160 Bài toán chọn lọc lớp 5 có đáp án (phần 3)

Cách 1 : Khi viết thêm một chữ số nào đó vào bên phải một số tự nhiên đã cho ta được số mới bằng 10 lần số tự nhiên đó cộng thêm chính chữ số viết thêm. Gọi chữ số viết thêm là a, ta có sơ đồ

9 lần số đã cho là : 2004 - a. 

Số đã cho là : (2004 - a) : 9. 

Vì số đã cho là số tự nhiên nên 2004 - a phải chia hết cho 9, số 2004 chia 9 dư 6 nên a chia cho 9 phải dư 6, mà a là chữ số nên a = 6. Số tự nhiên đã cho là (2004 - 6) : 9 = 222. 

Cách 2 : Gọi số tự nhiên đã cho là A chữ số viết thêm là x thì số mới là $\overline{Ax}$. 

Ta có $\overline{Ax} - A = 2004$ 

A x 10 + x - A = 2004 (phân tích số) 

A x 10 - A + x = 2004 

A x (10 - 1) + x = 2004 (một số nhân với một tổng) 

A x 9 + x = 2004 

Vì A x 9 chia hết cho 9 ; 2004 chia 9 dư 6 nên x chia cho 9 phải dư 6. Vì x là chữ số nên x = 6. Ta có : 

A x 9 + 6 = 2004 

A x 9 = 2004 - 6 

A x 9 = 1998 

A = 1998 : 9 

A = 222. 

Vậy số tự nhiên đã cho là 222 ; chữ số viết thêm là 6.

Gọi tờ giấy hình vuông là ABCD. Nối hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (hình vẽ).

Hình vuông được chia thành 4 tam giác vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. 

Diện tích tam giác AOB là : 72 : 4 = 18 (cm2). 

Vì diện tích tam giác AOB bằng (OA x OB) : 2, do đó (OA x OB) : 2 = 18 (cm2). Suy ra OA x OB = 36 (cm2). 

Vì OA = OB mà 36 = 6 x 6 nên OA = 6 (cm). 

Vì AC = 2 x OA nên độ dài đường chéo của tờ giấy đó là : 6 x 2 = 12 (cm).

Nếu mỗi bạn trồng 9 cây thì số người tham gia sẽ ít nhất và chính là :

180 : 9 = 20 (người).

Vì 180 : 8 = 22 (dư 4) nên số người tham gia nhiều nhất là 22 người và khi đó có 4 người trồng 9 cây, còn lại mỗi người trồng 8 cây. 

Theo đầu bài số người tham gia là một số chia hết cho 3 nên có 21 bạn tham gia.

Vì cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang nên số trang của cuốn sách đó là một số có 3 chữ số. 

Gọi số trang của cuốn sách đó là $\overline{abc}$ với a, b, c là các chữ số và a khác 0.

Các số trang của cuốn sách là các số tự nhiên từ 1 đến $\overline{abc}$. 

Có 9 trang có 1 chữ số nên cần 9 chữ số để đánh số trang cho các trang này. 

Có 90 trang có 2 chữ số nên cần 2 x 90 = 180 (chữ số) để đánh số trang cho các trang này. Số trang có 3 chữ số là $\overline{abc}$ - 99 trang. Số chữ số dùng để đánh số trang có 3 chữ số là : 3 x ($\overline{abc}$  - 99) 

Số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách đó là : 9 + 180 + 3 x ($\overline{abc}$  - 99) = 189 + 3 x $\overline{abc}$ - 297 = 3 x $\overline{abc}$ - 180. 

Vì số chữ số dùng để đánh số trang của cuốn sách là số chia hết cho số trang của cuốn sách đó nên chia hết cho hay 108 chia hết cho. Suy ra chính bằng 108. Vậy cuốn sách đó có 108 trang.

Tuổi của cha sang năm là : 43 + 1 = 44 (tuổi)

Tuổi của con hiện nay là : 44 : 4 = 11 (tuổi)

Tuổi cha hơn tuổi con là : 43 - 11 = 32 (tuổi)

Khi tuổi cha gấp 5 lần tuổi con thì cha vẫn hơn con 32 tuổi. 

Ta có sơ đồ khi tuổi cha gấp 5 lần tuổi con như sau :

Nhìn vào sơ đồ ta thấy :

Tuổi con khi đó là : 32 : (5 - 1) = 8 (tuổi)

Nếu tuổi cha gấp 4 lần tuổi con, khi đó tuổi con là 1 phần thì tuổi cha là 4 phần như thế. Tuổi cha hơn tuổi con số phần là : 4 - 1 = 3 (phần), khi đó cha cũng vẫn hơn con 32 tuổi ; 32 không chia hết cho 3 nên không bao giờ tuổi cha gấp 4 lần tuổi con (vì ta coi tuổi con hàng năm là một số tự nhiên).

Số bi lấy ra từ bình 1 là : (40 - 1 x 4) : (3 + 2 + 1) = 6 (viên). 

Lúc đầu số lượng bi trong bốn bình là : (6 x 4 + 1) x 4 = 100 (viên).

Cách 1 : Diện tích hình sao đúng bằng diện tích hình vuông gồm 16 ô vuông trừ đi diện tích bốn hình tam giác bằng nhau. Mỗi tam giác này có diện tích là 2 ô vuông. Do đó diện tích hình sao là : 16 - 2 x 4 = 8 (ô vuông)

Cách 2 : Cắt ghép để từ hình sao ta có hình mới mà hình này diện tích đúng bằng 8 ô vuông.

Đoàn tàu hỏa dài 200 m lướt qua người đi xe đạp hết 12 giây, có nghĩa là sau 12 giây tổng quãng đường tàu hỏa và xe đạp đi là 200 m. Như vậy tổng vận tốc của tàu hỏa và xe đạp là : 200 : 12 = 50/3(m/giây), 50/3 m/giây = 60 km/giờ. 

Vận tốc của xe đạp là 18 km/giờ, thì vận tốc của tàu hỏa là : 

60 - 18 = 42 (km/giờ).

Gọi số phải tìm là $\overline{a97b}$ (a khác 0 ; a ; b <10) 

Vì $\overline{a97b}$ chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5. 

Vì $\overline{a97b}$ chia hết cho 27 nên $\overline{a97b}$ chia hết cho 9. 

Thay b = 0 ta có $\overline{a97b}$ chia hết cho 9 nên a = 2. Thử 2970 : 27 = 110 (đúng). 

Thay b = 5 ta có $\overline{a97b}$ chia hết cho 9 nên a = 6. Thử 6975 : 27 = 258 (dư 9) trái với điều kiện bài toán. Vậy số tìm được là 2970.

Cách 1 : Vì số cây lớp 5A và lớp 5B trồng được nhiều hơn số cây của lớp 5B và 5C là 3 cây nên số cây của lớp 5A hơn số cây của lớp 5C là 3 cây. Số cây của lớp 5B và 5C trồng được nhiều hơn số cây của lớp 5A và 5C là 1 cây nên số cây của lớp 5B trồng được nhiều hơn số cây của lớp 5A là 1 cây. 

Ta có sơ đồ :

Ba lần số cây của lớp 5C là : 43 - (3 + 3 + 1) = 36 (cây) 

Số cây của lớp 5C là : 36 : 3 = 12 (cây). 

Số cây của lớp 5A là : 12 + 3 = 15 (cây). 

Số cây của lớp 5B là : 15 + 1 = 16 (cây). 

Cách 2 : Hai lần tổng số cây của 3 lớp là : 43 x 2 = 86 (cây). 

Ta có sơ đồ :

Số cây của lớp 5A và 5C trồng được là : (86 - 3 - 1 - 1) : 3 = 27 (cây). 

Số cây của lớp 5B là : 43 - 27 = 16 (cây). 

Số cây của lớp 5B và 5C là : 27 + 1 = 28 (cây). 

Số cây của lớp 5C là : 28 - 16 = 12 (cây). 

Số cây của lớp 5A là : 43 - 28 = 15 (cây).

Nhìn vào hình vẽ ta thấy ở hình ban đầu có 3 ô đen và 4 ô trắng, còn hình lúc sau có 4 ô đen và 3 ô trắng. 

Khi chọn hai ô tùy ý để đổi màu của chúng (từ đen sang trắng và từ trắng sang đen) thì có ba khả năng xảy ra : 

- Chọn hai ô trắng : Khi đó hai ô trắng được chọn sẽ đổi thành hai ô đen, do đó số ô đen tăng lên 2 ô. 

- Chọn hai ô đen : Khi đó hai ô đen được chọn sẽ đổi thành hai ô trắng, do đó số ô đen giảm đi 2 ô. 

- Chọn một ô đen và một ô trắng : Khi đó ô trắng đổi thành ô đen và ô đen đổi thành ô trắng, do đó số ô đen giữ nguyên. 

Do vậy khi thực hiện việc chọn hai ô để đổi màu của chúng thì số lượng ô đen hoặc tăng lên 2 ô, hoặc giảm đi 2 ô, hoặc giữ nguyên. Điều đó có nghĩa là nếu chọn hai ô tùy ý và đổi màu chúng nhiều lần thì số ô đen vẫn luôn luôn là một số lẻ. 

Vì hình sau có 4 ô đen nên không thể thực hiện được.

Khi gấp tờ giấy hình chữ nhật theo đường chéo (đường nét đứt) thì phần hình tam giác được tô màu bị xếp chồng lên nhau. Do đó diện tích hình chữ nhật ban đầu lớn hơn diện tích hình nhận được chính là diện tích tam giác được tô màu. 

Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm đi bằng 1 - 5/8 = 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu. 

Do vậy diện tích tam giác tô màu bằng 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu, hay 3/8 diện tích hình chữ nhật ban đầu bằng 18 cm2. 

Vậy diện tích hình chữ nhật ban đầu là : $18 : 3/8 = 48 \left(c{m}^2\right)$

Trong tích số A = 3 x 3 x 3 x ... x 3 gồm 2000 thừa số 3, kết hợp từng cặp số 3 được A = (3 x 3) (3 x 3) ... (3 x 3) = 9 x 9 x ... x 9 gồm 1000 thừa số 9. 

Xét số B = 9 x 10 x ...x 10 thừa số 10 nên số B = 90...0 có 999 chữ số 0 và 1 chữ số 9, nghĩa là có 1000 chữ số. 

Vì 9 < 10 nên A = 9 x 9 x ... x 9 < B = 9 x10 x ... x 10 

Vậy số A có ít hơn 1001 chữ số.

Kí hiệu S là diện tích của một hình. Nối D với I. Qua I và C vẽ các đường thẳng IP và CQ vuông góc với BD, IH vuông góc với DC.

Cách 1. Trong một tháng nào đó có ba ngày thứ bảy là ngày chẵn thì chắc chắn còn có hai ngày thứ Bảy là ngày lẻ. Năm ngày thứ Bảy đó sắp xếp như sau :

Số ngày nhiều nhất trong một tháng là 31 ngày. Tháng này có 4 tuần và 3 ngày. Nếu thứ bảy đầu tiên là ngày mùng 4 thì tháng đó sẽ có số ngày là: 4 + 7 x 4 = 32 (ngày) ; trái với lịch thông thường. 

Vì thế thứ bảy đầu tiên (1) phải là ngày mùng 2; thứ 7 thứ tư sẽ là ngày: 2 + 7 x 3 = 23 

Vậy ngày 25 của tháng đó là ngày thứ hai. 

Cách 2. Lập bảng theo tuần lễ :

Trong 3 cột đầu tiên chỉ có cột 2 thích hợp với đầu bài toán. Cột này có 5 ngày thứ bảy. Vì ngày 23 là thứ bảy, nên ngày 25 là thứ hai.

+ Số bi của Thu gấp 9 lần số bi của Hạ nên tổng số bi của Thu và Hạ là một số chẵn. Tống số bi của bốn bạn là số lẻ, số bi của Đông là số lẻ, tổng số bi của Hạ và Thu là số lẻ ; do đó số bi của Xuân phải là số chẵn. 

+ Số bi của Hạ phải là số bé hơn 4 vì nếu số đó là 4 thì số bi của Thu là 4 x 9 = 36. Khi đó ít nhất Đông có số bi là 37 thì chỉ riêng tổng số bi của Thu và Đông đã vượt quá tổng số bi của bốn bạn (36 + 37 = 73 > 61). 

+ Nếu số bi của Xuân là 2 thì số bi của Hạ là 3, số bi của Thu là 27 (3 x 9 = 27) 

Số bi của Đông là : 61 - (2 + 3 + 27) = 29 (viên).

Vì N xuất hiện ở những hàng cao nhất và nhiều lần nhất nên N phải bằng 9 để kết quả lớn nhất. Tiếp đó C xuất hiện ở hàng cao nhất còn lại giống M và T nhưng C còn ở hai hàng khác nữa nên C bằng 8. Nếu M là 7 thì T là 6 và ngược lại, kết quả của phép toán không thay đổi. Với lập luận như trên thì H bằng 5, U bằng 4 và G là 3. Từ đó A bằng 2, Y bằng 1 và O là 0. 

Vậy ta có 2 đáp số : 

8548 + 6493 + 7521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461 

và 8548 + 7493 + 6521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461

Gọi số phi tìm là aba(a khác b;a ; b nhỏ hoặc bằng 9). Theo đầu bài ta có: aba x 6 = deg (d khác 0 ; d; e; g nhỏ hơn hoặc bằng 9).Nếu a lớn hơn hoặc bằng 2 thì tích nhiều hơn 3 chữ số.Vậy a = 1. Ta có 1b1x 6 = deg ( deg có một chữ số 2).

Do đó : g = 1 x 6 = 6 và d lớn hơn hoặc bằng 6. Vì thế : e = 2

Vì b x 6 = nên b = 2 hoặc b = 7.

Nếu b = 2 thì 121 x 6 = 726 (Đúng) 

Nếu b = 7 thì 171 x 6 = 1026 (Loại)

Vậy số học sịnh nhận thưởng là 121 bạn.

Cách 1 : Ta chuyển que diêm ở giữa chữ số 8 để có chữ số 0. Lấy que diêm đó ghép vào chữ số 5 của số 502 để được số 602. Lấy 1 que diêm ở chữ số 3 của số 2003 và đặt vào vị trí khác của chữ số 3 đó để chuyển số 2003 thành số 2002, ta có phép tính đúng :

Cách 2 : Ta chuyển que diêm ở giữa số 8 để có chữ số 0. lấy que diêm đó ghép vào chữ số 5 của số 502 để được số 602. Lấy 1 que diêm ở chữ số 2 của số 602 và đặt vào vị trí khác của chữ số 2 đó để chuyển số 602 thành số 603, ta có phép tính đúng :

Sẽ xảy ra một trong hai trường hợp : C hai số đều chẵn (hoặc đều lẻ) ; một số chẵn và một số lẻ.

a) Hai số chẵn (hoặc hai số lẻ). Tổng, hiệu của hai số đó là số chẵn. Số chẵn nhân với chính nó được số chẵn. Do đó cộng hai tích (là hai số chẵn) phải được số chẵn.

b) Một số chẵn và một số lẻ. Tổng, hiệu của chúng đều là số lẻ. Số lẻ nhân với chính nó được số lẻ. Do đó cộng hai tích (là hai số lẻ) phải được số chẵn.

Vậy theo điều kiện của bài toán thì kết quả của bài toán phải là số chẵn.

Phân tích 20 thành tích các số tự nhiên khác 1.

20 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5 = 10 x 2 

Trường hợp : 2 x 2 x 5 = 20 thì tổng của chúng là : 2+ 2 + 5 = 9. Vậy để tổng bằng 20 thì phải thêm vào : 20 - 9 = 11, ta thay 11 bằng tổng của 11 số 1 khi đó tích sẽ không thay đổi.

Lí luận tương tự với các trường hợp : 20 = 4 x 5 và 20 = 10 x 2. Ta có 3 cách phân tích như sau :

Cách 1 :

20 = 2 x 2 x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.

20 = 2 + 2 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Cách 2 :

20 = 4 x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.

20 = 4 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Cách 3 :

20 = 10 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.

20 = 10 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Vì a chia cho 2 dư 1 nên a là số lẻ.

Vì a chia cho 5 dư 1 nên a có tận cùng là 1 hoặc 6.

Do đó a phải có tận cùng là 1.

- Nếu a là số có hai chữ số thì do a chia hết cho 9 nên a = 81, loại vì 81 : 7 = 11 dư 4 (trái với điều kiện của đề bài).

- Nếu a là số có ba chữ số thì để a nhỏ nhất thì chữ số hàng trăm phải là 1. Khi đó để a chia hết cho 9 thì theo dấu hiệu chia hết cho 9 ta có chữ số hàng chục phi là 7 (để 1 + 7 + 1 = 9 9).

Vì 171 : 7 = 24 dư 3 nên a = 171.

Vậy số phải tìm nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài là 171.

ác chữ số 1 ; 2 ; 3 nên nó có thể là : 5 ; 7 ; 9 ; 45 ; 47 ; 49 ; 55 ; 57 ; 59.

Nhưng nó không chia hết cho 3 ; 5 ; 7 nên trong các số trên chỉ có số 47 là thỏa mãn.

Vậy nó là số 47.

A = 12 x p + 1 = 14 x q + 2 (với p ; q là số tự nhiên)

Ta thấy : 12 x p là số chẵn nên A = 12 x p + 1 là số lẻ.

14 x q là số chẵn nên A = 14 x q + 2 là số chẵn.

A không thể vừa lẻ vừa chẵn nên chắc chắn có ít nhất một phép tính sai.

Số cây xoài chiếm 1/5 số cây, số cây cam chiếm 1/6 số cây, số cây bưởi chiếm 1/4 số cây nên số cây trong vườn phải chia hết cho 4, 5, 6. Mà 6 = 2 x 3 nên số cây trong vườn phải chia hết cho 3, 4, 5. Số nhỏ hơn 100 chia hết cho 3, 4, 5 là 60. Vậy số cây trong vườn là 60 cây.

Số cây xoài trong vườn là : 60 : 5 = 12 (cây)

Số cây cam trong vườn là : 60 : 6 = 10 (cây)

Số cây bưởi trong vườn là : 60 : 4 = 15 (cây)

Số cây mít trong Vườn là : 60 - (12 + 10 + 15) = 23 (cây)

Đáp số : xoài : 12 cây ; cam : 10 cây ; bưởi : 15 cây ; mít : 23 cây

Ta chia tấm bìa thành các ô vuông nhỏ bằng nhau như trong hình vẽ sau:

Nhìn hình vẽ ta thấy tổng số ô vuông nhỏ là 18 ô. Do đó khi chia tấm bìa thành 6 phần giống hệt nhau về hình dạng thì mỗi phần sẽ có số ô là : 18 : 6 = 3 (ô) và hình dạng mỗi phần phải có dạng hình chữ L. Ta có cách chia như sau : (cắt theo đường màu)

Từ 2 đến 1000 có : (1000 - 2) : 2 + 1 = 500 (số chẵn)

Tổng các số đó : N = (1000 + 2) x 500 : 2 = 250500. Số này chia hết cho 4.

Khi thay + a thành - a thì N bị giảm đi a x 2 cũng là số chia hết cho 4. 

Do đó kết quả cuối cùng phải là số chia hết cho 4. Bình tính được 2002, Minh tính được 2006 đều là số không chia hết cho 4. Vậy cả hai bạn đều tính sai.

Có 11 em đoạt giải, trong đó có 6 em giành ít nhất 2 giải nên số học sinh giành mỗi em 1 giải là : 11 - 6 = 5 (em). Có 6 em giành ít nhất 2 giải, trong đó có 4 em giành ít nhất 3 giải nên số em giành mỗi em 2 giải là : 6 - 4 = 2 (em). Có 4 em giành ít nhất 3 giải trong đó có có 2 em giành mỗi em 4 giải nên số em giành mỗi em 3 giải là : 4 - 2 = 2 (em). Số em giành từ 1 đến 4 giải là : 5 + 2 + 2 + 2 = 11 (em). Do đó không có em nào giành được nhiều hơn 4 giải.

Vậy số giải mà trường đó giành được là : 1 x 5 + 2 x 2 + 3 x 2 + 4 x 2 = 23 (giải).

Để A có giá trị nhỏ nhất thì số trừ 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn nhất không vượt quá 4010. Để 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn nhất thì số chia (2006 - a) có giá trị nhỏ nhất lớn hơn 0. 

Vậy 2006 - a = 1 

a = 2006 - 1 

a = 2005. 

Vì các bạn trong lớp đều có ít lỗi hơn Xuân, nên các bạn chỉ có số lỗi từ 0 đến 8. Trừ Xuân ra thì số bạn còn lại là : 29 - 1 = 28 (bạn). Nếu chia các bạn còn lại thành các nhóm theo số lỗi thì tối đa có 9 nhóm. Nếu mỗi nhóm có không quá 3 bạn thì 9 nhóm sẽ có không quá 3 x 9 = 27 (bạn). Điều này mâu thuẫn với số bạn còn lại là 28 bạn. Chứng tỏ ít nhất phải có một nhóm có quá 3 bạn tức là trong lớp có ít nhất có 4 bạn có số lỗi bằng nhau.

Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là ABCD, khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để được mảnh đất hình vuông APMN có cạnh hình vuông gấp 2 lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN, BPMH bằng nhau. 

Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD nên

Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD + AB = 56 : 2 = 28 (m). 

Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) là : 28 : (3 + 4) x 3 = 12 (m). 

Cạnh hình vuông APMN là : 12 x 2 = 24 (m). 

Diện tích khu vui chơi là : 24 x 24 = 576 $\left(m^2\right)$.

Vì các hình thang vuông PQMA, QMBC, QPNC, PNDA bằng nhau nên : 

MQ = NP = QP = 4 cm và CN = AD.

Mặt khác AD = NP + QM = 4 + 4 = 8 (cm) 

Do đó : CN = AD = 8 cm. 

Diện tích hình thang vuông PQCN là : 

(CN + PQ) x NP : 2 = (8 + 4) x 4 : 2 = 24 ($c{m}^2$)

Suy ra : Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 24 x 4 = 96 ($c{m}^2$)

Thời gian ô tô thực đi quãng đường CD là : 3 + 1 = 4 (giờ) 

Tỉ số giữa thời gian dự định và thời gian thực đi là 3 : 4 = 3/4. 

Vì quãng đường CD không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó tỉ số vận tốc dự định ($v_{dự định}$) và vận tốc thực đi ($v_{thực đi}$) là 4/3. 

Nếu $v_{dự định}$ và $v_{thực đi}$ tính theo đơn vị km/giờ thì ta có sơ đồ sau :

Vận tốc dự định đi quãng đường CD là : 14 x 4 = 56 (km/giờ) 

Quãng đường CD dài là : 56 x 3 = 168 (km).

Phân tích: Đây là bài toán chuyển động trên dòng nước. Ngoài giả thiết mà bài toán đã cho, chúng ta cần biết thêm kiến thức về chuyển động trên dòng nước như sau :

Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước.

Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước.

Từ đó ta có :

Vận tốc xuôi dòng - Vận tốc ngược dòng = 2 x Vận tốc dòng nước.

Bài toán này cho biết vận tốc dòng nước nên ta tính được hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng. Biết thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng ta dựa vào đó tìm tỉ số vận tốc và đưa về dạng toán tìm 2 số biết hiệu và tỉ.

Giải:

nên hiệu đó là : 3 x 2 = 6 (km/giờ) 

Tỉ số thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng là 5 : 6 = 5/6. 

Vì quãng đường không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó tỉ số vận tốc xuôi dòng và ngược dòng là 6/5. 

Ta có sơ đồ :

Vận tốc xuôi dòng là : 6 x 6 = 36 (km/giờ) 

Quãng đường AB là : 36 x 5 = 180 (km).

Ta có : dt (ABC) = 2 x dt (AMD) (vì AB = 2 x AM và AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC và c.cao cùng bằng BC)

Suy ra dt (DCM) = 2 x dt (AMD). Gọi CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác DCM và DAM xuống đáy DM, khi đó CH = 2 x AE. Nhưng CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác ICM và IAM có chung cạnh đáy IM. Vậy dt (ICM) = 2 x dt (IAM). Mà tam giác IAM và ICM chung chiều cao từ M, do đó IC = 2 x AI, suy ra AC = 3 x AI hay AI = 1/3 AC.

Làm tương tự với các cặp tam giác ABN và CBN ; KCN và KAN ta có KC = 1/3 AC. Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy ra IK = 1/3 AC.

Do đó AI = IK = KC.

a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.

Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C

dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)

Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó BMNC là hình thang.

Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).

Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).

Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.

b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).

Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)

Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).

Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt nhau tại điểm O.

Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là:

Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là:

Số cam viên quan phải hái trong vườn là:

Vậy để có được một quả cam mang về thì viên quan phải hái 15 quả trong vườn. 

Đáp số: 15 quả cam

Ta có bảng sau biểu diễn số cây bèo trên mặt hồ:

Nhìn vào bảng trên ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 cây bèo thì 6 ngày sau bèo sẽ lan phủ kín mặt hồ.

Phân tích : Bài toán này cho số cây của lớp 4D không những bằng trung bình cộng số cây của c 4 lớp mà còn hơn trung bình cộng số cây của bốn lớp là 3 cây.
Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có

Tổng số cây của 3 lớp 4A ; 4B ; 4C và thêm 3 cây nữa sẽ là 3 lần trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Từ đó ta tìm được số cây của lớp 4D.

Giải

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là :

(21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cây)

Số cây của lớp 4D trồng được là : 25 + 3 = 28 (cây)

Nhận xét : Ta thấy Hưng đi và về trên cùng một đoạn đường từ nhà lên huyện. Do đó thời gian đi và về sẽ tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc đi và vận tốc lúc về. ở đây tỉ số về vận tốc giữa lúc đi và lúc về là 12/10 = 6/5. Vậy tỉ số giữa thời gian đi và thời gian về là 5/6. Mà thời gian lúc về lâu hơn lúc đi là 10 phút hay nhiều hơn 10 phút. Từ đó ta có sơ đồ

Thời gian lúc về hết là :10 : (6 - 5) x 6 = 60 (phút) Đổi : 60 phút = 1 giờ

Quãng đường từ nhà lên huyện là : 10 x 1 = 10 (km)

Đáp số : 10 km.

Nhận xét : Ta thấy tam giác ABM và tam giác ABC có cùng chiều cao là AH ; hai đáy tương ứng là BM và BC. Do đó đáy và diện tích là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

ở đây tỉ số về hai đáy là : BM/BC = 2/3. Vậy tỉ số về diện tích của hai tam giácABM và ABC là 2/3. Vì diện tích tam giác ABC bằng 75 $c{m}^2$, nên diện tích tam giác ABM là :

75 : 3 x 2 = 50 ($c{m}^2$).

Đáp số : 50 $c{m}^2$