Giải SGK Toán 12 Cánh diều Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q_{2 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$}, Q_{3 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$} .

Suy ra $\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0-0;-1-0;0-4\right)$   hay $\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0;-1;-4\right)$  ;

         $\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\frac{1}{2}-0;0-4\right)$  hay $\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-4\right)$ ;

         $\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-0;\frac{1}{2}-0;0-4\right)$  hay $\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};-4\right)$ .

Suy ra $\left|\overrightarrow{P{Q}_1}\right|=\left|\overrightarrow{P{Q}_2}\right|=\left|\overrightarrow{P{Q}_3}\right|=\sqrt{17}$ . Do đó, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$  .

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{P{Q}_1}=\left(0;-c;-4c\right)$;

$\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{P{Q}_2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}c;\frac{1}{2}c;-4c\right)$;

$\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{P{Q}_3}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}c;\frac{1}{2}c;-4c\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;-12c\right)$.

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}=\left(0;0;-360\right)$   là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

 Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(0;-30;-120\right);\overrightarrow{F_2}=\left(15\sqrt{3};15;-120\right);\overrightarrow{F_3}=\left(-15\sqrt{3};15;-120\right)$ .

a) Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$  nên $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$ .

Ta có $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$  nên $\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$ .

a)

Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$ .

Ta có A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) nên $\overrightarrow{OA}$  = (x_A; y_A; z_A) và  $\overrightarrow{OB}$= (x_B; y_B; z_B).

Khi đó,  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$= (x_A + x_B; y_A + y_B; z_A + z_B).

Suy ra $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\frac{1}{2}\left(x_A+x_B\right);\frac{1}{2}\left(y_A+y_B\right);\frac{1}{2}\left(z_A+z_B\right)\right)$ .

b)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

Ta có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Suy ra  $\overrightarrow{OA}$= (x_A; y_A; z_A), $\overrightarrow{OB}$  = (x_B; y_B; z_B),  $\overrightarrow{OC}$= (x_C; y_C; z_C).

Khi đó,  = (x_A + x_B + x_C; y_A + y_B + y_C; z_A + z_B + z_C).

Suy ra $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ .

Do đó,$G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$  hay $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\right.$ .

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right),\overrightarrow{AG}=\left(1;3;-1\right)$  .

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right)\ne k\overrightarrow{AG}=\left(k;3k;-k\right)$  với mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AG}$  không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có $\left\{\begin{array}{l}1=\frac{0+1+x_C}{3}\\ 2=\frac{-1+0+y_C}{3}\\ 0=\frac{1+5+z_C}{3}\end{array}\right.$  .

Suy ra x_C = 3 – 1 = 2, y_C = 6 + 1 = 7, z_C = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).

Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$ .

Do đó,$\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$ ,$\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$ .

Ta có $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)\cdot \left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

$=x_1{x}_2{\overrightarrow{i}}^2+x_1{y}_2\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}+x_1{z}_2\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{k}+y_1{x}_2\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{i}+y_1{y}_2{\overrightarrow{j}}^2+y_1{z}_2\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}+z_1{x}_2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i}+z_1{y}_2\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{j}+z_1{z}_2{\overrightarrow{k}}^2$.

Mà ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$   và $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i}=0$   (do $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$   là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$  .

Ta có  $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;1;1\right)$.

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$ .

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$  và  $\overrightarrow{AC}$vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

a)

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$ .

Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C), ta có $\overrightarrow{DC}=$ (x_C; y_C – 1; z_C).

Vì là ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$  .

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=1\\ y_C-1=0\\ z_C=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=1\\ y_C=1\\ z_C=0\end{array}\right.$ . Do đó, C(1; 1; 0).

Ta có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right)$ .

Ta thấy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=1\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 1=0,\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=0\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1=0$  .

Vậy vectơ $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AD}$ .

b)

Ta có:

$\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=\left(y_1{z}_2-y_2{z}_1\right)\cdot x_1+\left(z_1{x}_2-z_2{x}_1\right)\cdot y_1+\left(x_1{y}_2-x_2{y}_1\right)\cdot z_1$

        = y₁z₂x₁ – y₂z₁x₁ + z₁x₂y₁ – z₂x₁y₁ + x₁y₂z₁ – x₂y₁z₁

        = (y₁z₂x₁ – z₂x₁y₁) + (x₁y₂z₁ – y₂z₁x₁) + (z₁x₂y₁ – x₂y₁z₁) = 0;

$\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=\left(y_1{z}_2-y_2{z}_1\right)\cdot x_2+\left(z_1{x}_2-z_2{x}_1\right)\cdot y_2+\left(x_1{y}_2-x_2{y}_1\right)\cdot z_2$

        = y₁z₂x₂ – y₂z₁x₂ + z₁x₂y₂ – z₂x₁y₂ + x₁y₂z₂ – x₂y₁z₂

        = (y₁z₂x₂ – x₂y₁z₂) + (x₁y₂z₂ – z₂z₁y₂) + (z₁x₂y₂ – y₂z₁x₂) = 0.

Vì $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0,\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0$  nên vectơ $\overrightarrow{w}$  vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{v}$  .