Giải SBT Toán 12 CD Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án
34 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 
= (1; −3; −2), 
= (4; −1; 2). Tọa độ của vectơ 
là:
A. (3; 2; 4).
B. (5; −4; 0).
C. (−3; −2; −4).
D. (−3; −2; 0).
Đáp án đúng là: C
Ta có: 
= (1 – 4; −3 – (−1); −2 – 2) = (−3; −2; −4).
Vậy = (−3; −2; −4).
Cho hai điểm A(2; 2; −1) và B(4; 6; −3). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
A. (3; 4; −2).
B. (6; 8; −4).
C. (1; 2; −1).
D. (−1; −2; 1).
Đáp án đúng là: A
Ta có: M(x; y; z) với x = 
= 3; y = 
= 4; z = 
= −2.
Vậy M(3; 4; −2).
Cho tam giác ABC có A(1; 3; 2), B(2; −1; 1) và C(3; 1; 0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
A. (6; 3; 3).
B. (2; 1; 1).
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: B
Ta có G(x; y; z) với x = 
= 2; y = 
= 1; z = 
= 1.
Vậy G(2; 1; 1).
Trong không gian Oxyz, cho 
= (2; −1; 4). Độ dài vectơ bằng:
A. 
.
B. 5.
C. 27.
D. 
.
Đáp án đúng là: D
Ta có: 
= 
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; −1; 4) và B(1; −3; −1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: C
Ta có: 
= (1 – (−2); −3 – (−1); −1 – 4) = (3; −2; −5).
= 
= 
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 
= (0; 2; 2) và 
= (3; −3; 0). Góc giữa hai vectơ và bằng:
A. 60°.
B. 120°.
C. 150°.
D. 30°.
Đáp án đúng là: B
Ta có: cos(
,
) = 
= 
= 
.
Suy ra (,) = 120°.
cho A(1; 2; −1), B(2; −1; 3), C(−4; 7; 5).
a) Tọa độ của | Đ | S |
b) AB = AC = | Đ | S |
c) | Đ | S |
d) cos | Đ | S |
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) S |
Ta có: 
= (2 – 1; −1 – 2; 3 – (−1)) = (1; −3; 4),
= (−4 – 1; 7 – 2; 5 – (−1)) = (−5; 5; 6).
AB = 
= 
,
AC = 
= 
.
Có: . = 1.(−5) + (−3).5 + 4.6 = 4.
cos
= cos(
) = 
= 
= 
.
Cho hai vectơ 
= (3; −2; −5) và 
= (1; 1; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của vectơ 
vuông góc với hai vectơ và .
Ta có: 
= [
,
] = 
= (−5; −20; 5).
Khi đó, vectơ = (−5; −20; 5) vuông góc với cả hai vectơ và .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2; 2; −2), N(−3; 5; 1), P(1; −1; −2).
a) Chứng minh ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
Ta có: 
= (−3 – 2; 5 – 2; 1 – (−2)) = (−5; 3; 3),
= (1 – 2; −1 – 2; −2 – (−2)) = (−1; −3; 0).
Nhận thấy ≠ k với mọi k ∈ ℝ.
Vậy ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2; 2; −2), N(−3; 5; 1), P(1; −1; −2).
Tính chu vi tam giác MNP.
Ta có: 
= (1 – (−3); −1 – 5; −2 – 1) = (4; −6; −3).
MN = |
| = 
= 
;
MP = |
| = 
= 
;
NP = || = 
= 
.
Do đó, chu vi tam giác MNP là: + + .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(2; 2; −2), N(−3; 5; 1), P(1; −1; −2).Tính cos
Trong tam giác MNP, có:
cos
= cos (
) = 
= 
= 
.
Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi 500 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời như Hình 18, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét.
Hỏi rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A có tọa độ (−200; 400; 200) đối với hệ trục tọa độ không?
Khoảng cách từ trung tâm kiểm soát không lưu tới máy bay tại vị trí A bằng độ dài OA:
OA = 
= 
= 
< 500.
Vì vậy rađa trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A có tọa độ (−200; 400; 200).
Cho điểm M thỏa mãn 
. Tọa độ của điểm M là:
A. (2; −4; 1).
B. (1; −4; 2).
C. (−4; 2; 1).
D. (−1; 4; −2).
Đáp án đúng là: B
Ta có: 
⇒ 
= (1; −4; 2).
Vậy M(1; −4; 2).
Cho hai điểm M(3; −2; 3) và N(1; −4; 5). Tọa độ của vectơ 
là:
A. (−2; −2; 2).
B. (2; 2; −2).
C. (−2; −6; 2).
D. (2; −6; −2).
Đáp án đúng là: A
Ta có: 
= (1 – 3; −4 – (−2); 5 – 3) = (−2; −2; 2).
Vậy = (−2; −2; 2).
Cho hai vectơ 
= (3; 4; −5), 
= (5; −7; 1). Tọa độ của vectơ 
là:
A. (8; 11; −4).
B. (−2; 11; −6).
C. (8; −3; −4).
D. (−8; 3; 4).
Đáp án đúng là: C
Ta có: 
= (3 + 5; 4 + (−7); −5 + 1) = (8; −3; −4).
Vậy = (8; −3; −4).
Cho hai vectơ 
= (2; −2; 1), 
= (5; −4; −1). Tọa độ của vectơ 
là:
A. (−3; 2; 2).
B. (7; −6; 0).
C. (3; −2; −2).
D. (−3; −6; 0).
Đáp án đúng là: A
Ta có: 
= (2 – 5; −2 – (−4); 1 – (−1)) = (−3; 2; 2).
Vậy = (−3; 2; 2).
Cho vectơ 
= (1; 2; −3). Tọa độ của vectơ −3 là:
A. (3; 6; −9).
B. (−3; −6; −9).
C. (3; 6; 9).
D. (−3; −6; 9).
Đáp án đúng là: D
Ta có: 
= (1; 2; −3) ⇒ −3 = (−3.1; −3.2; −3.(−3)) = (−3; −6; 9).
Vậy −3 = (−3; −6; 9).
Độ dài của vectơ 
= (1; 2; 2) là:
A. 9
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Đáp án đúng là: B
Ta có: 
= (1; 2; 2) ⇒ || = 
= 3.
Vậy độ dài vectơ là 3.
Tích vô hướng của hai vectơ 
= (−2; 1; 3) và 
= (−3; 2; 5) là:
A. 
.
B. 
.
C. 23.
D. −23.
Đáp án đúng là: C
Ta có: 
.
= (−2).(−3) + 1.2 + 3.5 = 23.
Vậy tích vô hướng của hai vectơ và là 23.
Khoảng cách giữa hai điểm I(2; −3; −4) và K(7; −3; 8) là:
A. 169.
B. 13.
C. 26.
D. 17.
Đáp án đúng là: B
Ta có: 
= (5; 0; 12).
IK = || = 
= 13.
Vậy khoảng cách giữa hai điểm I và K là 13.
Cho hai điểm M(5; 2; −3) và N(1; −4; 5). Trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ là:
A. (4; 6; −8).
B. (2; 3; −4).
C. (6; −2; 2).
D. (3; −1; 1).
Đáp án đúng là: D
Gọi I(x; y; z) là trung điểm đoạn thẳng MN, ta có:
x = 
= 
= 3.
y = 
= 
= −1.
z = 
= 
= 1.
Vậy trung điểm của đoạn thẳng MN có tọa độ (3; −1; 1).
Cho tam giác MNP có M(1; −2; 1), N(−1; −2; 3) và P(3; 1; 2). Trọng tâm của tam giác MNP có tọa độ là:
A. (1; −1; 2).
B. (3; −3; 6).
C. (−1; 1; −2).
D. (−3; 3; −6).
Đáp án đúng là: A
Gọi G(x; y; z) là trọng tâm tam giác MNP, lúc này ta có:
x = 
= 
= 1;
y = 
= 
= −1;
z = 
= 
= 2.
Vậy trọng tâm tam giác MNP có tọa độ (1; −1; 2).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(2; −1; 3), B(3; 0; 4), D(2; −2; 3), C'(5; 4; −3).
a) Tọa độ của vectơ | Đ | S |
b) Gọi tọa độ của B' là (x B'; y B'; z B'), ta có tọa độ của vectơ | Đ | S |
c) Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: | Đ | S |
d) Tọa độ điểm B' là (−5; −5; 3). | Đ | S |
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) S |
Ta có: 
= (2 – 2; −2 – (−1); 3 – 3) = (0; −1; 0).
Gọi tọa độ của B' là (x B'; y B'; z B'), ta có tọa độ của vectơ 
là:
= (5 – x B'; 4 – y B'; −3 − z B').
Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có:
(do hai vectơ cùng hướng và có AD = B'C').
Ta có: ⇔ 
⇔ 
.
Vậy tọa độ điểm B' là (5; 5; −3).
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), C(1; −1; 1).
a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng. | Đ | S |
b) Tọa độ điểm D thỏa mãn | Đ | S |
c) Độ dài BC bằng 2. | Đ | S |
d) cos | Đ | S |
a) S | b) S | c) S | d) Đ |
Ta có: 
= (1; 1; 1); 
= (0; −1; 0).
Nhận thấy ≠ k với mọi k ∈ ℝ.
Vậy A, B, C không thẳng hàng.
Gọi D(x; y; z) thỏa mãn 
, ta có: 
= (1 – x; −1 – y; 1 – z);
Vì tọa độ điểm D thỏa mãn nên 
⇔ 
.
Do đó, tọa độ điểm D(0; −2; 0).
Ta có: 
= (−1; −2; −1) nên BC = || = 
= 
.
Ta có: cos
= cos(, ) = 
= 
.
Cho hai vectơ 
= (2; −2; −3) và 
= (3; 3; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ 
vuông góc với cả hai vectơ và 
Ta có: 
= [
,
] = 
= (−1; −19; 12).
Khi đó, vectơ = (−1; −19; 12) cùng vuông góc với cả hai vectơ và 
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:
;
Ta có: B'C' ⊥ (ABB'A') nên B'C'⊥ A'B. Vậy 
= 0.
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:
Ta có: 
= 
= 180° − 
= 120°.
Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, ta có:
= |
| . |
| . cos
= 
= −a2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).
Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Ta có: 
= (1; 1; 1); 
= (−1; −4; −1); k = (−k; −4k; −k).
Nhận thấy ≠ k với mọi k ∈ ℝ.
Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Gọi tọa độ điểm D là D(x; y; z). Ta có: 
= (−x; −4 – y; −z).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 
⇔ 
⇔ 
.
Vậy D(−1; −5; −1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Gọi G(xG; yG; zG) là trọng tâm tam giác ABC, lúc này ta có:
xG = 
= 
= 1;
yG = 
= 
= −1;
zG = 
= = 1.
Vậy tọa độ của điểm G(1; −1; 1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).Tính chu vi tam giác ABC
Ta có: AB = |
| = 
= 
;
AC = |
| = 
= 
;
BC = |
| = 
= 
.
Vậy chu vi tam giác ABC là: + + .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) và C(0; −4; 0).
Tính cos
.
Trong tam giác ABC, ta có:
cos
= 
= 
= 
= 
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (Hình 19). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m.
Xác định tọa độ của flycam tại mỗi vị trí A, B đối với hệ tọa độ đã chọn.
Theo giả thiết đề cho, ta có:
Tọa độ của flycam tại vị trí điểm A là (100; 150; 30).
Tọa độ của flycam tại vị trí điểm B là (−80; −120; 50).
Một người điều khiển một flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Đầu tiên flycam ở vị trí A cách vị trí điều khiển 100 m về phía nam và 150 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 30 m (Hình 19). Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người điều khiển flycam đến vị trí B cách vị trí điều khiển 80 m về phía bắc và 120 m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 50 m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 m.
Tính quãng đường flycam bay từ vị trí A đến vị trí B, biết flycam bay từ vị trí A đến vị trí B theo một đường thẳng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Quãng đường flycam bay từ vị trí A đến vị trí B bằng khoảng cách giữa hai điểm A và B, ta có:
AB = 
= 
≈ 325 (m).
