Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án
17 câu hỏi
Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q1(0; – 1; 0), Q2 32; 12; 0, Q3 −32; 12; 0 (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.
Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực F1→, F2→, F3→ tác dụng lên giá đỡ?
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q1(0; – 1; 0), Q2 32; 12; 0, Q3 −32; 12; 0.
Suy ra PQ1→=0−0; −1−0; 0−4 hay PQ1→=0; −1; −4 ;
PQ2→=32−0; 12−0; 0−4 hay PQ2→=32; 12; −4;
PQ3→=−32−0; 12−0; 0−4 hay PQ3→=−32; 12; −4.
Suy ra PQ1→=PQ2→=PQ3→=17. Do đó, F1→=F2→=F3→ .
Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:
F1→=cPQ1→=0; −c; −4c;
F2→=cPQ2→=32c; 12c; −4c;
F3→=cPQ3→=−32c; 12c; −4c.
Suy ra F1→+F2→+F3→=0; 0; −12c.
Mặt khác, ta có: F1→+F2→+F3→=F→, trong đó F→=0; 0; −360 là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.
Vậy F1→=0; −30; −120; F2→=153; 15; −120; F3→=−153; 15; −120.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ u→=x1; y1; z1 và v→=x2; y2; z2 .
a) Biểu diễn các vectơ u→, v→ theo ba vectơ i→, j→, k→.
a) Ta có u→=x1; y1; z1 nên u→=x1i→+y1j→+z1k→.
Ta có v→=x2; y2; z2 nên v→=x2i→+y2j→+z2k→.
a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Biểu diễn vectơ OM→ theo hai vectơ OA→ và OB→ .
Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB).
a)
Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: OM→=12OA→+OB→.
Ta có A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) nên OA→ = (xA; yA; zA) và OB→= (xB; yB; zB).
Khi đó, OA→+OB→= (xA + xB; yA + yB; zA + zB).
Suy ra OM→=12OA→+OB→=12xA+xB; 12yA+yB; 12zA+zB.
Do đó,M12xA+xB; 12yA+yB; 12zA+zB hay xM=12xA+xByM=12yA+yBzM=12zA+zB.
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.
Biểu diễn vectơ OG→ theo hai vectơ OA→ ,OB→ , OC→ .
Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC).
b)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:
OG→=13OA→+OB→+OC→.
Ta có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC).
Suy ra OA→= (xA; yA; zA), OB→ = (xB; yB; zB), OC→= (xC; yC; zC).
Khi đó, = (xA + xB + xC; yA + yB + yC; zA + zB + zC).
Suy ra OG→=13OA→+OB→+OC→=xA+xB+xC3; yA+yB+yC3; zA+zB+zC3.
Do đó,GxA+xB+xC3; yA+yB+yC3; zA+zB+zC3 hay xG=xA+xB+xC3yG=yA+yB+yC3zG=zA+zB+zC3.
Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Ta có AB→=1; 1; 4, AG→=1; 3; −1 .
Suy ra AB→=1; 1; 4≠kAG→=k; 3k; −k với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ AB→ và AG→ không cùng phương.
Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.
b) Gọi tọa độ điểm C là (xC; yC; zC).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có 1=0+1+xC32=−1+0+yC30=1+5+zC3 .
Suy ra xC = 3 – 1 = 2, yC = 6 + 1 = 7, zC = 0 – 6 = – 6.
Vậy C(2; 7; – 6).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ u→=x1; y1; z1 , v→=x2; y2; z2.
Hãy biểu diễn các vectơ u→, v→ theo ba vectơ đơn vị i→, j→, k→ và tính tích vô hướng u→⋅v→.
Ta có u→=x1; y1; z1, v→=x2; y2; z2 .
Do đó,u→=x1i→ +y1j→+ z1k→ ,v→=x2i→+ y2j→ +z2k→ .
Ta có u→⋅v→=x1i→ +y1j→+ z1k→⋅x2i→ +y2j→+ z2k→
=x1x2i→2+x1y2i→⋅j→+x1z2i→⋅k→+y1x2j→⋅i→+y1y2j→2+y1z2j→⋅k→+z1x2k→⋅i→+z1y2k→⋅j→+z1z2k→2.
Mà i→2=j→2=k→2=1 và i→⋅j→=j→⋅k→=k→⋅i→=0 (do i→, j→, k→ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).
Do đó, u→⋅v→=x1x2+y1y2+z1z2 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
Ta có AB→=−1; 0; 1, AC→=1; 1; 1.
Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó AB→⋅AC→=0.
Suy ra hai vectơ AB→ và AC→ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ AB→ và AD→.
a)
Ta có AB→=1; 0; 0, AD→=0; 1; 0.
Gọi tọa độ điểm C là (xC; yC; zC), ta có DC→=(xC; yC – 1; zC).
Vì là ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên DC→=AB→ .
Suy ra xC=1yC−1=0zC=0⇔xC=1yC=1zC=0. Do đó, C(1; 1; 0).
Ta có CC'→=0; 0; 1.
Ta thấy AB→⋅CC'→=1⋅0+0⋅0+0⋅1=0, AD→⋅CC'→=0⋅0+1⋅0+0⋅1=0 .
Vậy vectơ CC'→ vuông góc với cả hai vectơ AB→ và AD→.
b) Cho hai vectơ u→=x1; y1; z1 và v→=x2; y2; z2 không cùng phương.
Xét vectơ w→=y1z2−y2z1; z1x2−z2x1; x1y2−x2y1 .
Tính w→⋅ u→, w→⋅v→.
Vectơ w→ có vuông góc với cả hai vectơ u→ và hay không?
b)
Ta có:
w→⋅ u→=y1z2−y2z1⋅x1+z1x2−z2x1⋅y1+x1y2−x2y1⋅z1
= y1z2x1 – y2z1x1 + z1x2y1 – z2x1y1 + x1y2z1 – x2y1z1
= (y1z2x1 – z2x1y1) + (x1y2z1 – y2z1x1) + (z1x2y1 – x2y1z1) = 0;
w→⋅ v→=y1z2−y2z1⋅x2+z1x2−z2x1⋅y2+x1y2−x2y1⋅z2
= y1z2x2 – y2z1x2 + z1x2y2 – z2x1y2 + x1y2z2 – x2y1z2
= (y1z2x2 – x2y1z2) + (x1y2z2 – z2z1y2) + (z1x2y2 – y2z1x2) = 0.
Vì w→⋅ u→=0, w→⋅v→=0 nên vectơ w→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→ .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u→=1; 0; −3 và v→=0; 0; 3. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ w→ khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→ .
Ta có u→, v→=0−303; −3130; 1000=0; −3; 0.
Chọn w→ = (0; – 3; 0).
Vậy vectơ w→ vuông góc với cả hai vectơ u→ và v→ .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=2; 3; −2 và b→=3; 1; −1. Tọa độ của vectơ a→−b→ là:
A. (1; – 2; 1).
B. (5; 4; – 3).
C. (– 1; 2; – 1).
D. (– 1; 2; – 3).
Đáp án đúng là: C
Ta có a→−b→ = (2 – 3; 3 – 1; – 2 – (– 1)). Do đó = (– 1; 2; – 1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=0; 1; 1 và b→=−1; 1; 0 . Góc giữa hai vectơ a→ và b→ bằng:
A. 60°.
B. 120°.
C. 150°.
D. 30°.
Đáp án đúng là: A
Ta có cosa→, b→=a→⋅b→a→⋅b→=0⋅−1+1⋅1+1⋅002+12+12⋅−12+12+02=12.
Suy ra a→, b→=60°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=2; −2; 1, b→=2; 1; 3 . Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ c→ khác 0→ vuông góc với cả hai vectơ và .
Ta có a→, b→=−2113; 1232; 2−221=−7; −4; 6.
Chọn c→=−7; −4; 6, ta có vectơ vectơ c→ vuông góc với cả hai vectơ a→ và b→.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=3; 2; −1, b→=−2; 1; 2. Tính côsin của góc a→, b→.
Ta có a→, b→=−2113; 1232; 2−221=−7; −4; 6.
Chọn c→=−7; −4; 6 , ta có vectơ vectơ c→ vuông góc với cả hai vectơ a→ và b→.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).
a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
a) Ta có AB→=6; −3; 5, AC→=2; −1; −3 .
Suy ra AB→=6; −3; 5≠kAC→=2k; −k; −3k với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ AB→ và AC→ không cùng phương.
Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
b) Ta có AB=AB→=62+−32+52=70 ;
AC=AC→=22+−12+−32=14.
Ta có BC→=−4; 2; −8 . Suy ra BC=BC→=−42+22+−82=221.
Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = 70+14+221 .
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:
a) AC→ và B'D'→;
a) Ta có AB→=1; 1; 1, AD→=0; −1; 0,
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó
AC→=AB→+AD→=1+0; 1+−1; 1+0=1; 0; 1.
Ta có BD→=−1; −2; −1.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên B'D'→=BD→=−1; −2; −1 .
Ta có AC→, B'D'→=01−2−1; 11−1−1; 10−1−2=2; 0; −2 .
Chọn a→=2; 0; −2, vectơ a→ vuông góc với cả hai vectơ AC→ và B'D'→.
