160 Bài toán chọn lọc lớp 5 có đáp án (phần 2)

Tổng các số từ 1 đến 14 là : (14 + 1) x 14 : 2 = 105.

Tổng các số của 4 hàng là : 30 x 4 = 120.

Tổng bốn số ở bốn ô có dấu * là : 120 - 105 = 15.

Cặp bốn số ở bốn ô có dấu * là một trong các trường hợp sau:

15 = 1 + 2 + 3 + 9 (1)

      = 1 + 2 + 4 + 8 (2)

      = 1 + 2 + 5 + 7 (3)

      = 1 + 3 + 4 + 7 (4)

      = 1 + 3 + 5 + 7 (5)

      = 2 + 3 + 4 + 6 (6)

Từ mỗi trường hợp này có thể tạo nên nhiều cách sắp xếp các số khác nhau.

Để đơn giản, ta sẽ treo tất cả các lá cờ ở độ cao ngang nhau trên cả 4 bức tường. Khi đó cách treo cờ sẽ giống như bài toán trồng cây.

Ta có 5 cách trồng ứng với số lá cờ là 8, 9, 10, 11, 12 lá cờ như sau (coi mỗi lá cờ là một điểm chấm tròn):

Nếu các lá cờ được treo ở độ cao khác nhau trên mỗi bức tường thì vị trí 3 lá cờ trên một bức tường sẽ tạo thành 3 đỉnh của một hình tam giác đều. Khi đó ta sẽ có các cách treo khác ứng với số lá cờ là 6,] 7, 8, 9, 10, 11, 12 lá cờ. Ta  có 2 cách treo ứng với số lá cờ là 6 lá và 7 lá như sau:

Vậy số lá cờ trong căn phòng có thể từ 6 đến 12 lá cờ.

Có nhiều cách bổ dưa, Lo Lem đã bổ dưa như sau: Cắt ngang quả dưa làm 3 phần, sau đó lại bổ dọc quả dưa làm 3 phần sẽ được 9 miếng dưa (như hình vẽ) chia cho 9 cụ, sau khi ăn xong sẽ có 10 miếng vỏ dưa. Vì riêng miếng số 5 có vỏ ở 2 đầu, nên khi ăn xong sẽ có 2 miếng vỏ.

Tất cả các bạn đều nhận ra một phương án điền số: a = 1; b = 9; c = 5; d = 4; e = 6; g = 10; h = 3; i = 1; k = 8; l = 7. Từ đó sẽ có các phương án khác bằng cách: 

1) Đổi các ô b và c. 

2) Đổi các ô k và l. 

3) Đổi các ô d và h. 

4) Đổi đồng thời cả 3 ô a, b, c cho 3 ô i, k, l. 

Như vậy các bạn sẽ có 16 cách điền số khác nhau.

Thi tài giải Toán Tuổi thơ có 5 bài. Số điểm của 51 bạn thi có thể xếp theo 5 loại điểm sau đây: 

+ Làm đúng 5 bài được: 4 x 5 = 20 (điểm). 

+ Làm đúng 4 bài được: 4 x 4 - 1 x 1 = 15 (điểm). 

+ Làm đúng 3 bài được: 4 x 3 - 1 x 2 = 10 (điểm). 

+ Làm đúng 2 bài được: 4 x 2 - 1 x 3 = 5 (điểm). 

+ Làm đúng 1 bài được: 4 x 1 - 1 x 4 = 0 (điểm). 

Vì 51 : 5 = 10 (dư 1) nên phải có ít nhất 11 bạn có số điểm bằng nhau.

Gọi năm sinh của hai ông là abba (a ≠ 0, a < 3, b <10). 

Ta có: a + b + b + a = 10 hay (a + b) x 2 = 10. Do đó a + b = 5. 

Vì a ≠ 0 và a < 3 nên a = 1 hoặc 2. 

* Nếu a = 1 thì b = 5 - 1 = 4. Khi đó năm sinh của hai ông là 1441 (đúng). 

* Nếu a = 2 thì b = 5 - 2 = 3. Khi đó năm sinh của hai ông là 2332 (loại). 

Vậy hai ông Vũ Hữu và Lương Thế Vinh sinh năm 1441.

Biểu thị số cam bán ngày thứ nhất là 100% thì số bán ngày thứ hai là: 

100% + 10% = 110% (số cam ngày thứ nhất)

Biểu thị số cam bán ngày thứ hai là 100% thì số bán ngày thứ hai là: 

100% - 10% = 90% (số cam ngày thứ hai)

So với ngày thứ nhất thì số cam ngày thứ ba bán là: 

110% x 90% = 99% (số cam ngày thứ nhất)

Vì 100% > 99% nên ngày thứ nhất bán được nhiều cam hơn ngày thứ ba.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp từ nhỏ đến lớn là a, b, c, d. 

Số thứ nhất cu Tí viết là abcd, số thứ hai cu Tí viết là dcba. 

Ta xét các chữ số hàng nghìn của ba số có tổng là 12300: 

a là số lớn hơn 1 vì nếu a = 1 thì d = 4, khi đó số thứ ba có chữ số hàng nghìn lớn nhất là 4 và tổng của ba chữ số này lớn nhất là: 

1 + 4 + 4 = 9 < 12; như vậy tổng của ba số nhỏ hơn 12300. 

a là số nhỏ hơn 5 vì nếu a = 5 thì d = 8 và a + d = 13 > 12; như vậy tổng của ba số lớn hơn 12300. 

a chỉ có thể nhận 3 giá trị là 2, 3, 4. 

- Nếu a = 2 thì số thứ nhất là 2345, số thứ hai là 5432. Số thứ ba là: 12300 - (2345 + 5432) = 4523 (đúng, vì số này có các chữ số là 2, 3, 4, 5). 

- Nếu a = 3 thì số thứ nhất là 3456, số thứ hai là 6543. 

Số thứ ba là : 12300 - (3456 + 6543) = 2301 (loại, vì số này có các chữ số khác với 3, 4, 5, 6). 

- Nếu a = 4 thì số thứ nhất là 4567, số thứ hai là 7654. Số thứ ba là: 

12300 - (4567 + 7654) = 79 (loại).

Vậy các số mà cu Tí đã viết là : 2345, 5432, 4523.

Với bốn chữ số 2 ta viết được biểu thức có giá trị bằng 9 là: 22 : 2 - 2 = 9. 

Không thể dùng bốn chữ số 2 để viết được biểu thức có kết quả là 7.

1) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy có 2 loại hình vuông, hình vuông có cạnh là 1 que diêm và hình vuông có cạnh là 2 que diêm. 

Hình vuông có cạnh là 1 que diêm gồm có 13 hình, hình vuông có cạnh là 2 que diêm gồm có 4 hình. Vậy có tất cả là 17 hình vuông. 

2) Mỗi que diêm có thể nằm trên cạnh của nhiều nhất là 3 hình vuông, nếu nhặt ra 4 que diêm thì ta bớt đi nhiều nhất là : 4 x 3 = 12 (hình vuông), 

còn lại 17 - 12 = 5 (hình vuông). Như vậy không thể nhặt ra 4 que diêm để còn lại 4 hình vuông được.

Gọi thùng đầy dầu là A, thùng có nửa thùng dầu là B, thùng không có dầu là C. 

Cách 1: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 

Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C. 

Người thứ hai nhận: 2A, 3B, 2C. 

Người thứ ba nhận: 2A, 3B, 2C. 

Cách 2: Không phải đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 

Người thứ nhất nhận: 3A, 1B, 3C. 

Người thứ hai nhận: 3A, 1B, 3C. 

Người thứ ba nhận: 1A, 5B, 1C. 

Cách 3: Đổ dầu từ thùng này sang thùng kia. 

Lấy 4 thùng chứa nửa thùng dầu (4B) đổ đầy sang 2 thùng không (2C) để được 2 thùng đầy dầu (2A). Khi đó có 9A, 3B, 9C và mỗi người sẽ nhận được như nhau là 3A, 1B, 3C.

Cái khó ở bài toán này là chỉ được vẽ 4 đoạn thẳng và chỉ được vẽ bằng một nét nên cần phải “tạo thêm” hai điểm ở bên ngoài 9 điểm thì mới thực hiện được yêu cầu của đề bài. 

Ta có một cách vẽ với hai “đường đi” khác nhau (bắt đầu từ điểm 1 và kết thúc ở điểm 2 với đường đi theo chiều mũi tên) như sau:

Khi xoay hoặc lật hai hình trên ta sẽ có các cách vẽ khác.

Có nhiều cách cắt được các bạn đề xuất. Xin giới thiệu 3 cách. 

Cách 1: Nhát thứ nhất chia đôi theo bề dầy của chiếc bánh và để nguyên vị trí này cắt thêm 3 nhát (như hình vẽ).

Lưu ý là AM = BN = DQ = CP = 1/6 AB và IA = ID = KB = KC = 1/2 AB. 

Ta có thể dễ dàng chứng minh được 12 miếng bánh là bằng nhau và cả 3 nhát cắt đều đi qua đúng ... tâm bánh. 

Cách 2: Cắt 2 nhát theo 2 đường chéo để được 4 miếng rồi chồng 4 miếng này lên nhau cắt 2 nhát để chia mỗi miếng thành 3 phần bằng nhau (lưu ý: BM = MN = NC).

Cách 3: Nhát thứ nhất cắt như cách 1 và để nguyên vị trí này để cắt thêm 3 nhát như hình vẽ. 

Lưu ý: AN = AM = CQ = CP = 1/2 AB.

Tổng các số trên ba đỉnh của mỗi hình tam giác là 1 + 2 + 3 = 6. Tổng này là một số chia hết cho 6. Khi chồng các hình tam giác này lên nhau sao cho không có chữ số nào bị che lấp, rồi tính tổng tất cả các chữ số nhìn thấy được phải có kết quả là số chia hết cho 6. Vì số 2002 không chia hết cho 6 nên bạn đó đã tính sai.

Tổng các số từ 1 đến 12 là: (12+1) x 12 : 2 = 78 

Vì tổng 4 số cùng nằm trên một cột hay một hàng đều như nhau nên tổng số của 4 hàng và cột phải là một số chia hết cho 4. Đặt các chữ cái A, B, C, D vào các ô vuông ở giữa (hình vẽ).

Khi tính tổng số của 4 hàng và cột thì các số ở các ô A, B, C, D được tính hai lần. Do đó để tổng 4 hàng, cột chia hết cho 4 thì tổng 4 số của 4 ô A, B, C, D phải chia cho 4 dư 2 (vì 78 chia cho 4 dư 2). Ta thấy tổng của 4 số có thể là: 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42. 

Ta xét một vài trường hợp: 

1) Tổng của 4 số bé nhất là 10. Khi đó 4 số sẽ là 1, 2, 3, 4. Do đó tổng của mỗi hàng (hay mỗi cột) là: (78 + 10) : 4 = 22. Xin nêu ra một cách điền như hình dưới:

2) Tổng của 4 số là 14. Ta có: 

14 = 1 + 2 + 3 + 8 = 1 + 2 + 4 + 7 = 1 + 3 + 4 + 6 = 2 + 3 + 4 + 5. 

Do đó tổng của mỗi hàng (hay mỗi cột) là: (78 + 14) : 4 = 23. 

Ta có thể điền như hình sau:

Các trường hợp còn lại sẽ cho ta kết quả ở mỗi hàng (hay mỗi cột) lần lượt là 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Gọi số học sinh đạt giải cả 3 môn là a (học sinh) 

Gọi số học sinh đạt giải cả 2 môn là b (học sinh) 

Gọi số học sinh chỉ đạt giải 1 môn là c (học sinh) 

Tổng số giải đạt được là: 3 x a + 2 x b + c = 15 (giải). 

Vì tổng số học sinh đạt 3 giải, 2 giải, 1 giải tăng dần nên a < b < c. 

Vì bất kỳ 2 môn nào cũng có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn nên: 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Toán. 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Toán và Ngoại Ngữ. 

- Có ít nhất 1 học sinh đạt giải cả 2 môn Văn và Ngoại Ngữ. 

Do vậy b= 3. 

Giả sử a = 2 thì b bé nhất là 3, c bé nhất là 4; do đó tổng số giải bé nhất là: 

3 x 2 + 2 x 3 + 4 = 16 > 15 (loại). Do đó a < 2, nên a = 1.

Ta có: 3 x 1 + 2 x b + c = 15 suy ra: 2 x b + c = 12. 

Nếu b = 3 thì c = 12 - 2 x 3 = 6 (đúng). 

Nếu b = 4 thì c = 12 - 2 x 4 = 4 (loại vì trái với điều kiện b < c) 

Vậy có 1 bạn đạt 3 giải, 3 bạn đạt 2 giải, 6 bạn đạt 1 giải. 

Đội tuyển đó có số học sinh là: 1 + 3 + 6 = 10 (bạn).

Ta có thể xét các tổng theo từng hàng, từng cột và không khó khăn lắm sẽ có kết quả sau:

Tổng khối lượng dưa là: 1 x 65 + 2 x 35 + 3 x 15 = 180 (kg). 

Giả sử khối lượng dưa ở mỗi giỏ khác nhau thì tổng khối lượng dưa ở 20 giỏ bé nhất là:  1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = 210 (kg). 

Vì 210 kg > 180 kg nên chắc chắn phải có ít nhất 2 giỏ trong 20 giỏ có khối lượng bằng nhau. Vậy Trí đã nói đúng.

Vì Hoàng và Hùng góp số vở của mình với số vở của Sơn, rồi chia đều cho nhau, nên tổng số vở của ba bạn là một số chia hết cho 3. Số vở của Hoàng và Hùng đều chia hết cho 3 nên số vở của Sơn cũng là số chia hết cho 3. 

Số vở của Sơn phải ít hơn 6 vì nếu số vở của Sơn bằng hoặc nhiều hơn số vở của Hoàng (6 quyển) thì sau khi góp vở lại chia đều Sơn sẽ không phải trả thêm 800 đồng. Số vở của Sơn khác 0 (Sơn phải có vở của mình thì mới góp chung với các bạn được chứ!), nhỏ hơn 6 và chia hết cho 3 nên Sơn có 3 quyển vở. 

Số vở của mỗi bạn sau khi chia đều là: (6 + 3 + 3) : 3 = 4 (quyển) 

Như vậy Sơn được các bạn đưa thêm: 4 - 3 = 1 (quyển) 

Giá tiền một quyển vở là 800 đồng.

Đặt các chữ cái vào các ô trống:

Theo đầu bài ta có các chữ cái khác nhau biểu thị các số khác nhau. Do đó: a ≠ 1; c ≠ 1; d ≠ 1; b > 1; e > 1. Vì 9 = 1 x 9 = 3 x 3 nên b ≠ 9 và e ≠ 9; và 7 = 1 x 7 nên b ≠ 7 và e ≠ 7. 

Do đó: b = 6 và e = 8 hoặc b = 8 và e = 6. 

Vì 6 = 2 x 3 và 8 = 2 x 4 nên a = b : c = e : d = 2. 

Trong các ô trống a, b, c, d, e đã có các số 2, 3, 4, 6, 8; do đó chỉ còn các số 1, 5, 7, 9 điền vào các ô trống g, h, i, k. 

* Nếu e = 6 thì g = 7 và h = 1. Do đó a = i - k = 9 - 5 = 42 (loại). 

* Nếu e = 8 thì g = 9 và h = 1. Do đó a = i - k = 7 - 5 = 2 (đúng). Khi đó: b = 6 và c = 3. Kết quả:

Bài toán có rất nhiều cách đặt dấu phép tính và dấu ngoặc. Ví dụ: 

Cách 1: (123 + 4 x 5) x (6 + 7 - 8 + 9 + 1 - 2 - 3 + 4) = 2002 

Cách 2: (1 x 2 + 3 x 4) x (5 + 6) x [(7 + 8 + 9) - (1 + 2 x 3 + 4)] = 2002 

Cách 3: (1 + 2 + 3 + 4 x 5) x (6 x 7 + 8 + 9 - 1 + 23 - 4) = 2002

Vì số 18 và số 12 đều chia hết cho 3, nên tổng số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo phải là số chia hết cho 3. 

Vì Huy đưa cho cô bán hàng 2 tờ 100000 đồng và được trả lại 72000 đồng, nên số tiền mua 18 gói bánh và 12 gói kẹo là: 

100000 x 2 - 72000 = 128000 (đồng).

Vì số 128000 không chia hết cho 3, nên bạn Nam nói “Cô tính sai rồi” là đúng.

Có nhiều cách để đo được 9 phút: Bạn có thể cho cả 2 cái đồng hồ cát cùng chảy một lúc và chảy hết cát 3 lần. Khi đồng hồ 4 phút chảy hết cát 3 lần (4 x 3 = 12(phút)) thì bạn bắt đầu tính thời gian, từ lúc đó đến khi đồng hồ 7 phút chảy hết cát 3 lần thì vừa đúng được 9 phút (7 x 3 - 12 = 9(phút)); hoặc cho cả hai đồng hồ cùng chảy một lúc, đồng hồ 7 phút chảy hết cát một lần (7 phút), đồng hồ 4 phút chảy hết cát 4 lần (16 phút). Khi đồng hồ 7 phút chảy hết cát ta bắt đầu tính thời gian, từ lúc đó đến lúc đồng hồ 4 phút chảy hết cát 4 lần là vừa đúng 9 phút (16 - 7 = 9 (phút)); ... 

- Vì A≠G mà chữ số hàng chục của tổng là 0 nên phép cộng có nhớ 1 sang hàng trăm nên ở hàng trăm: H + N + 1 (nhớ) = 10; nhớ 1 sang hàng nghìn. Do đó H + N = 10 - 1 = 9. 

- Phép cộng ở hàng nghìn: N + 1 (nhớ) = 2 nên N = 2 - 1 = 1. 

Thay N = 1 ta có: H + 1 = 9 nên H = 9 - 1 = 8 

- Phép cộng ở hàng đơn vị: Có 2 trường hợp xảy ra: 

* Trường hợp 1: Phép cộng ở hàng đơn vị không nhớ sang hàng chục. 

Khi đó: M + O = 0 và A + G = 10. 

Ta có bảng: (Lưu ý 4 chữ M, O, A, G phải khác nhau và khác 1; 8)

* Trường hợp 2: Phép cộng ở hàng đơn vị có nhớ 1 sang hàng chục. 

Khi đó: M + O = 12 và A + G = 9. Ta có bảng:

Vậy bài toán có 24 đáp số như trên.

Có ba cách giải cơ bản sau:

Từ ba cách giải cơ bản này có thể tạo nên nhiều phương án khác, chẳng hạn:

* Biển số 39A 0452. Có một số cách: 

(4 x 2 - 5 + 0) x 3 = 9

5 x 2 - 4 + 3 + 0 = 9

45 : 9 - 3 - 2 = 0

(9 + 2 - 3) x 5 = 40

(4 + 5) : 9 + 2 + 0 = 3

9 : 3 - ( 5 - 4 + 2) = 0

3 - 9 : (4 + 5) - 0 = 2

9 : (4 + 5) + 2 + 0 = 3

(9 + 5) : 2 - 4 + 0 = 3

9 + 3 : (5 - 2) + 0 = 4

5 + 2 - 9 : 3 - 0 = 4

(9 : 3 + 0) + 4 - 2 = 5

(9 + 3) : 4 + 0 + 2 = 5 . . . .

* Biển số 38B 0088. Có nhiều lời giải dựa vào tính chất “nhân một số với số 0” 

38 x 88 x 0 = 0

hoặc tính chất “chia số 0 cho một số khác 0” 

0 : (38 + 88) = 0

Một vài cách khác:              (9 - 8) + 0 - 8 : 8 = 0 

8 : 8 + 8 + 0 + 0 = 9 . . . .

* Biển số 52N 8233. Có một số cách: 

5 x 2 - 8 + 3 - 3 = 2

8 : (5 x 2 - 3 - 3) = 2

[(23 - 3) : 5] x 2 = 8

(5 + 2 + 2) - (3 : 3) = 8

(8 : 2 - 3) x (3 + 2) = 5

[(8 + 2) x 3 : 3] : 2 = 5

(5 x 2 + 3 + 3) : 2 = 8

3 x 3 - 5 + 2 + 2 = 8 . . . .

Với một chiếc đồng hồ đang hoạt động bình thường, cứ mỗi giờ trôi qua thì kim phút quay được một vòng, còn kim giờ quay được 1/12 vòng. 

Hiệu vận tốc của kim phút và kim giờ là: 1 - 1/12 = 11/12 (vòng/giờ) 

Thời gian để hai kim trùng nhau một lần là: 1 : 11/12 = 12/11 (giờ) 

Vậy sau 24 giờ hai kim sẽ trùng nhau số lần là : 24 : 12/11 = 22 (lần).

Vì két chỉ mở được nếu có mặt ít nhất hai người, nên số ổ khoá phải lớn hơn hoặc bằng 2. 

a) Làm 2 ổ khoá. 

+ Nếu làm 3 chìa thì sẽ có hai người có cùng một loại chìa; hai người này không mở được két. 

+ Nếu làm nhiều hơn 3 chìa thì ít nhất có một người cầm 2 chìa khác loại; chỉ cần một người này đã mở được két. 

Vậy không thể làm 2 ổ khoá. 

b) Làm 3 ổ khoá 

+ Nếu làm 3 chìa thì cần phải có đủ ba người mới mở được két. 

+ Nếu làm 4 chìa hoặc 5 chìa thì ít nhất có hai người không mở được két. 

+ Nếu làm 6 chìa (mỗi khoá 2 chìa) thì mỗi người cầm hai chìa khác nhau thì chỉ cần hai người bất kỳ là mở được két. 

Vậy ít nhất phải làm 3 ổ khoá và mỗi ổ khoá làm 2 chìa.

Bài toán có nhiều cách xếp. Xin nêu ra ba cách xếp như sau:

Vì chỉ có 25 người, mà trong đó có 20 ít hơn 30 tuổi và 15 người nhiều hơn 25 tuổi, nên số người được điểm 2 lần là: 

(20 + 15) - 25 = 10 (người) 

Đây chính là số người có độ tuổi ít hơn 30 tuổi và nhiều hơn 20 tuổi (từ 21 tuổi đến 29 tuổi).

Số người từ 30 tuổi trở lên là: 25 - 20 = 5 (người) 

Số người từ 20 tuổi trở xuống là: 25 - 15 = 10 (người) 

Số người ít hơn 30 tuổi là: 10 + 10 = 20 (người) 

Số người nhiều hơn 20 tuổi là: 10 + 5 = 15 (người) 

Vậy có thể có 20 người dưới 30 tuổi và 15 người trên 20 tuổi; trong đó từ 21 đến 29 tuổi ít nhất có hai người cùng độ tuổi.

Giả sử cả 4 số đều là 10 thì tích là 10 x 10 x 10 x 10 = 10000 mà 10000 > 3024 nên cả 4 số tự nhiên liên tiếp đó phải bé hơn 10. 

Vì 3024 có tận cùng là 4 nên cả 4 số phải tìm không thể có tận cùng là 5. Do đó cả 4 số phải hoặc cùng bé hơn 5, hoặc cùng lớn hơn 5. 

Nếu 4 số phải tìm là 1; 2; 3; 4 thì: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 < 3024 (loại) 

Nếu 4 số phải tìm là 6; 7; 8; 9 thì: 6 x 7 x 8 x 9 = 3024 (đúng) 

Vậy 4 số phải tìm là 6; 7; 8; 9.

Một hình chữ nhật có chiều dài (a) và chiều rộng (b) đều là số tự nhiên (cùng một đơn vị đo) thì chu vi (P) của hình đó phải là số chẵn: P = (a + b) x 2 

Tổng độ dài của tất cả các que là: 1 x 16 + 2 x 20 + 3 x 25 = 131 (cm) 

Vì 131 là số lẻ nên không thể xếp tất cả các que đó thành một hình chữ nhật được.

Để cho gọn, ta ký hiệu các số trên những ô tròn theo bảng sau:

Lấy A chia cho K: 72 : 9 = 

Lấy G chia cho C: 8 : 1 = 

Lấy B chia cho H: 16 : 2 = 

Lấy E chia cho D: 24 : 3 = đều cho cùng một kết quả ở ô Đ. Vậy (?) là 8.

Ta gọi 6 điểm nằm trên đường tròn là $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$. Bằng bút xanh và đỏ ta nối A1 với 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng có hai màu xanh hoặc đỏ.

Theo nguyên lý Điríchlê có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu. Không làm mất tính tổng quát, ta nối 3 đoạn $A_1{A}_2, A_1{A}_3, A_1{A}_4$ bằng bút màu đỏ. Ta nối tiếp $A_2{A}_4 và A_2{A}_3$. Để tam giác $A_1{A}_2{A}_3$ và tam giác $A_1{A}_2{A}_4$ có 3 cạnh không cùng màu thì $A_2{A}_4$ và $A_2{A}_3$ phải tô màu xanh. Bây giờ ta tiếp tục nối $A_3{A}_4$, ta thấy $A_3{A}_4$ được tô bằng bất kỳ màu xanh hoặc đỏ thì ta cũng được ít nhất một tam giác có 3 cạnh cùng màu (hoặc $A_1{A}_3{A}_4$ có 3 cạnh đỏ hoặc $A_2{A}_3{A}_4$ có 3 cạnh màu xanh).

Số viên đạn Dũng đã bắn phải ít hơn 13 viên (vì nếu Dũng bắn 13 viên thì Dũng được số điểm ít nhất là: 8 x 11 + 9 x 1 + 10 x 1 = 107 (điểm) > 100 điểm, điều này vô lý). 

Theo đề bài Dũng đã bắn hơn 11 viên nên số viên đạn Dũng đã bắn là 12 viên. 

Mặt khác 12 viên đều trúng vào các vòng 8, 9, 10 điểm nên ít nhất có 10 viên vào vòng 8 điểm, 1 viên vào vòng 9 điểm, 1 viên vào vòng 10 điểm. 

Do đó số điểm Dũng bắn được ít nhất là: 8 x 10 + 9 x 1 + 10 x 1 = 99 (điểm) 

Số điểm hụt đi so với thực tế là: 100 - 99 = 1 (điểm) 

Như vậy sẽ có 1 viên không bắn vào vòng 8 điểm mà bắn vào vòng 9 điểm; hoặc có 1 viên không bắn vào vòng 9 điểm mà bắn vào vòng 10 điểm. 

Nếu có 1 viên Dũng không bắn vào vòng 9 điểm mà bắn vào vòng 10 điểm thì tổng cộng sẽ có 10 viên vào vòng 8 điểm và 2 viên vào vòng 10 điểm (loại vì không có viên nào bắn vào vòng 9 điểm). 

Vậy sẽ có 1 viên không bắn vào vòng 8 điểm mà bắn vào vòng 9 điểm, tức là có 9 viên vào vòng 8 điểm, 2 viên vào vòng 9 điểm và 1 viên vào vòng 10 điểm.

Một bài toán lôgíc cơ bản và khó, sau đây là lời giải. 

Ta ký hiệu theo thứ tự “đi xem” ca nhạc: n (Bà nội), m (mẹ), b (Bố), C (Chi) và B (Bảo) và năm người trên khi họ “không đi” là n, m, b, C và B. 

Như vậy theo ý kiến của năm người là: 

a) n và m 

b) b và m 

c) b và n 

d) n và C 

e) b và B. 

Mỗi trong năm ý trên đều có một phần đúng và một phần sai (trừ ý của bà!). 

Câu mà bà nội nói là đúng với cả năm ý trên. 

- Nếu chọn câu a) thì không có e tức b và B. 

- Nếu chọn câu b) thì không có d tức n và C. 

- Nếu chọn câu c) thì các ý kiến khác có một phần đúng. Bà nội đã nói câu c)

Giả sử rằng A và B tham gia cuộc chơi mà A lấy diêm trước. Để chắc thắng thì trước lần cuối cùng A phải để lại 5 que diêm, trước đó A phải để lại 10 que diêm và lần bốc đầu tiên A để lại 15 que diêm, khi đó dù B có bốc bao nhiêu que thì vẫn còn lại số que để A chỉ cần bốc một lần là hết.Muốn vậy thì lần trước đó A phải để lại 10 que diêm , khi đó dù B bốc bao nhiêu que vẫn còn lại số que mà A có thể bốc để còn lại 5 que . Tương tự như thế thì lần bốc đầu tiên A phải để lại 15 que diêm . Với " chiến lược" này bao giờ A cũng là người thắng cuộc.

Tất cả các đỉnh A, B, C, D, E đều nối với đỉnh F nên đỉnh F phải tô màu khác với các đỉnh còn lại. Với 5 đỉnh còn lại thì A và C tô cùng một màu. B và D tô cùng một màu, E tô riêng một màu, như vậy cần ít nhất 3 màu để tô 5 đỉnh sao cho 2 đỉnh được nối bởi một cạnh được tô bởi 2 màu khác nhau. Vậy cần ít nhất 4 màu để tô 6 đỉnh của hình theo yêu cầu của đề bài.

Sáu số chẵn đó là: 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Ta có: 18 = 2 + 4 + 12

18 = 2 + 6 + 10

18 = 4 + 6 + 8

Trên hình vẽ ta thấy cứ hai đường tròn lại có một điểm chung. Như vậy số nào điền vào điểm chung đó sẽ thuộc hai tổng đã cho. Ta thấy số 2, số 4, số 6 đều lặp lại hai lần nên ba số đó được điền vào ba điểm chung. Các số đã cho được điền vào hình vẽ như sau:

Coi hiệu của hai số là 1 phần thì tổng của chúng là 5 phần. Do đó số lớn là (5 + 1) : 2 = 3 (phần). Số bé là : 3 - 1 = 2 (phần). Tích của hai số là : 2 x 3 = 6 (phần), mà tích hai số là 4008 nên giá trị một phần là : 4008 : 6 = 668. Số bé là : 668 x 2 = 1336 ; số lớn là : 668 x 3 = 2004.

Số gạo bác cấp dưỡng cần lấy ra là : 39 x 11/13 = 33 (kg) 

Số gạo còn lại sau khi bác cấp dưỡng lấy là : 39 - 33 = 6 (kg) 

Cách thực hiện cân như sau : 

Lần 1 : Đặt quả cân lên một đĩa cân, đổ gạo vào đĩa cân bên kia đến khi cân thăng bằng, được 1 kg gạo. 

Lần 2 : Đặt quả cân sang đĩa có 1 kg gạo vừa cân được rồi đổ gạo vào đĩa cân trống đến khi cân thăng bằng, được 2 kg gạo. 

Lần 3 : Đặt cả 3 kg gạo cân được ở hai lần trên vào một đĩa cân, đĩa cân kia đổ gạo vào cho đến khi cân thăng bằng, được mỗi bên 3 kg gạo. 

Như vậy số gạo có được sau ba lần cân là 6 kg. Số gạo còn lại trong bao chính là số gạo mà bác cấp dưỡng cần dùng.