\( - 3\).
Đáp án đúng: C
Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 1} \right).3 + 3.2 = 5\).
\(I\left( {0;\frac{3}{2}; - 1} \right)\).
\(I\left( {0;3;2} \right)\).
\(I\left( {2;\frac{5}{2};5} \right)\).
\(I\left( {0;\frac{3}{2};1} \right)\).
Đáp án đúng: D
Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trung điểm của đoạn \(AB\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 0\\{y_0} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2}\\{z_0} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\frac{3}{2};1} \right)\)
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3}; - 2} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};3} \right)\).
\(G\left( {5;1;6} \right)\).
\(G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\).
Đáp án đúng: D
Gọi \(G\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(\Delta ABC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{{1 + 2 + 2}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_0} = \frac{{ - 1 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\{z_0} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};2} \right)\)
\(2\).
\(\sqrt 6 \).
\(\sqrt 2 \).
\(6\).
Đáp án đúng: B
Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
\(\vec c\left( { - 6; - 2; - 2} \right)\).
\(\vec d\left( {3; - 1;1} \right)\).
\(\vec m\left( { - 3; - 1;1} \right)\).
\(\vec n\left( {2;1;4} \right)\).
Đáp án đúng: B
Ta có \(\left[ {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,3\,\\2\,\,\, - 1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}3\,\,\,\,\, - 1\,\\ - 1\,\,\,\,\,\,1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\,\,\,\,\,0\,\\\,1\,\,\,\,\,\,\,\,2\end{array} \right|} \right) = \left( { - 6\,;\,2\,;\, - 2} \right) = - 2\left( {3;\, - 1;\,1} \right)\).
Chọn \(\vec d\left( {3; - 1;1} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\frac{9}{{\sqrt {35} }}\) .
\( - \frac{9}{{\sqrt {35} }}\).
\( - \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
\(\frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
Đáp án đúng: D
Ta có\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\).
\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{5 + 20 + 2}}{{\sqrt {30} .\sqrt {42} }} = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\).
\(M(0;0; - 3)\).
\(M( - 8; - 4;7)\).
\(M(8;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4; - 7)\).
\(M\left( {0;0;3} \right)\).
Đáp án đúng: D
Gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\).
Khi đó: \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\left( { - 2 - x} \right)\\y - 2 = 2\left( { - 1 - y} \right)\\z - 1 = 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {0;0;3} \right)\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 20 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
m = 2
m = −6
m = 0.
m = −4.
Đáp án đúng: C
\(\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 2;2} \right);\overrightarrow {NP} \left( {2;\,m - 2;1} \right)\).
Tam giác \(MNP\) vuông tại \(N \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2\left( {m - 2} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow m - 2 = - 2 \Leftrightarrow m = 0\).
a) \(MN = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {17} \).
b) Có \(\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right),\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right)\).
Để tam giác MNP vuông tại N thì \(\overrightarrow {NP} .\overrightarrow {NM} = 0\)\( \Leftrightarrow 6 + 2\left( {m - 2} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow m = 1\).
c) \(\overrightarrow {OM} = \left( {2;3; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - \overrightarrow k \).
d) \(\overrightarrow {ON} = \left( { - 1;1;1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow v = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \left( {1;4;0} \right)\).
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 - 4}}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 1 + 7}}{3}\\{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 5}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_G} = \frac{8}{3}\\{z_G} = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\(G\left( { - \frac{1}{3};\frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
b) D(x; y; z). Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)\).
Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = 1\\7 - y = - 3\\5 - z = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 10\\z = 1\end{array} \right.\) D(−5; 10; 1).
c) Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y; - 1 - z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right),\overrightarrow {MC} = \left( { - 4 - x;7 - y;5 - z} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \left( { - 5 - 4x;15 - 4y;12 - 4z} \right)\).
Để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 5 - 4x = 0\\15 - 4y = 0\\12 - 4z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = - 5\\4y = 15\\z = 3\end{array} \right.\).
Do đó 4x + 4y + z = 13.
d) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;5;6} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right).5 + 4.6 = 4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 7;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;0;0} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 7;4} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC} ,\forall k \ne 0\). Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.
c) Gọi G là trọng tâm ABC.
Khi đó \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\).
Để \(T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất thì \(\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\) nhỏ nhất.
Suy ra M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (Oyz).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{2 - 5 + 2}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\\{z_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{4}{3}} \right)\).
Suy ra \(M\left( {0; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Do đó a + b + c = 1.
d) Có \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {74} \);\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 1\);
\(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 + 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {69} \).
Do đó chu vi tam giác ABC bằng \(1 + \sqrt {69} + \sqrt {74} \).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) \(AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5\).
b) Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;2;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = - \frac{{16}}{3} + \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \).
Do đó tam giác OAB vuông tại O.
c) Có OA = 3; OB = 4; AB = 5.
Gọi D là chân đường phân giác trong góc \(\widehat {AOB}\) D thuộc đoạn AB.
Theo tính chất của phân giác trong ta có:
\(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {DB} \Rightarrow D\left( {0;\frac{{12}}{7};\frac{{12}}{7}} \right)\).
d) Tam giác OAB có diện tích \(S = \frac{1}{2}OA.OB = 6\), nửa chu vi \(P = \frac{{OA + OB + AB}}{2} = 6\)
\( \Rightarrow r = \frac{S}{p} = 1\) là bán kính đường tròn nội tiếp; chiều cao \(OH = \frac{{OA.OB}}{{AB}} = \frac{{12}}{5}\).
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB I thuộc đoạn OD.
Ta có \(\frac{{DI}}{{DO}} = \frac{r}{{OH}} = \frac{5}{{12}}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DI} = \frac{5}{{12}}\overrightarrow {DO} \) I(0; 1; 1) hay a = 0; b = 1; c = 1.
Vậy S = a + b + c = 2.
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.
(a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.
(b) Tọa độ của máy bay (300; 150; 9).
(c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động với vận tốc theo hương đông là 750 km/h, độ cao không đổi. Biết rằng gió thổi theo hướng đông với vận tốc 10 m/s. Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì lúc 10 giờ 30 phút máy bay ở tọa độ (150; 1086; 9).
(d) Sau khi bay đến vị trí lúc 10 giờ 30 phút thì máy bay bay ngược lại với vận tốc 800 km/h với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11 giờ máy bay ở tọa độ (686; 150; 9).
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy máy bay đang ở độ cao 9 km.
b) Máy bay ở tọa độ (150; 300;9).
c) Vận tốc gió 10 m/s = 36 km/h.
Quãng đường máy bay bay được là 750 + 36 = 786 km.
Do đó tọa độ của máy bay là (150; 1086; 9).
d) Quãng đường máy bay bay được là \(800.\frac{1}{2} = 400\) km. Do đó tọa độ máy bay là (150; 686; 9).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = 6; AD = 7; AE = 5. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm A, các điểm B, D, E lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Gọi K là tâm của ABCD. Điểm N(a; b; c) là trọng tâm của tam giác AHK. Tính P = 2a – 4b + 3c.
Theo đề ta có A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 7; 0), E(0; 0; 5).
Vì K là tâm của ABCD nên K là trung điểm của BD. Suy ra K(3; 3,5; 0).
H (Oyz) H(0; 7; 5).
Vì N là trọng tâm của tam giác AHK nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\\b = \frac{{0 + 3,5 + 7}}{3} = \frac{7}{2}\\c = \frac{{0 + 0 + 5}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\).
Do đó P = 2a – 4b + 3c \( = 2.1 - 4.\frac{7}{2} + 3.\frac{5}{3} = - 7\).
Trả lời: −7.
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (hình vẽ). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m. Tính quãng đường flycam bay từ vị trí A đến vị trí B, biết flycam bay từ vị trí A đến vị trí B theo một đường thẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Ta có A(100; 150; 30), B(−80; −120; 50).
Khi đó \(AB = \sqrt {{{\left( { - 80 - 100} \right)}^2} + {{\left( { - 120 - 150} \right)}^2} + {{\left( {50 - 30} \right)}^2}} \approx 325\) (m).
Trả lời: 325.
Ta có 2 điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (Oxz).
Khi đó MA + MB AB.
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của AB với mặt phẳng (Oxz).
Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương và M (Oxz).
Giả sử M(x; y; z).
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 5;2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y - 3;z - 1} \right)\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 3 = - 5k\\z - 1 = 2k\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\k = \frac{3}{5}\\z = \frac{{11}}{5}\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;0;\frac{{11}}{5}} \right)\).
Do đó \(P = 3z - {x^2} = 3.\frac{{11}}{5} - {1^2} = 5,6\).
Trả lời: 5,6.
Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt S(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right),C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)\). Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn 30 N và được phân bố thành ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) có độ lớn bằng nhau như hình. Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} \).
Ta có \(\overrightarrow {SA} = \left( { - 2;0; - 4} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {1;\sqrt 3 ; - 4} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1; - \sqrt 3 ; - 4} \right)\)\( \Rightarrow SA = SB = SC = \sqrt {20} \).
Lại có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;\sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \sqrt 3 ;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2\sqrt 3 ;0} \right)\)\( \Rightarrow AB = AC = BC = \sqrt {12} \).
Do đó hình chóp S.ABC đều có đường cao là SO = 4 với O(0; 0; 0) là trọng tâm tam giác ABC.
Mặt khác, \(\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} = \left( { - 2k;0; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} = \left( {k;\sqrt 3 k; - 4k} \right),\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} = \left( {k; - \sqrt 3 k; - 4k} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0;0; - 12k} \right)\).
Mà \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P = \left( {0;0; - 30} \right)\) nên \( - 12k = - 30 \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}\).
Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( { - 5;0; - 10} \right),\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2}; - 10} \right)\).
Vậy \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} = \frac{{175}}{2} = 87,5\).
Trả lời: 87,5.
Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \) (đơn vị trên phần mềm) khoảng cách ngoài thực tế sẽ là \(5\sqrt 2 \) km.
Thời gian bay của drone là \(\frac{{5\sqrt 2 }}{{80}}\) giờ ≈ 5,3 phút.
Trả lời: 5,3.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
