160 Bài toán chọn lọc lớp 5 có đáp án (phần 1)

Gọi số có 1995 chữ số 7 là A.

Ta có: $\frac{A}{15}=\frac{A}{3}\times \frac{A}{5}=\frac{A}{3}\times 0,2$

Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Tổng các chữ số của A là 1995 x 7. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995 x 7 chia hết cho 3. Do đó A = 777...77777 chia hết cho 3.

1995 chữ số 7

Một số hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 cho số dư là 1 hoặc 2.

Chữ số tận cùng của A là 7 không chia hết cho 3, nhưng A chia hết cho 3 nên trong phép chia của A cho 3 thì số cuối cùng chia cho 3 phải là 27. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 3 là 9, mà 9 x 2 = 18, do đó số A/3 x 0,2 là số có phần thập phân là 8.

Vì vậy khi chia A = 777...77777 cho 15 sẽ được thương có phần thập phân là 8.

Nếu kí hiệu $A = \underset{n chữ số a}{\underbrace{aaa...aaaa}}$  và giả thiết A chia hết cho 3 (tức là n x a chia hết cho 3), thì khi đó tương tự như cách giải bài toán 1 ta tìm được phần thập phân của thương khi chia A cho 15 như sau :

- Với a = 1 thì phần thập phân là 4 ($A = \underset{n chữ số 1}{\underbrace{111...1111}}$  , với n chia hết cho 3)

- Với a = 2 thì phần thập phân là 8 ($A = \underset{n chữ số 2}{\underbrace{222...2222}}$  , với n chia hết cho 3).

- Với a = 3 thì phần thập phân là 2 ($A = \underset{n chữ số 3}{\underbrace{333...3333}}$  , với n tùy ý).

 - Với a = 4 thì phần thập phân là 6 ($A = \underset{n chữ số 4}{\underbrace{444...4444}}$  , với n chia hết cho 3) 

- Với a = 5 thì phần thập phân là 0 ($A = \underset{n chữ số 5}{\underbrace{555...5555}}$  , với n chia hết cho 3).

- Với a = 6 thì phần thập phân là 4 ($A = \underset{n chữ số 6}{\underbrace{666...6666}}$  , với n tùy ý) 

 - Với a = 7 thì phần thập phân là 8 ($A = \underset{n chữ số 7}{\underbrace{777....7777}}$  , với n chia hết cho 3)

- Với a = 8 thì phần thập phân là 2 ($A = \underset{n chữ số 8}{\underbrace{888....8888}}$  , với n chia hết cho 3)

- Với a = 9 thì phần thập phân là 6 ($A = \underset{n chữ số 9}{\underbrace{999....9999}}$   , với n tùy ý).

Đặt $A =\underset{2007 chữ số 1}{\underbrace{111...1111}}$

Ta có: $\frac{A}{36}=\frac{A}{9}\times \frac{1}{4}=\frac{A}{9}\times \mathrm{0,25}$

Vì 0,25 có hai chữ số ở phần thập phân nên ta sẽ tìm hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9.

Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Tổng các chữ số của A là 2007 x 1 = 2007. Vì 2007 chia hết cho 9 nên $A = \underset{2007 chữ số 1}{\underbrace{111....1111}}$ chia hết cho 9.

Một số hoặc chia hết cho 9 hoặc chia cho 9 cho số dư là một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chữ số tận cùng của A là 1 không chia hết cho 9, nhưng A chia hết cho 9 nên trong phép chia của A cho 9, thì ở bước cuối (ta gọi là bước k) : số chia cho 9 phải là 81. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 9. Cũng trong phép chia của A cho 9, ở trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho 9 cho số dư là 8 sẽ là 71 và khi đó ở thương ta được số giáp số cuối cùng là 7.

Vậy hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 79.

Do đó số $\frac{A}{9}\times 0,25 = ......79 X 0,25 = ......,75$ là số có phần thập phân là 75.

Theo đầu bài thì hình vuông ABCD được ghép bởi 2 hình vuông nhỏ và 4 tam giác (trong đó có 2 tam giác to, 2 tam giác con). Ta thấy có thể ghép 4 tam giác con để được tam giác to đồng thời cũng ghép 4 tam giác con để được 1 hình vuông nhỏ. Vậy diện tích của hình vuông ABCD chính là diện tích của 2 + 2 x 4 + 2 x 4 = 18 (tam giác con). Do đó diện tích của hình vuông ABCD là :

$18 x (10 x 10) / 2 = 900 \left(c{m}^2\right)$

Giả sử cháu 1 tuổi (tức là 12 tháng) thì ông 12 tuổi.

Lúc đó ông hơn cháu : 12 - 1 = 11 (tuổi)

Nhưng thực ra ông hơn cháu 66 tuổi, tức là gấp 6 lần 11 tuổi (66:11=6). 

Do đó thực ra tuổi ông là : 12 x 6 = 72 (tuổi)

Còn tuổi cháu là : 1 x 6 = 6 (tuổi)

thử lại 6 tuổi = 72 tháng ; 72 - 6 = 66 (tuổi)

Đáp số :Ông : 72 tuổi 

Cháu : 6 tuổi

Theo đầu bài thì tổng của tất cả số HS và tất cả số HS và 1/2 số HS và 1/4 số HS của lớp sẽ bằng : 100 - 1 = 99 (em)

Để tìm được số HS của lớp ta có thể tìm trước 1/4 số HS cả lớp. 

Giả sử 1/4 số HS của lớp là 1 em thì cả lớp có 4 HS 

Vậy : 1/4 số HS của lứop là : 4 : 2 = 2 (em). 

Suy ra tổng nói trên bằng : 4 + 4 + 2 + 1 = 11 9em) 

Nhưng thực tế thì tổng ấy phải bằng 99 em, gấp 9 lần 11 em (99 : 11 = 9) 

Suy ra số HS của lớp là : 4 x 9 = 36 (em) 

Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + 1 = 100

Đáp số: 36 học sinh.

Giả sử có 7 đội bóng đá, thế thì số đội bóng chuyền là: 

27 - 7 = 20 (đội bóng chuyền)

Lúc đó tổng số cầu thủ là: 7 x 11 + 20 x 6 = 197 (người) 

Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội vẫn không đổi. 

Ta thấy nếu thay một dội bóng chuyền bằng một đội bóng đá thì tổng số đội vẫn không thay đổi nhưng tổng số người sẽ tăng thêm: 11 - 6 = 5 (người) 

Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 thì số dội bống chuyền phải thay bằng đọi bóng đá là: 

25 : 5 = 3 (đội)

Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - 5 = 15 (đội) 

Còn số đội bống đá là: 7 + 5 = 12 (đội) 

Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền.

Giả sử có 10 con thỏ, thế thì có : 10 + 28 = 38 (con) 

Số chân gà là : 38 x 2 = 76 (chân) 

Số chân thỏ là : 10 x 4 = 40 (chân) 

Hiệu số chân gà và thỏ là : 76 - 40 = 36 (chân) 

Vì thực tế thì số chân gà hơn số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên : 40 - 36 = 4 (chân) 

Ta thấy nếu cùng bớt một con thỏ và một con gà thì hiệu số gà và thỏ vẫn không thay đổi song hiệu số chân gà và thỏ sẽ tăng thêm: 4 - 2 = 2 (chân) 

Để hiệu số chân tăng thêm 4 thì số thỏ và gà phải bớt đi là : 4 : 2 = 2 (con) 

Vậy số thỏ là: 10 - 2 = 8 (con thỏ) 

Số gà là : 38 - 2 = 36 (con gà) 

Đáp số là : 36 con gà và 8 con thỏ

Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quãng đường AB là : 30 : 45 = 2/3. 

Vì quãng đường như nhau nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó tỉ số thời gian đi và thời gian về là 3/2. 

Ta có sơ đồ:

Thời gian đi từ A đến B là : 40 x 3 = 120 (phút) Đổi 120 phút = 2 giờ 

Quãng đường AB dài là : 30 x 2 = 60 (km)

Tích của bốn thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 = 16 và 2003 : 4 = 500 (dư 3) nên ta có thể viết tích của 2003 thừa số 2 dưới dạng tích của 500 nhóm (mỗi nhóm là tích của bốn thừa số 2) và tích của ba thừa số 2 còn lại. 

Vì tích của các thừa số có tận cùng là 6 cũng là số có tận cùng bằng 6 nên tích của 500 nhóm trên có tận cùng là 6. 

Do 2 x 2 x 2 = 8 nên khi nhân số có tận cùng bằng 6 với 8 thì ta được số có tận cùng bằng 8 (vì 6 x 8 = 48). Vậy tích của 2003 thừa số 2 sẽ là số có tận cùng bằng 8.

9 quả cam đổi được 2 quả táo và 1 quả lê nên 18 quả cam đổi được 4 quả táo và 2 quả lê. Vì 5 quả táo đổi được 2 quả lê nên 18 quả cam đổi được : 4 + 5 = 9 (quả táo). 

Do đó 2 quả cam đổi được 1 quả táo. Cứ 5 quả táo đổi được 2 quả lê nên 10 quả cam đổi được 2 quả lê. Vậy 5 quả cam đổi được 1 quả lê. Số cam người đó mang đi để đổi được 17 quả táo và 13 quả lê là : 2 x 17 + 5 x 13 = 99 (quả).

Vì 17 x 3 = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm được chia ra thành 51 phần bằng nhau. Khi ấy 1/3 số đó là 51 : 3 = 17 (phần) ; 1/17 số đó là 51 : 17 = 3 (phần).

Vì 17 : 3 = 5 (dư 2) nên 2 phần của số đó có giá trị là 100 suy ra số đó là : 

100 : 2 x 51 = 2550.

Hiệu số tuổi của bố và con không đổi. Trước đây 4 năm tuổi con bằng 1/3 hiệu này, do đó 4 năm chính là : 1/2 - 1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi của bố và con).

Số tuổi bố hơn con là : 4 : 1/6 = 24 (tuổi). 

Khi tuổi con bằng 1/4 hiệu số tuổi của bố và con thì tuổi con là:

24 x 1/4 = 6 (tuổi).

Lúc đó tuổi bố là : 6 + 24 = 30 (tuổi).

Cách 1: Gập đôi sợi dây liên tiếp 3 lần, khi đó sợi dây sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau. 

Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 8 = 2 (m) 

Cắt đi 3 phần bằng nhau thì còn lại 5 phần. 

Khi đó độ dài đoạn dây còn lại là : 2 x 5 = 10 (m) 

Cách 2: Gập đôi sợi dây liên tiếp 2 lần, khi đó sợi dây sẽ được chia thành 4 phần bằng nhau. 

Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 4 = 4 (m) 

Đánh dấu một phần chia ở một đầu dây, phần đoạn dây còn lại được gập đôi lại, cắt đi một phần ở đầu bên kia thì độ dài đoạn dây cắt đi là : (16 - 4) : 2 = 6 (m) 

Do đó độ dài đoạn dây còn lại là : 16 - 6 = 10 (m)

Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần cạnh còn lại của mảnh trồng rau. Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a thì cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là a x 6. Vì chu vi mảnh trồng ngô (P1) gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần nửa chu vi mảnh trồng rau.

Nửa chu vi mảnh trồng ngô hơn nửa chu vi mảnh trồng rau là : 

a x 6 + 5 - (a + 5) = 5 x a.

Ta có sơ đồ :

Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là : 5 x 3 : (5 x a - 3 x a) = 7,5 (m) 

Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là : 7,5 x 6 = 45 (m) 

Diện tích thửa ruộng ban đầu là : (7,5 + 4,5) x 5 = 262,5 ($m^2$)

Thời gian để đi 3 km bằng xe đạp là : 3 : 15 = 0,2 (giờ)

Đổi : 0,2 giờ = 12 phút. 

Nếu bớt 3 km quãng đường từ nhà đến bưu điện thì thời gian đi cả hai quãng đường từ nhà đến trường và từ nhà đến bưu điện (đã bớt 3 km) là :

1 giờ 32 phút - 12 phút = 1 giờ 20 phút = 80 phút.

Vận tốc đi xe đạp gấp vận tốc đi bộ là : 15 : 5 = 3 (lần) 

Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên thời gian đi từ nhà đến trường gấp 3 lần thời gian đi từ nhà đến thư viện (khi đã bớt đi 3 km). Vậy : 

Thời gian đi từ nhà đến trường là : 80 : (1 + 3) x 3 = 60 (phút); 60 phút = 1 giờ 

Quãng đường từ nhà đến trường là : 1 x 5 = 5 (km)

$M = \frac{1 + 2+ 3 +... + 8 + 9}{11 + 12 + 13 + ... + 24 + 25} = \frac{45}{270} = \frac{1}{6}$

a) Để giá trị của phân số không đổi thì ta phải xóa những số ở mẫu mà tổng của nó gấp 6 lần tổng của những số xóa đi ở tử. Khi đó tổng các số còn lại ở mẫu cũng gấp 6 lần tổng các số còn lại ở tử. Vì vậy đổi vai trò các số bị xóa với các số còn lại ở tử và mẫu thì ta sẽ có thêm phương án xóa. 

Có nhiều cách xóa, ví dụ:

Số các số bị xóa ở mẫu tăng dần và tổng chia hết cho 6: mẫu xóa 12 thì tử xóa 2 ; mẫu xóa 18 thì tử xóa 3 hoặc xóa 1, 2 ; mẫu xóa 24 hoặc xóa 11, 13 thì tử xóa 4 hoặc xóa 1, 3 ; mẫu xóa 12, 18 hoặc 13, 17 hoặc 14, 16 thì tử xóa 5 hoặc 2, 3 hoặc 1, 4 ; mẫu xóa 12, 24 hoặc 11, 25 hoặc 13, 23 hoặc 14, 22 hoặc 15, 21 hoặc 16, 20 hoặc 17, 19 thì tử xóa 6 hoặc 1, 5 hoặc 2, 4 hoặc 1, 2, 3 ; mẫu xóa 18, 24 hoặc 17, 25 hoặc 19, 23 hoặc 20, 22 hoặc 11, 13, 18 hoặc 12, 13, 17 hoặc 11, 14, 17 hoặc 11, 15, 16 hoặc 12, 14, 16 hoặc 13, 14, 15 thì tử xóa 7 hoặc 1, 6 hoặc 2, 5 hoặc 3, 4 hoặc 1, 2, 4 ; ... 

b) Để giá trị phân số không đổi, ta thêm một số nào đó vào tử bằng 1/6 số thêm vào mẫu. Vậy nếu thêm 2004 vào mẫu thì số phải thêm vào tử là : 

2004 : 6 = 334.

Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0. 

Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0.

Đổi 40% = 2/5. 

Nếu lấy 2/5 số vở của Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì mỗi bạn Tuổi hay Thơ đều được thêm 2/5 : 2 = 1/5 (số vở của Toán) 

Số vở còn lại của Toán sau khi cho là : 

1 - 2/5 = 3/5 (số vở của Toán)

Do đó lúc đầu Tuổi hay Thơ có số vở là : 

3/5 - 1/5 = 2/5 (số vở của Toán)

Tổng số vở của Tuổi và Thơ lúc đầu là : 

2/5 x 2 = 4/5 (số vở của Toán)

Mặt khác theo đề bài nếu Toán bớt đi 5 quyển thì số vở của Toán bằng tổng số vở của Tuổi và Thơ, do đó 5 quyển ứng với : 1 - 4/5 = 1/5 (số vở của Toán) 

Số vở của Toán là : 5 : 1/5 = 25 (quyển) 

Số vở của Tuổi hay Thơ là : 25 x 2/5 = 10 (quyển)

a) Vì A và B đều không chia hết cho 2 và 5 nên A và B chỉ có thể có tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vì 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18 là 2 số chia hết cho 3 nên loại trừ số 33 và 99. A < B nên A = 11 và B = 77.

b) Tổng của hai số đó là : 11 + 77 = 88. 

Ta có : 

88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11. 

Vậy tổng 2 số chia hết cho các số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88.

Trên cùng một quãng đường thì tỉ số thời gian đi của Xuân và Hạ là : 12 : 10 = 6/5.

Thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ số vận tốc của Xuân và Hạ là 5/6. Như vậy Xuân và Hạ cùng xuất phát thì đến khi gặp nhau thì quãng đường Xuân đi được bằng 5/6 quãng đường Hạ đi được. 

Do đó quãng đường Hạ đi được là : 

50 : 5/6 = 60 (m).

Quãng đường giữa nhà Xuân và Hạ là : 50 + 60 = 110 (m).

Vì A là số chia hết cho 9 mà B là tổng các chữ số của A nên B chia hết cho 9. Tương tự ta có C, D cũng chia hết cho 9 và đương nhiên khác 0. Vì A gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số không vượt quá 9 nên B không vượt quá 9x 2004 = 18036. 

Do đó B có không quá 5 chữ số và C < 9 x 5 = 45. Nhưng C là số chia hết cho 9 và khác 0 nên C chỉ có thể là 9 ; 18 ; 27 ; 36. Dù trường hợp nào xảy ra thì ta cũng có D = 9.

Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào một góc của khu vườn mới EFHD ta được hình vẽ bên. Kéo dài EF về phía F lấy M sao cho FM = BC thì diện tích hình chữ nhật BKHC đúng bằng diện tích hình chữ nhật FMNK. Do đó phần diện tích mới mở thêm chính là diện tích hình chữ nhật EMNA.

Ta có AN = AB + KN + BK vì AB + KN = 120 : 2 = 60 (m) ; BK = 10 m 

nên AN = 70 m. Vậy diện tích phần mới mở thêm là : 70 x 10 = 700 ($m^2$)

Cách 1 : Vì đò đi ngược dòng đến bến mất 8 giờ nên trong 1 giờ đò đi được 1/8 quãng sông đó. Đò đi xuôi dòng trở về mất 4 giờ nên trong 1 giờ đò đi được 1/4 quãng sông đó. Vận tốc đò xuôi dòng hơn vận tốc đò ngược dòng là : 1/4 - 1/8 = 1/8 (quãng sông đó). 

Vì hiệu vận tốc đò xuôi dòng và vận tốc đò ngược dòng chính là 2 lần vận tốc dòng nước nên một giờ khóm bèo trôi được là : 1/8 : 2 = 1/16 (quãng sông đó). 

Thời gian để khóm bèo trôi theo đò về là : 1 : 1/16 = 16 (giờ). 

Cách 2 : Tỉ số giữa thời gian đò xuôi dòng và thời gian đò ngược dòng là :4 : 8 = 1/2 Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian của một chuyển động tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ số vận tốc đò xuôi dòng và vận tốc đò ngược dòng là 2. Vận tốc đò xuôi dòng hơn vận tốc đò ngược dòng chính là 2 lần vận tốc dòng nước. Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có vận tốc ngược dòng gấp 2 lần vận tốc dòng nước nên thời gian để cụm bèo trôi theo đò về gấp 2 lần thời gian ngược dòng. Vậy thời gian cụm bèo trôi theo đò về là : 8 x 2 = 16 (giờ).

Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ :

Do đó 45 m ứng với số phần là : 16 - 1 = 15 (phần) 

Chiều rộng ban đầu là : 45 : 15 = 3 (m) 

Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m) 

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là : 3 x 12 = 36 ($m^2$)

Nếu được thêm ba điểm 10 và ba điểm 9 nữa thì số điểm được thêm là : 

10 x 3 + 9 x 3 = 57 (điểm)

Để được điểm trung bình của tất cả các bài là 8 thì số điểm phải bù thêm vào cho các bài đã kiểm tra là : 57 - 8 x (3 + 3) = 9 (điểm) 

Nếu được thêm một điểm 9 và hai điểm 10 nữa thì số điểm được thêm là : 

9 x 1 + 10 x 2 = 28 (điểm)

Để được điểm trung bình của tất cả các bài là 7,5 thì số điểm phải bù thêm vào cho các bài đã kiểm tra là : 29 - 7,5 x (1 + 2) = 6,5 (điểm) 

Như vậy khi tăng điểm trung bình của tất cả các bài từ 7,5 lên 8 thì tổng số điểm của các bài đã kiểm tra sẽ tăng lên là : 9 - 6,5 = 2,5 (điểm) 

Hiệu hai điểm trung bình là : 8 - 7,5 = 0,5 (điểm) 

Vậy số bài đã kiểm tra của bạn An là : 2,5 : 0,5 = 5 (bài)

Chia cạnh tấm bìa hình vuông cho trước làm 4 phần bằng nhau (bằng cách gấp đôi liên tiếp). Sau đó cắt theo các đường AB, BC, CD, DA. Các miếng bìa AMB, BNC, CPD, DQA xếp trùng khít lên nhau nên AB = BC = CD = DA (có thể kiểm tra bằng thước đo). Dùng êke kiểm tra các góc của tấm bìa ABCD ta thấy các góc là vuông. 

Nếu kẻ bằng bút chì các đường chia tấm bìa ban đầu thành những ô vuông như hình vẽ thì ta có thể thấy : 

+ Diện tích tấm bìa MNPQ là 16 ô vuông (ghép 2 hình tam giác với nhau thì được hình chữ nhật gồm 3 hình vuông). 

Do đó diện tích hình vuông ABCD là 16 – 6 = 10 (ô vuông) nên diện tích ô vuông ABCD bằng 10 / 16 = 5 / 8 diện tích tấm bìa ban đầu.

Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài hình chữ nhật AMOP (OQ = PO x 3). (1) 

Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình POND (1). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND. 

Vậy diện tích hình chữ nhật OQCD là : 16 x 3 = 48 ($c{m}^2$).

A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004). C có tận cùng là 6 nhân với 2004 nên A có tận cùng là 4 (vì 6 x 4 = 24). 

B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x   2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). Vì 2004 : 4 = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thừa số 2003. Tận cùng của mỗi nhóm là 1 (vì 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). 

Vậy tận cùng của A + B là 4 + 1 = 5. Do đó A + B chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cộng vào A là m. Ta có A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho 5 và 9 (vì 5 x 9 = 45 ; 5 và 9 không cùng chia hết cho một số số nào đó khác 1). Vì A viết bởi các chữ số 9 nên A chia hết cho 9, do đó m chia hết cho 9. A + m chia hết cho 5 khi A + m có tận cùng là 0 hoặc 5 mà A có tận cùng là 9 nên m có tận cùng là 1 hoặc 6. Số nhỏ nhất có tận cùng là 1 hoặc 6 mà chia hết cho 9 là 36. 

Vậy m = 36.

Diện tích hình thang là : (3 + 2) x 2 : 2 = 5 ($m^2$) 

Chia hình thang đó thành 5 tam giác có diện tích bằng nhau thì diện tích một tam giác là : 5 : 5 = 1 ($m^2$). Các tam giác này có chiều cao và số đo đáy là số tự nhiên nên nếu chiều cao là 1m thì đáy là 2 m. Nếu chiều cao là 2 m thì đáy là 1 m. Có nhiều cách chia, ví dụ:

Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau:

Nhìn hình vẽ ta thấy : CE + GH + KL + MD = CE + EI = CI. 

EG + HK + LM + DA = ID + DA = IA. 

Từ đó chu vi của hình tô màu chính là : 

AB + BC + CE + EG + GH + HK + KL + LM + MD + DA = AB + BC + (CE + GH + KL + MD) + (EG + HK + LM + DA) = AB + BC + CI + IA = AB x 4. 

Vậy chu vi của hình tô màu là : 10 x 4 = 40 (cm).

Ta chia các ô thành các nhóm 3 ô, mỗi nhóm đánh số thứ tự như sau :

Tổng các số của mỗi nhóm 3 ô liên tiếp là 428. Như vậy ta thấy các số viết ở ô số 1 là 215, ở ô số 2 là 112, ở ô số 3 là : 428 - (215 + 112) = 101. 

Ta có băng giấy ghi số như sau :

Tổng các chữ số của mỗi nhóm 3 ô là : 2 + 1 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 = 14. 

Có tất cả 4 nhóm 3 ô và một số ở ô số 1 nên tổng các chữ số trên băng giấy là : 

14 x 4 + 2 + 1 + 5 = 64.

Hiệu số tuổi của hai anh em là một số không đổi.

Ta có sơ đồ biểu diễn số tuổi của hai anh em ở các thời điểm : Trước đây (TĐ), hiện nay (HN), sau này (SN) :

Giá trị một phần là : 51 : (7 + 10) = 3 (tuổi) 

Tuổi em hiện nay là : 3 x 4 = 12 (tuổi) 

Tuổi anh hiện nay là : 3 x 7 = 21 (tuổi)

Bảng B có 4 đội thi đấu vòng tròn nên số trận đấu là : 4 x 3 : 2 = 6 (trận) 

Mỗi trận thắng thì đội thắng được 3 điểm đội thua thì được 0 điểm nên tổng số điểm là : 3 + 0 = 3 (điểm). 

Mỗi trận hòa thì mỗi đội được 1 điểm nên tổng số điểm là : 1 + 1 = 2 (điểm). 

Cách 1 : Giả sử 6 trận đều thắng thì tổng số điểm là : 6 x 3 = 18 (điểm). 

Số điểm dôi ra là : 18 - 17 = 1 (điểm). 

Sở dĩ dôi ra 1 điểm là vì một trận thắng hơn một trận hòa là : 3 - 2 = 1 (điểm). Vậy số trận hòa là : 1 : 1 = 1 (trận) 

Cách 2 : Giả sử 6 trận đều hòa thì số điểm ở bảng B là : 6 x 2 = 12 (điểm). 

Số điểm ở bảng B bị hụt đi : 17 - 12 = 5 (điểm). 

Sở dĩ bị hụt đi 5 điểm là vì mỗi trận hòa kém mỗi trận thắng là : 3 - 2 = 1 (điểm). Vậy số trận thắng là : 5 : 1 = 5 (trận). 

Số trận hòa là : 6 - 5 = 1 (trận).

So với thùng A thì thùng B có thể chứa được số dầu là : 1 - 2/5 = 3/5 (thùng A). 

Thùng C có thể chứa được số dầu là : 1 - 5/9 = 4/9 (thùng A). 

Cả 2 thùng có thể chứa được số dầu nhiều hơn thùng A là : 

(3/5 + 4/9) - 1 = 2/45 (thùng A).

2/45 số dầu thùng A chính là 4 lít dầu. 

Do đó số dầu ở thùng A là : 4 : 2/45 = 90 (lít). 

Thùng B có thể chứa được là : 90 x 3/5 = 54 (lít). 

Thùng C có thể chứa được là : 90 x 4/9 = 40 (lít).

Kết quả thi đấu ở SEA Games 22 đã cho biết : Chị Nguyễn Thị Tĩnh chạy cự li 400 m với thời gian là 51 giây 82.

“Bí mật” của hình vuông là tổng các số hàng ngang, hàng dọc và đường chéo của hình vuông đều bằng 34 (các bạn tự kiểm tra lại). 

Gọi các số cần tìm ở 4 góc của hình vuông là a, b, c, d. ở hàng ngang đầu tiên, ta có : a + 3 + 2 + b = 34, từ đó a + b = 34 - 5 = 29 (1). 

Ở cột dọc đầu tiên ta có : a + 5 + 9 + d = 34, từ đó a + d = 34 - 14 = 20 (2). 

Từ (1) và (2) ta có : a + b - (a + d) = 29 - 20 = 9 hay b - d = 9 (3). 

Ở một đường chéo, ta lại có : b + 6 + 11 + d = 34, từ đó b + d = 34 - 17 = 17 (4). 

Từ (3) và (4) ta có : (b - d) + (b + d) = 9 + 17 hay b + b = 26 ; b = 13. 

Vì b + d = 17 nên d = 17 - 13 = 4. 

Vì a + b = 29 nên a = 29 - 13 = 16. 

Ở đường chéo thứ hai, ta có a + 10 + 7 + c = 34 hay a + c = 34 - 17 = 17. 

Từ đó c = 17 - 16 = 1. Thay a, b, c, d bằng các số vừa tìm được ta có hình vuông sau :

Vì tổng các số ở hàng ngang, cột dọc, đường chéo đều bằng nhau nên ta có :

a + 35 + b = a + 9 + d hay 26 + b = d (cùng trừ 2 vế đi a và 9). Do đó d - b = 26. b + g + d = 35 + g + 13 hay b + d = 48. Vậy b = (48 - 26 ) : 2 = 11, d = 48 - 11 = 37. d + 13 + c = d + 9 + a hay 4 + c = a (cùng trừ 2 vế đi d và 9). Do đó a - c = 4, a + g + c = 9 + g +39 hay a + c = 9 + 39 (cùng trừ 2 vế đi g), do đó a + c = 48. Vậy c = (48 - 4) : 2 = 22, a = 22 + 4 = 26. 35 + g + 13 = a + 35 + b = 26 + 35 + 11 = 72. 

Do đó 48 + g = 72 ; g = 72 - 48 = 24. Thay a = 26, b = 11, c = 22, d =37 , g = 24 vào hình vẽ ta có :

Để số chữ số bằng đúng 2 lần số trang quyển sách thì trung bình mỗi trang phải dùng hai chữ số. Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang gồm một chữ số, nên còn thiếu 9 chữ số. Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, mỗi trang đủ hai chữ số. Từ trang 100 trở đi mỗi trang có 3 chữ số, mỗi trang thừa một chữ số, nên phải có 9 trang để “bù” đủ cho 9 trang gồm một chữ số.

Vậy quyển sách có số trang là : 9 + 90 + 9 = 108 (trang).

Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là : 28 : 2 = 14 (m).

Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB.

Nửa chu vi hình AMND là AD + AM.

Do đó : MB = AB - AM = 14 (m).

Chiều rộng BC của hình ABCD là : 224 : 14 = 16 (m)

Chiều dài AB của hình ABCD là : 16 + 14 = 30 (m)

Diện tích hình ABCD là : 30 x 16 = 480 ($m^2$).

Cách 1 : Số người biết ít nhất 1 trong 2 thứ tiếng Nga và Anh là : 

100 - 10 = 90 (người).

Số người chỉ biết tiếng Anh là :

90 - 75 = 15 (người)

Số người biết cả tiếng Nga và tiếng Anh là :

83 - 15 = 68 (người)

Cách 2 : Số người biết ít nhất một trong 2 thứ tiếng là : 

100 - 10 = 90 (người). 

Số người chỉ biết tiếng Nga là :

90 - 83 = 7 (người). 

Số người chỉ biết tiếng Anh là :

90 - 75 = 15 (người). 

Số người biết cả 2 thứ tiếng Nga và Anh là :

90 - (7 + 15) = 68 (người)

Chỉ cần các bạn biết được tính chất: Mọi đường thẳng đi qua tâm của hình chữ nhật để chia hình chữ nhật thành hai hình có diện tích bằng nhau.

Có thể chia được bằng nhiều cách:

Theo đề bài : 4 x 396 x 0,25 : (x + 0,75) = 1,32 ; vì 4 x 0,25 = 1 nên ta có :

396 : (x + 0,75) = 1,32 hay x + 0,75 = 396 : 1,32 = 300. Khi x giảm đi 297 đơn vị thì tổng x + 0,75 cũng giảm đi 297 đơn vị, tức là x + 0,75 = 300 - 297 = 3 hay x = 3 - 0,75 = 2,25. Trong đẳng thức x + 0,75 = 396 : 1,32 ; để x = 2,25 thì phải thêm dấu phẩy vào số 396 để có số 3,96.

Như vậy cần đặt thêm dấu phẩy vào giữa chữ số 3 và 9 của số 396 để x giảm đi 297 đơn vị. Các bạn có thể thử lại.

Bài toán chỉ có bốn cách điền như sau :

2 x 78 = 156 = 39 x 4

4 x 39 = 156 = 78 x 2

3 x 58 = 174 = 29 x 6

6 x 29 = 174 = 58 x 3

Phân số chỉ số tuổi còn lại sau thời niên thiếu của ông là : 1- 1/5 = 1/4 (số tuổi ông)

Thời sinh viên của ông có số năm là :

4/5 x 1/8 = 1/10 (số tuổi ông)

Số năm còn lại sau thời sinh viên của ông là : 4/5 - 1/10 = 7/10 (số tuổi ông) 

Số năm học ở trường quân đội của ông là : 7/10 x 1/7 = 1/10 (số tuổi ông)

Do đó: 7 năm rèn luyện của ông là : 1 - (1/5 + 1/10 + 1/10 + 1/2) = 1/10 (số tuổi ông) Suy ra số tuổi của ông là : 7: 1/10 = 70 (tuổi).

Chia miếng bìa ABCD thành các ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh là 5 cm. Số ô vuông của miếng bìa đó là : 8 x 6 = 48 (ô vuông).

Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là : 6 x 4 = 24 (ô vuông)

Vì 48 : 24 = 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD. Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hình ABCD và MNPQ cách nhau 5 cm.

Số thứ nhất không thể nhiều hơn 4 chữ số vì tổng 4 số bằng 2003. Nếu số thứ nhất có ít hơn 4 chữ số thì sẽ không tồn tại số thứ tư. Vậy số thứ nhất phải có 4 chữ số.

Gọi số thứ nhất là abcd (a > 0, a, b, c, d < 10). Số thứ hai, số thứ ba, số thứ tư lần lượt sẽ là : abc ; ab ; a. 

Theo bài ra ta có phép tính:

abcd + abc + ab + a = 2003.

Theo phân tích cấu tạo số ta có : aaaa + bbb + cc + d = 2003 (*)

Từ phép tính (*) ta có a < 2, nên a = 1. Thay a = 1 vào (*) ta được :

1111 + bbb + cc + d = 2003.

bbb + cc + d = 2003 - 1111

bbb + cc + d = 892 (**)

b > 7 vì nếu b nhỏ hơn hoặc bằng 7 thì bbb + cc + d nhỏ hơn 892 ; b < 9 vì nếu b = 9 thì bbb = 999 > 892. Suy ra b chỉ có thể bằng 8.

Thay b = 8 vào (**) ta được :

888 + cc + d = 892

cc + d = 892 - 888

cc + d = 4

Từ đây suy ra c chỉ có thể bằng 0 và d = 4.

Vậy số thứ nhất là 1804, số thứ hai là 180, số thứ ba là 18 và số thứ tư là 1.

Thử lại : 1804 + 180 + 18 + 1 = 2003 (đúng)

Số táo người đó mang ra chợ là : 20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả)

Vì số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1 nên sau khi bán, số táo còn lại phải chia hết cho 3.

Vì tổng số táo mang ra chợ là 150 quả chia hết cho 3 nên số táo đã bán phải chia hết cho 3. Trong các số 20, 25, 30, 35, 40 chỉ có 30 chia hết cho 3. Do vậy người ấy đã bán giỏ táo đựng 30 quả.

Tổng số táo còn lại là : 150 - 30 = 120 (quả)

Ta có sơ đồ biểu diễn số táo của loại 1 và loại 2 còn lại

Số táo loại 2 còn lại là : 120 : (2 + 1) = 40 (quả)

Vậy người ấy còn lại giỏ đựng 40 quả chính là số táo loại 2 còn lại.

Đáp số : 40 quả

Có hai cách điền :8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 90

8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 90

Để tìm được hai cách điền này ta có thể có nhận xét sau :

Tổng 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 ; 90 - 36 = 54.

Như vậy muốn có tổng 90 thì trong các số hạng phải có một hoặc hai số là số có hai chữ số. Nếu số có hai chữ số đó là 87 hoặc 76 mà 87 > 54, 76 > 54 nên không thể được. Nếu số có hai chữ số là 65 ; 65 + 36 - 6 - 5 = 90, ta có thể điền :

8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 - 90.

Nếu số có hai chữ số là 54 thì cũng không thể có tổng là 90 được vì 54 + 36 - 5 - 4 < 90.

Nếu số có hai chữ số là 43 ; 43 < 54 nên cũng không thể được. Nếu trong tổng có 2 số có hai chữ số là 43 và 21 thì ta có 43 + 21 - (4 + 3 + 2 + 1) = 54. Như vậy ta có thể điền : 8 + 7 + 6 + 5 + 43 + 21 = 90.